В.И. ШМОЙЛОВ, Я.С. КОРОВИН РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ
2 ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ИМ АКАДЕМИКА АВ КАЛЯЕВА ВИ ШМОЙЛОВ, ЯС КОРОВИН РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 7
3 УДК 5754 Шмойлов ВИ, Коровин ЯС Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями Ростов на Дону: Изд-во ЮФУ, 7 8с В книге рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей Новый метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей и рядов, а также при решении алгебраических уравнений Особое внимание уделено решению систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями Книга предназначена для студентов и аспирантов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» Илл 4 Табл 49 Библиогр с ( назв) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект Рецензенты: докт техн наук, проф П П Кравченко докт техн наук, проф В Ф Гузик Шмойлов ВИ, Коровин ЯС
4 Памяти Виталия Яковлевича Скоробогатько
5 Таково уж свойство человеческого ума: не имея достаточных сил для решения важных проблем, он тратит себя на всякие пустяки Фрэнсис Бэкон, 6 г ПРЕДИСЛОВИЕ Главу О непрерывных дробях, которая венчает первый том классического труда Введение в анализ бесконечных [8], Эйлер предваряет небольшим вступлением, в котором есть такие строки о непрерывных дробях: Хотя этот род выражений до настоящего времени разработан мало, однако мы не сомневаемся, что когда-нибудь применение его весьма широко распространится в анализе бесконечных И все сбылось, и не сбылось Феликс Браудер главный редактор серии Анализ, пишет [6]: По иронии судьбы в двадцатом веке теория непрерывных дробей резко отделилась от большинства главных направлений развития математики Специалисты по теории чисел продолжали использовать непрерывные дроби и изучали их свойства С другой стороны, аналитики, даже работающие в классических областях, стали сравнительно редко интересоваться непрерывными дробями За небольшими исключениями, трудно найти современный учебник по аналитическим функциям комплексного переменного, в котором этому кругу методов и задач уделялось бы скольконибудь заметное внимание В минувшем столетии цепные дроби действительно расположились на периферии математической жизни Для работ по цепным дробям не находилось даже рубрики в реферативных журналах нередко они получали пристанище в разделе Ряды и последовательности Трагедия однако состояла не в том, что исчезли рубрики в реферативных журналах или крупные имена среди авторов работ по цепным дробям Беда была в другом цепные дроби не заняли достойного места в математическом образовании Этот феномен сложно объяснить с рациональных позиций Но факт остается фактом Если, к примеру, в фундаментальном трехтомном Курсе дифференциального и интегрального исчисления ГМ Фихтенгольца рядам в общей сложности отводился едва ли не целый том, то цепным дробям ни полслова, если вспомнить знаменитые строчки Дениса Давыдова, в которых тот сокрушался, правда, по совсем иному поводу Были проигнорированы цепные дроби и в монументальном пятитомном Курсе высшей математики ВИ Смирнова Не упоминались они и в более поздних курсах математического анализа СМ Никольского и ЛД Кудрявцева, равно как и в бесчисленном множестве других Курсов Изучая численные методы по университетским и вузовским учебникам, а также обращаясь к специальной литературе по вычислительной математике, окончив курс наук, вполне можно остаться на всю жизнь в твердом убеждении, что никаких цепных дробей в природе не существует О цепных дробях заговорили, когда западные физики-теоретики с удивлением обнаружили, что таблицы Паде, то есть дробно-рациональные аппроксимации, могут с большим эффектом применяться при решении насущных задач, причем тех, для решения которых прекрасно знакомый аппарат рядов оказывался совершенно бесполезным
6 ПРЕДИСЛОВИЕ 5 На Западе в 7-е 9-е годы, спустя не одно десятилетие после выхода в свет книг О Перрона [, ], Х Уолла [] и АН Хованского [49], появляются обстоятельные монографии по цепным дробям [6,, 4], одна из которых У Джоунса и В Трона в 985 году была издана в переводе на русском языке [6] В эти же годы выходят несколько книг по ветвящимся и интегральным цепным дробям [9, 4] оригинальным направлениям, возникшем благодаря усилиям львовской математической школы профессора ВЯ Скоробогатько Как известно, один из подходов к проблеме восстановления функции по степенному ряду связан с аппроксимациями Паде Аппроксимации Паде это рациональные приближения функций, то есть приближения отношением полиномов Аппроксимации Паде в последние десятилетия приобрели чрезвычайную популярность, стали, можно сказать, модными По аппроксимациям Паде проводятся десятки международных научных конференций, публикуются тысячи работ Аппроксимации Паде приближают функцию отношением двух полиномов + z + z + + L z L + z + z + M z M, коэффициенты которых устанавливаются по алгоритму Паде [4] из представления этой функции рядом Тейлора f(z) = c + c z + c z + c z + Основной целью аппроксимаций Паде является получение информации о функции по коэффициентам её степенного разложения Часто аппроксимации Паде используют для восстановления функции по расходящемуся ряду Следует отметить, однако, что существуют дробно-рациональные аппроксимации, которые не являются аппроксимациями Паде Примерами таких аппроксимаций могут служить подходящие дроби некоторых типов непрерывных дробей [] В практическом отношении, пожалуй, самым важным классом являются, так называемые, диагональные аппроксимации Паде, записываемые отношением полиномов, к которым приводит свертка классических функциональных цепных дробей: wz wz wz w () Поэтому словосочетание диагональные аппроксимации Паде следует рассматривать как иное обозначение функциональных цепных дробей (), которые часто именуют как C-дроби Важнейшие вопросы аналитической теории непрерывных дробей это вопросы сходимости Приведём общепринятое определение сходимости непрерывных дробей: Непрерывная дробь того или иного вида называется сходящейся, если последовательность её подходящих дробей имеет предел: + + которые имеют подходящие дроби P lim = A () Q Непрерывная дробь расходится, если последовательность её подходящих предела не имеет [6] Для цепных дробей, то есть непрерывных дробей вида () + + +, P P = Q ; = Q + P ; = Q +, + определение сходимости традиционно определяется следующим образом:
7 6 ПРЕДИСЛОВИЕ Цепня дробь () называется сходящейся, если последовательность её подходящих дробей имеет конечный предел: P (4) lim = α Q В [5] предложено отличное от традиционного определение сходимости непрерывных дробей: Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r e iφ, если существуют пределы lim i Pi / Qi r, π lim (6) = φ, где P i Q i значения i-й подходящей дроби; число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей подходящих дробей Определенную так сходимость непрерывных дробей будем называть r/-сходимостью или «сходимостью по Никипорцу» Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, ибо предполагает, что непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь как вещественные, так и комплексные значения Признаком комплексности расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз Параметры комплексного числа, те его модуль r и аргумент φ, могут быть определены, так называемым, r φ-алгоритмом, то есть формулами (5) и (6) i Если аргумент комплексного числа z re, которое по определению принимается за значение непрерывной дроби, примет значения или π, то такая непрерывная дробь сходится в классическом смысле Если φ =, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля r : i z r e r Если φ = π, то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число: i z r e r Предложенный r φ-алгоритм даёт возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики [74] Сравнивая два определения сходимости непрерывных дробей классическое определение, задаваемое формулами () или (4), и определение сходимости через r φ-алго- ритм, то есть при использовании формул (5) и (6), можно отметить следующее Для удобства изложения будем полагать, что мы имеем дело не с непрерывными дробями произвольной структуры, а с обыкновенными непрерывными дробями, то есть цепными дробями () Классическое определение сходимости цепной дроби () с действительными элементами i и i устанавливает её сходимость, если имеет место вещественный предел её подходящих дробей Если такого предела подходящих дробей цепной дроби () нет, (5)
8 ПРЕДИСЛОВИЕ 7 то цепная дробь считается расходящейся Разнообразные и всё более чувствительные признаки сходимости цепных дробей () при принятом классическом определении сходимости устанавливаются математиками уже без малого два с половиной столетия, если отсчёт вести от работ Д Бернулли [9] В отличие от классического определения сходимости непрерывных дробей, сходимость непрерывных дробей, устанавливаемая r φ-алгоритмом, то есть формулами (5) и (6), допускает, что значения цепных дробей () с вещественными элементами могут быть как вещественными, так и комплексными Поэтому о цепных дробях с вещественными элементами, не имеющими вещественного предела подходящих дробей, следует говорить как о цепных дробях расходящихся в классическом смысле Признаки сходимости, которые устанавливаются для непрерывных дробей с вещественными элементами в случае классической сходимости, гарантируют вещественный предел значений их подходящих дробей При определении сходимости с использованием r φ-алгоритма непрерывные дроби с вещественными элементами, как уже отмечалось, могут иметь пределами своих подходящих дробей как вещественные, так и комплексные числа Очевидно, что критерии сходимости непрерывных дробей с вещественными элементами при сходимости, определяемой r φ-алгоритмом, то есть формулами (5) и (6), не столь жёсткие в сравнении с критериями сходимости, которые установлены в классическом случае, когда требуется существование вещественных пределов подходящих дробей () или (4) Существующие теоремы о сходимости непрерывных дробей следовало бы дополнять словами: при определении сходимости в классическом смысле Остановимся несколько подробнее на r φ-алгоритме Надо сразу заметить, что r φ-алгоритм нельзя вывести или доказать, оставаясь в рамках классического анализа Однако можно прояснить механизм возникновения этого алгоритма Из формулы Эйлера можно записать дроби: i e cos e i e i cos i e, e i i e cos cos i e cos cos cos cos i e Запишем подходящие дроби непрерывной дроби (7): P Q P si cos, Q si si cos, cos si (7)
9 8 ПРЕДИСЛОВИЕ P Q si cos cos si cos cos cos (8) При можно прийти к непрерывной дроби i e * cos cos cos cos Значения подходящих цепных дробей (9) определяются формулой: P si( ) Q si В 948 году таганрогский математик Аким Захарович Никипорец записал весьма странный предел si( ) lim e si Надо сказать, что несмотря на парадоксальность предела (), АЗ Никипорец никак не выделял его из «троицы» пределов, записывая следом за пределом () два других, «правильных» предела: lim, sh( ) u u lim e () shu Предел () АЗ Никипорец называл «эллиптической единицей», предел () «параболической единицей», а предел () «гиперболической единицей» [55] Эти три единицы были совершенно естественны в рамках его учения о тройственном принципе в математике и естествознании, которое он последовательно развивал многие годы [66] Вернемся, однако, к необычному пределу Никипорца si( ) lim e si и покажем, что он может быть установлен, если сходимость непрерывной дроби i e i i cos cos cos cos определять через r φ-алгоритм, то есть используя формулы (5) и (6) В табл показаны результаты определения при помощи r φ-алгоритма значения цепной дроби, представляющей комплексное число е i, : (9) () () i e cos, cos, cos, cos, ()
10 ПРЕДИСЛОВИЕ 9 звена дроби Определение значения цепной дроби () Значение Модуль Погрешность, Аргумент подходящей комплексного комплексного дроби числа, r числа, r r r Таблица Погрешноcть, В колонках и 5 табл показаны значения модуля и аргумента комплексного числа е i,, установленные из цепной дроби () Некоторые осложнения возникают при определении значений е i, когда = /s, где s рациональное число Например, e i i (, -,, ), (4) i e (,, -. ) (5) Значения подходящих дробей (4) и (5) периодически повторяются Такие цепные дроби называют ультрапериодическими [55] Так как определить значения ультрапериодических цепных дробей на компьютере нельзя, то эти цепные дроби заменяют «близкими» Например, установливают значение не цепной дроби (4), а цепной дроби при Используя непрерывную дробь (9), мы можем прояснить смысл формул r φ-алго- ритма, то есть формул (5) и (6) Восстановим комплексное число e iφ, которое представлено бесконечной непрерывной дроби (9) Изобразим графически несколько значений первых подходящих дробей непрерывной дроби (9) Используя выражение (8) для подходящих дробей, запишем: P Q P Q si, P, si Q si P,, si Q Очевидно, с ростом номера угол ( + )φ станет больше угла π: P Q si( ) P si Q
11 ПРЕДИСЛОВИЕ Этот момент может быть зафиксирован, так как подходящая дробь P Q примет отрицательное значение Таким образом, перемещение радиуса вектора от угла φ до угла (+)φ, несколько превышающего значение π, дает возможность, пусть и приближенно, определить аргумент комплексного числа e iφ, представленного непрерывной дробью (9) Продолжая наблюдение за значениями подходящих дробей, запишем формулу, по которой можно определить аргумент φ комплексного числа e iφ :
(7), где количество подходящих дробей, имеющих отрицательное значение из общего числа подходящих дробей разложения (9), φ некоторый угол, причем, φ < φ Если, то формула (7) примет вид lim Рассмотренная выше процедура позволяет установить однако не значение аргумента комплексного числа e iφ, а модуль этого аргумента Знак аргумента комплексного числа e iφ определяется из динамики распределения значений подходящих дробей () на периоде Эти правила определения знака установлены после калибровки на тестовых непрерывных дробях, имеющих комплексные значения [54] На рис показано распределение значений подходящих дробей P Q разложений (8) и (9) в зависимости от номера si ( ) cos, cos cos cos si (8) si cos cos cos si ( ) (9) Из непрерывной дроби (9), представляющей комплексное число e iφ, можно получить, помимо аргумента, модуль этого комплексного числа, равный единице i, e e i, Рис Распределение значений подходящих непрерывных дробей (8) и (9) В табл приведены результаты суммирования при помощи r φ-алгоритма расходящейся непрерывной дроби: i irctg 5 e ()
12 ПРЕДИСЛОВИЕ Определение значения расходящейся цепной дроби () r =, φ = звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, r Погрешность, r r r Аргумент комплексного числа, Таблица Погрешность, В первой колонке таблицы даны номера подходящих дробей разложения а подходящих дробей составляют степень Значения подходящих дробей с этими номерами приведены в соседней колонке Как и следовало ожидать, значения подходящих дробей P Q с ростом не стремятся к какому-либо пределу Для чисел же, расположенных в колонке, напротив, стремление к пределу можно без труда обнаружить, значения асимптотически приближаются к, те к модулю комплексного числа Даже беглого взгляда на колонки 5 и 6 достаточно, чтобы убедиться, что с ростом количества подходящих дробей разложения () все более точно устанавливается значение аргумента искомого комплексного числа На рис показаны значения подходящих дробей непрерывной дроби () Рис Распределение значений подходящих дробей непрерывной дроби () Формулы (5) и (6) можно распространить на непрерывные дроби других классов, в частности, на практически важные предельно-периодические непрерывные дроби, которыми представляются элементарные и многие специальные функции В табл показаны результаты суммирования расходящейся непрерывной дроби 6 6 l 5 ()
13 ПРЕДИСЛОВИЕ Определение значения расходящейся цепной дроби () r = 7557, φ = звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, r Погрешность, r r r Аргумент комплексного числа, Таблица Погрешность, Легко понять, почему непрерывная дробь () расходится При отрицательном аргументе, логарифмическая функция имеет комплексное значение: l( ) = 7557e i , которое, естественно, не может приближаться непрерыв-ной дробью с вещественными элементами и, тем не менее, r φ-алгоритм позволяет установить значение непрерывной дроби () Рассмотрим еще одну практически важную задачу, решаемую при помощи r φ-алгоритма Известно, что при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений встречаются принципиальные трудности В книге СК Годунова и ВС Рябенького Разностные схемы [] отмечается: Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что, казалось бы, разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к истинному решению дифференциального уравнения Рассмотренный выше способ суммирования расходящихся в традиционном смысле непрерывных дробей помог понять природу трудностей, возникающих при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Поясним примером Как известно, удобный метод решения разностной краевой задачи, представляющий один из вариантов исключения неизвестных и носящий название прогонки, фактически эквивалентен записи решения обыкновенной непрерывной дробью, то есть для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений решения могут представляться как сходящимися непрерывными дробями, так и расходящимися [67] Имеет место ситуация: решения системы существуют, но при измельчении шага сетки значения решений системы изменяются, причем, скачкообразно, т е с ростом размерности СЛАУ не могут быть найдены пределы, к которым бы эти решения стремились В этом случае говорят, что система является расходящейся и решения не могут быть записаны Возникает вопрос: что это означает для рассматриваемой СЛАУ с матрицей вещественных коэффициентов? Ответ состоит в следующем: если решаемая система расходится, то возможно существование комплексных решений СЛАУ, которые традиционными методами решения не могут быть установлены Процесс нахождения решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) при помощи r φ-алгоритма состоит из двух этапов
14 ПРЕДИСЛОВИЕ Рассмотрим БСЛАУ AX = B, () T Х А, x, x, x,, x п,, В. п, где А матрица вещественных коэффициентов, Х вектор искомых решений, В правая часть системы линейных алгебраических уравнений Для того чтобы узнать, расходится данная система или нет, решаем одним из классических методов подсистемы смежных порядков, например. и строим последовательности, состоящие из их решений , те последовательности вида m x x, x,, x,, 4 m, x, x,, x,, m x, x, x,, x x Если каждая последовательность стремится к некоторому своему пределу с ростом размерности m системы, то последовательность корней , m, будет являться искомым решением рассматриваемой БСЛАУ В случае, если пределы последовательностей () отсутствуют, требуется использовать уже упомянутый выше r φ-алгоритм, что составляет следующий этап решения расходящихся БСЛАУ Следует отметить, что при решении расходящихся СЛАУ m, что обусловлено r φ-алгоритмом, требующим для определения комплексного числа большого количества вещественных отсчетов Этот алгоритм позволяет использовать полученные в общем случае по Гауссу вещественные решения расширяющейся системы () для получения множества комплексных решений исходной системы, если они имеются При решении расходящихся БСЛАУ модуль r i комплексного корня x i находится по формуле m ( m) lim m i. m m r i x i где x i (m) значение вещественной неизвестной x i, полученное стандартным алгоритмом решения СЛАУ размерности m Модуль аргумента φ i комплексного корня x i БСЛАУ определяется следующим образом: lim i m m где (m) i количество отрицательных значений x i, полученных стандартным алгоритмом решения СЛАУ из общего количества m значений x i, найденных из расширяющейся системы Данный способ решения БСЛАУ достаточно экономичен, а главное метод позволяет решать расходящиеся в традиционном смысле БСЛАУ, что не обеспечивают известные алгоритмы решения БСЛАУ В качестве примера рассмотрим решение при помощи r φ-алгоритма расходящейся бесконечной системы (6) Решить систему: ( ) m i, () (4) (5)
15 4 ПРЕДИСЛОВИЕ x x x x4 (6) x5 x 6 В табл 4 приведены результаты определения x i системы (6) с использованием r φ-алгоритма, то есть формул (4) и (5) В первой колонке таблицы указана размерность решаемых систем Во второй колонке помещены значения x, полученные по методу прогонки Как видно из таблицы, значения, полученные по прогонке для расходящейся системы, не стремятся к какому-либо пределу В то же время в колонках и 4 табл с ростом размерности системы (6) устанавливается значения, соответственно, модуля и аргумента комплексного решения x системы (6) Таблица 4 Определение значения x системы (6) Размерность системы, m Значение m x по методу прогонки Модуль комплексного числа, m r Аргумент комплексного числа, m 5E- 5E- E E E- E+ 4 -E E E E E E- 8-45E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- Аналогично находятся значения x i, i =. системы (6) На рис показано размещение в комплексной плоскости значений неизвестных x i, i =. 48 бесконечной системы (6) В табл 5 приведены результаты проверки решения расходящейся бесконечной системы (6), полученного при помощи r φ-алгоритма В первой колонке табл 4 указаны номера строк системы (6), по которым проводилась проверка Во второй колонке приведены значения проверяемых строк системы (6) после подстановки найденных комплексных x i из решаемой системы (6) размерностью 496 В третьей колонке даны значения правой части системы (6), в четвертой абсолютные погрешности, допущенные при решении системы (6) с использованием r φ-алгоритма Из табл 5 можно заключить, что погрешности, допущенные при решении системы (9) с использованием r φ-алгоритма, весьма невелики (ε = 4 )
16 ПРЕДИСЛОВИЕ 5 Рис Расположение xi БСЛАУ (6) на комплексной плоскости Результаты проверки решения системы (6) Таблица 5 строки, Значение левой части системы Значение правой части Абсолютная погрешность E+ i e E- i e E+ i e E- i e E+ i e E- i e E+ i e E-4 i e E+ i e E- i e E+ i e E- i e E+ i97674e E-4 i97674e E+ i e E- i e E+ i e E-4 i e- 5 45E+ i e- 4558E- i e E+ i e E-4 i e E+ i e E-4 i e- Некоторые другие применения r φ-алгоритма приведены в [7] Особо следует подчеркнуть эффективность использования методов теории непрерывных дробей при суммировании расходящихся рядов Именно вопросы суммирования рядов через, так называемые, соответствующие непрерывные дроби составляют, в зеачительной степени, содержание книги Приведём примеры суммирования расходящихся числовых рядов через соответствующие цепные дроби Определение значений расходящихся в классическом смысле соответствующих цепных дробей производилось с использованием r φ-алгоритма, то есть формул (5) и (6), 4 8 6, 4 5, 4
