. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах
Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах

Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах

Цели: Познакомить учащихся с применением определённых интегралов.

  • Отработка навыка нахождения определённого интеграла.
  • Привитие интереса к математике.

Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.

  1. Вступительное слово учителя
  2. Устная работа
  3. Вывод формулы площади круга с помощью определённого интеграла
  4. Вывод формулы объёма тела вращения
  5. Решение задач
  6. Итог урока
Ход урока

а) Найти неопределённый интеграл (Слайд 2, 3, см. Приложение 1)

б) Определение определённого интеграла (слайд 4) (Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называют предел интегральной суммы, когда длина максимального частичного отрезка разбиения стремится к нулю. а – нижний предел, b –верхний предел )

  • Если f(x)?0 на [a; b] то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x), y=0, x=a, x=b.
  • Если f(x)<0 на [a;b] то определённый интеграл равен взятой со знаком “минус” площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x), y=0, x=a, x=b.

г) С помощью какой формулы можно найти значение определённого интеграла?

2. Сегодня целью нашего урока будет посмотреть применение определённого интеграла в геометрии.

Давайте начнём с известной нам формулы площади круга. (слайд 6 -9) Рассмотрим окружность с центром в начале координат. Каким уравнением задаётся эта окружность? х 2 +у 2 =R 2

Тогда её часть расположенная выше оси абсцисс есть график функции , где .

Используя геометрический смысл определённого интеграла площадь круга радиуса R

Вычислим этот интеграл, пользуясь заменой переменной: .

При возрастании переменной ? что будет происходить с переменной х? возрастает от – R до R.

Как упростить подынтегральное выражение? Вынести R 2 за знак интеграла и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

Таким образом мы получили известную нам формулу для вычисления площади круга S=?R 2.

3. Объём тела вращения (слайд 10–11)

Необходимо вычислить объём тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х.

Разобьем отрезок [a;b] на части точками a<x0<x1<…..<xn<b. Рассмотрим цилиндр с высотой и радиуса основания yk = f(xk).

Как можно вычислить объём цилиндра?

Тогда объем нашего цилиндра будет равен

Тогда объём всего тела может быть записан при помощи приближённого равенства . Чтобы получить точное равенство надо взять предел

По определению определённого интеграла мы получили формулу для вычисления объёма тела вращения.

4. Решение задач

№ 1. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для вычисления объёма конуса. (слайд 12)

Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.

Уравнение прямой y=kx

k – угловой коэффициент прямой k=tg?=

тогда уравнение прямой примет вид

То есть объём конуса можно вычислить по формуле

№ 2. (самостоятельно) (слайд 13)

Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= sinx, 0?х. вокруг оси Ох.

№ 3 Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (слайд 14)

, х=0, у= вокруг оси Оу

Решение:

Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле

Применение определённого интеграла в физике

1. Работа. (слайд 16)

Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F=f(x), где f(x) есть непрерывная функция от х – координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от a до b равна

в силу непрерывности функции f(x) произведение близко к истинной работе на отрезке [xj; xj+1], а сумма таких произведений близка к истинной работе на отрезке [a; b], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из всех ?xj.

К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила F=2х-1, где х – координата движущейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точки от 0 до 3. (слайд 17)

2. Масса стержня переменной плотности (слайд 18)

Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью , где - непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка , где a=x0<x1<…<xn=b, ?xj=xj+1-xj

№ 5. Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность задаётся функцией (слайд 19)

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