И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем свойства и графики показательной и логарифмической функции. Равенство = можно записать и по-другому: log =. Читается так: «логарифм по основанию два восьми равен трём». Определение логарифма Везде далее мы полагаем по умолчанию, что числа a и b положительны и, кроме того, a. Причины таких ограничений станут ясны впоследствии. Дадим определение логарифма. Запись log a b = c (читается: «логарифм по основанию a числа b равен c») означает: чтобы получить число b, нужно число a возвести в степень с. Таким образом, log a b = c a c = b. Иными словами, log a b это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Примеры вычисления логарифмов: log =, log =, log =, log 9 =, log 5 =, log 5 7 = 0. Логарифм по основанию 0 называется десятичным логарифмом. Вместо записи log 0 a используется обозначение lg a. Примеры вычисления десятичного логарифма: lg 00 =, lg 000 =, lg 0 =, lg 0, =, lg 0,0 =. С «хорошими» степенями всё понятно. А можно ли возвести в такую степень, чтобы получить 5? Оказывается, да. Число log 5 существует, его можно вычислить на калькуляторе: log 5 =,9. Как видите, log 5 расположен между двойкой и тройкой (ближе к двойке), что достаточно очевидно: ведь =, = (а 5 ближе к, чем к ). Вообще, каковы бы ни были числа a и b (такие, что a > 0, a и b > 0), найдётся единственное число c такое, что a c = b; иными словами, значение логарифма log a b существует и единственно. Этот факт вы можете принять как данность его доказательство выходит за рамки школьной программы. Таким образом, мы можем оперировать с логарифмами от любого положительного числа по любому положительному основанию (не равному единице). Например, log 7, log 9, lg все эти числа существуют и могут использоваться при различных вычислениях. Основное логарифмическое тождество Пусть a c = b, то есть c = log a b. Подставим это выражение для c в первое равенство: a log a b = b. () Мы получили так называемое основное логарифмическое тождество. Важно понимать, однако, что формула () есть просто определение логарифма; она говорит о том, что log a b это степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

2 Таким образом, имеем, например: Пример. Вычислить 9 log 7. log =, 7 log 7 5 = 5, 0 lg 5 = 5. Решение. Нам понадобится правило: при возведении степени в степень показатели перемножаются, то есть (a m ) n = a mn. Применяя это правило, получим: Пример. Доказать, что log 5 = 5 log. Решение. Имеем: 9 log 7 = ( ) log 7 = log 7 = ( log 7) = 7 = 9. log 5 = ( log ) log 5 = log log 5 = ( log 5) log = 5 log. Точно так же можно показать, что, вообще, имеет место тождество: В самом деле: a log b c = c log b a. a log b c = ( b log b a) log b c = b log b a log b c = ( b log b c) log b a = c log b a. Логарифмические формулы Сейчас мы выведем некоторые формулы, которые применяются для преобразования выражений с логарифмами. Все эти формулы нужно твёрдо знать. 0. log a a x = x. Здесь доказывать нечего это просто переформулировка определения логарифма. Действительно, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить a x? Ясно, что в степень x.. log a b + log a c = log a (bc). Доказательство. Пусть log a b = x; тогда b = a x. Пусть log a c = y; тогда c = a y. Имеем: log a (bc) = log a (a x a y ) = log a a x+y = x + y = log a b + log a c.. log a b log a c = log a b c. Доказательство. Снова пусть log a b = x (то есть b = a x ) и log a c = y (то есть c = a y ). Имеем: b log a c = log a x a a = log y a a x y = x y = log a b log a c.. log a b m = m log a b (здесь m любое число). Доказательство. Пусть log a b = x (то есть b = a x ). Тогда log a b m = log a (a x ) m = log a a mx = mx = m log a b.