17 6 ПРЕДИСЛОВИЕ , , e. 4! 59647. 4! 4975e i i , e, i898 Как правило, непрерывные дроби неожиданны и изящны, и их можно долго рассматривать, как завораживающий своими гранями кристалл: e Более ста лет известна уникальная по красоте формула Рамануджана [8]: 4 e Можно предложить, пожалуй, более неожиданную формулу, полученную суммированием расходящейся цепной дроби [55]: 4 i, e Нелишне обратить внимание, что суммирование с использованием r φ -алгоритма сопряжено с выполнением достаточно больших объемов вычислений и вряд ли осуществимо без использования компьютеров Видимо, этим и объясняется, почему метод суммирования расходящихся непрерывных дробей так запоздал со своим появлением Математические факты могут быть зафиксированы не только в виде теорем, но и в столбцах чисел Академик В И Арнольд в предисловии к книге американских математиков Р Грехема и О Паташника Конкретная математика утверждал: Примеры учат не меньше, чем правила Он же в своей книге Цепные дроби [] написал весьма примечательную фразу: Математика экспериментальная наука Любопытно также, что последняя монография выдающегося теоретика ВИ Арнольда имеет название: Экспериментальное наблюдение математических фактов [] О насущной необходимости даже для математика-теоретика пользоваться вычислениями высказывался украинский академик МФ Кравчук еще в конце -х годов прошлого столетия [8]: Мы не умеем, как следует, привить молодёжи охоты до эффективных вычислений И до сих пор имеет место забобон, что высшая математика не
18 ПРЕДИСЛОВИЕ 7 нуждается в вычислениях, что вычисления для неё низкая материя, что суть высшей математики в абстрактных теориях Чтение Эйлера один из лучших воспитательных приёмов в преодолении этих ошибочных воззрений В последнее время вычислительный эксперимент все чаще рассматривается как новая технология научного поиска в разных областях знания, в том числе такой абстрактной, как математика Становится очевидно: закономерности, лежащие на поверхности или на относительно небольшой глубине, в основном уже обнаружены и описаны Разумеется, это не касается пустопорожних теорем все их зафиксировать на бумаге никогда и никому не удастся Глубинные же связи аналитически, то есть на кончике пера, устанавливаются со всё большим трудом Это хорошо понимали уже классики - непревзойденные аналитики, например, Эйлер, Лежандр, Гаусс, когда фундаментальные теоремы в теории чисел находили, пристально всматриваясь в числовые таблицы, так сказать, в экспериментальный материал, Деррик Лемер, автор популярных Таблиц простых чисел, известный также работами по цепным дробям [9], писал: Несмотря на утверждение некоторых выдающихся ученых, что математика наука, ничего общего не имеющая с практикой, история теории чисел была в основном создана теми, кто следовал методам естествоиспытателей Немного о терминологии Обычно цепные дроби и непрерывные дроби рассматриваются как синонимы Например: Хованский АН, [49] Бесконечной цепной или непрерывной дробью называет разложение (7) Cotiue frctio непрерывная дробь, - именно так была наречена конструкция (7) английским математиком Джоном Валлисом в Arithmetic ifoitorium ( Арифметика бесконечных ), которая вышла в 655 г [9] Как отмечается в [5], термин Ketteruche цепная дробь, появился в Германии в середине XVIII в Следует здесь отметить, что российские математики вплоть до двадцатых годов прошлого столетия использовали в своих работах термин непрерывные дроби И лишь стараниями АЯ Хинчина, кстати, активно публиковавшегося в немецких журналах, цепные дроби получили права гражданства и, более того, существенно потеснили непрерывные дроби в сочинениях русскоязычных авторов Надо сказать, что цепные дроби (chi frctio) вводились и в английском языке, но, похоже, термин остался невостребованым В русской литературе, в отличие от прочих разных шведов, в ходу два практически равноценных термина: цепные дроби и непрерывные дроби для обозначения одного и того же понятия Таков уж наш менталитет, если говорить попросту Отдать предпочтения одному из этих терминов затруднительно Некоторые преимущества имеются у цепных дробей Например, не вызывает нареканий фраза: Конечная цепная дробь, что не скажешь о выражении Конечная непрерывная дробь Словосочетание цепная дробь вполне определенно указывает на дискретность структуры С другой стороны, цепная дробь (7) это очень частный случай непрерывных дробей, которые могут иметь структуры, неизмеримо более сложные, нежели классические цепные дроби, соответствующие линейному, то есть цепному графу Учитывая бесконечное многообразие непрерывных дробей, классические непрерывные дроби (7) будем называть цепными дробями Дроби других классов следует
19 8 ПРЕДИСЛОВИЕ именовать иначе Например, непрерывные дроби Хессенберга, ветвящиеся непрерывные дроби, восходящие непрерывные дроби и тд Определяя выражение (7) как цепную дробь, мы тем самым выделяем классические непрерывные дроби из множества непрерывных дробей, задаваемых графом той или иной структуры В книге много таблиц, может быть, более, чем обычно случается в книгах математического содержания Возможно, это вызовет некоторую аллергию при чтении Мы сознательно шли на включение в текст большого количества экспериментального материала, ибо рассматриваем математические таблицы, как математические факты Джон- Карло Рота, редактор американской Математической энциклопедии, утверждал [6]: «Математика состоит главным образом из фактов» Авторы выражают глубокую признательность ВЮ Войтулевичу, ВМ Ефимовой, ГА Кириченко, СВ Плющенко, ИС Семёнову, МВ Хисамутдинову и другим программистам, которые во многом способствовали обнаружению и фиксации математических фактов, представленных на страницах книги В заключительном разделе «Из истории непрерывных дробей» повествуется о замечательном львовском математике Виталии Яковлевиче Скоробогатько, открывшим в шестидесятых годах минувшего столетия ветвящиеся непрерывные дроби Светлой памяти ВЯ Скоробогатько посвящается эта книга г Таганрог, 9 марта 7 г В И Шмойлов
20 ВВЕДЕНИЕ В своей книге [6] У Джоунс и В Трон пишут: "Хотя уже греки знали об алгоритме Евклида, нет сведений о том, что они использовали его для получения непрерывных дробей" Г Цейтен в "Истории математики в XVI и XVII веках" отмечает [5]: "К настоящему образованию непрерывных дробей приходит только Бомбелли в своей "Алгебре" 57 года" Действительно, Бомбелли принял и отсюда нашёл что, в свою очередь, позволило записать r x, то есть r x, r x x, r x x Ряд все более точных приближений получается, если вместо х в знаменатель последовательно помещать уже полученные приближенные значения этой величины И все же решающий шаг в оформлении аппарата цепных дробей сделал в 6 году Катальди [9], он вводит в эти вычисления повторное применения дробной черты, то есть получает настоящее обозначение непрерывных дробей: r r, () r только вместо знака "+" Катальди пишет "et" В главе "О непрерывных дробях", помещенной в первом томе "Введения в анализ бесконечных", Эйлер пишет [8]: "Непрерывной дробью я называю такую дробь, знаменатель которой состоит из целого числа с дробью, у которой знаменатель опять представляет совокупность целого и дроби, которая далее составлена таким же образом, причём, это может либо продолжаться до бесконечности, либо где-нибудь приостановиться Такого рода дробью будет выражение или c c e f etc c d e f etc
21 ВВЕДЕНИЕ Леонард Эйлер в трактате "De frctioius cotiuis disserttio" [94] заложил основы теории цепных дробей Это первая работа Эйлера по непрерывным дробям Она была написана в 77г Эйлер в основном рассматривал правильные цепные дроби, то есть цепные дроби, частные числители которых равны единице, а частные знаменатели натуральные числа Именно к таким цепным дробям приводит алгоритм Евклида Поэтому естественней эти цепные дроби называть не правильными или регулярными, а цепными дробями Евклида Раскладывая в цепную дробь, Эйлер записывает: Производя последовательно выделение целой части числа, Эйлер приходит к разложению () etc Эйлер приводит еще одну правильную цепную дробь, период которой состоит уже из двух элементов: () etc Позже, в 748 г, Эйлер сформулировал знаменитую теорему: "Всякая периодическая цепная дробь представляет квадратическую иррациональность" Спустя двадцать лет, в 768 г, Лагранж доказал обратную теорему: "Всякая квадратическая иррациональность изображается периодической цепной дробью" Для числа е Эйлер записывает цепную дробь: e (4) 4 6 etc Следует заметить, что разложение числа е в правильную цепную дробь, значительно ранее Эйлера, в 74 г, получил английский математик Коутс [] Цепную дробь (4) будем называть цепной дробью Коутса Роджер Коутс, ученик Исаака Ньютона, более известен всё же как Котес Широкой популярностью пользуются
22 ВВЕДЕНИЕ формулы Котеса для приближённого вычисления определённых интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе равноотстоящих точек Коутс в работе "Измерение соотношений" (Logometri), увидевшей свет в 77 г, уже после смерти автора, привел замечательное равенство l(cosx+isix) = xi, эквивалентное формуле Эйлера, связывающей в комплекной области показательную и тригонометрические функции Знаменитая формула e ix = cosx+isix, о которой Лагранж отозвался, как о прекраснейшем открытии века в математическом анализе, была опубликована Эйлером лишь в 74 г Эйлер установил другие правильные цепные дроби: e 5 9 etc e e etc В работе [94] Эйлер приводит первые функциональные дроби: e s s s 5s etc, (5)
23 ВВЕДЕНИЕ e s s, (6) 6s s 4s 8s etc Эйлер рассматривает непрерывные дроби столь же важным инструментом анализа, как и ряды Если в (5) заменить s =/x, то получим x x x x x x e x (7) x В 776г Лагранж опубликовал такую цепную дробь для показательной функции: x x x x x x x e x (8) 5 Все подходящие дроби разложения (7) совпадают с нечетными подходящими дробями разложения (8) Цепную дробь (7) называют сжатой цепной дробью Напротив, цепную дробь (8) можно назвать растянутой цепной дробью, так как все подходящие дроби разложения (7) включаются, как подмножество, в множество подходящих дробей разложения (8) Эйлер неоднократно в своих работах обращался к изучению непрерывных дробей и применял их для представления функций и определенных интегралов, интегрирования дифференциальных уравнений, суммирования рядов и тд Популяризации непрерывных дробей содействовал труд Эйлера "Itroductio i lysi ifiitorum", вышедший в Лозанне в 748 г В первом томе этого сочинения Эйлера непрерывным дробям, как уже отмечалось, отводилась отдельная глава Эта монография Эйлера неоднократно переиздавалась в Европе на протяжении XVIII-XX столетий, что, несомненно, способствовало тому, что интерес к непрерывным дробям постоянно поддерживался "Введение в анализ бесконечных" издавалось и на русском языке: в 96 г (первый том) и в 96 г [8] Цепная дробь Ламберта x tgx (9) x x x 5 x 7 x 9 одна из самых впечатляющих формул во всей математике Многие если что и знают из цепных дробей, так именно это разложение Эта цепная дробь часто приводится даже в тех справочниках, в которых больше о цепных дробях не найти ни слова Цепная дробь для tgx имеет классически выразительную форму, и эту дробь не так просто забыть Кстати, коэффициенты степенного ряда tgx x x x x x
24 ВВЕДЕНИЕ по памяти воспроизведет редко кто из математиков Можно, конечно, воспользоваться формулой: ( ), ( )! tgx B x но для этого надо держать в голове значения первых чисел Бернулли: B, B, B 4 6, B 6, 4 B 8, B 5 66, 69 B 7,, которые, впрочем, могут быть определены при помощи весьма практичной формулы B ( )! ( ) ( ) Цепная дробь для тангенса впервые получена в работе Ламберта "Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга", опубликованной в 77 г Публикацию Ламберт предваряет словами: "Я имею некоторое основание сомневаться, что настоящая статья будет прочитана и понята теми, для кого это было бы особенно полезно" Ламберт в своей работе приводит разложение e () Очевидно, что цепная дробь () следует из цепной дроби Эйлера (7) при х = Цепная дробь () является сжатой по отношению к цепной дроби e, () 5 которая получается из цепной дроби Лагранжа (8) при x= Подходящие дроби разложения () совпадают с нечетными подходящими дробями цепной дроби () Вместе с тем, цепную дробь () можно рассматривать как сжатую цепную дробь относительно правильной цепной дроби Коутса (4) Подходящие дроби () совпадают со значениями цепной дроби (4), имеющими порядковые номера,, 4, 5, 7, 8. -, -,, =,, Значения подходящих дробей разложений (4), () и () приведены, соответственно, в таблицах а, в и с 4 Приведем таблицы, из которых видна скорость сходимости некоторых цепных дробей для числа е
25 4 ВВЕДЕНИЕ Таблица а Значения подходящих дробей цепной дроби Коутса e 4 6 звена Значения подходящих дробей Таблица в Значения подходящих дробей цепной дроби Лагранжа e звена Значения подходящих дробей Таблица с Значения подходящих дробей цепной дроби Эйлера e звена 4 5 Значения подходящих дробей 7 7 В табл приведены результаты вычислений числа е при помощи правильной цепной дроби (4) цепной дроби Коутса Таким образом, подходящих дробей правильной цепной дроби Коутса обеспечивают вычисление числа е с точностю 4 десятичних знаков В табл приведены результаты вычислений числа е с использованим цепной дроби Лагранжа Таблица Таблица Определение значения цепной дроби Коутса e 4 6 звена Значення подходящих дробей. ,75, ,7875, , , , , , , , , , , , , , Погрешность аппроксимации, , , , ,99647, ,5,869588, ,7565,77,674695,555,7665,64,54,48. Определение значения цепной дроби Лагранжа e звена Значення подходящих дробей. 75, , , , , , , , , , , Погрешность аппроксимации, , , , ,99647,5,869588,7565,77,555,7665,54,48,,
26 ВВЕДЕНИЕ 5 Как видно из табл, пятнадцатая подходящая дробь цепной дроби Лагранжа позволяет вычислить число е с точностью 4 десятичных знаков В табл 4 приведены результаты вычислений числа е с использованим «сжатой» цепной дроби Эйлера Таблица 4 Определение значения цепной дроби e дроби Значення подходящих дробей. , , , , , ( ) Погрешность аппроксимации, , ,996474,869588,77,7665,49, Таблица 5 Определение значения цепной дроби e дроби Значення подходящих дробей. 5, ,78, , , , Погрешность аппроксимации, , , , , ,656798,67949,78657, Восьмая подходящая дробь цепной дроби определяет число е с точностью 4 десятичных разрядов Интересно сравнить скорость сходимости цепных дробей (4), () и () со скоростью сходимости следующей цепной дроби: 4 e () 4 5 6. Цепная дробь () так называемая равноценная цепная дробь Для степенного ряда, представляющего показательную функцию e x x x x x, (). равноценной, то есть эквивалентной, будет цепная дробь x x x x x 4 x ( ) x e (4) x x 4 x 5 x x Подходящие дроби разложения (4) совпадают с частичными суммами степенного ряда () При х = из цепной дроби (4) получим дробь () В табл 5 приведены результаты вычисления числа е с использованием равноценной ряду цепной дроби () Необходимо использование 8 звеньев равноценной дроби или 8 членов ряда, чтобы определить число е с точностю 4 десятичных разрядов Следовательно, ряд e. cходится несколько быстрее, чем правильная цепная дробь Коутса (4), но этот же ряд сходится несколько медленее, чем "соответсвующая" цепная дробь () и значительно медленней, чем "сжатая" () В [] приведены сравнительные характеристики скорости сходимости цепных дробей и степенных рядов для элементарных функций Как правило, цепные дроби, ап-
27 6 ВВЕДЕНИЕ проксимирующие элементарные функции, сходятся значительно быстрее соответствующих степенных рядов Кроме того, цепные дроби, учитывая возможность суммирования по Никипорцу, представляют элементарные функции на всей плоскости комплексного переменного 5 Число Лудольфа, то есть к число, имеет следующую правильную цепную дробь: (5) Ф Кымпан [97] пишет: Весьма распространено мнение, что обозначение очень древнего происхождения Но это вовсе не так Обозначение отношения окружности к диаметру буквой, равно как и обозначение основания натурального логарифма буквой e, введено Эйлером Здесь можно лишь уточнить, что согласно позднейшим исследователям [], впервые обозначение употребил Вильям Джонс ( ), английский преподаватель математики в своем Обзоре достижений математики (Syopsis plmriorum mtheseos, Lodo, 76), то есть за год до рождения Л Эйлера Перрон в своей монографии [] приводит правильную цепную дробь для, содержащую сто звеньев Правильная цепная дробь дается в стандартной компактной форме: =+/7,5,,9. 4. 84. 5. 4,,6,6,99. 6,,5. 6,8,,7. 7. 8. 6. 5. 4,4,6,,6. 4. 4. / Как видим, никакой закономерности в правильной цепной дроби для нет Правильная цепная дробь (5), представляющая число, сходится быстро, как можно видеть из табл6 Тринадцатая подходящая дробь обеспечивает точность вычисления числа с 4-ю десятичными знаками Вообще, все правильные цепные дроби сходятся быстро, во всяком случае, быстрее, чем самая медленно сходящаяся правильная цепная дробь цепная дробь Фибоначчи (табл 7) Таблица 6 Определение значения цепной дроби звена Значения подходящих дробей,, , , ,459659, , , , , , , , Погрешность аппроксимации, , ,89675,667648,57789,6,5,94,87,6,4,, Таблица 7 Определение значения цепной дроби звена Значения подходящих дробей. 5, ,6,65, , , , , , , Погрешность апроксимации, ,896655, , , ,696655, ,69774, ,478949, ,, Можно привести несколько разложений, связанных с числом : ( ) (Броункер, 655 г)
28 ВВЕДЕНИЕ 7 4 ( ) (Эйлер, 79 г) (Ламберт, 77 г) Цепная дробь Ламберта получается из цепной дроби (6), представляющей арктангенс: x x 4x 9x x rctgx (6) 5 7 Цепная дробь (6) получена Ламбертом в 77 г Цепная дробь (6) так называемая соответствующая цепная дробь Эта дробь не равноценна степенному ряду для арктангенса, то есть ряду 5 7 x x x rctgx x (7) 5 7 В отличие от медленно сходящегося степенного ряда (7), цепная дробь Ламберта имеет высокую скорость сходимости В табл 8 приведены результаты вычислений цепной дроби Ламберта Таблица 8 Определение значения цепной дроби Ламберта 4 звена Значения подходящих дробей,,75, , , , , , , , , , , , , , , , , Погрешность апроксимации, , ,668569, ,87488,9789,5566,95744,64575,8858,486,8488,49,46,4,7. Таким образом, 9-я подходящая дробь разложения Ламберта позволяет определить с точностью 4-ти десятичных знаков 6 В первых параграфах работы [56] Эйлер приводит ряд Лейбница, (8) бесконечное произведение Валлиса , (9) и цепную дробь Броункера 4
29 8 ВВЕДЕНИЕ Ряд Лейбница равен 4 () , бесконечное произведение Валлиса, записанное в форме Эйлера (9), равно также, а цепная дробь Броункера () равна Обычно в математической литературе цепную дробь Броункера связывают с бесконечным произведением Валлиса Легко установить, что цепная дробь Броункера не связана с бесконечным произведением Валлиса, а получается из цепной дроби 4 4 x x 9x ( ) x rctgx () x 5 x ( ) ( ) x при x= Разложение () это эквивалентная степенному ряду Грегори цепная дробь: 5 7 x x x x x 9 x ( ) x rctgx 5 7 x 5 x ( ) ( ) x Сходимость цепной дроби Броункера столь же медленная, что и сходимость эквивалентного этой дроби ряда Лейбница (табл 9) Таблица 9 Определение значения цепной дроби 5 ( ) 4 звена дроби Значения подходящих дробей, , , , Погрешность аппроксимации, ,644678,955984,56865 В табл приведены значения 4 звена дроби Таблица Определение значения ряда Значения частичных сумм Погрешность аппроксимации, , , , , , , , , найденные из ряда Лейбница Аналогично преобразованию ряда в цепную дробь имеет место эквивалентное преобразование бесконечного произведения в цепную дробь, полученное английским математиком Глейшером в 874 г [9]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Запишем формулу Валлиса в виде, и используя тождество (), получим после преобразований: 4 ( ) Разложение (4), как отмечает ОПеррон [], имеется в работе Эйлера [95], опубликованной в 79 г Цепная дробь (4) может быть записана также в эквивалентном виде: () (4)
30 ВВЕДЕНИЕ 9 4 Так как цепная дробь Эйлера эквивалентна бесконечному произведению Валлиса, то можно записать: В табл и табл приведены результаты вычислений константы с использованием цепной дроби Эйлера (4) и бесконечного произведения Валлиса () Таблица Таблица Определение значения цепной дроби Определение значения произведения звена дроби Значения подходящих дробей,, , , , , , , , Интересна другая цепная дробь Погрешность ппроксимации,49675,844484, , , ,78548,785987,78598,78599 Число сомножителей Значения частичных произведений,, , ,5799, , , , , Погрешность аппроксимации,49675, , , , , ,785977,78598,78597 ( ) 4 e, (5) 4 которая может быть получена из ряда e. 4! при помощи эквивалентного преобразования Эйлера В табл приведены результаты вычислений цепной дроби (5), представ-ляющей константу e- Таблица Определение значений цепной дроби 4 e звена Значения подходящих дробей. , , , ,786766, , , , , , , , Погрешность аппроксимации, , , , ,696857, , ,865444,77964,4878,77,7944,5,, Таблица 4 Определение значения цепной дроби e 4 erf ( ) звена Значения подходящих дробей Погрешность аппроксимации
31 ВВЕДЕНИЕ Цепные дроби (5) и (6), содержащие коэффициенты гармонического ряда, указывают на глубокую связь между двумя фундаментальными константами и e Запишем цепную дробь, частные числители которой есть числа натурального ряда: (7) Цепную дробь (7) можно записать в эквивалентной форме: 4 4 В разложении (8) частными числителями и частными знаменателями являются числа гармонического ряда Не случайно поэтому цепная дробь (8) имеет своим значением выражение, содержащее как число, так и число e [5]: (8) e e erfc (, ), (9) Цепная дробь (9) входит в знаменитую формулу Рамануджана, приведенную в предисловии В табл 4 даны результаты вычислений цепной дроби, имеющей частными числителями числа натурального ряда Еще более медленно сходящейся цепной дробью, нежели цепная дробь (9), будет цепная дробь, имеющая частными числителями квадраты натуральных чисел (табл 5) Таблица 5 Определение значения цепной дроби l Цепная дробь звена Значения подходящих дробей Погрешность аппроксимации l равноценная цепная дробь, то есть она эквивалентна ряду l (), () 4 5 чем и объясняется чрезвычайно медленная сходимость цепной дроби () Помимо эквивалентных или равноценных цепных дробей существуют так называемые соответствующие цепные дроби, которые сходятся, как правило, значительно быстрее, чем ряды Ранее рассматривался пример соответствующей цепной дроби:
32 ВВЕДЕНИЕ В табл 6 приведены результаты вычислений ряда Меркатора Приведем еще одну быстро сходящуюся цепную дробь, которая может быть получена из соответствующей цепной дроби Лагранжа: При x = имеем: x x x x x x x l( x ) 5 l () 5 В табл 7 приведены результаты вычисления цепной дроби () Число членов ряда Таблица 6 Таблица 7 Определение значения ряда Определение значения цепной дроби l 4 5 Значения частичных сумм ряда,5, ,688779, , , , ,694756, Погрешность аппроксимации, , , ,49975, , , , ,49995 Таким образом, использование цепной дроби (), содержащей 8 звеньев, обеспечивает точность вычисления l с десятичными разрядами l 5 Число звеньев Значения подходящих дробей, ,7, ,69,696969, , , , , , , , , , , , Погрешность аппроксимации, , , ,865779, ,5744,76446,579444,769,449,674,8,99,75,58,, Для сравнения: применение для определения ряда (), или равноценной цепной дроби (), включающих миллионов звеньев, позволяет вычислить с точностью всего 8 десятичных знаков l l
33 ГЛАВА НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ Обобщенные непрерывные дроби Несколько отступим от традиции и определим непрерывную дробь отношением определителей вида:, () где элементы ij независимые переменные величины Что же общего между отношением определителей () и конструкцией, () которая в математической литературе собственно и определяется как непрерывная или цепная дробь? Связь между выражениями () и (), тем не менее, существует И если определять выражение () как непрерывную дробь, то выражение () следовало бы называть обыкновенной непрерывной дробью Будем, однако, называть выражение () обобщенной непрерывной дробью [7], оставляя за выражением () традиционное название цепная дробь Подходящие дроби разложения () записываются так: P P P. Q Q Q Подходящие дроби обобщенной непрерывной дроби () введем следующим образом: P P,, P Q Q, Q Легко заметить, что обобщенная непрерывная дробь () записывается отношением определителя квадратной матрицы общего вида к определителю главного минора M этой же матрицы, то есть определитель, стоящий в знаменателе, получается из опре-
34 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ делителя, записанного в числителе, вычеркиванием элементов первой строки и первого столбца Представление обобщённой непрерывной дроби отношением определителей квадратных матриц общего вида имеет то основание, что все известные классы непрерывных дробей есть частные случаи этой непрерывной дроби Например, обыкновенные непрерывные дроби, или цепные дроби, могут быть записаны отношением трёхдиагональных определителей: () Ветвящиеся непрерывные дроби с числом ветвления N=, представляются отношением определителей характерной ступенчатой структуры: Непрерывные дроби с расположением звеньев вниз и вверх также могут быть определены отношением определителей [56] Cтарший по модулю корень алгебраического уравнения
35 4 ГЛАВА x x x x x (4) представляется непрерывной дробью Хессенберга, которую можно записать отношением определителей матриц Хессенберга: x 4 (5) Важно подчеркнуть, что непрерывной дробью (5) представляется как действительный, так и комплексный корень уравнения (4) В случае, если корень комплексный, значение его по подходящим дробям непрерывной дроби Хессенберга может быть установлено при помощи r / - алгоритма [59] Цепные дроби рассматриваются как важный, но далеко не единственный класс непрерывных дробей, бесчисленное разнообразие структур которых нашло в определителях практически идеальное средство для их записи, а также для выполнения операций над ними Возможность изучения непрерывных дробей различных классов с единых позиций представляется существенным завоеванием теории Классифицировать непрерывные дроби наиболее естественным образом можно с использованием графов, которые определяют их структуру В [55] было предложено обыкновенные цепные дроби (6) описывать линейным ориентированным взвешенным графом [54]: Ветвящиеся непрерывные дроби [55]: Рис Граф цепной дроби (6) можно задавать графом типа дерева: (7)
36 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 5 Рис Граф ветвящейся непрерывной дроби (7) Для непрерывной дроби Хессенберга с четырьмя диагоналями граф имеет вид [54]: (8) Цепные дроби Рис Граф непрерывной дроби Хессенберга (8) Считается, что цепные дроби впервые появлись на страницах «Алгебры» Бомбелли, вышедшей в 57 г [5] Естественная запись цепных дробей () имеет единственный недостаток занимает значительную площадь страницы Поэтому предлагалось множество «экономичных» форм представления цепных дробей [9] В настоящее время наибольшее распространение получили две формы компактной записи цепных дробей:, () ()
37 6 ГЛАВА Запись () была предложена в 8 г известным английским астрономом и математиком Джоном Гершелем, а запись () появилась в работе немецкого математика Альфреда Прингсхейма в 898 г В книге мы используем запись Гершеля () Иногда используются такие компактные записи цепных дробей: / / / /, / / / / 4 / 4 / [ ; /, /, /, 4 / 4, 5 / 5,], () Для компактной записи цепных дробей используются также обозначения: Обозначения (4) (6) аналогичны каноническим обозначениям. (5) (6) для рядов и для бесконечных произведений Выбор символа K определился немецким словом Ketteruch (цепная дробь) Если в (5) частные знаменатели натуральные числа, то такие цепные дроби, именуемые как правильные, записываются скобками Гаусса: Конечную цепную дробь (. ) P Q,, называют отрезком цепной дроби () Используется также бесконечная цепная дробь Эту цепную дробь называют остатком цепной дроби () и обозначают r Таким образом, запишем: r Выражение () называется цепной (Ketteruch) или непрерывной дробью (cotiued frctio) Обычно i, i это действительные или комплексные числа, а также функции, как правило, полиномы первой или второй степени Но компонентами цепной дроби () могут быть и иные объекты, такие как матрицы, элементы абстрактных пространств, в которых введены операции сложения и деления, и тд [58] Давно уже изучаются операторные дроби, интегральные непрерывные дроби [8] и другие подобные агрегаты (4)
38 Элементы i НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 7 называют частными числителями (prtil umertor), i частными знаменателями (prtil deomitor), cвободным членом Иногда i и i называют элементами (elemets) Дроби именуют звеньями или частными отношениями (prtil quotiet) цепной дроби Конечную цепную дробь () называют -й подходящей дробью или аппроксимантой (pproximt) цепной дроби Числитель P и знаменатель Q подходящей дроби P/Q называют -м числителем (th umertor) и -м знаменателем (th deomitor) P и Q, записанные в виде трехдиагональных определителей, принято называть континуантами (cotiuts) Помимо символов P/Q используют и другие обозначения подходящих дробей Например, в монографиях [6, ] подходящие дроби записываются как A/B Для обозначения подходящих дробей используется также символ T(), когда речь идет о дробно-линейных преобразовниях Кроме того, аналогично символу s для частичных сумм ряда используется символ f, обозначающий -ю подходящую дробь [6]: / i i f P / Q Мы будем применять для обозначения подходящих дробей символ P / Q так как символ f традиционно используется для обозначения функций Символом иногда будем обозначать цепную дробь: Из определения -й подходящей дроби в виде отношения трехдиагональных определителей используются рекуррентные формулы: которые при начальных условиях P P,, P Q Q, (7) Q P, P, Q, Q справедливы при Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей цепной дроби (6) можно последовательно определять, используя простые рекуррентные соотношения второго порядка (7) Обычно справедливость рекуррентных формул (7) устанавливают методом математической индукции В самом деле, для = определяем непосредственно: P P P Q Q Q Можно записать: P Q Используя соотношение (7), установим: P P P P P P Q Q Q Q Q Q :
39 8 ГЛАВА P P P P Q Q Q Q Следовательно, рекуррентные соотношения (7) справедливы для всех целых Соотношения (7) впервые установлены Валлисом и подробнее были рассмотрены Эйлером Эйлером введен термин непрерывная дробь (frctio cotiu) [9] Аналогично ситуации с рядами, само по себе выражение никакого определенного смысла не имеет, ибо, как известно, действие сложения в своем непосредственном содержании имеет дело лишь с конечным числом слагаемых Смысл конструкций, имеющих бесконечное число арифметических действий, всякий раз надо определять Если ряд удобно определять через частичные суммы, то цепную дробь столь же естественно толковать через понятие подходящей дроби Определив цепную дробь как выражение (6) и введя понятие подходящей дроби, остается сделать заключительный и, казалось бы, совершенно очевидный шаг, определить значение цепной дроби как предел, к которому стремится последовательность подходящих дробей Именно так авторы в теории цепных дробей и поступают, утверждая: Цепная дробь называется сходящейся, если последовательность ее подходящих дробей имеет конечный предел: P lim Q Этот предел является значением цепной дроби [6] В [5] введено иное, отличное от традиционного, определение сходимости цепных дробей, которое позволяет суммировать расходящиеся в классическом смысле цепные дроби, то есть находить их значения Метод суммирования расходящихся цепных дробей [6-8] ( r алгоритм) нашел разнообразные применения в вычислительной математике, некоторые из них будут рассмотренны далее Цепные дроби и дробно-линейные преобразования Х Уолл в монографии Alitic theory of cotiued frctios [] определял цепные дроби, как произведение дробно-линейных преобразований ХУолл рассматривает дробно-линейную функцию общего вида z t( z). z и произведения дробно-линейных преобразований: t t ( z), t t t ( z) t t t ( ), t t t t z) t t t t ( ), tt( z) z К цепной дроби канонического вида ( z ()
40 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 9 придем, если рассмотрим частный случай дробно-линейных преобразований () Запишем цепную дробь и введем обозначения Тогда Из () видим, что T ( z), () z t ( z) z, t ( z), z T ( z) t ( z), T t ( ) () T ( z) z P Q T ( ) T ( ) Последовательно применяя преобразование (), получим: t t ( z) T t t t ( z) t t t t ( ) T ( z) T z (4) Таким образом, -ю подходящую дробь можно рассматривать как результат последовательного применения дробно-линейных преобразований в точке : T () t z t t() (5) Q Бесконечная цепная дробь может быть записана следующим образом: limtt t() limtt t( ) (6) Х Уолл, как и другие авторы [6, ], определяет значение бесконечной цепной дроби K, как значение предела дробно-линейных преобразований lim t t t () lim t t t ( ) Цепная дробь (6) сходится или является сходящейся, если предел последовательности подходящих дробей (6) существует и конечен Значение цепной дроби определяется значением предела последовательности аппроксимант Как отмечает Уолл, проблема сходимости непрерывных дробей значительно сложнее и интереснее, чем соответствующая проблема для рядов P 4 Правильные цепные дроби и некоторые их применения Правильными цепными дробями называют цепные дроби, у которых все частные числители равны единице, а все частные знаменатели, кроме, являются натуральными числами: (4)
41 4 ГЛАВА Из равенства P P ( ), (,, ) Q Q Q Q следует, что все подходящие дроби правильной цепной дроби несократимы Алгоритм Евклида дает возможность находить наибольший общий делитель (НОД) чисел u и v Пусть даны два натуральных числа u и v, причем u > v Разделив u на v, имеем Разделив v на u, имеем аналогично Продолжая, получим u q v v u u v u q v u u u q u и тд Такой процесс последовательных делений называется алгоритмом Евклида Так как u, u, u, монотонно убывающая последовательность натуральных чисел, то такой процесс конечен, те существует такой индекс, что q (следовательно, u u u, u ) Отсюда u является наибольшим общим делителем чисел u и v Часто его обозначают через (u, v) Пример Найти наибольший общий делитель чисел 59 и 454 Раскладывая по алгоритму Евклида отношение 59/454 в цепную дробь, получим / Следовательно, НОД (59, 454) = 7 Пример Найти НОД (5, 6) / 8 Следовательно, числа 5 и 6 взаимно простые Алгоритм Евклида используется для решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени Уравнение x y c, где, и с известны, а x и y неизвестны, называют неопределенным уравнением первой степени Будем считать, что, взаимно простые Тогда общее решение в целых числах рассматриваемого уравнения имеет вид []: x cq tq ( ), y ( ) cp tp, где t произвольное целое число, P - и Q - числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби в разложении / = P /Q в правильную цепную дробь
42 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 4 Одной из важнеших задач диофантова анализа является решение в целых числах уравнения Пелля x y где - положительное целое число, не являющееся квадратом Эта задача была решена Л Лагранжем при помощи цепных дробей [] Подходящие дроби правильной цепной дроби являются наилучшими приближениями Пусть любое действительное число А разложено в правильную цепную дробь Обозначим через P/Q подходящую дробь -го порядка этой цепной дроби Тогда имеет место неравенство, P A (4) Q Q Q Эти подходящие дроби являются наилучшими приближениями к числу А в том смысле, что никакая рациональная дробь со знаменателем, не превышающим Q, не может отличаться от А меньше, чем дробь P/Q Всякое действительное иррациональное число можно однозначно представить в виде бесконечной правильной дроби Всякая бесконечная правильная цепная дробь по теореме Зейделя сходится и является разложением одного и только одного иррационального действительного числа Несколько слов о периодических правильных цепных дробях Правильная цепная дробь q называется чисто периодической, если последовательность ее q q частных знаменателей q, q, q, представляет собой повторение одного и того же периода из чисел q, q, q,, q Если же такое повторение начинается не с q, а с некоторого q ( ), то правильная цепная дробь называется смешанной периодической Аналогично вводится понятие периодических цепных дробей и для цепных дробей общего вида В теории чисел важную роль играет теорема Лагранжа, утверждающая, что всякая квадратичная иррациональность разлагается в периодическую правильную цепную дробь 5 Некоторые формулы теории цепных дробей Получим так называемую детерминантную формулу Запишем разность между двумя соседними подходящими дробями: Заменяя P получим и Q P Q P P Q Q P (5) Q QQ с помощью рекуррентных формул P P Q Q Q Q P P P, Q Q Q (5), P P Q Q Q P P Q Q P Q Q
43 4 ГЛАВА Применяя то же преобразование к соотношению P Q Q P, получим P P P Q Q P Q Q Q Q Повторяя подобные преобразования, получим формулу разности между соседними подходящими дробями: то есть P P, (5) Q Q Q Q P Q Q P ( ) (54) Формула (54) называется детерминантной формулой (determit formul) Определим разность между двумя подходящими дробями, причём разность индексов подходящих равна двум Можно записать Сложив (5) и (55), получим P P (55) Q Q Q Q P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Таким образом, имеем формулу разности между подходящими дробями, индексы которых отличаются на : Заменив в (56) на, запишем: P P (56) Q Q Q Q P P (57) Q Q Q Q Используя формулу (57), можно получить Аналогично запишем P (58) Q Q Q Q Q Q Q 5 5 P P, (59) Q Q Q Q P (5) Q Q Q Q Q Q Q 4 4 Если все элементы цепной дроби положительны, то есть i, i, то для подходящих дробей разложения
44 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 4 (5) имеет место, так называемое, свойство «вилки» Из формулы (5) видно, что подходящие дроби четного порядка образуют монотонно возрастающую последовательность Очевидно, что все подходящие дроби разложения (5) четного порядка меньше величины Следовательно, подходящие дроби четного порядка образуют при положительных членах звеньев монотонно возрастающую, ограниченную сверху числом, последовательность Такая последовательность имеет предел, то есть limp Q существует Из формулы (58) следует, что при положительных членах звеньев подходящие дроби нечетного порядка образуют монотонно убывающую последовательность При этом ясно, что все подходящие дроби нечетного порядка больше Таким образом, подходящие дроби нечетного порядка образуют при положительных членах звеньев монотонно убывающую, ограниченную снизу числом последовательность Следовательно, limp Q существует Отсюда еще не следует, что limp Q limp Q В общем случае для знакоположительных цепных дробей имеет место расположение подходящих дробей (рис 4) P Q P P lim lim Q Q Q P P Q P Q P Q P Q Рис 4 Расположение подходящих дробей знакоположительной цепной дроби АН Хованский [49] так определяет сходимость цепных дробей: Если то есть, если P P lim lim Q Q P lim Q существует и конечен, то цепная дробь называется сходящейся В этом случае при положительных членах звеньев ее значение, limp больше любой ее подходящей дроби четного порядка и меньше любой ее подходящей дроби нечетного порядка, то есть имеет место свойство «вилки» Из соотношения следует, что P Q P (5) Q QQ P (5) Q Q Q Для знакоположительных цепных дробей существует практически удобная оценка погрешности аппроксимации: Q
45 44 ГЛАВА Q P Q P Q P (54) Значение для знакоположительной цепной дроби / P Q и Q P /, однако, все же несколько ближе к значению Q P / Ситуация аналогична с оценкой погрешности аппроксимации сходящимися знакопеременными рядами Собственно, для знакоположительных цепных дробей эквивалентный цепной дроби ряд является знакопеременным Можно записать тождество Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P (55) Сложив в тождестве (55) разности, определяемые формулой (5), получим Q Q Q Q Q Q Q P ) ( (56) То есть для цепной дроби можно записать ряд Q Q Q Q Q Q ) ( (57) Ряд и цепную дробь, удовлетворяющие равенству (57), называют равноценными Пример Найти равноценный ряд для цепной дроби 5 4 l (58) По формулам (57) имеем: l (59) Частичные суммы ряда (59) и -е подходящие дроби разложения (58) равны: Q P, s, Q P, s, 7 Q P, 7 s, 6 Эквивалентные преобразования цепных дробей Цепные дроби, (6) (6) называются эквивалентными, если
46 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 45 где ' ' P P, Q Q P Q Q ' ' P (. ) (6) подходящие дроби цепных дробей (6) и (6) соответственно Переход от цепной дроби (6) к цепной дроби (6) называется эквивалентным преобразованием дроби (6) Эквивалентные преобразования всегда можно записать в виде где некоторые отличные от нуля комплексные числа, (64) Основное тождество (64) широко применяется при преобразованиях цепных дробей Если, то используя (64), где, дробь (6) преобразуется к эквивалентной дроби с частными знаменателями, равными единице: где c c c (65) c c. (66) Цепную дробь (6) можно преобразовать к эквивалентной дроби с частными числителями, равными единице: где, (67) d d d d 4, d, d 7 Равноценные цепные дроби 4. Цепную дробь и ряд называют равноценными, если -я подходящая дробь цепной дроби совпадает с -й частичной суммой ряда, и наоборот, -я частичная сумма ряда имеет то же значение, что и -я подходящая дробь цепной дроби Равноценные цепные дроби находятся по коэффициентам исходного степенного ряда с использованием тождественного преобразования: c c x c x c x c cx cx cc x c c c x c c x c Помимо формулы (7), можно записать еще одно тождество: cx c x c cx c c x c c x c c x c c x c x c x c c x c c x c c x c c x (7) (7) Тождества (7) и (7) принадлежат Эйлеру [95] Частичные суммы ряда и значения подходящих дробей разложений (7) и (7) совпадают В самом деле, для цепной дроби (7):
47 46 ГЛАВА. cx c c c x c x c x c c c x c x c c x c c x c x c x c c c x c x c x c c x c c x Для цепной дроби (7). x c x c x c c x c c x c c x c c x c c x c c x c c x c x c c x c c x c c x c c x c c x c c x c c x c c Заметим, что к тождествам Эйлера (7) и (7) можно прийти, производя эквивалентные преобразования определителей Используя тождества Эйлера (7) и (7), можно записать равноценные цепные дроби для элементарных функций Например, для логарифмической функции: x x x x x x x x x x x x x x x l 5 4 (7) При х = получим равноценную цепную дробь: l (74) Цепная дробь (74) сходится так же медленно, как и ряд для l Частичные суммы ряда и подходящие дроби разложения совпадают. 5 5, 6 6 P s Q P s Q P s Q Для ряда Лейбница запишем равноценную дробь цепную дробь Броункера: 5 7 ( ) (75) Тождества Бернулли позволяют по заданной последовательности. совпадающей со значениями подходящих дробей некоторой цепной дроби, найти эту цепную дробь Эта цепная дробь может быть записана [49]: ) )( ( ) )( (, (76)
48 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 47 или в ином виде ) )( ( ) )( ( ) ( (77) Например, для цепной дроби (76) можно записать. ) )( ( ) )( ( Имеет место также тождество [49]: 4 4 ) )( ( ) )( ( (78) Рассмотрим задачу Бернулли в более общей постановке: построить цепную дробь, (79) если заданы две последовательности чисел P, P, P,, P, и Q, Q, Q,, Q, Здесь P и Q, соответственно, значения числителей и знаменателей подходящих дробей цепной дроби (79) Используя известные рекуррентные соотношения P P P, Q Q Q, получим формулы, определяющие частные числители и частные знаменатели через заданные значения P и Q подходящих дробей разложения (79): Q P Q P P Q Q P Q Q P P Q Q P P, =,, (7) Q P Q P Q P P Q Q Q P P Q Q P P, =,, (7)
49 48 ГЛАВА Если построить цепную дробь, значения подходящих которой будут совпадать со значениями частичных сумм ряда: = с, = с + с, = с + с + с, = с + с + с + с, (7) то подставляя значения т, определяемые соотношениями (7), в тождества Бернулли (76) и (77), получим цепные дроби Эйлера (7) и (7) Равноценные цепные дроби можно построить не только для рядов, но и для бесконечных произведений В 8 г Штерн опубликовал тождества [9]: Pi P P P P P Q ( P Q ) PQ ( P Q )( P Q ) P Q ( P Q )( P Q ) P Q Q Q Q Q Q P PP Q Q P P Q Q P P Q Q i i При Q = имеем: (7) P ( P ) P( P ) P ( P )( P ) P ( P )( P ) P P P P P P i P P P P P P (74) В 874 г Глейшер предложил преобразование бесконечного произведения в цепную дробь [9]: i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (75) ( ) ( ) ( ) Применяя тождество Глейшера к произведению бесконечному Валлиса, получим цепную дробь: ( ) (76) / / / 4 / В монографии Перрона [] отмечается, что цепная дробь (76) впервые встречается в работе Эйлера, опубликованной в 79 г 8 Преобразования сжатия и растяжения цепных дробей Если цепная дробь ω имеет своими подходящими дробями некоторую подпоследовательность подходящих дробей цепной дроби ω, то говорят, что цепная дробь ω является сжатой относительно дроби ω Если же цепная дробь ω имеет множество подходящих дробей, которое включает в себя, в частности, все подходящие дроби разложения ω, то цепная дробь ω в этом случае называется растянутой дробью относительно дроби ω Преобразования сжатия и растяжения цепных дробей относятся к основным преобразованиям и часто используются при исследовании сходимости цепных дробей, для построения параллельных алгоритмов, для улучшения аппроксимационных свойств аппарата цепных дробей, при получении цепных дробей заданной структуры Формулы для преобразования сжатия и растяжения цепных дробей получим, исходя из матричной записи цепных дробей Запишем обыкновенную цепную дробь
50 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 49 (8) Сжатая цепная дробь имеет вид: (8) Подходящие дроби сжатой цепной дроби (8) могут быть определены по четным или нечетным диагональным элементам Подходящие дроби (8) совпадают со значениями четных подходящих дробей разложения (8) Сжатые цепные дроби, подходящие которых равны четным или нечетным подходящим дробям разложения (8), соответственно, имеют вид ( ) ( ) ( ) (8) ) ( ) ( 4 ) ( (84) Растяжение цепной дроби сводится к построению такой цепной дроби, подходящие которой, в частности, включают все подходящие исходной дроби 9 Алгоритмы вычисления значений непрерывных дробей Алгоритм вычисления значения обыкновенной цепной дроби часто приводят в качестве примера классического последовательного алгоритма Действительно, рассмотрим конечную цепную дробь: Q p Чтобы вычислить ее значение, надо выполнить операции в естественном последовательном порядке, а именно: некоторое число 5 разделить на число 5, полученный результат просуммировать с числом 4, затем число 4 разделить на эту сумму, результат этой операции сложить с числом и так далее, продвигаясь снизу вверх, пока не выполним все операции, то есть не определим значение цепной дроби На первый взгляд может показаться, что иначе вычислить значение цепной дроби нельзя, нежели как последовательно выполняя операции, определяемые самой записью цепной дроби Но это только на первый взгляд Всякий, кто хотя бы в малой степени соприкасался с цепными дробями, знает, что вычислять значения цепных дробей можно с помощью простых рекуррентных соотношений P P P, Q Q Q
