Исследование процесса цифровой обработки сигнала при работе с алгоритмом быстрого преобразования Фурье
Матвеев, Д. В. Исследование процесса цифровой обработки сигнала при работе с алгоритмом быстрого преобразования Фурье / Д. В. Матвеев, А. И. Смирнов, К. Ф. Латыпов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 3 (107). — С. 141-145. — URL: https://moluch.ru/archive/107/25850/ (дата обращения: 14.06.2022).
Проведена оценка преобразования Фурье на примере цифровой обработки сигналов, построены графики и смеси сигнала с шумом, исследован спектр сигнала.
Ключевые слова: дискретное Преобразование Фурье, спектр сигнала, белый шум, импульс.
Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем , требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющий сложность . [1]
Рис. 1 Схема БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени
Основой алгоритма, как видно по рис. 1, является «ДПФ N=2», именуемое операцией «Бабочка» [2], формула которой имеет следующий вид:
Операция проста в реализации, но именно она определяет скорость работы алгоритма БПФ.
Алгоритм БПФ имеется во всех современных программных средах для решения технических задач. Например, в пакете прикладных программ MATLAB имеется готовая функция FFT. Её мы и будем использовать в данной работе.
Для того, чтобы оценить влияние широкополосного шума на спектр сигнала, используем следующий код в MATLAB:
clear all% Очистка памяти
Tm=5;% Длина сигнала (с)
Fd=512;% Частота дискретизации (Гц)
A1=1;% Амплитуда первой синусоиды
F1=13;% Частота первой синусоиды (Гц)
An=3*A1;% Дисперсия шума (Попугаев)
FftL=1024;% Количество линий Фурье спектра
T=0:1/Fd:Tm;% Массив отсчетов времени
FftS=2*FftS./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде
FftS(1)=FftS(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей
FftSh=abs(fft(Signal+Noise,FftL));%FFT для смеси сигнал+шум
FftSh=2*FftSh./FftL;% Нормировка спектра по амплитуде
FftSh(1)=FftSh(1)/2;% Нормировка постоянной составляющей
subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения
plot(T,Signal);% Построение сигнала
title('Сигнал');% Подпись графика
xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика
subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения
plot(T,Signal+Noise);% Построение смеси сигнал+шум
title('Сигнал+шум');% Подпись графика
xlabel('Время (с)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика
F=0:Fd/FftL:Fd/2-1/FftL;% Массив частот
figure% Создаем новое окно
subplot(2,1,1);% Выбор области окна для построения
plot(F,FftS(1:length(F)));% Построение спектра Фурье сигнала
title('Спектр сигнала');% Подпись графика
xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика
subplot(2,1,2);% Выбор области окна для построения
plot(F,FftSh(1:length(F)));% Спектр сигнала+шума
title('Спектр сигнала');% Подпись графика
xlabel('Частота (Гц)');% Подпись оси х графика
ylabel('Амплитуда');% Подпись оси у графика
В результате получаем следующие графики:
Рис. 2. График сигнала (наверху) и смеси сигнала и шума (внизу)
Рис. 3. Спектр сигнала (наверху) и спектр смеси сигнала и шума (внизу)
Из полученных графиков видно, что несмотря на то, что полезного сигнала не видно на фоне шума, спектральная характеристика позволяет определить его частоту и амплитуду. Таким образом, преобразование Фурье устойчиво к белому шуму и позволяет выделить полезный сигнал на фоне весьма значительной помехи.
Рис. 4. Сигнал с неполным числом периодов (наверху) и полным (внизу)
Рис. 5. Спектры сигналов с рис. 4
Мы наблюдаем заметное расширение для 1-го сигнала (с неполным числом периодов). Причина этого в том, что мы задаем сигнал, ограниченный во времени, а для преобразования Фурье этот сигнал «продолжается» и считается непрерывным. Проиллюстрировать это следует так, как показано на рис. 6
Скачок, выделенный на рисунке 6 и дает расширение спектра. Следует отметить, что этот скачок не приводит к появлению высокочастотной составляющей спектра, а напоминает по форме спектр импульса.
Таким образом можно сделать вывод о том, что при одинаковой частоте, но разном количестве временных отсчетов, мы получим аналогичное искажение спектра сигнала.