Интерполяция функций в пакете MatLab. Полином Лагранжа
Роль интерполяции функций в вычислительной математике. Реализация интерполирования функций полиномом Лагранжа в программном продукте MatLab. Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяция по соседним элементам, кубическими сплайнами. Анализ результатов.
Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика Вид курсовая работа Язык русский Дата добавления 10.06.2012 Размер файла 1,4 M Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную нижеСтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Факультет Информатики и вычислительной техники
Кафедра математического и аппаратного обеспечения информационных систем
Курсовая работа
по дисциплине "Вычислительная математика"
"Интерполяция функций в пакете MatLab.
Полином Лагранжа "
Выполнил: студент группы
ИВТ-11-10 Фёдоров В.С.
Содержание
Введение
Аннотация:
1. Теоретическая часть
Интерполяция - нахождение многочлена не выше n-ой степени:
который в точках принимает те же значения, что и данная функция, т.е. выполняются равенства:
() = f () = , i = 0, 1, 2, …,n. (2)
Другими словами, интерполяция - нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f (x).
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки - узлами интерполяции
Интерполяционная формула Лагранжа
интерполяция полином лагранж математика
Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему n+1 уравнений первой степени с n+1 коэффициентами :
Решая систему, находим коэффициенты и, подставляя их в (1) получаем искомый интерполяционный многочлен. Однако на практике этот способ связан с громоздкими вычислениями при решении системы.
Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде:
Полагая в (4) x = и учитывая условия (2) получим:
Полагая в (4) x = получим:
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый многочлен
Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Пример. Найти многочлен второй степени, приближенно выражающий функцию f (x).
Решение. По формуле (5) находим
= x +
Блок - схема алгоритма.
2. Практическая часть
Листинг:
function f=LagrangeP (x,y,r)
% (x,y) массивы координат точек
m=length (r);
nx=length (x);
ny=length (y);
if (nx
error (' (x,y) do not have the same # values')
for k=1: m
sum = 0;
for i=1: nx
delt (i) =1;
for j=1: nx
delt (i) = delt (i) * (x (k) - xt (j)) / (xt (i) - xt (j));
sum = sum + ft (i) * delt (i);
f (k) =sum;
plot (x,y,'o',r)
Руководство программиста:
Используемые функции:
length (x) - встроенная функция, вычисляет количество элементов в одномерном массиве.
interp1 (x, y, xi, `text') - приближение функции одной переменной сплайнами, где x,y - это табличные данные исходной функции, xi - значения аргумента сетки, а `text' = nearest - интерполяция по соседним элементам, linear - линейная итерполяция, Spline - интерполяция кубическими сплайнам.
Руководство пользователя:
Назначение программы: Построение полинома Лагранжа c помощью интерполяционной формулы Лагранжа.
Выполнение программы: В окошке Command Window введем табличные данные исходной функции x и y, а также X абсцисс точек, в которых вычисляются значения интерполяционного полинома. После этого введем Y=LagrangeP (x,y,X) для построения полинома Лагранжа. Выводится графики исходной функции и интерполянты.
Распечатка серии тестов
Находим точки дискретизации, где шаг равен 0.5:
Интервал вычисления интерполянты: от 2 до 7 с шагом 0.1
Используем встроенную функцию: - интерполяция по соседним элементам.
Строим точки дискретизации и график интерполянты:
- линейная итерполяция.
Строим точки дискретизации и график интерполянты:
- интерполяция кубическими сплайнам.
Строим точки дискретизации и график интерполянты:
Воспользуемся написанной функцией:
- интерполяция формулами Лагранжа.
Строим точки дискретизации и график интерполянты:
Анализ полученных результатов
Листинг:
yi=sin (2*X). *sin (X);
abs (p);
max (p)
Интерполяция по соседним элементам
>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1972.
Линейная интерполяция
>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1228
Интерполяция кубическими сплайнами
>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0446
Интерполяция Лагранжа
>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0963
Из вычислений видно, что интерполяция по соседним элементам является самым неточным, а интерполяция кубическими сплайнами и интерполяция формулами Лагранжа намного точнее.
Список использованной литературы
1. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие / E. A. Волков. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
2. Турчак, Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л.И. Турчак; под ред.В. В. Щенникова. - М.: Наука, 1987. - 320 с.
3. Поршнев, С.В. Вычислительная математика. Курс лекций: учеб. пособие / С.В. Поршнев. - 2-е изд., доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 320 с.
4. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - 6-е изд., стереотип. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 672 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документыНазначение и возможности пакета MATLAB, его основные составляющие. Набор вычислительных функций. Роль интерполяции функций в вычислительной математике. Пример интерполяции с четырьмя узлами. Интерполирование и сглаживание, схемы решения задач в MATLAB.
курсовая работа [594,5 K], добавлен 28.12.2012
Постановка задачи в численной интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Практическая реализация методов в среде MathCad. Операции с действительными и комплексными числами. Векторные и матричные операции.
курсовая работа [823,2 K], добавлен 13.10.2015
Назначение и возможности пакета MATLAB. Цель интерполирования. Компьютерная реализация решения инженерной задачи по интерполяции табличной функции различными методами: кусочно-линейной интерполяцией и кубическим сплайном, а также построение их графиков.
контрольная работа [388,3 K], добавлен 25.10.2012
Интерполирование функций методом Лагранжа. Получение функциональной зависимости по экспериментальным данным. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции. Интерполяционный полином в форме Лагранжа. Построение интерполяционных графиков.
лабораторная работа [315,8 K], добавлен 24.05.2014
Интерполирование рабочих точек в пакете Mathcad с помощью полиномов (канонического, Лагранжа и Ньютона) и сплайнов (линейного, квадратичного, кубического). Реализация программы для решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Pascal.
лабораторная работа [202,8 K], добавлен 15.11.2012
Сущность теории приближений и характеристика интерполяции как процесса получения последовательности интерполирующих функций. Полиномы Эрмита и интерполирование с кратными узлами. Программная разработка приложения по оценке погрешности интерполирования.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 05.06.2014
Интерполяция методом наименьших квадратов. Построение функции с применением интерполяционного многочленов Лагранжа и Ньютона, кубических сплайнов. Моделирование преобразователя давления в частоту в пакете LabVIEW. Алгоритм стандартного ПИД-регулятора.