. Контрастные структуры типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для линии или точки перехода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
Контрастные структуры типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для линии или точки перехода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Контрастные структуры типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для линии или точки перехода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Глава 1. Одномерная контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Вспомогательные задачи.

4. Теорема существования.

§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции.

3. Обоснование асимптотики.

Глава 2. Одномерная контрастная структура типа ступеньки в критическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Вспомогательные задачи.

4. Теорема существования.

§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции.

3. Обоснование асимптотики.

Глава 3. Двумерная контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Построение верхнего и нижнего решений. Теорема существования.

§2. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

1. Постановка задачи.

2. Оценка собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

3. Локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

Теория сингулярных возмущений за последние десятилетия стала неотъемлемой частью математической физики. Зародившись еще в начале века при решении отдельных прикладных задач, она, благодаря известным работам А.Н.Тихонова конца 40-х — начала 50-х годов (см. [1]), превратилась в одно из крупнейших направлений в области дифференциальных уравнений и их приложений к задачам физики, химии, биологии.

К настоящему времени разработаны разнообразные методы исследования различных классов сингулярно возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [2]-[10], метод усреднения [11], метод регуляризации [12], методы теории релаксационных колебаний [13],[14], метод сращивания асимптотических разложений [15],[16], методы типа ВКБ [17],[18] и другие.

В последние годы ведутся активные исследования сингулярно возмущенных задач, решения которых имеют внутренние переходные слои. Такие решения получили название контрастных структур. Повышенное внимание к контрастным структурам объясняется не только теоретическим интересом, но также их высокой прикладной значимостью: они возникают в задачах химической кинетики, синергетики, биологии и биофизики, астрофизики, лазерной оптики, теории фазовых переходов, теории автосолитонов.

Различают контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. Определим эти понятия на примере краевой задачи где е > 0 — малый параметр, А — оператор Лапласа.

Контрастной структурой типа ступеньки называется такое решение задачи (В.1), которое по разные стороны от некоторой кривой С, лежащей в области Б, близко при малых е к различным решениям й = <¿>1(2;) и й = <¿>2 (ж) вырожденного уравнения

Контрастной структурой типа всплеска называется такое решение задачи (В.1), которое близко при малых е к какому-то решению й = <р(х) уравнения (В.2) всюду внутри области 2), за исключением малой окрестности некоторой кривой С; в этой е2Д и = /(и,х), х <Е Б С В2 и\ьв = 9(х),

Аналогичным образом можно определить контрастные структуры типа ступеньки и всплеска в одномерном случае. При этом роль кривой С будет играть некоторая точка ж* — точка перехода (для "ступеньки") или точка всплеска (для "всплеска").

То, что в задачах типа (В.1) возможны решения, имеющие вид контрастных структур, отмечалось еще в работах [19]—[21]. Несколько позже в работах [22],[23] методом пограничных функций [2],[3] были построены асимптотические разложения контрастных структур типа ступеньки и всплеска. Этот метод оказался настолько эффективен, что позволил исследовать контрастные структуры в целом ряде различных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также для систем уравнений (см., например, [24]—[35]).

Общей особенностью рассмотренных задач является то, что местоположение кривой (точки) перехода или всплеска заранее неизвестно и определяется в процессе построения асимптотики. В связи с этим уравнение этой кривой (точки) ищется в виде разложения по целым степеням малого параметра е. При этом главный член асимптотического разложения кривой (точки) определяется из уравнения х) = О,

В.З) где .Р(ж) — некоторая функция, полностью определяемая правой частью исходного дифференциального уравнения. К примеру, для задачи (В.1), имеющей решением контрастную структуру типа ступеньки с переходом от ч>\

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