Е. М. Четыркин финансовая математика
§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
Годовая рента. Напомним, что под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" (современная величина) потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость или приведенная ее-личина. Как было показано выше, современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показатель находит широкое применение в разнообразных финансовых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственных инвестиций и т.д.). В общем виде метод определения современной величины потока платежей (метод прямого счета) рассмотрен в § 5.1. Здесь же объектом анализа является постоянная финансовая рента постнумерандо.
Методы расчета современных стоимостей финансовых рент обсудим в том же порядке, что и методы наращения рент и почти столь же детально. Начнем с самого простого случая — годовой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты — п, ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго — Rv 2 , последнего — Rv". Как видим, эти величины образуют ряд, соответствующий геометрической профессии с первым членом Rv и знаменателем v. Обозначим сумму членов этой профессии через А:
A-Ryv' = Rv- --R— V --
Назовем множитель, на который умножается R, коэффициентом приведения ренты, он обозначен как апЧ(в литературе встречается обозначение an,j). Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Значения an;iтабулированы (см. табл. 7 Приложения).
Поскольку рассматриваемый параметр часто применяется в финансовых расчетах, полезно, обратить внимание на некоторые его свойства. Очевидно, что чем выше значение /', тем меньше величина коэффициента. Нетрудно показать, что при / = О
При увеличении срока ренты величина апЛстремится к некоторому пределу. При п = » предельное значение коэффициента составит lim
Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты, о чем пойдет речь в § 5.5.
График зависимости апЧот п показан на рис. 5.2.
Воспользуемся формулой (5.14) для определения взаимосвязи коэффициентов приведения ограниченной и вечной рент:
В последней записи искомый коэффициент приведения определен как доля коэффициента приведения вечной ренты, зависящая от срока ренты.
ПРИМЕР 5.9. Годовая рента постнумерандо характеризуется параметрами: Я = 4 млн руб, п = 5. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5 % годовых, получим
1 - 1.185" 5 А = 4a*iRs = 4 х ГТ^ = 4 х 3,092 = 12,368 млн руб.
Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн руб. Иначе говоря, 12,368 млн руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн руб. в течение 5 лет.
Заметим, что формула (5.14) может быть применена и для определения современной стоимости /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов ренты, а / — ставку за один период (но не годовую).
Коэффициент приведения ренты за срок п = л, + п2определяется следующим образом: а н;1 - Я*,;/
mn , соответственно, / заменим на (1 + j/m) m -— 1, после чего имеем:
Л = R /л , .. чт — = Ramn.i/m.(5.17)
(1 +у//и) т - 1 mnj/m
Рента /^-срочная (т = 1). Если платежи производятся не один, а р раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как это было сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов составит пр. Сумма дисконтированных платежей в этом случае равна
А - - ? v t/p - R r 1 "' 1+l ' - Ra ность дисконтированных платежей представляет собой геометрическую профессию с первым членом 7V r , знаменателем v r и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при условии, что Г= 1, равна:
** - v —ггг - (i + / y-i = v (5 - 43)
Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициентов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.
ПРИМЕР 5.21. Сравниваются два варианта строительства некоторого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каждые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб., на капитальный ремонт — 0,4 млн руб. каждые 10 лет. Временной горизонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.
Капитализированная сумма затрат при условии, что / = 10 %, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:
АА= 6 + ^№- = 7,3 млн руб.,
А2= 7 + ^^ = 7,25 млн руб.
Таким образом, в финансовом отношении варианты оказываются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим Л1 = 6,39, А2= 7,05.
Переменная процентная ставка. На практике иногда сталкиваются с потоками платежей, предполагающих применение переменных во времени процентных ставок, например, при реструктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).
Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Если же эти изменения "ступенчатые", то при определении наращенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоян-
ной ренты постнумерандо со сроком 10 лет предусматриваются два уровня процентной ставки, применяемые по пятилетиям. В этом случае