51 5 ГЛАВА при начальных условиях: P, Q, P, Q Рассмотрим кратко алгоритмы вычисления значений цепных дробей, прежде всего, обращая внимание на количество операций, необходимых при вычислении единичной цепной дроби и серии подходящих дробей Обратный рекуррентный алгоритм Алгоритм вычисления цепной дроби снизу вверх или, как он обычно именуется, BR-алгоритм [6], те обратный рекуррентный алгоритм (cwrd recurece lgorithm), определяется самой записью цепной дроби: P Q (9) Для вычисления цепной дроби (9) надо последовательно выполнять операции в естественном порядке: разделить на, результат деления сложить со значением Число делится на полученную на предыдущем шаге сумму и тд BR-алгоритм можно записать в скобочной форме: P Q : : : : (9) Процесс вычисления цепной дроби (9) снизу-вверх, то есть ВR-алгоритм, запишем в несколько иной форме: то есть d c, i i i i c i, i. c, (9) d i Запишем ВR-алгоритм в еще более простых обозначениях: P Q c (94) F. (95) F где F Таким образом, P Q F (96) Для вычисления цепной дроби (96) с звеньями, если используется ВR-алгоритм, требуется операций деления и операций сложения ВR-алгоритм очень удобен в обращении В ходе вычислений по этому методу не возникает проблемы переполнения разрядной сетки компьютера, как то имеет место в прямом рекуррентном алгоритме (FR-алгоритме) Кроме того, у ВR-алгоритма сложилась твердая репутация алгоритма, устойчивого к накоплению вычислительной погрешности Короче, ВR-алгоритм очень эффективен при счете конкретной цепной дроби Очевидно, ВR-алгоритм применим только к конечным (termitory) цепным дробям В самом деле, так как вычисления проводятся снизу-вверх, то заранее, до начала счета, должна быть определена длина цепной дроби Если после проведенных вычислений окажется, что значение функции
52 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 5 установлено с недостаточной точностью, то придется брать более длинную цепную дробь и счет производить заново, без учета вычислений, осуществленных ранее Это, конечно, не экономичная схема вычислений серий подходящих дробей, но такова специфика ВR-алгоритма Рассмотрим так называемый адитивный алгоритм, позволяющий записать цепную дробь в виде суммы цепных дробей [55]:, * * где Q P Q P Q Q * * *. Q P, Q P, Q Q ) ( Q Q Q P Q P Подробно параллельные алгоритмы вычисления значений цепных дробей рассмотрены в [55] Необходимость в вычислении серий подходящих дробей, таким образом, возникает при аппроксимации функций цепными дробями, если заранее неизвестно количество звеньев для приближения функции в данной точке с определенной точностью Многократные пересчеты цепной дроби могут, однако, оказаться неприемлимыми при жестких временных ограничениях, как то бывает в системах управления ВR-алгоритм становится непригодным, если имеем дело с определением значений длинных последовательностей подходящих дробей Q P / Но есть ли практически важные задачи, которые приводят к необходимости вычислять длинные серии подходящих дробей? Оказывается, есть И прежде всего с длинными сериями подходящих дробей приходится сталкиваться при суммировании расходящихся в классическом смысле цепных дробей при помощи r/φ-алгоритма [57] Для нахождения с достаточно высокой точностью модуля и аргумента комплексного числа, являющегося значением расходящейся цепной дроби, могут потребоваться сотни тысяч и даже миллионы подходящих дробей или отсчетов Поэтому насущно необходимы эффективные рекуррентные алгоритмы для вычисления значений длинных серий подходящих дробей Самый известный рекуррентный алгоритм это алгоритм Валлиса, опубликованый в середине семнадцатого столетия, хотя этот алгоритм был открыт задолго до Валлиса [9] Прямой рекуррентный алгоритм Прямой рекуррентный алгоритм (forwrd recurrece lgorithm) или FR-алгоритм это не что иное, как рекуррентные формулы Валлиса: P P P, Q Q Q (97) при начальных условиях. Q Q P P
53 5 ГЛАВА Рекуррентные соотношения (97) алгоритм последовательного вычисления числителей P и знаменателей Q подходящих дробей цепной дроби Напомним, что ВRалгоритм считает цепную дробь с хвоста, при этом длина цепной дроби определяется до начала счета FR-алгоритм считает цепную дробь с начала, и вовсе не обязательно заранее устанавливать номер конечного звена дроби Приллюстрируем FR-алгоритм примером: 4 P P P 5, Q Q Q, P P 45 P P P 4P 4 6 Q Q 4 Q Q 4 4Q 4Q 8 P 6, Q, P 4, Q 8, P, Q 5, FR-алгоритм позволяет вычислять величины P и Q, но при необходимости всегда можно определять текущие значения подходящих дробей: P 5, Q 6, P, Q 4, 8 4 P Q P Q 4 5, Следует обратить внимание, что при использовании FR-алгоритма нельзя по ходу дела сокращать соответствующие P и Q Например, если вместо и взять уменьшенные в шесть раз величины и, то такое сокращение приведет к неправильному значению очередной подходящей дроби: P 7 Q P , 4 Q 6, 4 P 4 Q 8 которой P 85 то есть получим 4 P вместо 4 Q4 6 Q4 5 Для вычисления при помощи FR-алгоритма значения цепной дроби с звеньями необходимо произвести операции сложения, 4 операции умножения и одну операцию деления, то есть всего 6 + операций, что втрое более, чем при счете звеньев цепной дроби с использованием ВR-алгоритма Но основной недостаток прямого рекуррентного алгоритма все же в другом Для сходящейся цепной дроби, то есть дроби, у lim P / Q существует и конечен, величины P и Q в отдельности неограниченно возрастают или убывают, выходя, как правило, достаточно быстро за разрядную сетку компьютера Основное преимущество классического прямого рекуррентного алгоритма эффективность вычисления последовательности подходящих дробей Для определения значений подходящих дробей при помощи FR-алгоритма необходимо 7 операций, в то время как используя ВR-алгоритм нужно выполнить (+) арифметических операций Матричный алгоритм Матричный алгоритм вычисления значений цепных дробей весьма близок к FR-алгоритму P (98) Q
54 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 5 Формула (98) - это так называемый матричный алгоритм определения значения цепной дроби (99) Матричное представление цепных дробей предложил английский математик Милн-Томсон в работе, опубликованной в 9 г [9] Поэтому алгоритм (98) будем называть алгоритмом Милн-Томсона Алгоритм Милн-Томсона можно использовать для организации параллельных вычислений значений цепной дроби, когда счет дроби выполняют одновременно несколько процессоров Если осуществлять последовательно перемножение слева направо, то получим вычислительную процедуру, совпадающую с классическим рекуррентным FR-алгоритмом Рассмотрим пример Имеется дробь: 4 Используя формулу (98), запишем: Q P Таким образом, можно записать: Q P Формула (98) называется, как уже отмечалось, матричным алгоритмом определения значения цепной дроби Во избежание недоразумений здесь надо привести некоторые разъяснения На самом деле, вычислительная процедура, состоящая из произведений матриц, то есть выражение (98), определяет матрицу-столбец, состоящую из двух чисел: Q P, и ничего более Однако эти числа P и Q как раз и являются числителями и знаменателями подходящих дробей цепной дроби (98), значения которой устанавливаются В [55] было введено обозначение: Q P Q P Следовательно, матричный алгоритм примет модифицированную форму: Q P (9) Для бесконечной цепной дроби можно дать такое матричное представление: lim (9) Поэтому можно сказать, что цепная дробь (99) сходится в классическом смысле, если существует предел произведения матриц (9)
55 54 ГЛАВА Представим некоторые цепные дроби бесконечным произведением матриц: 5 lim, 4 / e lim 4 erfc Метод континуант Цепную дробь можно представить отношением трехдиагональных определителей: (9) M M определитель главного минора, то есть определитель, стоящий в знаменателе, получающийся из определителя, записанного в числителе, вычёркиванием элементов первой строки и первого столбца Определители, стоящие в числителе и знаменателе выражения (9), очевидно, могут быть определены при помощи известных рекуррентных формул (97) Вычислить трехдиагональные определители можно не только используя рекуррентные формулы (97) Применяя формулу Лапласа, запишем числитель и знаменатель следующим образом: P P Q
56 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ (9) Аналогично можно записать Q : Q (94) Выражения (9) и (94) запишем в более компактном виде: P Q Q P Q P P P P P. (95) где ) ; ( ). ( i Q i P i i соответственно, числители и знаменатели цепных дробей:, Q P, Q P. Q P, 4, 4 P Q Вычисления значений P и Q по формулам (95) целесообразно выполнять на многопроцессорных ЭВМ, или, как говорят в последние годы, на суперкомпьютерах Алгоритм Тейкроу Тейкроу [] предложил следующий рекуррентный алгоритм вычисления значений цепных дробей:, i i Q P (96) где, i i i i r,,4, ) ( i r i i i
57 56 ГЛАВА Начальные значения, r, Можно показать, что алгоритм Тейкроу ( - алгоритм) эквивалентен построению равноценного ряда для цепной дроби, те P ( ) j P P j Q Q Q Q Q Для нахождения значения очередной подходящей дроби по алгоритму Тейкроу необходимо выполнение 8 операций: операции сложения, операции умножения и операции деления Для подсчета значения цепной дроби, содержащей звеньев, требуется 8 операций Число операций при вычислении подряд подходящих дробей по алгоритму Тейкроу равно 9 Можно предложить более экономичные рекуррентные формулы [6] - алгоритм Известна формула Следовательно, ( ) P P f f f Q Q Q Q f Q, (97) f Q где Q Q, Из соотношения (97) имеем,, f f f. (98) Так как f f f, то используя формулы (97) и (98), можно находить значение очередной подходящей дроби, выполняя всего 6 операций: операции сложения, операцию умножения и операции деления Такое же количество арифметических операций, но другого состава, необходимо провести для нахождения значения подходящей дроби в -алгоритме - алгоритм Имеет место рекуррентная формула P Q P Q, (9)
58 P где, P НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 57 Q Q,, В алгоритме для определения значения последующей подходящей дроби необходимо выполнить 6 операций: операции деления, операцию умножения и операции сложения Рассмотренные выше рекуррентные алгоритмы Тейкроу, и - алгоритмы позволяют на каждом этапе вычислений получать значение очередной подходящей дроби Хотя по этим алгоритмам цепная дробь вычисляется "сверху-вниз" и используются рекуррентные формулы, однако вычисляется значение подходящей дроби P Q, а не величины и как в прямом рекуррентном алгоритме, те они не имеют недостатка FR - алгоритма, связанного с возможностью переполнения разрядной сетки ЭВМ При этом, в отличие же от BR - алгоритма, не возникает трудностей с вычислением серии подходящих дробей Количество операций, необходимое для вычисления -звенной обыкновенной цепной дроби и последовательности подходящих дробей P Q, P Q,, P Q при использовании различных алгоритмов, приведено в табл Из табл видно, что BR-алгоритм, весьма эффективный при вычислении -звенной цепной дроби, оказывается мало пригодным для нахождения значений серии подходящих дробей, которые применяются при суммировании по Никипорцу Наиболее пригодными при вычислении серий подходящих дробей можно рассматривать -алгоритм и -алгоритм При вычислениях, как правило, используется -алгоритм P Q, Таблица Характеристики алгоритмов вычисления значений цепных дробей Алгоритм Число операций при вычислении -звенной дроби Число операций при вычислении Сложение Умножение Деление Общее число cерии < >BR-алгоритм (+) FR-алгоритм Матричный Континуант Тейкроу алгоритм алгоритм 6 7 P Q i i Некоторые классические теоремы о сходимости цепных дробей Приведем определение сходимости цепных дробей, данное СС Хлопониным [48] Это определение вполне традиционно Цепная дробь (, ) K, () у которой существует конечный предел P lim Q называется сходящейся Значение ее принимает равным этому пределу В противном случае, цепная дробь называется расходящейся
59 58 ГЛАВА Как известно, сходимость рядов и бесконечных произведений не зависит от их первых членов, а зависит лишь от характера изменения их общего члена при неограниченом возврастании Сходимость же цепной дроби, вообще говоря, зависит и от их первых звеньев Это обстоятельство заставляет ввести понятие безусловной и условной сходимости Сходящаяся цепная дробь K называется безусловно сходящейся, если она остается сходящейся при отбрасывании любого числа начальных звеньев, те если цепные дроби m K, m,, m все сходятся В противном случае сходящаяся цепная дробь называется условно сходящейся В теории цепных дробей часто рассматривается также понятие несущественной и существенной расходимости Если Если же P lim Q P lim Q, то цепная дробь называется несущественно расходящейся не существует, то цепную дробь называют существенно расходящейся Будем говорить, что цепная дробь () сходится в широком смысле, если она не является существенно расходящейся, иными словами, если существует конечный или бесконечный предел последовательности ее подходящих дробей В этом параграфе приведем некоторые классические теоремы о сходимости цепных дробей, доказательство которых можно найти в монографиях [6, 6] Теорема Цепная дробь () c действительными положительными i ( i,, ) сходится тогда и только тогда, когда расходится ряд Теорема Цепная дробь () c действительными положительными элементами сходится тогда и только тогда, когда расходится по крайней мере один из рядов 4, 5 4 Утверждение теоремы следует из теоремы, если, используя эквивалентные преобразования, дробь () привести к виду () Теоремы и принадлежат Зейделю Теорема (Штерн [4]) Цепная дробь () с положительными элементами сходится, если расходится ряд
60 НАЧАЛА ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 59 Более общий достаточный признак сходимости, установлен Прингсхеймом [4] Теорема 4 Непрерывная дробь () с действительными положительными членами сходится, если расходится ряд Приведем признаки сходимости цепных дробей с комплексными элементами Рассмотрим периодическую цепную дробь (4) с комплексными элементами и связанную с ней цепную дробь w S( w), где w комплексная переменная Рассматривая S(w) как (+)-ю подходящую дробь, находим A wa S ( w) (5) B wb Неподвижной точкой дробно-линейного преобразования (5) называется точка х A wa x B wb Если B, то неподвижные точки являются корнями квадратного уравнения B x ( B A ) x A Теорема 5 (Уолл []) Пусть и две неподвижные точки дробно-линейного отображения (5) Непрерывная дробь (4) с комплексными элементами сходится тогда и только тогда, когда и конечные числа, удовлетворяющие одному из условий: x x, x x x x A A или x x, B B причем дробь (4) сходится к неподвижной точке x Теорема 6 (Кох [4]) Цепная дробь (6) с комплексными частными знаменателями i i расходится, если ряд сходится Более того, существуют конечные пределы lim F lim F, lim P (7), P B G, lim B G и выполняется условие F G FG (8) Отсюда следует, что расходимость ряда (7) необходима для сходимости дроби (6)
61 6 ГЛАВА Теорема 7 (Ван Флек [4]) Пусть элементы цепной дроби (6) i ( i. ) принадлежат области где D z C, z, rg z, Тогда цепная дробь (6) сходится тогда и только тогда, когда ряд расходится Теорема 8 (Ворпицкий [4]) Цепная дробь с комплексными элементами сходится, если для всех 4 Теорема 9 (Слешинский Прингсхейм [4]) Цепная дробь с комплексными элементами сходится, если для всех
62 ГЛАВА СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Алгоритмы построения соответствующих цепных дробей В литературе по цепным дробям давно отмечено, что медленно сходящиеся и даже расходящиеся ряды могут быть просуммированы путём преобразования этих рядов в, так называемые, соответствующие цепные дроби Соответствующие цепные дроби не тождественны степенным рядам Обычно соответствующие цепные дроби определяются следующим образом [6] Для степенного ряда x x x x () можно построить по определённому алгоритму цепную дробь α + α x α x α x α x () такую, что разложение в ряд -й подходящей дроби будет совпадать с исходным степенным рядом () вплоть до члена β z включительно: P (x) Q () (x) = β + β x + β x + + β x + γ + x + + Цепную дробь () называют соответствующей (orrespodierede) данному ряду Для построения соответствующих цепных дробей используются формулы Хейлерманна-Стилтьеса [4] и другие алгоритмы Следует, однако, отметить, что соответствующие цепные дроби, которые строятся по степенным рядам, могут быть как бесконечными, так и конечными Цепная дробь, соответствующая степенному ряду () конечна тогда, когда степенной ряд является рядом Тейлора для рациональной функции [4] Примеры конечных соответствующих цепных дробей будут рассматриваться в этой главе при суммировании расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана Поэтому предлагается несколько иное,чем общепринятое, определение соответствующих цепных дробей: Соответствующие цепные дроби это конечные или бесконечные цепные дроби вида (), которые могут быть построены из степенного ряда () с использованием формул Хейлерманна-Стилтьеса или других эквивалентных алгоритмов Формулы Хейлерманна-Стилтьеса Определим суммирование рядов через соответствующие цепные дроби Степенной ряд c c x c x c x сходится к значению соответствующей ряду цепной дроби x x x x x, (4) (5) которая является производящей функцией, порождающей этот ряд Коэффициенты ω i соответствующей цепной дроби (5) и степенного ряда (4) связаны формулами Хейлерманна-Стилтьеса [4]:
63 6 ГЛАВА где φ и ψ определители Ганкеля: c, c. c c c c c c c c c c c4 c,, c c c c c c, (6) Числовой ряд c c c c (7) суммируется значением цепной дроби (5) при x = Можно определить суммирование рядов не только через цепную дробь (5), но и через, так называемую, сопряженную цепную дробь, имеющую с цепной дробью (5) одни и те же значения нечетных подходящих дробей: Степенной ряд c c x c x c x (8) сходится к значению соответствующей ряду цепной дроби ' x ' x ' x ' x ' x (9) которая является производящей функцией, порождающей этот ряд Коэффициенты w i, соответствующей цепной дроби (9) и коэффициенты степенного ряда (8) связаны соотношениями: ', Числовой ряд ' c c ' ' ' ' ', ' ; c c ' ' ' ' c c c c c c, ' c c c ' ', c c c c c c c c c c, () суммируется значением цепной дроби (9) при x = Вывод формул Хейлерманна-Стилтьеса имеется в [4] При определении сходимости степенных рядов через соответствующие цепные дроби область сходимости рядов совпадает с областью сходимости соответствующих цепных дробей Следует подчеркнуть, что сходимость цепных дробей определяется не в классическом смысле, а в более общей формулировке, при помощи r/φ-алгоритма [5], что во многих важных случаях приводит к расширению области сходимости цепных дробей Например, степенной ряд логарифмической функции, если сходимость его определять через соответствующую цепную дробь, может аппроксимировать функцию l ( + x) не только в единичном круге, а и на плоскости комплексного переменного без
64 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 6 вырезов по отрицательной оси от до, то есть устанавливать и комплексные значения логарифмической функции, которые она принимает при отрицательных значениях аргумента Следует здесь особо подчеркнуть, что предлагаемый алгоритм суммирования рядов весьма эффективен и применительно к рядам, сходящимся в классическом смысле В табл и табл приведены, соответственно, результаты вычисления l при помощи ряда Меркатора l, () 4 5 и с использованием соответствующей цепной дроби l 4 5 () Таблица Таблица Определение значения l при помощи ряда () Определение значения l соответствующей цепной дробью () Погрешность Число Значения Погрешность Число Значения аппроксимации звеньев подходящих аппроксимации членов ряда частичных сумм ε = l = дроби дробей = l P /Q ,69,6969, , ,694754, , , ,86577,548748,574,764,5794,76,44,67 Использование соответствующей цепной дроби (), содержащей звеньев, обеспечивает точность вычисления l с девятью десятичными разрядами Для сравнения: применение для определения l ряда (), включающего миллионов слагаемых, позволяет вычислить l всего с восемью верными десятичными знаками Метод Никипорца Известно немалое число алгоритмов построения соответствующих цепных дробей: формулы Хейлерманна-Стилтьеса, Тиле, Хлопонина и другие [7] Рассмотрим алгоритм построения соответствующих цепных дробей, который называют «методом деления рядов», или методом Никипорца [55] Описание этого алгоритма позволяет наиболее наглядно показать, как строятся по степенным рядам соотвветствующие цепные дроби Пусть функция представлена степенным рядом: f(x) = () + x + x + x + + x + или где Запишем ряд () следующим образом: Найдём z f(x) = + xz f ( x) z x x x 4 x z + x + x + x +,
65 64 ГЛАВА где Определим z = z. 4 ' z c x c x c x c x 4 4 x x x Запишем значения первых коэффициентов с i : c c = c 4 4 c Далее представим z следующим образом: z = c xz, ' z c c c4 z x x x, c x c c c z = d x + d x d x + d 4 x 4, c c c c d, d, d, d, c c c c Определим z ' z e x e x e x e xz z dx dx dx Таким образом, получим следующие соотношения: f ( x) xz, z c xz, ' ' z e xz, Заменим коэффициенты а, а, с, е, через. Так как z = z, перепишем эти равенства следующим образом: x f ( x) xz, ' z x z xz, z ' ' z x xz, ' ' z Исключая z, z, z,, получим соответствующую цепную дробь (5) Определим коэффициенты дроби (5) через коэффициенты исходного ряда () ω = α, ω = α, ω = c = =, ω = e = d, d = c = c 4
66 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 65 Следовательно, Аналогично определяются следующие коэффициенты цепной дроби (5): ( 4 ) 4, ( ) [ ( ) ( ) ( )], ( )( 4 ) ( ) 6 ( 4 ) 5 ( 5 4 ) 4 ( 4 5 ) 6 ( 4 ) 5 ( ) 4 ( 4 ) ( 4 ) Запишем несколько первых коэффициентов i соответствующей цепной дроби, используя формулы Хейлерманна-Стилтьеса (6). [ 5, ( 4 ( 4), ) ( ) 4( 4 ) ( 4) ] ( )( Как видим, формулы Хейлерманна-Стилтьеса (6) дают те же коэффициенты соответствующей цепной дроби (5) для степенного ряда (), что и «метод деления рядов» Легко заметить, что «явные» формулы (6) преобразования рядов в соответствующе цепные дроби мало пригодны в практическом плане, так как требуют вычисления определителей матриц Ганкеля высоких порядков Известны эффективные рекуррентные формулы нахождения коэффициентов i соответствующих цепных дробей по коэффициентам i исходных рядов, в частности, алгоритмы Висковатова, Хлопонина и Рутисхаузера [65] 4 ) Рекуррентный алгоритм Рутисхаузера Определим для ряда,, x,x, x, x (4) коэффициенты α, соответствующей цепной дроби, x,x,x 4,x 5,x,x, x, (5) Коэффициенты цепной дроби (5), исходя из коэффициентов степенного ряда (4), находятся по рекуррентным формулам Рутисхаузера [7]. α,v = α,v+ + α,v, 4. α 5,v = α,v+ α 4,v+ + α 4,v,,
67 66 ГЛАВА. α +,v = α,v+ α,v+ + α,v (6) Элемент таблицы Рутисхаузера определяется по формулам (6) всего за две операции: при нахождении элемента нечетной строки нужна одна операция сложения и одна операция вычитания, при нахождении элемента четной строки используется одна операция умножения и одна операция деления Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (6), показана на рис α α α α α 4 α 5 α 6 ω α ω α α α α 4 α 5 α ω α α α α 4 α 4 ω 4 α 4 α 4 α 4 α 5 ω 5 α 5 α 5 α 6 ω 6 α 6 α 7 ω 7 Рис Схема алгоритма Рутисхаузера Сравнивая (4) и (5), соответственно, с выражениями () и (5), можно записать: и,, Найдём по формулам (6) несколько первых коэффициентов i, соответствующей цепной дроби (5): α = ω = α, Так как α = ω = α,, 4 4. 4 то подставляя эти значения в (4), имеем ( 4 ) 4 4 ( ) Аналогично установим значение коэффициента 5: α 5 = ω 5 = α α 4 + α 4, (7)
