ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.
1 ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам сложения, умножения, связи сложения и умножения Поле, элементами которого являются векторы, называется векторным полем Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором, соответствующим этой точке Если векторное поле задано вектор-функцией Φ P ( + Q( k, то векторные линии можно d d dz найти, решив систему дифференциальных уравнений: P Q R Найти работу E силового поля F P( + Q( k по перемещению материальной точки вдоль спрямляемой незамкнутой кривой из точки A в точку B Вектор силы F, перемещающей материальную точку по кривой от точки A к точке B равен: F P( + Q( k ( P, Q, R) Разобьем кривую на непересекающиеся дуги AA, AA,, A A < Δl, Δl,, Δ l>; Выберем произвольно точки M на каждом элементе разбиения Δ ( ): M Δl ; F ( M ) сила в точке М дуги Δ l Элемент работы Δ E ( F( M ), Δr ) скалярное произведение силы в точке М на вектор Δr A A, Δr ( Δ, Δ, Δz ), 3 Просуммируем элементы работы Δ Е ; ΔE ( F( M), Δr) P( ξ, η, ζ) Δ + Q( ξ, η, ξ ) Δ + R( ξ, η, ζ ) Δz, получим интегральную сумму для интеграла по координатам; 4 Перейдем к пределу при, λma Δl ( ): Е lm ΔE lm ( F( M), Δr ) lm P( ξ, η, ζ) Δ + Q( ξ, η, ζ) Δ + R( ξ, η, ζ) Δz λ λ λ Pd+ Qd+ Rdz ( F, dr), где dr ( d d d Е работа силы F по перемещению материальной точки из А в В по кривой АВ, а интеграл называется криволинейным по координатам (второго рода) l
2 Теорема существования интеграла по координатам Пусть кривая задана параметрически функциями ( t), ( t), z z( t), имеющими непрерывные производные первого порядка при α t β Тогда для всякой вектор-функции Φ P ( + Q( k, имеющей непрерывные проекции P, Q, R вдоль этой кривой, существует криволинейный интеграл по координатам: Pd + Qd + Rdz ( Φ, dr), где dr ( d d d Вычисление и свойства криволинейных интегралов по координатам (второго рода) Правило вычисления интеграла по координатам Свойство (зависимость от ориентации на кривой) Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определённому интегралу: ) в подынтегральном выражении вместо переменных z и дифференциалов d d dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; ) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В При изменении направления интегрирования на противоположное криволинейный интеграл по координатам меняет знак: ( Φ, dr) ( Φ, dr) BA Свойства определённого интеграла линейности, аддитивности и остальные (с учётом теоремы существования для криволинейных интегралов по координатам) также имеют место для криволинейных интегралов второго рода Пример Вычислить d + d + z dz, где один виток винтовой линии cos t, s t, z t от точки A (,, ) до точки B (,, 4π ) Пример Вычислить ( + ) d + d, где точки A (,) до точки B(, 8) дуга кубической параболы 3 от Определение циркуляции векторного поля Φ Если криволинейный интеграл (, ) берётся по замкнутому контуру (точки A и B совпадают), то он называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру и обозначается C (, dr) Φ
3 Пример Вычислить циркуляцию поля Φ + j + zk вдоль окружности, образованной пересечением цилиндра + и плоскости z, если контур обходится в положительном направлении Формула Грина (английский математик и физик (793-84)) (связь двойных и криволинейных интегралов) Теорема (формула Грина) Пусть на плоскости XoY в каждой точке правильной области определены функции P ( и Q(, непрерывные вместе со Q своими частными производными и Тогда имеет место Q формула Грина C P( d + Q( d ( ) dd, где криволинейный интеграл берётся в положительном направлении по замкнутому контуру, ограничивающему область Следствие а) P(, Q ( Площадь области равна S dd d ; б) P(, Q( Площадь области равна S dd d ; в) P(, Q( Площадь области равна S dd d d Пример Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом: a cos t, bs t Независимость интеграла по координатам от пути интегрирования Определение Пусть A и B две произвольные точки области G Если криволинейный интеграл ( Φ, dr ) по любой кривой, лежащей в области G и соединяющей точки A и B, принимает одно и то же значение, то говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования Теорема (критерий независимости интеграла от пути интегрирования) Теорема (основная) Криволинейный интеграл (, dr ) Φ не зависит от пути интегрирования в некоторой области G, тогда и только тогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю Криволинейный интеграл Pd + Qd не зависит от пути интегрирования в односвязной области G плоскости XoY, тогда и только тогда, когда в каждой точке этой области непрерывны функции P (, Q( вместе со своими частными производными P Q Q, и выполняется равенство: 3
