"Софизмы в математике" Педагогическая мастерская
Автор: Сапрыкина Маргарита ЮрьевнаДолжность: учитель математики Учебное заведение: ГБОУ гимназия 177 Населённый пункт: Санкт-Петербург Наименование материала: статья Тема: "Софизмы в математике" Педагогическая мастерская Раздел: среднее образование
«Софизмы в математике»
Педагогическая мастерская
Сапрыкина М.Ю.
Педагогическая мастерская
как разновидность проблемного метода обучения
Интересное исследование было проведено среди студентов гуманитарных
факультетов, причем большинство исследуемых окончили школу с хорошими оценками по
математике. Исследование показало:
функции, иррационального числа, логарифмов, через 2-3 года после окончания
школы исчезают из памяти выпускников полностью
Неосознанные навыки быстро утрачиваются (навыки в выполнении тождественных
преобразований тригонометрических выражений, в решении квадратных уравнений
и т.п.). Лишь те навыки, которые были доведены до автоматизма или сохранили
членов, умножение многочлена на одночлен)
Многие выпускники не обнаружили умения проводить самостоятельно простейшие
«Именно потому, что большинство учеников не будут использовать математику в своей
профессии, именно потому, что, быть может, от учителя они слышат последние в своей
жизни математические фразы, именно потому важно, чтобы они имели преставление о
ответственность» Это цитата из книги В.И. Рыжика «30000 уроков математики»
различные нормы, критерии, уровни, стандарты. «Высокий статус умения провоцирует
школьную математику на обилие упражнений. Все правильно, ученик должен что-то
уметь. И одна из бед нашей профессии в том, что «доведение до умения» поглощает
практически все время, а на всякие «красивости» и «высокие материи» его почти не
подготовкой к контрольной, к ЕГЭ, к вступительным экзаменам – от этого зависит его
профессиональная репутация. Однако каждый из нас отдает себе отчет, что дальнейшая
учеба выпускника школы, его карьера, профессиональный рост зависят не от количества
накопленных знаний, а от его интеллектуальных способностей, умения самостоятельно
работать, творческого отношения к знаниям. И именно на уроках математики ребёнок
получает ничем не заменимую возможность для естественной и регулярной деятельности
Отсюда, вполне очевидная и очень трудновыполнимая задача учителя: на каждом уроке
организовать такую деятельность учеников, в которой они вынуждены творить, быть
может, не замечая этого.
Обычно, говоря о воспитании творческих способностей, имеют в виду проблемное
разновидностью проблемного метода обучения. Это такая форма обучения, которая дает
является главным методологическим средством достижения цели образования: открытия
закона, формулирования правил, создания текста, накопления фактических знаний. В
урочной системе, как правило, проблемы определяются учителем. На обычном уроке
ученик приводится учителем к новому понятию логично, постепенно, многоступенчато и
доказательно, а в системе мастерских учитель исподволь так организует работу учащихся,
что они, сталкиваясь с проблемой, вынуждены сами искать пути её решения. В мастерской
самостоятельный вывод, обобщение, закономерность или новый образ появляются чаще
всего как прозрение. Происходит восхождение от старого знания к новому. Озарение –
психологическое состояние участника мастерской, при котором ему внезапно открывается
новое видение предмета, закона, явления, образа, отношения. «Озарение» - необходимый и
руководителем мастерской. Технология создания условий для него состоит в подборе
Переживание парадокса приводит мысль и эмоции исследователя сначала к состоянию
тупика. Затем к поиску выхода из тупика и, наконец, к озарению или мыслительному
восхождению. Значительный элемент неопределенности, неясности, даже загадочности в
заданиях рождает с одной стороны интерес, а с другой – психологический дискомфорт,
желание выйти из которого стимулирует творческий процесс. Но при этом задание должно
быть приближено к потребностям учащихся, опираться на их имеющийся опыт, т.е.
проблемы или противоречия называется фазой индукции.
После постановки какой-либо задачи, столкновения с противоречием начинается анализ
материала, индивидуальная или групповая работа с ним, поиск ответов на появившиеся
вопросы. Очень важным качеством мастерской является сотрудничество её участников и
их совместное творчество, самым ценным качеством мастерской является диалог всех её
чередование индивидуальной, групповой деятельности и работы в парах. Диалог – это
двусторонний педагогический процесс, вовлекающий всех его участников в совместный
поиск, это главный принцип взаимодействия, сотрудничества. Не спор, даже не дискуссия,
а диалог участников мастерской, отдельных групп. Диалог с самим собой – необходимое
условие личностного освоения, осознания новых знаний. Диалог создает в мастерской
рождается коммуникативная культура. Этот этап в работе мастерской носит название
моменты. Задача руководителя мастерской - создание такой атмосферы в процессе работы,
способным, равноправным и понимал, что каждый внес свой посильный вклад в общее
Деятельность каждого участника мастерской имитирует метод «проб и ошибок», но
реализуется по строгим правилам мастерской. Вот как их формулирует Мухина И.А.:
Равенство всех участников, включая педагога
Ненасильственное вовлечение в процесс деятельности
Отсутствие соперничества, соревнования
Чередование индивидуальной и групповой работы
Важность не столько результата творчества, Сколько самого процесса
Разнообразие используемого материала
Ответственность каждого за свой выбор
Соблюдение этих правил гарантирует нравственную работу каждого участника
мастерской и создает условия необходимые для творчества.