68 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 67 После подстановки получим: 5 5 5( ) 4( 4 ) ( 4) ( )( ) Таким образом, рекуррентный алгоритм Рутисхаузера дает те же коэффициенты для соответствующей цепной дроби, которые получены «методом деления рядов» и по формулам Хейлерманна-Стилтьеса Суммирование расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана В анализе известна формула, связывающая дзета-функцию Римана с числами Бернулли [84]: ) 4 ( ) ()! ( B где B числа Бернулли Обычно числа Бернулли определяются через производящую функцию: B, B 6 x B x e B B x x!! B x! 4 B x! ( ) ( )! B, B, B, B, 4, B, B 4, B 5, B 66 69, B 7,, 7, B , 5 Числа Бернулли могут быть установлены детерминантной формулой Лапласа []. 4! ( ). B ( )!! ( )!! () Значения расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана, определяются также через числа Бернулли Эйлером [8] было установлено соотношение: В частности, ( ) ( ) 4 B. 4 B,, 4,, () () (4) (5) Найдём значения расходящихся рядов () не посредством формулы Эйлера, () а преобразованием этих рядов в соответствующие цепные дроби, которые были определены выше Во второй колонке табл приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для «колеблющегося» ряда Лейбница ()
69 68 ГЛАВА Таблица Определение значения ряда + + звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q Подставляя значения коэффициентов в цепную дробь (), получим: Таким образом, Этот же результат для ряда Лейбница получим по формуле () при = : B В табл 4 8 приведены коэффициенты соответствующих цепных дробей, найденных для расходящихся рядов (4) и (5) при =,, Следует обратить внимание, что найденные для рядов соответствующие цепные дроби конечные Число звеньев N конечных цепных дробей, суммирующих расходящиеся ряды, равно удвоенной степени слагаемых этих рядов плюс две единицы: Например, ряд (6) суммируется цепной дробью с числом звеньев, которое определяется выражением (6) при = 5: N 5 Определим цепную дробь, суммирующую ряд N 4 5 Во второй колонке табл 4 приведены коэффициенты этой цепной дроби Таблица 4 Определение значения ряда звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q ,9е 5 (7) Коэффициент ω 5 =,9е 5, то есть имеет значение, которое будем считать нулевым Аналогично, и для других цепных дробей полагаем нулевыми коэффициенты i, если эти коэффициенты имеют такой же порядок малости После подстановки в цепную дробь (5) значений коэффициентов ω i получим: (8) Следует отметить одно обстоятельство Из формул (6), определяющих значения коэффициентов соответствующих цепных дробей по коэффициентам ряда, следует, что если коэффициенты ряда целые числа, то коэффициенты соответствующих цепных дробей рациональные По формулам (6) для ряда (7) найдём. 4, 5 6 Подставляя эти коэффициенты в цепную дробь (), получим:
70 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 69 6,5 4 Из формулы (4) также следует, что B,5 6 4 Таким образом, значение расходящегося ряда (7) установлено двумя различными способами, построением соответствующей цепной дроби и формулой суммирования (4), включающей числа Бернулли Установим цепную дробь, суммирующую ряд (9) Во второй колонке табл 5 приведены коэффициенты соответствующей ряду (9) цепной дроби Таблица 5 Определение значения ряда звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q ,е 54 7 Значение расходящегося ряда (9) определяется конечной цепной дробью, имеющей нулевое значение: Расходящийся ряд (9) имеет нулевое значение, что согласуется с формулой (5) Здесь уместно привести высказывание Нильса Абеля в связи с определением значений расходящихся рядов []: «Можно ли вообразить себе что либо более возмутительное, чем утверждение, будто бы = , где целое положительное число?» Продолжим суммирование расходящихся рядов через соответствующие цепные дроби Расходящийся ряд 4 5 () имеет соответствующую цепную дробь, коэффициенты которой приведены в табл 6: Таблица 6 Определение значения ряда звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q
71 7 ГЛАВА Следовательно, Из соотношения (4) можно записать: B ,5 8 () Таким образом, соответствующая цепная дробь () для расходящегося ряда () дает то же значение, что и формула (4) Запишем еще одну цепную дробь, которая суммирует расходящийся ряд () Коэффициенты соответствующей цепной дроби приведены во второй колонке табл 7 Таблица 7 Определение значения ряда звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q Нулевое значение ряда () установлено через соответствующею цепную дробь: () Нулевое значение ряда () также определяется формулой суммирования (5) Найдём цепную дробь для расходящегося ряда (4) Коэффициенты соответствующей ряду (4) цепной дроби помещены во второй колонке табл 8 Таблица 8 Определение значения ряда Коэффициенты цепной Значения подходящих звена, дроби, дробей, P /Q
72 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Продолжение табл Значение расходящегося ряда (4) установлено преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь: (5) Используя формулу (4), имеем то же значение для расходящегося ряда (4): B 6, В анализе, помимо дзета-функции Римана рассматривается функция (): ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) E, ( )! где E числа Эйлера Числами Эйлера называют [84] коэффициенты в разложении e x x e E x!, x 4 ( )! E, E, E ( ) (6) E, E 5, E 6, E 85, E 55, E 7765, E 99698, Числа Эйлера E определяются также детерминантной формулой [], аналогичной формуле Лапласа: /! / 4! / 6! / ( )! /! / 4! / ( )! E ( )! /! / ( 4)! Известна формула суммирования рядов [4]: /! (7)
73 7 ГЛАВА 5 7 E. (8) Запишем формулы суммирования рядов (8) для нечётных и чётных степеней: 5 7 E. (9) 5 7 E. () Так как E =, то 5 7. () Установим значения расходящихся рядов, связанных с функцией (), преобразовывая эти ряды в соответствующие цепные дроби В табл 9 приведены коэфициенты цепной дроби, суммирующей ряд () Таблица 9 Определение значения ряда звена, Значения коэффициентов цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q Следовательно, () Если использовать при суммировании ряда () формулу (), то получим также нулевое значение: (4) Таким образом, значение ряда () установлено как построением соответствующей цепной дроби, так и формулой суммирования (9), включающей числа Эйлера Найдём значение ряда (5) В табл помещены коэффициенты соответствующий ряду (5) цепной дроби Число звеньев N конечных цепных дробей, соответствующих рядам , также определяется формулой (6), то есть N = +, где -степень слагаемых расходящегося ряда Таблица Определение значения ряда звена, Значения коэффициентов цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q
74 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 7 Таким образом, По формуле () имеем то же значение расходящегося ряда (5): E ( ),5 Аналогично найдём значение расходящегося ряда: (6) В табл приведены коэффициенты соответствующей ряду (6) цепной дроби Таблица Определение значения ряда Значения коэффициентов Значения подходящих звена, цепной дроби, дробей, P /Q Таким образом, То есть, расходящийся ряд (6) имеет нулевое значение Это же нулевое значение ряда (6) определяет формула (): E Найдём значение ряда (7) построением соответствующей цепной дроби В табл приведены коэффициенты этой цепной дроби Таблица Определение значения ряда звена, Значения коэффициентов цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q
75 74 ГЛАВА Следовательно, значение ряда (7) определяется конечной цепной дробью: ,5 Это же значение ряда (7) даёт формула (): E 4 5,5 Найдём значение ряда (8) В табл помещены коэффициенты соответствующей ряду (8) цепной дроби Таким образом, Таблица Определение значения ряда звена, Значения коэффициентов цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q Расходящийся ряд (8) имеет нулевое значение Это же нулевое значение ряда (8) определяет формула (): E 5 Определим значение ряда (9) В табл 4 помещены коэффициенты соответствующей ряду (9) цепной дроби
76 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 75 Таблица 4 Определение значения ряда Значения коэффициентов Значения подходящих звена, цепной дроби, дробей, P /Q Таким образом, устанавливаем значение расходящегося ряда (9): ,5 Этот же значение ряда (9) определяет формула () E 6 ( 6),5 Как отмечалось выше, в анализе весьма широкое применение имеют числа Бернулли Используем формулу Лапласа () для нахождения предела, связанного с числами Бернулли Известно [57], что периодические непрерывные дроби Хессенберга, то есть выражения вида x () представляют корень алгебраического уравнения -й степени: x x x x () Если корень x i действительный, то выражение () определяет старший по модулю корень алгебраического уравнения Если корень x i комплексный, то установить его непосредственно из соотношения () нельзя Значение этого комплексного корня можно найти при помощи r/φ-алгоритма, когда из серии подходящих вещественных дробей непрерывной дроби () устанавливаются модуль и аргумент комплексного числа 4
77 76 ГЛАВА Рассмотрим уравнение x x x ( ) ()!! ( )! В табл 5 приведены результаты вычислений старшего по модулю корня уравнения 5-й степени Замена исходного уравнения близким предпринято для того, чтобы избежать деления на ноль при определении значений подходящих дробей звена дроби Таблица 5 Нахождение корня алгебраического уравнения 5 4 x x x!! 6! Значения подходящих дробей Значение модуля, r Значение аргумента, φ () Из колонок и 4 табл 5 можно видеть, что значением корня x уравнения () является мнимое число, близкое к значению i/π i i e Следовательно, можно записать значение периодической цепной дроби Хессенберга: /! /! / 4! / 5! /! /! / 4! /! /! /! i x /! /! / 4! /! /! /! i e (4) Из соотношения (4) и формулы Лапласа () устанавливаем предел, связанный с отношением соседних чисел Бернулли: B i lim B (5) Предел (5) не может быть установлен в классическом смысле, так как при отношение определителей (4) не сходится ни к какой границе Однако значение периодической цепной дроби Хессенберга (4), как видно из табл 5, находится при помощи r/φ-алгоритма
78 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 77 Учитывая соотношения () и (5), определим предел, связанный с отношением расходящихся рядов: ( ) B 4 5 lim lim i ( 4 5 ) ( ) B (6) Выше было установлено, что расходящиеся ряды (), суммируются конечными цепными дробями, причём, число звеньев этих цепных дробей равно удвоенной степени слагаемых ряда плюс две единицы Таким образом можно записать: - - ( ) ( ) + 4 B (7) Из выражения (7) следует, что числа Бернулли можно представить конечными цепными дробями, коэффициенты которых определяются по коэффициентам исходного расходящегося ряда () с использованием формул Хейлерманна-Стильтьеса (6) или алгоритмом Рутисхаузера (6): ( ) 4 B (8) Так как числа Бернулли представляются определителями Лапласа (), то выражение (8) можно рассматривать как разложение в цепную дробь этих определителей Установим предел, связанный с отношением соседних чисел Эйлера, как то было сделано для чисел Бернулли Для чисел Эйлера известна детерминатная формула (7) Определитель, стоящий в формуле (7) определитель Хессенберга Отношение этих определителей при стремится к старшему по модулю корню алгебраического уравнения: x x! x 4! x 6! ( ), ()! (9) В табл 6 приведены результаты вычислений старшего по модулю корня уравнения (9) при = 5 Таблица 6 Нахождение корня уравнения 5 4 x x x x! 4! 6! 5! x =, дроби Значения подходящих дробей, , , ,458479, ,458496, ,458477, , Значение погрешности ε = x x (),899,899,6,84,587,564,59,789,9,4 (4) Следовательно, можно записать значение бесконечной периодической цепной дроби Хессенберга:
79 78 ГЛАВА x /! / 4! /! /! / 6! / 4! /! / 4! /! / 8! / 6! / 4! /! / 6! / 4! /! 4, (4) Учитывая (4) и детерминантную формулу (7) для чисел Эйлера, можно записать предел, связанный с отношением соседних чисел Эйлера с чётными номерами: E 4 lim ( ) E (4) Определение значений расходящихся рядов, связанных с дзета-функций Римана, выполнено построением для этих рядов, так называемых, соответствующих цепных дробей Эти соответствующие цепные дроби конечные, причём, число звеньев пропорционально степени слагаемых этих расходящихся рядов, которые, как известно, суммируется рациональными выражениями, включающих числа Бернулли и Эйлера Тем самым, получены разложения в конечные цепные дроби чисел Бернулли и Эйлера, имеющих как чётные, так и нечётные порядковые номера, что открывает новые возможности в изучении этих чисел методами цепных дробей, в частности, исследованием их с использованием r/-алгоритма Об одном алгоритме представления рациональных чисел конечными цепными дробями Алгоритм Евклида позволяет записывать рациональные числа / цепными дробями вида: q q q q, () q где q i целые положительные числа Рациональное число представляется алгоритмом Евклида конечной цепной дробью, причём, запись рациональных чисел в виде цепной дроби () с последним элементом q > единственная [46] Рациональные числа можно, однако, представить конечными цепными дробями алгоритмом, который отличается от классического алгоритма Евклида Этот алгоритм связан с построением, так называемых, соответствующих цепных дробей, которые часто именуются как С-дроби Если цепные дроби (), которые называют арифметическими или правильными, применяются прежде всего в теории чисел [, 76], то С-дроби широко используются в математическом анализе [, 4, 6, 5] и в вычислительной математике [, 5, 9, 74, 9, ] Запишем рациональное число /, где >, в виде бесконечной периодической десятичной дроби Не теряя общности, будем полагать, что имеет место чисто периодическая десятичная дробь:
80 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 79 которую представим в виде ряда. () Построим для ряда () соответствующую цепную дробь по рекуррентному алгоритму Рутисхаузера, то есть по формулам (6) Запишем ряд () в виде: По формулам (6) найдём коэффициенты i соответствующей цепной дроби 4,, () Так как исходная бесконечная десятичная дробь периодическая и представляет рациональное число /, то соответствующая цепная дробь () будет конечной В этом есть сходство с представлением рациональных чисел конечными цепными дробями, получаемыми по алгоритму Евклида В качестве примера найдём конечную цепную дробь для отношения соседних чисел Фибоначчи F 7 F 6 Числа Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению: F F F, F, F Таким образом, числа Фибоначчи составляют последовательность. 5, 8. 4, 55, 89, 44,, Числа Фибоначчи имеют замечательную особенность, а именно, отношение соседних чисел Фибоначчи F F по алгоритму Евклида представляется правильной цепной дробью, то есть цепной дробью вида (), которая имеет все частные знаменатели q i, равными единице: F F звеньев В табл 7 приведены коэффициенты i соответствующей цепной дроби, полученные алгоритмом Рутисхаузера из представления рационального числа / рядом (4) F 7, ,(6584) F Таблица 7 Коэффициенты i соответствующей ряду (4) цепной дроби звена, Коэффициенты цепной дроби, Значения подходящих дробей, P /Q. 6,6, , ,48,6 4 -, , ,94488, , , ,58474, , , ,76e 55 (4)
81 8 ГЛАВА Таким образом, можно записать конечную цепную дробь, в которую раскладывается рациональное число, заданное отношением чисел Фибоначчи F F 6 : F7,6,66,48,455,,968,,6 F 6 (5) Эквивалентными преобразованиями цепная дробь (5) может быть приведёна к виду: 8, (6) 8 где i и i целые числа Аналогичным приёмом, то есть построением соответствующих цепных дробей через ряды, можно построить конечные цепные дроби для простейших дробей вида /q, где q целое число Очевидно, что дробь /q разложить в цепные дроби, используя алгоритм Евклида, нельзя В качестве примера рассмотрим разложение числа /7 в цепную дробь, ,(4857) (7) В табл 8 приведены коэффициенты ω соответствующей ряду (7) конечной цепной дроби, полученной с использование алгоритма Рутисхаузера Таблица 8 Коэффициенты i соответствующий ряду (7) цепной дроби звена, Коэффициенты цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q e-55 Так как девятый коэффициент цепной дроби близок к нулю, то имеем конечную цепную дробь, представляющую число /7. 4,5,5,48,948,546,546 7 (8) Возвращаясь к замечанию, сделанному к цепной дроби (5), отметим, что конечная цепная дробь (8) для числа /7 может быть преобразована к цепной дроби с целочисленными элементами Полученные конечные цепные дроби (5) и (8) следует рассматривать как частные случаи соответствующих цепных дробей для степенных рядов: 4 6x x 5x x 8x 4x 6x 5 6x,66 x 4,8 x 4,55 x, x,968 x, x,6 x (9) 4 x 4x x 8x 5x 7x x x 4x,5x,5x,48 x 9,48 x,546 x,546 x ()
82 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 8 При x = из цепных дробей (9) и () получим цепные дроби (5) и (8) Рассматриваемые степенные ряды, очевидно, являются расходящимися при x Тем не менее, эти расходящиеся ряды при x, очевидно, могут быть просуммированы, то есть могут быть установлены их значения, через конечные цепные дроби (9) и () при x «Сворачивая» цепные дроби (9) и () получим дробно-рациональные функции, для которых могут быть определены нули и полюсы В частности, конечная цепная дробь () имеющая восемь звеньев, после эквивалентных преобразований примет вид: P8 ( x) x( c cx cx c4x ) 4 Q8 ( x) d dx dx d4x d5x Вернемся к цепной дроби Фибоначчи: F lim () F К цепной дроби Фибоначчи () можно прийти, не только выполняя по алгоритму Евклида разложение в цепную дробь отношения чисел Фибоначчи F F при, но и раскладывая в соответствующую цепную дробь ряд, которым может быть представлен корень квадратного уравнения x px q () Из формулы бинома Ньютона следует известный ряд, которым представляется корень квадратного уравнения (): 4 5 p p q q q 5q 4q ( ) Cq x q p, p p p p p p где C числа Каталана () С =, С =, С =, С = 5, С 4 = 4, С 5 = 4, С 6=, Имеется ряд рекуррентных и явных формул для чисел Каталана, например, формула Эйлера [84]: 6 (4 ) C, ( )! По ряду () можно построить соответствующую цепную дробь для корня квадратного уравнения (): p x p 4 q p q p q p q p q p (4) Если в квадратном уравнении () положить p = и q =, то из () и (4) получим: 5 (5) ( ) x C, 5 F x lim,68, F (6) где C -е число Каталана, F -е число Фибоначчи Таким образом, цепную дробь Фибоначчи (), определяющую корень квадратного уравнения x x =, можно получить преобразованием в соответствующую цепную дробь расходящегося знакопеременного ряда (5), составленного из чисел Каталана Корень квадратного уравнения x px q (7) может быть представлен рядом
83 8 ГЛАВА p p q q q 5q 4q 4q q 49q x q p p p p p p p p p По ряду (8) определим соответствующую цепную дробь: (8) p p q q q q x q p 4 p p p p (9) Запишем ряд и соответствующую цепную дробь, которой может быть представлен корень алгебраического уравнения x x () Полагая в (8) и (9) p =, q =, получим: i i x e , i () i x e () Если в (8) и (9) положить p = cosφ, q =, то запишем ряд и цепную дробь, представляющие e iφ : i 5 e cos, 5 7 cos (cos ) (cos ) (cos ) i e cos cos cos cos () (4) При φ = π получим ряд () и цепную дробь () Цепная дробь (), очевидно, является расходящийся цепной дробью, так как комплексное число не может быть представлено последовательностью вещественных подходящих дробей Для определения расходящихся в классическом смысле цепных дробей в [5] был предложен r/-алгоритм, который был описан выше Подходящие дроби разложения () записываются формулой: P si( ) / (5) Q si / Цепная дробь (), имеет периодически повторяющиеся значения подходящих дробей Среди подходящих дробей присутствуют пары со значениями и ± Такие цепные дроби условились называть ультрапериодическими [54] Ультрапериодические цепные дроби есть ничто иное, как представление комплексного корня re iφ квадратного уравнения, причем, значение аргумента φ кратно числу π, то есть φ = π s, где s рациональное число Найти значения ультрапериодических цепных дробей при помощи r φ-алгоритма на компьютере нельзя, ибо среди подходящих дробей, как отмечалось выше, встречаются пары, имеющие значения и ± Однако это препятствие можно обойти, если вместо, например, цепной дроби () вычислять близкую цепную дробь (6) В табл 9 приведены значения цепной дроби (6) при ε = 7 Модуль и аргумент комплексного числа определялись при помощи r/-алгоритма Значением цепной дроби (6) является корень квадратного уравнения x ( 7 ) x, то есть комплексное число, весьма близкое к числу e iπ
84 звена дроби СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 8 Определение значения цепной дроби Значения Модуль Аргумент Погрешность, подходящих комплексного комплексного дробей числа, числа, E E E E E E E E E-5 68E+ r r r r Таблица 9 Погрешность, Положив в () и (4) φ =, получим сходящиеся ряд и цепную дробь: 5 4 C, где C число Каталана Если представление вещественных чисел арифметическими цепными дробями, или цепными дробями Евклида, изучаются давно и успешно, то сколько-нибудь завершенной теории представления вещественных чисел так называемыми соответствующими цепными дробями не существует Наиболее интересная особенность соответствующих цепных дробей с вещественными звеньями это их способность представлять комплексные числа, что открывает новые возможности в использовании аппарата цепных дробей в теории чисел 4 О постоянной Эйлера В математическом анализе и в теории чисел часто используется постоянная Эйлера (или постоянная Эйлера-Маскерони), которая определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа: lim l lim l (4) Иногда для обозначения постоянной используется латинская буква С Это обозначение постоянной было предложено Эйлером в 75 г, который установил константу с пятнадцатью знаками В 79 г итальянский математик Лоренцо Маскерони определил цифры постоянной Постоянная Эйлера имеет значение: =, Также как и для числа, правильная цепная дробь постоянной Эйлера не имеет видимой закономерности [76]: где Среди многочисленных математических констант постоянная Эйлера по частоте использования идёт следом за числами и e [89] Постоянная Эйлера имеет интегральные представления Например [9]:
85 84 ГЛАВА l x dx, x e dx l x x Постоянная Эйлера выражается через производную гамма-функции: Г'() Известны записи постоянной Эйлера в виде композиции рядов [98]: Работы, в которых рассматриваются те или иные аспекты постоянной Эйлера, появляются регулярно уже не одно столетие Ещё в 87 году была опубликована обзорная статья английского математика Джеймса Глейшера с изложением истории этой константы [98] Имеется немалое число недавних публикаций о постоянной Эйлера [86-9] В вышедшей в г монографии Стивена Финча [97], посвящённой математическим константам, приведена обширная библиография работ, связанных с постоянной Эйлера, включающая описание более ста источников Установим постоянную, аналогичную постоянной Эйлера, которая была бы связана не с гармоническим рядом, а с соответствующей гармоническому ряду цепной дробью Рассмотрим цепные дроби, которыми может быть представлен гармонический ряд Запишем известные степенные ряды для логарифмической функции: 4 x x x x l x x, ( x ), 4 4 x x x x l x, ( x ) x 4 (4) (4) Для степенных рядов (4) и (4) могут быть найдены, так называемые, соответствующие цепные дроби []: x x x x x x x x x l x, x x x x x x x x x l x (44) (45) Цепная дробь (44) для логарифмической функции была установлена Ламбертом в 768 г и независимо Лагранжем в 776 г [9] Ламберт обратил внимание, что цепная дробь для логарифмической функции, в отличие от ряда Меркатора, сходится и при x > Соответствующие цепные дроби строятся по рядам с использованием различных алгоритмов, например, по формулам Хейлерманна-Стилтьеса или методом Рутисхаузера [7] Соответствующие цепные дроби в сравнении с рядами имеют, как правило, высокую скорость сходимости и, что принципиально важно, представляют функции в более широких областях Для цепных дробей (44) и (45) можно записать: lim l( x), x liml x x (46) (47)