4 (;3) Пример Вычислить ( ; ) d + d Интегрирование полных дифференциалов Теорема 3 (критерий полного дифференциала) Дифференциальное выражение Pd + Qd в односвязной области G является полным дифференциалом некоторой функции u( тогда и только тогда, когда в области G непрерывны функции P(, P Q Q( вместе со своими частными производными, и Q выполняется равенство: Теорема 4 (следствие основной) Криволинейный интеграл Pd + Qd не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда его подынтегральное выражение является полным дифференциалом: Pd + Qd du Формулы интегрирования полного дифференциала (по ломаной, звенья которой параллельны осям декартовой системы координат) u u ( Pd + Qd P( ) d + Q( d + c (, ( ) или cost Pd + Qd P( d + Q(, d + (, ) cost c Пример Найти первообразную функцию u(, если du ( 3 + d + ( 3 + d Криволинейный интеграл по длине дуги (первого рода) Задача о вычислении массы кривой Найти массу m спрямляемой кривой длины l, если линейную плотность вдоль этой кривой задаёт функция μ f ( 4
5 Определение интеграла -го рода Разобьём кривую на непересекающихся элементарных дуг, найдём элемент массы -го элемента разбиения Δ m f ( M ) Δl, M Δl. Предел интегральной суммы lm ma Δl f ( M ) Δl f ( m, если он существует, не зависит от способа разбиения кривой на элементарные дуги и выбора точек M на каждой из них, называется криволинейным интегралом по длине дуги (первого рода) и равен массе m спрямляемой кривой длины l, если линейную плотность вдоль этой кривой задаёт функция μ f ( Свойство Криволинейный интеграл -го рода не зависит от ориентации на кривой: f ( f ( BA Свойство f ( M ), M l, где l длина кривой Правило вычисления интеграла -го рода Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), нужно привести его к определённому интегралу: ) в подынтегральную функцию вместо переменных z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; ) заменить элемент дуги корнем квадратным из суммы квадратов производных z по t, умноженным на dt: / / / ( ) + ( ) + ( z ) dt ; t t t 3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t π Пример Найти массу четверти окружности a cost, a s t, z, t, если плотность в каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки Замечание Если плоская кривая задана явно уравнением (), то, считая параметром, получим: B f ( f ( ( )) + A ( / ) d 5
6 Теорема существования интеграла по длине дуги Для всякой функции f (, непрерывной на кривой, имеющей длину l и заданной параметрически функциями ( t), ( t), z z( t) с непрерывными производными первого порядка, существует криволинейный интеграл по длине дуги (-го рода): f ( Связь криволинейных интегралов -го и -го рода Пусть cos α, cos β, cosγ направляющие косинусы касательной к кривой в точке M Тогда d cos α, d cos β, dz cosγ + Поэтому Pd + Qd + Rdz ( P cosα + Q cos β R cosγ ) Приложения криволинейных интегралов первого рода Пусть спрямляемая кривая с линейной плотностью μ( Тогда: Физический смысл Формула Масса m кривой m μ ( Длина l кривой 3 Площадь S цилиндрической поверхности 4 Статические моменты кривой относительно координатных плоскостей Оху, Оуz, Oхz 5 Координаты центра тяжести кривой 6 Моменты инерции кривой относительно координатных плоскостей O, Oz O l S f (, где z f ( аппликата, направляющая цилиндрической поверхности в плоскости O а образующая параллельна оси Oz M ( μ ; M z μ( ; M zμ( M ; m I ( M M z z m m I μ( ; μ ; z ; I z μ( 7 Моменты инерции кривой относительно осей координат O O Oz 8 Момент инерции кривой относительно начала координат I I + I I I + I ; z ; I z I z + I z I I + I z + I ( + + z ) 6
Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max lПрактическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла