Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

1 СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности начинается с определения ее типа Запись будет подразумевать, что или 1 Неопределенные отношения Теорема 11 (правило Лопиталя) Пусть функции и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки, причем в этой проколотой окрестности Пусть, далее, выполняется одно из следующих двух условий: Тогда (1) и ( ), или (2) и ( ) при условии, что предел в правой части существует или равен Доказательству этой теоремы предпошлем поясняющий пример Пример 12 Вычислить предел Решение: Перед нами неопределенность типа Применяем правило Лопиталя: Доказательство правила Лопиталя: Докажем теорему в частном случае Более конкретно, будем предполагать, что выполнено условие (1), те имеется неопределенность Будем предполагать, далее, что еще выполняются следующие три дополнительные условия:

2 2 (3) функции и определены в самой точке, причем, (4) производные и определены и непрерывны в точке, и (5) (Такой случай встречается довольно часто; например, он имеет место в рассмотренном выше примере 12) Имеем: Замечание 13 Правило Лопиталя справедливо и для односторонних пределов, а также для пределов в, те запись можно заменить на любую из следующих записей. или Следующий пример показывает, что показательная функция (с основанием большим единицы) растет быстрее второй степени Аналогично можно доказать, что показательная функция растет быстрее любой степени Пример 14 Вычислить предел дважды: Придется применить правило Лопиталя Следующий пример показывает, что логарифмическая функция (с основанием большим единицы) растет медленнее кубического корня Аналогично показывается, что логарифм растет медленнее любой степени Пример 15 Вычислить предел Применяем правило Лопиталя:

3 3 Пример 16 Вычислить предел Применяем правило Лопиталя трижды: 2 Неопределенные произведения Научимся теперь раскрывать неопределенные произведения типа, те вычислять пределы вида, где и при Для этого нужно представить произведение как отношение или как, что приводит к неопределенности типа или, соответственно К получающимся неопределенностям можно применить правило Лопиталя Пример 21 Вычислить предел Имеем: Функцию можно было бы представить и в виде отношения, но дифференцирование было бы более громоздким Пример 22 Найти асимптоты кривой Решение: Очевидно, вертикальных асимптот нет, поэтому ищем горизонтальные асимптоты Поскольку и, и неограниченно возрастают при, имеем Однако в минус бесконечности при и мы имеем неопределенное произведение Его раскрытие требует применения правила Лопиталя:

4 4 Таким образом, данная кривая имеет единственную горизонтальную асимптоту ось Замечание 23 Если бы в последнем примере мы бы представили произведение, те в виде отношения, то не смогли бы устранить неопределенность, сколько бы раз не применяли правило Лопиталя Поэтому, если неопределенность устранить не удается, следует представить произведение в виде отношения другим способом 3 Неопределенные разности Если и, или если и при, то говорят, что предел имеет тип и называется неопределенной разностью Для раскрытия неопределенной разности, нужно преобразовать разность в отношение, и затем применить правило Лопиталя Пример 31 Вычислить предел Решение: Здесь неопределенность типа Вычисляем: 4 Неопределенные степени При вычислении предела вида могут возникнуть неопределенные степени типов,, или Существуют два способа вычисления таких пределов, оба из которых приводят к неопределенности 1-й способ: Представить функцию в виде Если, то при ; см упражнение 4 ниже Пример 41 Вычислить предел Решение: Это неопределенность типа Решаем 1-м способом Записываем:, откуда Следовательно,

5 5 Поскольку, данный предел равен 2-й способ: Представить эту функцию в виде Пример 42 Вычислить предел Решение: Заметим, что этот предел представляет неопределенность Записываем В примере 21 мы уже показали, что показатель стремится к нулю при Поэтому Вопросы для самопроверки 1 Обосновать справедливость каждого равенства в доказательстве теоремы 11 2 Доказать, что показательная функция с основанием растет быстрее любой степени 3 Доказать, что логарифмическая функция с основанием растет медленнее любой степени 4 Доказать, что если ( ), то ( ) [Решение: Во 2-м равенстве использовали теорему 33 о переместительности знака предела и непрерывной функции с лекции 5] 5 Вычислить 2-м способом предел из примера 41

С.А. Лавренченко. Лекция 13. Показательные и логарифмические функции

1 СА Лавренченко Лекция 13 Показательные и логарифмические функции 1 Понятие показательной функции Определение 11 Показательной функцией называется функция вида основание положительная константа, где Функция

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Лекция 15. Первообразные

СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 15 Первообразные Напомним, что под интервалом мы понимаем или конечный интервал, или один из следующих бесконечных интервалов. или Помните, что внутри интервала

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Математический анализ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Практическое занятие 12. Обратные тригонометрические функции

С.А. Лавренченко 1 www.lawrencenko.ru Практическое занятие 12 Обратные тригонометрические функции 1. Арксинус График синуса представляет собой известную кривую синусоиду и, очевидно, не является взаимно-однозначной

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

С.А. Лавренченко. Лекция 12. Обратные функции

1 СА Лавренченко Лекция 12 Обратные функции 1 Понятие обратной функции Определение 11 Функция называется взаимно-однозначной, если она не принимает никакое значение более одного раза, те из следует при