86 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 85 Значения подходящих дробей разложений (46) и (47), если цепные дроби вычислять с учетом все большего числа звеньев, стремятся, соответственно, к бесконечно малым и бесконечно большим величинам, которые иногда обозначают как и + Таким образом, lim(l ) имеет два представления, гармоническим рядом: x x lim l (48) x x и цепной дробью: liml (49) x x В цепной дроби (49) номер подходящей дроби совпадает со значением частного знаменателя Соответствующая гармоническому ряду цепная дробь (49) также, как и гармонический ряд, расходится Частичные суммы гармонического ряда и значения подходящих цепных дробей (49) неограниченно возрастают Однако в отношении скорости роста частичные суммы гармонического ряда и подходящие дроби соответствующей ему цепной дроби ведут себя по-разному Если частичную сумму гармонического ряда обозначить через H, то H (4) H, H. Для подходящих дробей разложения (49), которые можно рассматривать как аналог частичных сумм для цепных дробей, имеют место рекуррентные формулы: P P P P P P. Q Q Q Q Q Q (4) Записывая подходящие дроби соответствующей гармоническому ряду цепной дроби (49), приходим к «удвоенному» гармоническому ряду: Из сравнения рекуррентных формул (4) и (4) следует, что значения подходящих дробей цепной дроби (49) увеличиваются значительно быстрее, чем растут значения частичных сумм гармонического ряда В табл даны значения частичных сумм гармонического ряда и значения подходящих соответствующей цепной дроби (49) Таблица Значения частичных сумм гармонического ряда и подходящих дробей (49) / /6 5/ 7/6 49/ 6/4 76/8 P Q 5/ / / 47/ 5/6 Можно записать формулу, связывающую значения подходящих соответствующей цепной дроби (49), построенной для гармонического ряда, и частичные суммы гармонического ряда: P, (4) Q где P Q подходящая дробь с номером цепной дроби (49)
87 86 ГЛАВА Соотношение (4) запишем в развёрнутом виде: Например, P Q 4 8 Обратимся к формуле (4), то есть к постоянной Эйлера, которая определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа В табл приведены результаты вычисления постоянной Эйлера по формуле (4) Определение значения постоянной Эйлера 5 6 Таблица Значения Значения l Погрешность, l, , , , , , ,587655, , , , , , ,479768, , , , , , , , , , , , , ,5 8, , , ,5,485479, , ,5 Из табл видно, что нахождение верных знаков константы Эйлера по формуле (4) осуществляется весьма медленно Если в формуле (4), определяющей постоянную Эйлера, отрезок гармонического ряда, содержащего слагаемых, где чётное число, то есть заменить отрезком соответствующей цепной дроби, имеющей также звеньев P Q ( / ) 4 5 то, очевидно, что конечного предела у этого выражения не будет, однако при замене в такой конструкции l на l и перестановке слагаемых получим постоянную: ( / ) lim l L 4 5 Запишем формулу (4) в компактном виде: P P L liml или L lim l, Q Q, (4) где l натуральный логарифм квадрата числа, P Q значение -й подходящей цепной дроби (49) В табл даны результаты определения постоянной L по формуле (4)
88 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 87 Таблица Определение постоянной L Значения Значения l Значения Значения разности подходящих P Q l P Q 4, , , , , , , , Таким образом, постоянная L, определяемая формулой (4), имеет значение,86 Так как при вычислении этой константы использовались соответствующие цепные дроби логарифмической функции, установленные Ламбертом, то будем называть постоянную (4) постоянной Ламберта и обозначить её символом L Если постоянная Эйлера определяется как предел разности частичной суммы гармонического ряда и натурального логарифма числа, то постоянная Ламберта L определяется как предел разности логарифма квадрата числа и значения -й подходящей соответствующей цепной дроби (49), построенной для гармонического ряда Учитывая формулу (4), устанавливающую связь между значениями подходящих цепных дробей (49) и частичными суммами гармонического ряда, постоянную L можно представить в виде: / L (44) lim l, или в эквивалентной записи: L lim l 4 / (45) В формулах (44) и (45) чётное число Обозначая L / через L, получим: L lim l 4 / (46) Константу L можно определить как предел разности между натуральным логарифмом числа и частичной суммой гармонического ряда, причём, суммирование распространяется до /, где чётное число Константа L равна L /, то есть L =,595 Легко заметить, что постоянная L, определяемая формулой (46), аналогична по структуре формуле (4), определяющей постоянную Эйлера, которая имеет многочисленные приложения в различных разделах математики и, прежде всего, в анализе Определим цепную дробь, равноценную гармоническому ряду Для ряда, составленного из элементов, обратных нечётным натуральным числам 5 7 (47) соответствующей цепной дробью будет дробь Если частичную сумму ряда (47) обозначить h, то h h, h. (48)
89 88 ГЛАВА (49) (4) (4) (4) Для подходящих цепной дроби (48), которые будем обозначать как P (Н) Q (Н) имеет место рекуррентное соотношение (н) (н) (н) (н) (н) (н). P P P Q Q Q Для частичных сумм гармонического ряда H имеет место формула (4) Сравнивая соотношения (4) и (49), можно записать: Q P (н) (н), где P (н) Q (н) -я подходящая дробь цепной дроби (48) Таким образом, цепная дробь (48) является равноценной, то есть эквивалентной, гармоническому ряду: ) ( 7 5 Можно записать равенство: 4 ( ) Цепная дробь (4) это другая запись фундаментального объекта математического анализа гармонического ряда Следовательно, постоянная Эйлера может быть представлена в записи, отличной от стандартной: l ) ( 7 5 lim Ряд, содержащий обратные четные числа 6 4 представляется соответствующей цепной дробью: Цепная дробь (4) получена АЗ Никипорцем [55] Можно выполнить сложение цепных дробей: Эквивалентными преобразованиями цепная дробь (4) приводится к виду: 4 4 6
90 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 89 (4) Следовательно, -ю подходящую цепной дроби (4), которую будем обозначать как P Q, можно (ч) (ч) записать: (ч) P ( / ), (ч) Q где чётное число Если частичную сумму ряда (4) обозначить g, то g g, g. (ч) (ч) Для подходящих P Q цепной дроби (4), которая является соответствующей цепной дробью для ряда (), имеют место рекуррентные соотношения: (ч) (ч) (ч) (ч) (ч) (ч) P P P P P P, ; ; ;,, (ч) (ч) (ч) (ч) (ч) (ч) Q Q Q Q Q Q В табл приведены частичные суммы ряда (4) и значения подходящих соответствующих цепных дробей (4) Таблица Значения частичных сумм ряда (4) и подходящих цепной дроби (4) / /4 / 5/4 7/ 49/4 6/8 76/56 (ч) P (ч) Q / 5/4 / /6 /6 47/4 5/ Запишем формулу, связывающую значения подходящих соответствующей цепных дробей (4), построенной для ряда, содержащего обратные чётные числа, и частичные суммы этого ряда: (ч) P (ч) Q В табл 4 показаны частичные суммы гармонического ряда и значения подходящих соответствующей цепной дроби (4), построенной для ряда (4), содержащего обратные чётные числа Таблица 4 Значения частичных сумм гармонического ряда и подходящих дроби (4) / /6 5/ 7/6 49/ 6/4 76/8 (ч) P (ч) Q / 5/4 / /6 /6 47/4 5/ Формула, устанавливающая связь подходящих цепной дроби (4), построенной для ряда, содержащего обратные чётные числа, и частичной суммой гармонического ряда, имеет вид: (ч) P (ч) (44) Q Например: (ч) 8 (ч) 8 P Q
91 9 ГЛАВА Соотношение (44) можно записать: (ч) / P (45) (ч) Q Учитывая соотношение (45), ранее установленную константу L представим в виде: ( / ) L lim l 4 5 Таким образом, имеют место формулы, устанавливающее эквивалентность подходящих дробей частичным суммам гармонического ряда: / P, Q (н) (н) (ч) / ( ч) P Q P Q, (46) (47) (48) Подходящие дроби P /Q это подходящие цепной дроби, соответствующей гармоническому ряду Подходящие P (н) /Q (н) и P (ч) /Q (ч) подходящие соответствующих цепных дробей, построенных для рядов из обратных нечётных и чётных чисел Из соотношения (46) следует, что значение -й подходящей цепной дроби, соответствующей гармоническому ряду, эквивалентно удвоенному значению частичной суммы гармонического ряда, причём, частичная сумма составлена из / членов гармонического ряда Формула (47) показывает, что -я подходящая цепной дроби, соответствующая ряду, составленной из элементов, обратных нечётным числам, эквивалентна -й частичной сумме гармонического ряда Другими словами, цепная дробь (48) эквивалента гармоническому ряду Из формулы (48) следует, что -я подходящая цепной дроби, соответствующей ряду, включающие обратные чётные числа, эквивалентна частичной сумме гармонического ряда с числом членов / Запишем формулы, связывающие подходящие дроби P /Q соответствующих цепных дробей гармонического ряда с подходящими цепными дробями P Q и P Q (н) (н) (ч) (ч) соответствующих цепных дробей, построенных для рядов из обратных нечётных и чётных чисел: (н) (н) P P P P,, (н) (н) Q Q Q Q Кроме того, можно записать: P P P P,, Q Q Q Q (ч) (ч) (ч) (ч) (н) (н) P P Q Q Определим константы, связанные не с гармоническим рядом, а с рядами, содержащими обратные нечётные и чётные числа Константа, аналогичная константе Эйлера, включающая вместо гармонического ряда ряд из элементов, обратных нечётным числам, имеет вид: или: L lim 5 7 (ч) (ч) l (49)
92 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 9 L lim l, L lim l В табл 5 приведены результаты вычисления постоянной L по формуле (49) Определение постоянной L l Таблица 5 l, , , ,844896, , ,456675, , , , , , , , , , , , , ,987557, ,479768,987557, ,669847, Из табл 5 можно видеть, что константа L устанавливаются с большой точностью с увеличением Так, при = 9 константа L определена с -ю десятичными разрядами, в то время как константа Эйлера при = 9 была получена с 8-ю точными знаками (табл ) Константа, в записи которой вместо гармонического ряда записан ряд из элементов, обратных чётным числам, представляется формулой: L4 lim l, 4 6 Несложно показать, что константа L 4 равна половине константы Эйлера: L4 lim l Запишем ещё одну константу, кратную константе Эйлера: L5 lim l Выражение (4) приведём в эквивалентном виде: откуда следует, что В анализе известна формула: L5 lim l, L 5 = =,544 x ( ) l! * Ei x x В [55] приведено любопытное выражение: (4) i e (4)! Цепная дробь в формуле (4) расходящаяся в классическом смысле Значение этой цепной дроби, однако, можно установить с использованием r/φ-алгоритма Результаты вычисления расходящейся цепной дроби, входящей в формулу (4), приведены в табл 6
93 9 ГЛАВА звена дроби Нахождение значения расходящейся цепной дроби Ei e Модуль Погрешность, Аргумент комплексного комплексного числа, r r r r Значения подходящих дробей 5,465665,877, ,99-5,44986,4945,66969, , , ,869 7, ,858959,69,844 4,657,55746,44476,4497,69767,655597,69974, , ,669657,6697,468,7597,447788,4564,64566,98677,5978,8748,4,4878,65,7,997 числа, φ -, -, , , , ,658 -,469 -,469 -,6 -,7776 -, ,784 -,8577 Таблица 6 Погрешность,,87,6565,4657,44488,4654,85,559,559,675,6457,798,874,556 Точное значение цепной дроби: i,8777 Ei e Ei, e Сумма ряда равна:,795454! Значение постоянной Эйлера, найденное из соотношения (4): i,458655, cos,8777 i si,8777,79545, i, Значение постоянной Эйлера: γ =, Исторически сложилось так, что ряды получили в математике несравнимо большее распространение, нежели цепные дроби Многие математические константы определяются именно рядами Постоянная Эйлера представляется как предел при разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа Выше были получены константы, аналогичные по структуре постоянной Эйлера, связанные, однако, не с гармоническим рядом, а с, так называемыми, соответствующими цепными дробями Представляет интерес получение других математических констант через построение соответствующих цепных дробей для рядов, определяющих константы 5 Разложение тригонометрических рядов в цепные дроби Представление функции степенным рядом требует существования у этой функ-ции производных всех порядков, в то время как для разложения функции в тригонометрический ряд достаточно существования и непрерывности одной только производной, причем, и это требование не является еще необходимым Таким образом, для тригонометрических рядов класс охватываемых ими функций значительно шире, чем для степенных, что представляет собой несомненное преимущество тригонометрических рядов Во многих практически важных случаях, тригонометрические ряды сходятся медленно Функция f( x ) может иметь внутри промежутка (, +) производные сколь угодно высокого порядка, но достаточно одной точки прерывности в конце промежутка,
94 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 9 чтобы ряд Фурье был практически негодным для вычисления Отсюда вытекает задача улучшения сходимости рядов Фурье Получим разложение в цепные дроби тригонометрических рядов случай cos cos cos (5) Ряд вида (5) можно переписать следующим образом: i i i i e e e e i i e e e i e i (5), тоесть тригонометрический ряд (5) заменим через два степенных ряда от мнимых аргументов Следовательно, тригонометрический ряд (5) может быть представлен суммой двух цепных дробей: cos cos cos i i i i i e e e e e i i i (5) e e e Коэффициенты звеньев и цепной дроби (5) выражаются через коэффициенты исходного тригонометрического ряда при помощи известных формул Хейлерманна-Стилтьеса Запишем подходящие дроби разложения (5) P cos, Q P Q P Q cos, cos cos cos, cos P4 Q 4 c c c c cos c c cos c 4 c cos, cos, 4 c 44 4, 4 c c 4, 4 c 4 4, 4 c, 4 c P5 c 5 c c c c cos cos cos, Q c c cos c cos 5 c,
95 94 ГЛАВА 5 c , c 5, c 5, c 5 5, c , 5 c, c 5, P6 c 6 c c c c cos cos cos, Q c c cos c cos c cos 6 c 6 6 c , 6 c , 6 c , , 6 c , 6 c c 6 c 6 P Q , c Пример P Q l si cos cos cos cos, (54) По формулам Хейлерманна-Стилтьеса получим следующее разложение: ,, 6 c 4 6, ( ) ( ) ( ) ( ) c c cos c cos c, cos ( ) ( ) ( ) ( ) c c cos c cos c cos( ), ( ) c, ( ) ( ) ( ) ( ) c c cos c cos c, cos ( ) ( ) ( ) ( ) c c cos c cos c cos ( ),
96 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 95 l si cos cos cos cos i i i i i i i e e e e e e e 5 i i i e e 5e i e Подходящие дроби разложения (55): P6 Q 6 P5 Q 5 P Q P4 Q 4 P Q P cos Q 4 cos 5 4cos, cos cos 6 4cos 9 6cos 8cos 7 84cos cos, 4 645cos cos cos, cos 8cos cos cos cos 45 58cos 6cos cos,, (55) (56) Вне промежутка < φ < π цепная дробь (55) изображает функцию, получающуюся периодическим продолжением l( si φ ) Полагая в (55) =, получим извест- ную цепную дробь: l В табл 7 приведены значения подходящих дробей (56) при различных значениях аргумента Таблица 7 l( si φ ) Значения подходящих дробей 4 5 6,48,54 -, ,98,47,4475,45 -,554 -,4647 -, ,5 -,5445 -,568 -,549 -,6969 -,9899 -, , , ,6979 -, ,79688,866 -,874 -, , ,7977,844 -,6579 -,897 -, ,655 -,6564 -,65 -,654 В табл 8 приведены значения функции y = l( si φ ), вычисленные при помощи ряда (54) Таблица 8 l( si φ ) Значения частичных сумм ряда 4 5 6,48,54,9, -,679 -,4447,5556 -,554 -,4647 -, ,49 -, ,67 -, ,6969 -, ,5997 -,867 -,6658 -, , ,79688,866 -,5874 -,8995 -,8765 -,8884 -,6
97 96 ГЛАВА случай si si si (57) Тригонометрический ряд (57) может быть представлен следующей суммой двух цепных дробей: si si si i i i i i e e e e e i (58) i i i e e e Коэффициенты звеньев и цепной дроби (58) выражаются через коэффициенты исходного тригонометрического ряда при помощи формул Хейлерманна- Стилтьеса, причем, определители имеют своими элементами коэффициенты Запишем подходящие дроби разложения (58) P si, Q P4 Q 4 P Q si cos P si Q cos si si, si, cos cos 4 P5 Q 5 4, ( 5) ( 5) ( 5) d si d si d si, ( 5) ( 5) ( 5) d d cos d cos d , d 5 d 5, 5 d, 5, d 5, d 5, P6 d si d si d si, Q d d cos d cos d cos 6 6 d d , 6 d, ,
98 d 6 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 97 6 d d P Q , , d 6 ( ) 4 6 d si d si d, si d d cos d cos d cos( ), P Q, d si d si d, si d d cos d cos d cos Пример si si si si, (59) По формулам Хейлерманна-Стилтьса получим следующее разложение тригонометрического ряда в цепную дробь: si si si si i i i i i i i e e e e e e e i 5, i i i e e 5e i e Подходящие дроби разложения (5): P si, Q P Q 6 6 P Q 5 5 P Q 4 4 P Q P Q 4 si, 5 4 cos si si, 6 4 cos 48 si 8 si 7 84 cos cos, 465si si si cos 8cos, 5 si 47 si si cos 6cos cos, (5) (5)
99 98 ГЛАВА 6 Ускорение сходимости рядов Фурье построением соответствующих цепных дробей В приложениях наиболее удобны тригонометрические ряды с быстро убывающими коэффициентами В этом случае лишь несколько первых членов ряда весьма точно определяют его сумму, так как при достаточной скорости приближения к нулю коэффициетов сумма всех последующих членов ряда оказывается малой В практике использования тригонометрических рядов часто возникает задача улучшения их сходимости Естественным образом возникает следующая задача Дан тригонометрический ряд, сумму которого обозначим через f(x): f(x) = + ( cos x + si x) = Требуется выделить из этого ряда другой ряд, сумма которого φ(x) известна в конечном виде, с тем, чтобы оставшийся ряд, то есть ряд, связанный с f(x) и φ(x) соотношением f(x) = φ(x) + (α cos x + β si x), = имел достаточно быстро убывающие коэффициенты Если эта задача решена, то операции над f(x) заменятся операциями над известной функцией φ(x) и над рядом с быстро убывающими коэффициентами Можно указать на два приёма улучшения сходимости тригонометрических рядов Первый приём основан на следующем обстоятельстве: разность двух эквивалентных бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем каждая из них Две бесконечно малые называются эквивалентными, если их отношение стремится к единице Второй приём улучшения сходимости основан на представлении коэффициентов Фурье в виде сумм A + B + (A = cost, B = cost ) Можно заметить, что этот приём сводится к многократному применению первого приёма улучшения сходимости рядов Более эффективным способом ускорения сходимости рядов является способ, связанный с построением для медленно сходящихся рядов, так называемых, соответствующих цепных дробей В таблицах, приведённых ниже, показаны сравнительные характеристики эффективности вычисления рядов Фурье непосредственно и через соответствующие цепные дроби Пример x = π cos x cos x cos x 4 (cos x (6) ), π x π Определим скорость сходимости ряда Фурье (6) и соответствующей цепной дроби, построенной по коэффициентам этого ряда алгоритмом Рутисхаузера, то есть посредством формул (6) В табл 9 приведены результаты вычисления ряда Фурье (6) при x =, В четвёртой колонке приведены погрешности при вычислении ряда Фурье (6) с различным числом членов ряда Отметим невысокую скорость сходимости ряда Фурье (6): отрезок ряда с мильоном членов обеспечивает точность порядка В табл показаны результаты вычисления соответствующей ряду Фурье (6)
100 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 99 цепной дроби при x = Коэффициенты цепной дроби приведены в третьей колонке таблицы Число звеньев дроби Таблица 9 Определение частичных сумм ряда Фурье (6) при x =, Число членов ряда, = π cos, cos, cos,4 4 (cos, ) Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность, ε =, = e e e e e e e e e e e e- Определение значения ряда Фурье (6) при х = = π cos, cos, cos,4 4 (cos ) построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица Погрешность, ε = P Q e e e e e e- (6) Следует обратить внимание на чрезвычайно высокую скорость сходимости цепной дроби Цепная дробь содержащая 56 звеньев, обеспечивает погрешность порядка Для сравнения: ряд Фурье (6), имеющий 56 слагаемых, даёт погрешность порядка 4, а ряд, включающий миллион слагаемых, даёт всего точных разрядов результата (Табл 9) Пример 4 x = π (6) 4 cos x cos 5x cos 7x (cos x + π ), π < x < π В табл приведены результаты вычисления ряда Фурье (6) при x =, Коэффициенты рядов Фурье (6) и (6) достаточно быстро убывают, тем не менее, скорость сходимости рядов невысока, что можно наблюдать из данных погрешностей, приведённых в колонках 4 табл 9 и
101 ГЛАВА Таблица Определение частичных сумм ряда Фурье (6) при x =,, = π 4 cos, cos,5 cos,7 (cos, + π ) Число членов ряда Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность, ε =, = e e e e e e e e e e e e e e-7 (64) В табл показаны результаты вычисления цепной дроби, соответствующей ряду Фурье (6) при x =, Таблица Число звеньев дроби Определение значения ряда Фурье (64), = π 4 cos, cos,5 cos,7 (cos, + π ) построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Погрешность, ε =, P Q e e e e e e e e e-5 Сравнивая данные таблиц и, можно отметить высокую эффективность цепной дроби при вычислении ряда Фурье (64) Цепная дробь, содержащая 55 звеньев обеспечивает погрешность порядка 5, в то время как использование ряда Фурье (64) непосредственно при учёте 496 членов даёт погрешность порядка 7 Пример 5 4 cos x cos 4x cos6x si( x) 5 57 В табл приведены результаты вычисления ряда Фурье (65) при x =, (65) Так как скорость убывания коэффициентов ряда Фурье (66) сопоставима со скоростью убывания коэффициентов ряда Фурье (64), то и скорости сходимости рядов (64) и (66) примерно одинаковы
102 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Таблица Определение частичных сумм ряда Фурье (65) при x =,,998 = π 4, cos,4 cos,6 (cos + + π ) Число членов ряда Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность, ε = si, = e e e e e e e e e e e e e e e-7 (66) В табл 4 показаны результаты вычисления цепной дроби, соответстующей ряду Фурье (66) Число звеньев дроби Таблица 4 Определение значения ряда Фурье (66),998 = π 4, cos,4 cos,6 (cos + + π ) построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Погрешность, ε = si, P Q e e e e e e e e e-5 Из табл и табл 4 следует, что использование при вычислении ряда Фурье (66) соответствующей этому ряду цепной дроби обеспечивает, как и в рассмотренных выше примерах, высокую скорость сходимости Из данных колонок 5 табл и табл 4 можно заметить, что соответствующие цепные дроби обеспечивают квадратичную скорость сходимости, то есть при увеличении числа звеньев цепной дроби вдвое, также в два раза увеличивается точность вычислений Рассмотрим ещё несколько примеров, демонстрирующих эффективность цепных дробей при вычислении рядов Фурье Пример 6 = 4 si x si 5x si 7x (si x ), π 5 7 < x < π (67) В табл 5 приведены результаты вычисления ряда Фурье (67) при x =,
103 ГЛАВА Таблица 5 Определение частичных сумм ряда Фурье (67) при x =, = 4 si, si,5 si,7 (si, ) π 5 7 Число членов ряда Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность, ε = = (68) Коэффициенты ряда Фурье (67) убывают медленно, что гарантирует слабую его сходимость 496 членов ряда (78) обеспечивают результат всего с тремя верными десятичными разрядами (Табл 5) В табл 6 показаны результаты вычисления цепной дроби, соответствующей ряду Фурье (68) Число звеньев дроби Определение значения ряда Фурье (68) = 4 si, si,5 si,7 (si, ) π 5 7 построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 6 Погрешность, ε =, P Q e e e e-44 Следует отметить, что несмотря на то, что коэффициенты исходного ряда Фурье медленно убывают, скорость сходимости соответствующей цепной дроби весьма высока: цепная дробь с 4 звеньями обеспечивает погрешность при вычислении ряда (68) порядка 44 Пример 7 si x six si 4x x si x (69) 4 В табл 7 приведены результаты вычисления ряда Фурье (69) при x =, построением соответствующей цепной дроби
104 Число звеньев дроби СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Определение значения ряда Фурье (69) при x = = (si + si + si + si ) Значения элементов ряда построением соответствующей цепной дроби Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 7 Погрешность e e e e e e e e e-5 (6) Соответствующая ряду Фурье (6) цепная дробь обеспечивает высокую скорость сходимости Пример 8 6 cos cos cos 4 x x cos x x x x (6) 4 В табл 8 приведены результаты вычисления ряда Фурье (6) при x =, Таблица 8 Определение частичных сумм ряда Фурье (6) при x =, cos, cos, cos,4, = cos, Число членов ряда Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность ε =,49 = e e e e e e e e e e e e-6-998e e- (6) Из колонки 4 табл 8 следует, что скорость сходимости ряда Фурье (6) незначительна: миллион членов ряда обеспечивает погрешность порядка В табл 9 показаны результаты вычисления цепной дроби, соответствующей ряду Фурье (6)