3 . log a n b = n log a b (здесь n любое число, не равное нулю). Доказательство. Пусть log a b = x. Тогда b = a x. Имеем: 5. log a n b m = m n log a b. log a n b = log a n a x = log a n a nx n = loga n (a n ) x n = x n = n log a b. Доказательство. Это комбинация формул и. 6. log a n b n = log a b. Доказательство. Это частный случай формулы 5 при m = n. Данная формула позволяет заключить, например, что log 9 = log или log 5 = log log a b = log c b log c a (формула перехода к новому основанию; c > 0, c ). Доказательство. Пусть log a b = x. Тогда b = a x. Имеем:. log a b = log b a (b ). log c b log c a = log c a x log c a = x log c a log c a = x = log a b. Доказательство. Это частный случай формулы 7 при c = b (поскольку log b b = ). Вычисления с логарифмами Приведём несколько примеров вычислений с логарифмическими формулами. Пример. Вычислить: log log 5. Решение. Преобразуя сумму логарифмов в логарифм произведения, получаем: log log 5 = log 5 Пример. Вычислить: log log 7. ( 50 ) = log 5 5 =. Решение. Сначала отправим множитель в показатель степени двойки, а потом преобразуем разность логарифмов в логарифм частного: log log 7 = log log 7 = log log 7 = log 7 = log 9 =. Пример 5. Вычислить: log 9 6 ( 7 6 ). Решение. Переходим к основанию : log 9 6 ( 7 6 ) = log ( 7 6 ) ( log 9 6 ) = log 7 + log log 9 + log 6 6 = = 9.

4 Показательная функция Показательная функция это функция вида y = a x, где a > 0 и a (как видим, ограничения на a ровно те же самые, что и выше, когда a было в основании логарифма). Рассмотрим функцию y = x. Выпишем некоторые значения этой функции, а потом построим её график. x 0 y = x Отметим эти точки на координатной плоскости (синими кружками) и соединим их плавной кривой (рис. ). Тот факт, что график функции y = x является гладкой кривой, мы пока принимаем как данность (он доказывается в вузовском курсе математического анализа). y = x 5 x 0 Рис.. График функции y = x Зелёным кружком на графике отмечена точка, имеющая ординату 5. Её абсцисса x 0 это логарифм, о котором мы сказали несколько слов в начале статьи: x 0 = log 5,. Отметим важные свойства функции y = x. Функция определена на всей числовой прямой. Иными словами, область определения функции есть множество ( ; + ). Функция является монотонно возрастающей.

5 При x значения функции стремятся к нулю, никогда нуля не достигая. Это проявляется в том, что график функции неограниченно приближается к оси (иначе говоря, ось служит горизонтальной асимптотой графика). Функция может принимать любые положительные значения. Значения функции не могут равняться нулю или отрицательному числу. Иными словами, область значений функции есть множество (0; + ). ( ) x Теперь рассмотрим функцию y =. Таблица некоторых её значений: x ( ) x y = 0 Строим график функции y = ( ) x (рис. ). y = ( ) x Рис.. График функции y = Отметим следующие свойства функции y = ( ) x. ( ) x Область определения функции есть множество ( ; + ). 5

6 Область значений функции есть множество (0; + ). Функция является монотонно убывающей. Ось служит горизонтальной асимптотой графика при x +. Оказывается, рассмотренные выше функции y = x и y = ( ) x дают исчерпывающее представление о свойствах показательной функции. Так, график функции y = a x может выглядеть в точности двумя способами (рис. ). y = a x, a > y = a x, 0 < a < Рис.. График функции y = a x Сформулируем свойства показательной функции, которые наиболее важны для нас. Эти свойства будут использоваться при решении показательных уравнений и неравенств. Область определения функции y = a x есть множество ( ; + ). Таким образом, положительное число a можно возводить в любую степень. Область значений функции y = a x есть множество (0; + ). Таким образом, показательная функция не может обращаться в нуль или принимать отрицательные значения. Функция y = a x монотонно возрастает при a > и монотонно убывает при 0 < a <. Ось служит горизонтальной асимптотой графика функции. Именно, если a >, то a x 0 при x ; если же если 0 < a <, то a x 0 при x +. Теперь настало время объяснить, откуда взялись ограничения a > или 0 < a <. Дело в том, что при таких и только при таких a функция y = a x обладает перечисленными выше свойствами и может быть классифицирована как показательная функция. Все остальные a являются «плохими» они приводят к резкому изменению свойств функции и её выпадению из рассматриваемого класса. Так, если a =, то мы получаем функцию y = x, которая является константой она равна при всех x. Если a = 0, то мы получаем функцию y = 0 x. Эта функция есть константа 0 при x > 0 и не определена при x 0. Если a < 0, то возникают проблемы с возведением в нецелую степень. В самом деле, вспомним, что ( ) = не определено. Но с другой стороны, можно записать: ( ) = ( ) = ( ) =. Данная неоднозначность говорит о том, что нельзя корректно определить возведение отрицательного числа в дробную степень. Поэтому функция y = a x при a < 0 определена только при целых x и потому не интересна для изучения. 6

