Методичка по Теоретической механике
Найдя а\, можем вычислить искомое ускорение ав = лГ(а'в)2+(а% . Величина авл служит для нахождения еАВ (как в рассмотренном примере).
Прямоугольная пластина (рис. К4.0 — К4.4) или круглая пластина
60 см (рис. К4.5 — К4.9)
вращается вокруг неподвижной
оси по закону <р =
заданному в табл. К4. Положительное направ
показано на рисунках дуговой стрелкой. На
ось вращения перпендикулярна плоскости пластины
в своей плоскости);
(пластина вращается в пространстве).
движется точка М; закон ее
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени ti = 1 с.
Указания. Задача К4 — на сложное движение точки. Д ля ее реше ния воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует пб условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент
Времени 1 1 = 1 с, и изобразить
точку именно в этом положении
(а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).
В случаях, относящихся к рис. 5—9, при решении задачи не
подставлять числового значения R,
пока не будут определены положе-
Т а б л и ц а К4
16 60(/4- 3 / 2) + 56
л - ? - R ( 3 t - t2)
ние точки М в момент времени t\ — 1
СМ и СА в этот мрмент.
Рассмотрим два примера решения этойзадачи.
Пример К4а. Пластина OEABiD (ОЕ = OD , рис. К4а)
вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла ф показано на рис. К4а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = АВ = /г(0 (положительное направление отсчета s — от Л к В).
Д а н о : R = 0,5 м, ф = /2—0,5/3, s= n^cos(n//3) (ф — в радианах, s — в метрах, t — в секундах). О п р е д е л и т ь : уабс и аа6с в момент времени <, = 2 с.
Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины —
переносным движением. Тогда абсолют ная скорость г>абс и абсолютное уско рение йабсТ'очки найдутся по формулам:
где, в свою очередь,
О-отн ^отн “f- Оотн, &пер—L Q-ncp4 “ ^пер •
Определим все, входящие в равенства (1)
О т н о с и т е л ь н о е
д в и ж е н и е .
Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t\. Полагая в уравнении (2) t\ = 2 с, получим
s i = z iR c o s ( j i 2 / 3 ) =
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t\ — 2 с
находится справа от точки А. Изображаем ее на’ рис. К4а в этом
находим числовые значения
где рогн — радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу
1 л «мч|д д и р р |щ ||
Знаки показывают, что вектор aJIH направлен в сторону положи тельного отсчета расстояний я, а вектор иотн — в противоположную сторону; вектор а"отн направлен к центру С окружности. Изображаем
все эти векторы на рис. К4а.
2. П е р е н о с н о е
д в и ж е н и е .
происходит по закону ф =
*2_ 0,5£3. Найдем сначала угловую скорость
о и угловое ускорение s переносного вращения:
указывают, что в момент t\
2 с направления
воположны направлению положительного отсчета угла ф; отметим это
и а пер находим сначала расстояние hi =
рисунка видно, что
на рис. К4а векторы опер и alep с учетом направлений
to и е и вектор й еР
(направлен к оси вращения).
К о р и о л и с о в о
у с к о р е н и е .
2|иОТн1 • Ы • sin а,
угол между вектором v0TH и
случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна
в момент времени ti =
момент |Уотн1 = 1,42 м/с и
|со| = 2 с-1, получим
Направление а кор
вектор Уотн лежит в плоскости, перпендикулярной оси врзщения, то
повернем его на 90° в направлении
Таким образом, значения всех входящих в
(1) векторов найдены и для определения иа6с
и аа0с остается
сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.
О п р е д е л е н и е
Уабс =?ifowi+ »nep на эти оси. Получим для момента времени ti — 2 jc:
аств^-ЬОлер,— 0 — |у11С;.! cos45° = — 1,99
V 0™ y + V a e Py =
|t>oJ + l^nepl COS 45° = 3,41
После этого находим
Учитывая, нто в данном случае угол между von и а„ер равен 45°,
значение рабс можно еще определить по формуле
2|»мн1 • |Уаер1 ' COS 45° = 3,95
5. О п р е д е л е н и е
а а6с. По теореме о сложении ускорений
Яабс == Аотн"Ь G OT + &пер “Ь ^пер "Ь ^ко;) ■
Д ля определения аабс спроектируем; обе части равенства (7) на проведенные оси В \ху. Получим
Оотн+ aKop + Q?epCOs45° — |a5epl cos45° ,
= сйер cos 45° + laiepl cos 45° — |o5T,
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени 1\ = 2 с, найдем, что в этот момент
Яабсх= 9,74 м/с2 ; аабС!/ = 7,15 м/с 2 . 1
s -yj alec* + а1бсу = 12,08 м/с 2 ■
О т в е т : иабс= 3,95 м/с, а абс= == 12,08 м /с2.
Пример К4б. Треугольная плас тина ADE вращается вокруг оси z по закону ф = fi(t) (положительное направление отсчета угла <р показа но на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В
15/ — 3t2; ( ф ^ в ради
сантиметрах, t — в
О п р е д е л и т ь : уабс
а а6св момент времени h =
Решение. Рассмотрим движение
движение: по прямой :■ AD ' относительным-, ., а вращение пластины ;— переносным. Тогда абсолютная скорость иабС и абсолютное ускорение а абс найдутся по формулам:
где, в свою очередь,
Определим все входящие в равенство (1) величины.
1. О т н о с и т е л ь н о е
д в и ж е н и е . Это
нейное'и происходит по закону
В момент времени 1 1 =
Знаки показывают, что вектор иош направлен в сторону пол(?жительного
отсчета расстояния s,
aom — в противоположную
Изображаем-эти векторы на рис. К4б.
2. П е р е н о с н о е
д в и ж е н и е .
Это движение (вращение) про^
исходит по закону ф =
Найдем угловую скорость to и угловое ускорение е переносного
вращения: :ш = ф = 0,3 12 — 2 , 2 ; е =
0 , 6 / и при t\ = 2 с,
что в момент ti = 2 с направление 8
с направлением положительного отсчета угла ф, а направление и ему противоположно; Отметим это на рис. К4, б соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние hi точки В\
в момент ti — 2 с, учитывая
Изобразим на рис. К4б векторы у,1Ср и а„ер (с учетом знаков а и е )
а вектор а"кр — по линии В\С к оси вращения.
К о р и о л и с о в о
у с к о р е н и е .
Так как угол между векто
в момент времени 1 1 =
2 - |ь>отн1 -1<в|* sin30°
Направление акор найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Д ля этого вектор иотн спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору а"щ) и затем эту проек цию повернем на 90° в сторону со, т. е. по ходу часовой стрелки; изучим
направление вектора а кор. Он'
пластины так же, как вектор v„ep (см. рис. К4б).
4. О п р е д е л е н и е
аабс = Uoth+JWj^ а
Йоги и йпер взаимно ПврПвНДИКуЛЯрНЫ, ТО
Иабс — -\J и|гя+ »пёр;
5. О п р е д е л е н и е
а абс. По теореме о сложении ускорений
СЕотн "Ь Япер “I- ^пер “1
а^ер и а к0р лежат
а векторы а;ер -и а отн расположены
кости B\yz\, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части
оси B\xyzi и учтя одновременно равенства (3), (5),
IoothI cos 30° = 5,20 см/с2 .
Отсюда находим значение а абс
Груз D массой /п, получив в точке А начальную скорость Vo, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в “вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д 1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движе ния); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения
(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = I или
время t\ движения груза от ф очки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х — f(t), где х = BD.
Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина I участка, целесообразно