105 4 ГЛАВА Число звеньев дроби Таблица 9 Определение значения ряда Фурье (6) cos, cos, cos,4, = cos, Значения элементов ряда построением соответствующей цепной дроби Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Погрешность ε =,49 P Q e e e e e e e-4 Можно сравнить эффективность вычисления ряда Фурье (6) методом определения частичных сумм и методом цепных дробей При 5 слагаемых ряда (6) погрешность составляет порядка 4, а цепная дробь с 5 звеньями обеспечивает погрешность порядка 4, то есть разница в эффективности аппроксимации составляет порядков Пример 9 x si x (6) В табл 4 приведены результаты вычисления ряда Фурье (6) при x =, Число членов ряда Определение частичных сумм ряда Фурье (6) при x =, Значения элементов ряда,5 = ( ) + = si, Значения частичной суммы ряда Таблица 4 Погрешность ε =, e e-7 = (64) Ряд Фурье (64) медленно сходящийся ряд: частичная сумма с миллионом слагаемых обеспечивает шесть точных десятичных разряда В табл 4 показаны результаты вычисления соответствующей ряду Фурье (64) цепной дроби
106 Число звеньев дроби СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 5 Определение значения ряда Фурье (64),5 = ( ) + si, = построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 4 Погрешность ε =,5 P Q e e e e e e e e- Соответствующая цепная дробь позволяет вычислить ряд Фурье (64) с чрезвычайно высокой точностью Эффективность вычисления ряда Фурье цепными дробями в сравнении с непосредственным подсчётом частичных сумм этого ряда впечатляющая: цепные дроби при числе звеньев 56 дают опогрешность почти на порядков меньшую, чем использование частичных сумм Пример x cos x (65) В табл 4 приведены результаты вычисления ряда Фурье (65) при x =, Таблица 4 Определение частичных сумм ряда Фурье (65) при x =, Число членов ряда, = ( ) + Значение элементов ряда = Значения частичной суммы ряда cos, Погрешность ε =,899 = e e e e e e e e e e e e-8-998e e- (66) Как уже отмечалось, скорость сходимости ряда Фурье во многом определяется степенью убывания коэффициентов ряда Так как коэффициенты ряда Фурье (65) определяются формулой, то ряд Фурье (65) сходится достаточно быстро В табл 4 показаны результаты вычисления соответствующей ряду Фурье (66) цепной дроби
107 6 ГЛАВА Число звеньев дроби Определение значения ряда Фурье (66) при x =, Значения элементов ряда, = ( ) + = cos, соответствующей цепной дробью Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 4 Погрешность ε =,899 P Q e e e e e e e e e e- Использование соответствующих цепных дробей при определении значений ряда Фурье (66), как и следовало ожидать, оказалось чрезвычайно эффективным Использование цепной дроби с 5 звеньями обеспечило погрешность порядка Пример si() x (67) 4 В табл 44 приведены результаты вычисления ряда Фурье (67) при x =, Таблица 44 Определение частичных сумм ряда Фурье (67) при x =, Число членов ряда π 4 Значения элементов ряда si( + ), = + = Значения частичной суммы ряда Погрешность ε = π 4 = e e e-5 (68) Ряд Фурье (67) медленно сходящийся ряд, так как коэффициенты ряда определяются формулой + Из четвёртой колонки табл 44 можно видеть, что частичная сумма из миллиона членов ряда обеспечивает всего четыре точных десятичных знака В табл 45 показаны результаты вычисления соответствующей ряду Фурье (67) при x =, цепной дроби
108 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 7 Число звеньев дроби Определение значения ряда Фурье (68) π 4 si( + ), = + = построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 45 Погрешность ε = π 4 P Q e e e- Из четвёртой колонки табл 45 можно заключить, что скорость сходимости соответствующей ряду (68) цепной дроби также не слишком велика, особенно в сравнении со скоростью сходимости цепной дроби, построенной для ряда Фурье (65) и других аналогичных рядов с коэффициентами, быстро стремящимися к нулю Пример x cos( ) x (69) 8 ( ) В табл 46 приведены результаты вычисления ряда Фурье (69) при x =, Таблица 46 Определение частичных сумм ряда Фурье (69) при x =,,55674 = = cos( + ), ( + ) (6) Число членов ряда Значения элементов ряда Значения частичной суммы ряда Погрешность ε =, e e e e e e e e e e e e e e e e- = Скорость сходимости ряда Фурье (69) характерна для рядов Фурье, имеющих аналогичные коэффициенты, частичные суммы с миллионом членов дают погрешность порядка В табл 47 показаны результаты вычисления соответствующей ряду Фурье (69) при x =, цепной дроби
109 8 ГЛАВА Число звеньев дроби Значение элементов ряда Определение значения ряда Фурье (6) cos( + ),,55674 = ( + ) = построением соответствующей цепной дроби Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Таблица 47 Погрешность ε =,55 P Q e e e e e e e e e-49 Здесь можно отметить, что скорость суммирования цепной дробью знакопостоянного ряда Фурье (6) значительно уступает скорости суммирования аналогичного знакопеременного ряда Фурье (65) 7 Определение значений расходящихся рядов Фурье соответствующими цепными дробями Пусть дан тригонометрический ряд + ( cos x + si x), = (7) относительно которого известно только, что он является рядом Фурье некоторой функции f(x) Если известно, что ряд (7) сходится к f(x), то f(x) получается как предел частичных сумм этого ряда Иначе дело обстоит в случае, когда сходимость ряда установить не удалось или же, когда ряд оказался расходящимся Здесь либо не знаем, существует или нет предел частичных сумм, либо знаем, что этот предел не существует Нужно, следовательно, изыскать операцию, которая позволяла бы найти функцию по её ряду Фурье, независимо от того, сходится этот ряд или нет Такие операции называют суммированием ряда [4] Известно несколько способов суммирования рядов Фурье Способ средних арифметических Рассмотри ряд u + u + u + + +u + (7) и положим: S = u + u + + u δ = S + S + + S, =,, Если существует lim δ, то условимся говорить, что ряд (7) суммируем способом средних арифметических к значению δ Известно, что ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции f(x) периода π суммируется способом средних арифметических к этой функции в каждой точке её непрерывности Известно также, что ряд Фурье непрерывной функции f(x) периода π равномерно суммируется к ней способом средних арифметических, хотя ряд Фурье непрерывной функции f(x) может быть расходящимся
110 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 9 Метод средних арифметических восстанавливает абсолютно интегрируемую функцию по её непрерывности, то есть всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек Поэтому любая абсолютно интегрируемая функция вполне определена (с точностью до её значений в конечном числе точек) своим тригонометрическим рядом Фурье независимо от того, сходится этот ряд или нет Способ степенных множителей Рассмотрим ряд u + u + u + + +u + (7) и наряду с ним ряд (74) u + u r + u r + + +u r + Допустим, что ряд (74) сходится для < r < Это будет всегда иметь место, когда члены ряда (7) ограничены Для суммы δ(r) ряда (74) существует предел lim δ(r) = δ r В этом случае скажем, что ряд (7) суммируется способом степенных множителей к значению δ Этим способом суммируются некоторые расходящиеся ряды Известны формулы + r cos φ = = Функцию переменных r и φ = r, r, r cos φ + r r si φ r si φ =, r r cos φ + r r r cos φ + r называют ядром Пуассона Пусть f(x) абсолютно интегрируемая функция и Рассмотрим для r ряд f(x)
+ ( cos x + si x) = f(x, r) = + r ( cos x + si x) = (75) (76) Если существует lim f(x, r), то это означает, что ряд (76) суммируем способом r степенных множителей Пусть f(x) непрерывная функция с периодом π на прямой Эта функция определяется своим рядом Фурье (77) + cos x + si x = однозначно Однако, поскольку ряд Фурье непрерывной функции, вообще говоря, не обязан сходиться, мы не можем такую функцию получить непосредственным суммированием её ряда Фурье Способ восстановления непрерывной функции по её ряду Фурье даёт теорема Фейера [4], установленная в 95 году Пусть
111 ГЛАВА S (x) = + j cos jx + j si jx j= частичная сумма ряда Фурье функции f(x) Положим (78) δ (x) = S (x) + S (x) + + S (x), (79) δ средние арифметические сумм S называются суммами Фейера функции f(x) Если f(x) непрерывная функция с периодом π, то последовательность её сумм Фейера сходится к f(x) равномерно на всей числовой оси Во втором параграфе главы построением соответствующих цепных дробей были просуммированы, то есть определены значения расходящихся рядов, связанных с дзетафункцией Римана Собственно, посредством соответствующих цепных дробей были получены иным путём классические результаты: = ( ) ( ) B (7), =,, Так как числа Бернулли с нечётными индексами, кроме B, равны нулю, то имеем формулы для чётных и нечётных степеней: = B (7), =,, = (7) В этом параграфе при помощи соответствующих цепных дробей найдём значения расходящихся тригонометрических рядов, имеющих коэффициентами числа натурального ряда в целой степени: + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + (7) Также будем различать случай нечётных и чётных степеней Рассмотрим вначале случай нулевой степени, то есть тригонометрический ряд + cos x + cos x + cos x + cos 4x + (74) В табл 48 приведены частичные суммы тригонометрического ряда (74) при x =, Таблица 48 Определение частичных сумм тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + cos,4 + Число членов ряда Значение элементов ряда Значения суммы ряда (75)
112 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Из данных третьей колонки табл 48 можно видеть, что тригонометрический ряд (75) расходящийся, так как частичные суммы не стремятся ни к какому пределу Можно также заметить, что частичные суммы не нарастают неограниченно, более того частичные суммы ряда (75) меняют свой знак Сумма расходящегося тригонометрического ряда может быть учтановлена построением соответствующей цепной дроби В табл 49 показаны результаты суммирования тригонометрического ряда (75) Таблица 49 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-98 - Из третьей колонки табл 49 видно, что коэффициент ω 5 имеет значение близкое к нулевому, что свидетельствует о конечности соответствующей цепной дроби Следовательно, можно записать: + cos, + cos, + cos, + cos,4 + = = +,995,9849,,5 = + Тригонометрический ряд (74) имеет сумму при любом x Из (76) можно записать: + cos, r + cos, r + cos, r + cos,4 r 4 + =,995 r = + Известна формула,9849 r, r,5 r + = (76) (77) r r cos x, r (78) r cos x r Установим суммы тригонометрического ряда (78) преобразованием его в соответствующие цепные дроби при различных значениях r В табл 5 приведены результаты суммирования ряда (79) построением соответствующей цепной дроби Таблица 5 Суммирование тригонометрического ряда (79) +,5cos, +,5 cos, +,5 cos, +,5 4 cos,4 + построением соответствующей цепной дроби звена дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби Погрешность e e-98
113 ГЛАВА Из табл 5 видно, что соответствующая ряду (79) цепная дробь конечна и она точно определяет сумму тригонометрического ряда Фактически, на конечную цепную дробь, суммирующую ряд (79), можно смотреть как на разложение в конечную цепную дробь формулы Пуассона (78) при r =,5 и x =,,5,5 cos, +,5 = = +,4975,494,5,576 =, Тригонометрический ряд (79) при r =,5 является сходящимся и его значение может быть найдено непосредственно определением частичных сумм (Табл 5) Таблица 5 Определение частичных сумм тригонометрического ряда +,5cos, +,5 cos, +,5 cos, +,5 4 cos,4 + Число Значение Значения членов ряда элементов ряда суммы ряда Погрешность e e-5-465e e e e e e e e e e e e-99 При r > тригонометрический ряд r cos x является расходящимя, однако его значение может быть установлено через соответствующую цепную дробь Установим значение ряда (78) при r = и x =, cos, + = = +,985,9549,6,457 =, Аналогично просуммируем ряды по синусам Имет место формула rsi x r si x, r r cos x r (7) Установим суммы тригонометрического ряда (7) преобразованием его в соответствующие цепные дроби при различных значениях r В табл 5 приведены результаты суммирования ряда (7) построением соответствующей цепной дроби Из табл 5 видно, что соответствующая ряду (7) цепная дробь конечная и она точно определяет сумму тригономктрического ряда Фактически, на конечную цепную дробь, суммирующую ряд (7), можно смотреть как на разложение в конечную цепную дробь формулы (7) при r =,5 и x =,
114 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Тригонометрический ряд (7) при r =,5 является сходящимся и его значение может быть найдено непосредственным определением частичных сумм звена дроби Суммирование тригонометрического ряда,5si, +,5 si, +,5 si, +,5 si,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 5 Значения подходящих цепной дроби e-99,5 si,,5 cos, +,5 = =,499,995,5 + При r > тригонометрический ряд,5 si x =, (7) значение может быть установлено через соответствующую цепную дробь В табл 5 приведены частичные суммы расходящегося тригонометрического ряда (7) для = : + cos x + cos x + cos x + 4cos 4x + = (7) при x =, Таблица 5 r является расходящимя, однако его Определение частичных сумм тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + 4cos,4 + Число членов ряда Значение элементов ряда Значения суммы ряда (7) Сумма расходящегося тригонометрического ряда (7) может быть установлена построением для этого ряда соответствующей цепной дроби В табл 54 приведены результаты суммирования ряда (7) при x =,
115 4 ГЛАВА В третьей колонке табл 54 помещены значения коэффициентов ω i соответствующей цепной дроби, построенной по исходному расходящимуся ряду (7) Коэффициенты цепной дроби находились по алгоритму Рутисхаузера, то есть по формулам (6) Таблица 54 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + 4cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e Из данных колонки следует, что коэффициент ω 9 имеет значение, близкое к нулю: ω 9 =,88 e 94 Таким образом, заключаем, что соответствующая тригонометрическому ряду (7) цепная дробь конечная, имеет 8 звеньев и её значение равно 99,8 Следовательно можно записать значение расходящегося ряда (7): + cos, + cos, + cos, + 4cos,4 + = = +,995,969,57,58,8,74 = 99, В табл 55 приведены частичные суммы знакопеременного тригонометрического ряда + cos x cos x + cos x 4cos 4x + + ( ) + cos x + (74) при x =, Таблица 55 Определение частичных сумм тригонометрического ряда + cos, cos, + cos, 4cos,4 + Число членов ряда Значение элементов ряда Значения суммы ряда (75)
116 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 5 В табл 56 приведены результаты суммирования расходящегося тригонометрического ряда (75) построением соответствующей цепной дроби Из табл 56 следует, что соответствующая ряду (75) цепная дробь конечная и имеет 8 звеньев Кроме того, цепная дробь является сходящейся, в том смысле, что соседние подходящие дроби дают близкие значения Таблица 56 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, cos, + cos, 4cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-94 Запишем значение расходящегося ряда (75): + cos, cos, + cos, 4cos,4 + = = +,995,969,57,58,8,74 =, Определим сумму расходящегося тригонометрического ряда + cos x cos x + cos x 4 cos 4x + при x =, (76) В табл 57 приведены результаты суммирования расходящегося тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + 4 cos,4 + (77) построением соответствующей цепной дроби Таблица 57 Суммирование тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + 4 cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения Значения Значения звена коэффициентов подходящих элементов ряда дроби цепной дроби цепной дроби e-85
117 6 ГЛАВА Из колонки табл 57 следует, что соответствующая ряду (77) цепная дробь конечная и имеет 6 звеньев Число звеньев N конечных цепных дробей, суммирующих расходящиеся ряды вида + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + (78) определяется формулой N = 4( + ), (79) где показатель степени чисел натурального ряда Запишем значение расходяшегося ряда + cos, + cos, + cos, + 4 cos,4 + = = +,995 7,879 4,59,79,7,87 = 6, Определим сумму расходящегося тригонометрического ряда + cos x + 5 cos x + 5 cos x cos 4x + (7) при x =, В табл 58 приведены результаты суммирования расходящегося тригонометрического ряда + cos, + 5 cos, + 5 cos, cos,4 + (7) построением соответствующей цепной дроби Таблица 58 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, + 5 cos, + 5 cos, cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-75
118 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 7 Соответствующая цепная дробь, суммирующая расходящийся тригонометрический ряд (7) конечная Число звеньев этой конечной цепной дроби определяется формулой (79): N = 4(5 + ) = 4 Значение ряда (7) определяется конечной цепной дробью, значения подходящих дробей которой приведены в четвёртой колонке табл 58 Таким образом, можно записать сумму расходящегося ряда (7) + cos, + 5 cos, + 5 cos, cos,4 + = P 4 = Q 4 Рассматривая значения подходящих соответствующих расходящихся рядов с нечётными степенями коэффициентов, то есть рядам вида + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + (7) Можно отметить, что конечные цепные дроби ни есть сходящиеся, те их подходящие дроби не приближают значение последней подходящей дроби, которая и определяет значение цепной дроби Это свидетельствует о том, что значением расходящегося тригонометрического ряда (7) при является комплексное число, которое может быть определено по значениям подходящих дробей при помощи r φ-алгоритма Возвратимся к суммированию расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана: = B (7), =,, Следует установить формулу суммирования расходящихся нечётных тригонометрических рядов (7), аналогично формулам суммирования (7) Формула суммирования для ряда (7) должна также включать числа Бернулли, как то имеет место при суммировании расходящихся рядов (7) К этому есть некоторые предпосылки, связанные с суммированием тригонометрических рядов, имеющих коэффициентами натуральные числа чётных степеней, то есть расходящиеся ряды вида + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x +, =, (74) Не будем приводить частичные суммы расходящихся рядов (74) Приведём результаты суммирования рядов (74) построением соответствующих цепных дробей В табл 59 приведены результаты суммирования расходящегося ряда (74) при = и x =, Таблица 59 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, + cos, + cos, + 4 cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-89 (74)
119 8 ГЛАВА Из табл 59 следует, что соответствующая ряду (74) цепная дробь конечная и имеет единичное значение Число звеньев соответствующей цепной дроби равно Цепные дроби, соответствующие рядам с чётными степенями коэффициенотов натуральных чисел, имеют единичное значение при любых x Из табл 57 можно записать: + cos, + cos, + cos, + 4 cos,4 + = = +,995,99,746,6,6, = В табл 6 приведены результаты суммирования тригонометрического ряда, имеющие коэффциенты чётной степени: + cos x cos x + cos x + 4 cos 4x + (75) при x =, построением цепной дроби Таблица 6 Суммирование знакопеременного тригонометрического ряда + cos, cos, + cos, 4 cos,4 + (76) построением соответствующей цепной дроби звена дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-89 Из табл 6 следует, что соответствующая цепная дробь для чётного ряда имеет единичное значение Особенность цепной дроби, соответствующей знакопеременному ряду состоит в том, что построенная цепная дробь является сходящейся, то есть подходящие цепные дроби приближаются к, а не возникают внезапно, как то иеет место в случае знакопостоянных тригонометрических рядов чётной степени + cos, cos, + cos, 4 cos,4 + = = +,995,99,746,6,6, = Можно также записать: cos x cos x + cos x 4 cos 4x + = Единичное значение имеет сумма ряда с коэффициентами в 4-й степени: + cos x 4 cos x + 4 cos x 4 4 cos 4x + (77) Это следует из колонки 4 табл 6, в которой приведены значения подходящих дробей соответствующей ряду (77) цепной дроби Число звеньев конечной цепной дроби равно : N = 4(4 + ) = Соответствующая цепная дробь имеет единичное значение: + cos, + 4 cos, + 4 cos, cos,4 + =
120 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 9 = +,995 5,759,85,86,,8 = Таблица 6 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + cos, + 4 cos, + 4 cos, cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-8 звена дроби Таблица 6 Суммирование тригонометрического ряда cos, 4 cos, + 4 cos, 4 4 cos,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e e e e e e e e e e e-8 (78) (79)
121 ГЛАВА Можно записать сумму рядов: + cos x cos x + cos x 4 cos 4x + = (74) Имеет место также нулевое значение тригонометрических рядов с коэффициентами чётной степени: cos x cos x + cos x 4 cos 4x + = (74) Можно отметить, что нулевые значения имеют расходящиеся ряды связанные с дзета-функцией Римана, составленные из чётных степеней элементов натурального ряда: = ( )+ ( + ) B + + Так как B + =, то = (74) Можно предположить, что суммы тригонометрических рядов, коэффициенты которых являются члены натурального ряда в нечётных степенях, также определяются через выражения, в которые входят числа Бернулли, о чём говорилось при суммировании тригонометрических рядов (7) с коэффициентами в нечётной степени Выше было рассмотрено суммирование расходящихся тригонометрических рядов с коэффициентами, составляющими элементы натурального ряда в нечётных и чётных степенях, то есть ряды: + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + (74) + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + (744) Было установлено, что расходящиеся ряды (74) и (744) суммируются, то есть определяется их значение, соответствующими цепными дробями, которые конечны Было установлено, что число звеньев N конечных цепных дробей суммирующих расходящиеся ряды (745) + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + определяется формулой: N = 4( + ), где показатель степени натуральных чисел, которые входят как коэффициенты тригонометрического ряда При этом чётные ряды, то есть ряды + cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + =, =,, (746) имеют единичные значения Ряды (746) без начальной единицы имеют нулевое значение: cos x + cos x + cos x + 4 cos 4x + =, (747) что позволяет провести параллели между тригонометрическими рядами с дзета-функцией Римана: =, =,, также имеющие нулевые значения Возникает вопрос: будет ли справедлива формула для числа членов звеньев цепной дроби N = 4( + ), (748) которая была для рядов с коэффициентами натуральных чисел и для рядов, если коэффициенты ни есть элементы натурального ряда? Оказалось, что формула (748) имеет место и в этих случаях В табл 6 показаны результаты суммирования тригонометрического ряда: (749) +,5 cos x +,5 cos x +,5 cos x + 4,5 cos 4x + преобразованием ряда (749) при x =, в соответствующую цепную дробь