7 Логарифмическая функция Логарифмическая функция это функция вида y = log a x при a > или 0 < a <. Давайте объясним происхождение этих ограничений на величину a. Допустим, a =. Тогда, например, число log не существует (поскольку ни в какой степени не равно ). Точно так же не существует log b для любого b. А вот log может равняться чему угодно (ведь в любой степени равно ). По этим причинам объект log x не представляет никакого интереса. Похожая ситуация возникает и в случае a = 0. При a < 0 снова вмешивается отмеченная выше некорректность операции возведения отрицательного числа в дробную степень. Так, например, число log не существует. Поэтому логарифмы по отрицательным основаниям также не интересны. Вот почему мы ограничиваемся случаями a > или 0 < a <. При таких a возникает «хорошая» логарифмическая функция с интересными и полезными свойствами. Рассмотрим функцию y = log x. Составим таблицу некоторых значений этой функции. x y = log x 0 Отмечаем данные точки на координатной плоскости и соединяем плавной кривой (рис. ). y = log x Рис.. График функции y = log x 7

8 Мы видим, что функция y = log x обладает следующими свойствами. Область определения функции есть множество (0; + ). Область значений функции есть множество ( ; + ). Функция является монотонно возрастающей. Ось служит вертикальной асимптотой графика. Теперь рассмотрим функцию y = log x. Таблица значений: x y = log x 0 График функции y = log x изображён на рис. 5. y = log x Рис. 5. График функции y = log x Функция y = log x, как видим, обладает следующими важными свойствами. Область определения функции есть множество (0; + ). Область значений функции есть множество ( ; + ). Функция является монотонно убывающей. Ось служит вертикальной асимптотой графика.

9 Оказывается, расмотренные функции y = log x и y = log x дают исчерпывающее представление о свойствах логарифимической функции. Вот как выглядит график функции y = log a x при a > (рис. 6). y = log a x, a > Рис. 6. График функции y = log a x при a > А вот как выглядит график функции y = log a x при 0 < a < (рис. 7). y = log a x, 0 < a < Рис. 7. График функции y = log a x при 0 < a < Сформулируем важные для нас свойства логарифмической функции. Они будут постоянно использоваться при решении логарифмических уравнений и неравенств. Область определения функции y = log a x есть множество (0; + ). Таким образом, логарифм можно вычислить только от положительного числа. Область значений функции y = log a x есть множество ( ; + ). Таким образом, логарифм может принимать какие угодно значения. Функция y = log a x монотонно возрастает при a > и монотонно убывает при 0 < a <. Ось служит вертикальной асимптотой графика функции. 9

10 Монотонность логарифмической функции используется, в частности, для доказательства некоторых неравенств. Пример 6. Что больше: log или log 5? Решение. Оба этих числа находятся между единицей и двойкой. Давайте сравним каждое из них с числом /. С одной стороны, имеем: log 5 = log 5 < log 7 = log =. С другой стороны: log = log 9 > log = log =. Обратите внимение, что в этих оценках мы использовали монотонное возрастание функций y = log x и y = log x (большему значению аргумента отвечает большее значение логарифма). Итак, log 5 < /, log >. Следовательно, log 5 < log. 0

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