В психологии различают два типа рефлексивных процессов: авторефлексию, то есть
осознание собственных мыслей, чувств, поступков, и рефлексию как отражение того, о
чем думает другой человек. В педагогической мастерской постоянно действуют оба типа
рефлексии. Однако рефлексивная деятельность обоих типов протекает для каждого
участника мастерской своеобразно (не синхронно, индивидуально) В ходе мастерской
происходит постоянное чередование спонтанной деятельности и её последующего
осознания. Это сближает данный процесс с процессом настоящего научного и
художественного открытия. Рефлексия является универсальным психологическим
механизмом изменения и развития сознания человека. На этапе рефлексии участники
рассказывают о своих чувствах и впечатлениях, делятся положительными и
отрицательными эмоциями. Одно из замечательных качеств мастерской – то ощущение
свободы, творчества и полноценной жизни, которое переживают и запоминают её
участники. У детей повышается мотивация, интерес к предмету, развивается креативное
мышление. Подробнее о педагогических мастерских можно прочитать в работах Окунева
формулировать цели урока, находить наиболее эффективные пути для их достижения,
Мастерская схожа с проектным обучением, потому что есть проблема, которую надо
решить. Педагог создаёт условия, помогает осознать суть проблемы, над которой надо
работать. Учащиеся формулируют эту проблему и предлагают варианты её решения. В
качестве проблем могут выступать различные типы практических заданий.
Педагогическая мастерская «Софизмы в математике», проведенная мной для учителей
района легла в основу Круглого стола, а затем этот опыт был обобщен в сборнике НМЦ
Аннотация к педагогической мастерской «Софизмы в математике
В начале 13 века в городе Пиза жил большой знаток всевозможных соотношений между
числами и весьма искусный вычислитель Фибоначчи. Фибоначчи составил такой ряд из
натуральных чисел, который впоследствии оказался полезным в науке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
Закон образования членов этого ряда очень прост: первые два члена – единицы, а каждый
ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Любая пара соседних чисел
ряда Фибоначчи удовлетворяет одному из уравнений:
Ряд Фибоначчи известен не только математикам, но и природоведам. Если листья на
ветке сидят одиноко, то они всегда располагаются кругом стебля, но не по окружности, а
по винтовой линии. При этом для каждого растения характерен свой угол расхождения
расположении веток, почек, чешек, цветов. Так, у липы и вяза угол расхождения листьев
окружности; у бука -
, у тополя и груши -
Ряд числителей и ряд знаменателей здесь - числа Фибоначчи.
Совершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько
частей, затем, прикладывая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на
другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от
первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней. Это очевидное утверждение
считается в геометрии одним из тех первичных положений, на которых строится вся
теория измерения площадей.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Наука, 1965
Рыжик В.И. 3000 уроков математики. М.: Просвещение, 2003
План проведения мастерской.
1.Участники мастерской получают квадрат со стороной 8см., разрезанный на два равных
треугольника и на две равных трапеции. Учитель предлагает составить простейшие
геометрические фигуры, используя все четыре части квадрата и найти площадь
2.Учитель обращает внимание учащихся на разные значения площадей полученных фигур.
3.Учитель предлагает учащимся объяснить появление лишней единицы в значении
4.Рассматриваются различные способы доказательства того, что линии EHP и EFP-
5.Учитель задает вопрос о разрешимости этой задачи. Можно ли разделить квадрат на
части так, чтобы его площадь совпала с площадью прямоугольника?
Только при таком иррациональном отношении частей x
и y стороны квадрата на два
квадрата в прямоугольник. При рациональных значениях x и y разность между площадями
не может равняться нулю. При целых значениях x и y наименьшая возможная разность
между площадями 1. Эта наименьшая разность достигается, если в качестве значений x и
y брать пару рядом стоящих чисел Фибоначчи (в данном случае x=5, y=3), так как именно
они удовлетворяют одному из уравнений
Данная мастерская может быть применена при изучении различных тем школьного курса
РЯД ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
1. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ
Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные
результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее
измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое
сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она
его получает путем последовательных итераций и для порождения золотого сечения