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

С.А. Лавренченко. 1. Основные правила дифференцирования

Лекция 7 1 СА Лавренченко Вычисление производных 1 Основные правила дифференцирования При условии что обе функции и дифференцируемы имеют место следующие основные правила дифференцирования Правило суммы:

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Практическое занятие 1. Последовательности

С А Лавренченко wwwlwrecekoru Практическое занятие Последовательности (Используются типовые расчеты ) Понятие последовательности Пример Выписать пять первых членов последовательности () Решение: 8 6 5

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Вариант y =. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > 0. Данная функция определена на всей числовой оси, Точки

Вариант Найти область определения функции : y lg Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: > и lg или Достаточно рассмотреть второе неравенство так как первое неравенство перекрывается

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

- - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Лекция 5. Непрерывность

Лекция 5 Непрерывность 1 СА Лавренченко 1 Понятие непрерывной функции Физические величины часто моделируются непрерывными функциями Например, скорость автомобиля, температура воздуха или рост человека

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Лекция 4. Потенциальные векторные поля

С А Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Потенциальные векторные поля Понятие потенциальности Пусть f скалярная функция двух переменных Вспомним с лекции 5 (модуль «Функции нескольких переменных»), что

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

«Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Математический анализ

Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Вариант 16. ]. При k = 0 получим x [ 0, π ]. При других значениях k неравенства не имеют общих рещений.

Вариант Найти область определения функции : si + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и si Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π (k+ π,

Построение графиков функций

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

С.А. Лавренченко. Лекция 8

1 СА Лавренченко Лекция 8 Вычисление производных (продолжение) 1 Производная сложной функции Мы уже изучили основные правила дифференцирования но все еще не в состоянии найти производную такой незатейливой

По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума).

6 По этим результатам можно схематично изобразить график функции: Терема 4 (второй достаточный признак существования экстремума) Стационарная точка функции f( ), дважды дифференцируемой в Oδ ( ), является

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Лекция 3. Дифференцируемость

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекция 3 Дифференцируемость 1 Понятие дифференцируемости Пусть комплексная функция w f комплексной переменной определена в некоторой окрестности точки Определение 11 дифференцируемости

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Лекция Представление функций рядами Тейлора

С А Лавренченко wwwlawreceoru Лекция Представление функций рядами Тейлора Один полезный предел На прошлой лекции была разработана следующая стратегия: по достаточному условию представимости функции рядом

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть l кривая, M 0 точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к l. Кривую l называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

. Преобразуем функцию:, если x

Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Лекция 4. Вычисление площадей и объемов

С.А. Лавренченко www.lweceko.u Лекция 4 Вычисление площадей и объемов На этой лекции мы изучим некоторые геометрические применения определенного интеграла а именно для вычисления площадей плоских фигур

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3. n. . Значения функции f1, f2. fn.

Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Лекция 1. Интегралы. ]. Определенный интеграл от функции f от a до b обозначается и определяется так: n i

СА Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Интегралы Понятие определенного интеграла Определение (интеграла) Пусть f непрерывная функция на отрезке [, ] Пусть [, ] разбит на отрезков равной длины x Обозначим

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Тема 37 «Пределы функций»

Тема 37 «Пределы функций» «Математический анализ» - серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения

Образец выполнения контрольной работы 2. в точке x = 1.

Задание Найдите значения производных y ( ) Образец выполнения контрольной работы в точке При решении задач будем дифференцировать функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных + 5

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

6 Общая схема исследования функции

5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Лекция 5. Интегрирование

С. А. Лавренченко www.lwreceo.r Лекция 5 Интегрирование Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить лекции 3 и 4 из модуля «Векторный анализ».. Понятие интеграла Предположим что f функция

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Лекция. Преобразование Фурье

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

у Найти область определения функции х 2 1

Автор теста: Ибрагимова С.А. Название курса: Математика Предназначено для студентов специальности: ССиМ 1кг, 1к3г. ДОТ Количество кредитов: Текст вопроса/варианты ответа 1 P Q 4Q 5 Найти экстремум функции

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. Достаточные условия возрастания и убывания функции:

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u ; ) (сигнум u). показательные функции

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos) степенные функции. ) a. b. ) c. ) e. ) ) показательные функции. a ) a l a a. e ) e логарифмические функции 4. loga ) l a 4a. l ) a l l a l b l a l a ) b тригонометрические функции

1. Числовые последовательности

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ / степенные функции. показательно степенные функции. = x( модуль функции. u u = 0, 18. u. 1, u < 0; функция знак u (сигнум u).

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. сos ) степенные. ). ) b. ) c. ) e. ) ) показательные. ) l. e ) e логарифмические. log ) l. l ) l l l b l l ) b тригонометрические. si ) cos 6. cos) si 7. g ) cos 8. cg ) si обратные

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Лекция 9. Несобственные интегралы

С.А. Лавренченко www.lwrenenko.ru Лекция 9 Несобственные интегралы До сих пор мы имели дело с интегралами по отрезку от непрерывной функции. На этой лекции мы познакомимся с интегралами по бесконечному

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Ответы к заданию

Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

1. Производная функции в точке

приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