122 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Таблица 6 Суммирование тригонометрического ряда +,5 cos x +,5 cos x +,5 cos x + 4,5 cos 4x + построением соответствующей цепной дроби звена дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-89 Из третьей колонки табл 6 следует, что число звеньев цепной дроби, соответствующей ряду (74) определяется формулой (74): N = 4( + ) = Тем не менее, единичного значения цепная дробь, соответствующая ряду (75) не имеет, как то имело место для чётных рядов с коэффициентами чисел натурального ряда В табл 64 показаны результаты суммирования тригонометрического ряда (75) +,5 cos x +,5 cos x +,5 cos x + 4,5 cos 4x + при x =, преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь Таблица 64 Суммирование тригонометрического ряда +,5 cos, +,5 cos, +,5 cos, + 4,5 cos,4 + построением соответствующей цепной дроби звена дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби e-85 (75) Из табл 64 имеем, что конечная цепная дробь для ряда (747) имеем 6 звеньев Это число звеньев устанавливает и формула (76):
123 ГЛАВА N = 4( + ) = 6 В заключении параграфа найдём значения расходящихся тригонометрических рядов, содержащих синусы кратных углов В табл 65 показаны результаты суммирования тригонометрического ряда + si x + si x + si x + 4 si 4x + (75) при x =, построением для ряда (746) соответствующей цепной дроби звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + si + si + si + 4 si 4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 65 Значения подходящих цепной дроби e-94 (75) Соответствующая цепная дробь, как следует из табл 65, конечная, имеет 8 звеньев и единичное значение Из колонки 4 табл 65 следует, что подходящие цепной дроби не сходятся к единичму значению Иной характер сходящийся имеют подходящие соответствующих цепных дробей для знакопеременных тригонометрических рядов В табл 56 уже рассматривался пример суммирования расходящегося знакопеременного ряда + cos, cos, + cos, 4cos,4 + сходящейся цепной дробью В табл 66 суммирование знакопеременного тригонометрического ряда + si x si x + si x 4 si 4x + (754) при x =, осуществляется преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + si, si, + si, 4 si,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 66 Значения подходящих цепной дроби e-94 (755)
124 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ Из данных колонки 4 табл 66 следует, что соответствующие цепные дроби для знакопеременных тригонометрических рядов являются сходящимися Тригонометрические ряды по синусам для нечётных степеней коэффициентов-элементов натурального ряда, имеют единичные значения + si x + si x + si x + 4 si 4x + = или si x + si x + si x + 4 si 4x + = Уже отмечалось, что число звеньев N в конечной соответствующей цепной дроби определяетсялишь степенью коэффициентов и не зависит от аргумента x В третей главе, где методами цепных дробей будет подобно изучена функция Вейерштрасса ω(; ; x) = cos (θ πx), = установлено, что число звеньев, соответствующей ряду Вейерштрасса цепной дроби, при фиксированных коэффициентах и определяется количеством десятичных разрядов неизвестной x В табл 67 показаны результаты суммирования знакопеременного тригонометрического ряда (756) + si x si x + si x 4 si 4x + при x =, преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + si, si, + si, 4 si,44 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 67 Значения подходящих цепной дроби e-95 (757) Из табл 66 и табл 67 следует, что число звеньев соответствующих цепных дробей для различных аргументов x =, и x =, одно и то же и определяется формулой: N = 4( + ) Так как =, то число звеньев соответствующих цепных дробей равно 8 В табл 68 показаны результаты суммирования тригонометрического ряда + si x + si x + si x 4 si 4x + (758) при x =, построениением для ряда (759) соответствующей цепной дроби
125 4 ГЛАВА звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + si, + si, + si, 4 si,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 68 Значения подходящих цепной дроби e-89 (759) Соответствующая цепная дробь для тригонометрического ряда (759) конечная, число звеньев которой определяется формулой: N = 4( + ) = Результаты суммирования знакопеременного тригонометрического ряда + si x si x + si x 4 si 4x + при x =, соответствующей цепной дробью показаны в табл 69 звена дроби Суммирование тригонометрического ряда + si, si, + si, 4 si,4 + построением соответствующей цепной дроби Значения элементов ряда Значения коэффициентов цепной дроби Таблица 69 Значения подходящих цепной дроби e-89 (76) (76) Из данных табл 69 следует, что число звеньев соответствующей цепной дроби Значения подходящих дробей, как видно из колонки 4 табл 69, сходятся к хначению знакопеременного ряда (76)
126 СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 5 + si, si, + si, 4 si,4 + = = +,99 7,96 4,6,78, + + +,88 =, (76) Таким образом, можно сделать вывод, что значения знакопеременных тригонометрических рядов с коэффициентами, представляющие степени элементов натурального ряда, определяются значениями сходящихся цепных дробей Значения знакопостоянных тригонометрических рядов с коэффициентами, также являющимися степенями элементов натурального ряда определяются расходящимися цепными дробями, комплексные значения которых могут быть установлены r φ-алгоритмом
127 ГЛАВА ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Функция Вейерштрасса Пример непрерывной недифференцируемой функции Вейерштрасса был опубликован в 875 г Функция Вейерштрасса представляется тригонометрическим рядом вида: cos( x),, m, m,, Эта публикация 875 года принята за точку отчёта кризиса математики Пример подорвал интуитивное представление о том, что к непрерывной кривой всегда можно провести касательную «Как интуиция может обмануть нас до такой степени?» недоумевал Анри Пуанкаре Более эмоционален был его старший товарищ Шарль Эрмит: «Я с ужасом отворачиваюсь от внушающих сомнение язвы непрерывных функций, не имеющих ни в одной точке производных» [] Такие функции стали называть «плохими» и «монстрами» Ниже приведён список классических фрактальных функций Классические фрактальные функции Функция Больцано, 8 г Функция Вейерштрасса, 87 г Функция Ханкеля, 875 г Ковер Серпиньского, 95 г Функция Римана, 86 г Функция Дарбу, 87 г Функция Кантора, 88 г Салфетка Серпиньского, 95 г Функция Безинковича, 9 г Приведём аналитические записи функции Римана si x r x и функции Ван дер Вардена x vx, где < >дробная часть числа Функция Ван дер Вардена, 9 г
128 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 7 На рис показаны графики функции Вейерштрасса Из представленных графиков функции Вейерштрасса на различных интервалах изменения переменной x хорошо просматривается свойство самоподобия, столь характерное для фрактальных функций =,5, = 5, x mi = -, x mx =, m = 89 =,5, = 5, x mi = -, x mx =, m = 89 =,5, = 5, x mi = -,, x mx =,, m = 89 =,5, = 5, x mi = -,, x mx =,, m = 89 Рис Графики функции Вейерштрасса w(,5; 5) на различных интервалах Непрерывные нигде недифференцируемые функции одно из семейств функций со сложным локальным строениям Примеры Б Больцано и К Вейерштрасса первые из таких конструкций В последующее время недифференцируемые функции всё чаще фигурируют в теоретических и прикладных исследованиях В частности, они используются при: - конструировании фрактальных антенн; - моделировании речевых сигналов и обработки цифровых изображений; - в теории динамических систем; - в теории приближений и т д
129 8 ГЛАВА "Негладкий анализ" интенсивно развивающийся раздел математики, в котором изучаются недифференцируемые функции Быстрому становлению этого направления способствовали как потребности современной науки, так и возросшие возможности вычислительной техники Сформировались направления негладкого анализа, такие как недифференцируемая оптимизация, негладкие задачи вариационного исчисления и другие [5, 6] Одним из перспективных подходов в изучении недифференцируемых функций рассматривается подход, связанный с использованием фрактального анализа В [7] с помощью средств фрактального анализа изучаются свойства непрерывной недифференцируемой функции, весьма близкой к знаменитой функции Вейерштрасса В [9,, 7, 78, 99] был рассмотрен подход к изучению недифференцируемых функций, основные идеи которого связаны с r/-алгоритмом, предложенным для суммирования расходящихся непрерывных дробей Была введена модификация функции Вейерштрасса, названная «функцией Вейерштрасса на интервале», и определены для этой функции r/ -характеристики Применим к изучению свойств функции Вейерштрасса несколько необычный приём, связанный с построением для рядов, так называемых, соответствующих цепных дробей [74] Следует отметить, что цепные дроби получили в последнее время в вычислительной математике разнообразные применения Для суммирования расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей используется r/φ-алгоритм [5], существенно расширивший область использования цепных дробей [54-79] Функция Вейерштрасса определяется рядом w(,, x) cos( x), () где < <, нечетное натуральное число Ряд () равномерно сходится в любом интервале, так что функция Вейерштрасса всюду непрерывна К Вейерштрасс доказал [], что если > π +, то функция () не имеет конечной производной ни при каком значении x Функция Вейерштрасса имеет период равный На рис представлен график функции Вейерштрасса на интервале x при = 7 и =,9 Рис График функции Вейерштрасса В табл показана точность, достигаемая при вычислении функции Вейерштрасса w(7;,9;,) с учетом различного числа членов ряда Рассмотрим распределение значений функции Вейерштрасса на малом интервале На рис показан график функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 на интервале = -
130 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 9 Таблица Вычисление функции Вейерштрасса при различном числе членов ряда Число членов ряда, Значения отрезка ряда, представляющего функцию Вейерштрасса Погрешность e- 89e e- 5e e- e e- 4e e- 8e e- 75e e- 4e e- 45e e- 87e e- 5e-48 Рис График значений функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ), u = e-, d= e- Функция Вейерштрасса непрерывна в классическом смысле, так как существует предел lim f(x) = f() Однако значения функции Вейерштрасса в точках x + становятся «близкими» к значению функции Вейерштрасса в точке x при чрезвычайно ма- x лых значениях В табл приведены значения функции Вейерштрасса в точках, + при различных Таблица Значения функции Вейерштрасса с параметрами = 7, = 9 при различных Значение интервала Значение функции Вейерштрасса в точках,!+ Погрешность w(,)-w(,+) e e- 466e e+ 56e e+ 4e e- 84e e- 47e e- 876e e- e e- 65e e- 56e e- 59e e- 45e e- 8e-56
131 ГЛАВА В табл приведены значения функции Вейерштрасса в различных точках x, полученные вычислением ряда () при а = 7; =,9 Таблица Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для различных значений x Аргумент,x Значение функции Вейерштрасса, e-, е+, e-, е+, е+, e-, е+, e-, -e, e- На рис показаны значения функции Вейерштрасса при параметрах = 9, =,7 на интервале =,, Всего представлено 89 значений функции Рис График значений функции Вейерштрасса на интервале,, В точке x =, функция Вейерштрасса w(9;,7; x) имеет отрицательное значение: -, В табл 4 приведены значения функции Вейерштрасса в точках, + при различных Таблица 4 Значения функции Вейерштрасса с параметрами = 9, =,7 в точках, + Значение Погрешность Значение функции Вейерштрасса в точках + интервала, w(,)-w(,+) e e- 69e e+ 684e e- 96e e- 68e e- 995e e- 65e e- 68e e- 95e e- 4e e- 57e-4 Интервальные и предельные r/φ-характеристикаи функции Вейерштрасса Исследуем поведение функции Вейерштрасса в окрестности точки x Пусть x =, Зафиксируем параметры функции Вейерштрасса: = 7, =,9 Определим интервал, который будет разбит на равные подинтервалы Положим =, число
132 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ подинтервалов = = 975 На концах подинтервалов, последовательно приближаясь к точке x, вычисляются значения функции Вейерштрасса Погрешность при вычислении функции не более 5 Необходимо обратить внимание на технические трудности, связанные с вычислением значений функции Вейерштрасса Основная сложность заключается в вычислении аргумента косинуса, то есть величины πx Для решения данной задачи необходимо вычислить число без округления мантиссы, При вычислениях использовался ряд () с числом членов = 8, количество двоичных разрядов 9 На рис 5 показан график значений функции Вейерштрасса на интервале, (, + ) Рис 5 График значений функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ) На рис 6 представлены первые и последние сто значений функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ) при разбиении интервала на подинтервалов Пунктирной линией показано значение функции Вейерштрасса в точке x =,, равное величине Рис 6 График значений функции Вейерштрасса при x x Первые и последние шестнадцать значений функции Вейерштрасса, полученных на интервале = -, приведены в табл 5 Таблица 5 Значения функции Вейерштрасса при x x, = - Значение функции Значение функции отсчета, отсчета, e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-
133 ГЛАВА Из табл 5 можно видеть, что значение функции Вейерштрасса в ближайшей к x точке, то есть в точке x + /, составляет величину, Это значение не приближает значения функции в точке x, равное величине,76679 Анализируя графики значений функции Вейерштрасса заключаем, что значения функции на интервале осциллируют относительно "уровня x ", то есть относительно значения, равного значению функции Вейерштрасса в точке x Схожий осциллирующий характер имеют подходящие дроби расходящихся непрерывных дробей, которые удалось просуммировать, то есть найти их значения, используя, так называемый, r/алгоритм, нашедший в последствии многочисленные применения в вычислительной математике [75] Следует, однако, отметить важную особенность: в r/-алгоритме "уровень" задается осью x, которая разделяет подходящие дроби на положительные и отрицательные Оказалось, что идеи "усреднения" и "уровня", связанные с r/-алгоритмом, могут эффективно быть использованы при разработке метода анализа быстро осциллирующих функций, в частности, функции Вейерштрасса Для функции Вейерштрасса можно получить некоторые характеристики, которые по аналогии с r/φ-алгоритмом назовём r/φ-характеристиками Введём для функции Вейерштрасса () r/φ-характеристики r-характеристика: r,,[ x, x ] lim cos( xi ), i () где w(,, x i ) = = cos ( π x i ) - значение функции Вейерштрасса в точке x i равномерно делимого интервала [x, x + ], на котором определяется r-характеристика функции () Модуль φ-характеристики:,[ x, x ] lim,, () где число значений функции Вейерштрасса w(,, x i ), меньших значения функции Вейерштрасса в точке x, из общего числа значений функции w(,, x i ) при равномерном делении интервала [x, x + ] Можно отметить, что из определения интеграла Римана следует, что r-характеристика любой функции f(x), для которой функция l f(x) интегрируема на соответствующем промежутке, вычисляется по формуле r = e x + l f(x) dx x Так как функция Вейерштрасса непрерывна, то r-характеристика может быть записана следующим образом: r(, [x, x + ]) = e x + l ω(,, x) dx В табл 6 даны результаты вычисления по формулам () и () r/φ-характеристик функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 в точке x =, на интервале =5 Вычисления r/φ-характеристик последовательно производились при равномерном разбиении интервала на m подинтервалов x
134 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Число разбиений интервала, Таблица 6 Определение r/φ-характеристик в точке x =, при xx, = 5 Значение функции r-характеристика Модуль -характеристики r r r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e В первой колонке табл 6 приведено количество подинтервалов, на которые равномерно разбивается исходный интервал = 5 Во второй колонке даны значения функции Вейерштрасса в точках x i, соответствующей последнему подинтервалу при равномерном делении исходного интервала на m фрагментов, причём, приближение к точке x =, осуществляется справа В третьей колонке приведены значения r-характеристики функции Вейерштрасса в точке x =, на интервале = 5, вычисленные по формуле () Несмотря на то, что при вычислении r-характеристики использовались осциллирующие значения функции Вейерштрасса, которые определялись последовательно в точках x i интервала = 5, разбиваемого всякий раз на m частей (m =. ), в колонке фиксировались числа, асимптотически стремящиеся к некоторому значению В колонке 4 дана разность значений r m и r m, полученных при разбиении интервала на m и m частей, соответственно В колонке 5 показаны значения модуля φ-характеристики функции Вейерштрасса в точке x =, на том же интервале = 5 Выше уже отмечалось, что за уровень отчёта, который определял, какие значения функции Вейерштрасса, вычисленные в точке x i интервала, относить к множеству формулы (), было взято значение функции Вейерштрасса в точке x На рис 7 представлены значения r-характеристики функции Вейерштрасса, вычисленные на интервале, 5, при равномерном разбиении этого интервала на подинтервалов В левой части рис 7 приведены значения r, найденные по формуле () при использовании значений функции Вейерштрасса на начальном участке интервала ( = ) В правой части рис 7 значения r практически одинаковые При их вычислении используется значительное число отчётов функции Вейерштрасса ( = i, где i =, 99,, ) Рис 7 График значений r-характеристики функции Вейерштрасса на интервале, 5,
135 4 ГЛАВА На рис 8 показаны значения -характеристики функции Вейерштрасса, полученные по формуле () на интервале, 5, при равномерном разбиении этого интервала на подинтервалов Рис 8 График значений -характеристики функции Вейерштрасса на интервале, 5, В табл 7 даны результаты вычисления по формулам () и () r/φ-характеристик функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 в точке x =, на интервале = Вычисления r/φ-характеристик последовательно производились при равномерном разбиении интервала на подинтервалов Таблица 7 Определение r/φ-характеристик в точке x =, при x x, = Число разбиений интервала, r r Значение функции r-характеристика r Модуль -характеристики e e e e e e e e e e e e e e Во второй колонке табл 7 приведены значения функции Вейерштрасса в точках x i, которые соответствуют последнему подинтервалу при равномерном разбиении исходного интервала = на фрагментов, причём, приближение к точке x =, осуществляется справа (рис 9) Рис 9 Точки xi, соответствующие последнему подинтервалу при x x В третьей и пятой колонках табл 7 даны значения r/-характеристик функции Вейерштрасса на интервале =, найденные по формулам () и () При вычислении r/-характеристик использовались осциллирующие значения функции Вейерштрасса, которые определялись последовательно в точках x i интервала =, разбиваемого всякий раз на частей
136 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 5 На рис и рис показаны r/-характеристики функции Вейерштрасса, полученные по формулам () и () на интервале,, при равномерном разбиении этого интервала на подинтервалов Рис График значений r-характеристики функции Вейерштрасса на интервале,, при x x Рис График значений -характеристики функции Вейерштрасса на интервале,, при x x На рис показано распределение значений функций Вейерштрасса при параметрах = 7, =,9 Интервал = расположен справа от точки x =, Рис График значений функции Вейерштрасса на интервале,, В табл 8 показаны результаты вычисления r/-характеристик для функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 в различных точках x i Значения r/-характеристик находились на интервале =, совпадающем с периодом функции Вейерштрасса При вычислениях r/-характеристик интервал, равный двум, делился на 5 подинтервалов Таблица 8 Значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса в различных точках xi Значения x Значение функции r-характеристика -характеристика Е Е Е Е+ 4Е Е Е Е- 8Е Е Е Е- 6Е Е Е Е- Е Е Е Е- 64Е Е Е Е- 8Е Е Е Е- 56Е Е Е Е- 5Е Е Е Е- 4Е Е Е Е- 48Е Е Е Е-
137 6 ГЛАВА На рис представлен график, построенный по r/-характеристикам для 4-х различных точек x i Рис Отображение на плоскости r/-характеристик функции Вейерштрасса в зависимости от xi Исследуем поведение функции Вейерштрасса в окрестности точки x Пусть x =, Зафиксируем параметры функции Вейерштрасса: = 7, =,9 Определим интервал, который будет разбит на равных подинтервалов Положим = -, число подинтервалов = = 975 На концах подинтервалов, последовательно приближаясь к точке x, вычисляются значения функции Вейерштрасса Погрешность при вычислении функции не более -5 Можно определить количество членов ряда при заданной погрешности по формуле: log Погрешность ε = 5 обеспечивается при сложении не менее 8 членов ряда = 9 Необходимо вычислить число без округления мантиссы, что требует использования q двоичных разрядов, определяемых соотношением: q log Таким образом, для заданных = 7 и = 8 число разрядов q равно 9 Далее число умножается на x и из целой части полученного числа вычитаются "двойки", так что в результате целая часть числа примет значения или Оставшееся число умножается на π и производится вычисление косинуса приведенного аргумента На рис 4 показан график распределения значений функции Вейерштрасса на интервале,, Рис 4 График значений функции Вейерштрасса на интервале,, На рис 5 представлены первые и последние сто значений функции Вейерштрасса на интервале,, при разбиении интервала на подинтервалов Пунктирной линией показано значение функции Вейерштрасса в точке x =,, равное величине
138 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 7 Рис 5 График значений функции Вейерштрасса при x x Первые и последние шестнадцать значений функции Вейерштрасса, полученных на интервале = -, приведены в табл 9 Таблица 9 Значения функции Вейерштрасса при x x, = - Значение функции отсчета, отсчета, Значение функции e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- Из табл 9 можно заключить, что значение функции Вейерштрасса в ближайшей точке x +, которое составляет величину,745, ни в коей мере не характеризует значения функции в x, равное величине,76679 В табл приведены результаты вычисления r/φ-характеристик функции Вейерштрасса () с параметрами = 7, =,9 в точке x =, на интервале = - Вычисления r/φ-характеристик последовательно производились при делении интервала - на равных частей Максимальное число подинтервалов, на которое разбивается интервал -, равно Интервал находится справа от точки x Таблица Определение r/φ-характеристик в точке x =, при x x, = - Число разбиений интервала, Значение функции r-характеристика r r r Модуль -характеристики e e e e e e e
139 8 ГЛАВА Окончание табл e e e e e e e В первой колонке табл приведено количество подинтервалов, на которые равномерно разбивается исходный интервал = - Во второй колонке даны значения функции Вейерштрасса в точке x i, соответствующей последнему подинтервалу при равномерном делении исходного интервала на фрагментов В третьей колонке приведены значения r-характеристики функции Вейерштрасса в точке x =, на интервале = -, вычисленные по формуле () Несмотря на то, что при определении r-характеристики использовались осциллирующие значения функции Вейерштрасса, которые находились последовательно в точках x i интервала = -, разбиваемого всякий раз на равных частей ( =. ), в колонке фиксировались числа, асимптотически стремящиеся к некоторому пределу В колонке 4 приведена «погрешность», то есть разность значений r и r, полученных при разбиении интервала на и - частей, соответственно В колонке 5 приведены значения модуля φ-характеристики функции Вейерштрасса в точке x =, на том же интервале = - Выше уже отмечалось, что за уровень отчёта, который определял, какие значения функции Вейерштрасса, вычисленные в точке x i интервала, относить к множеству формулы (), было взято значение функции Вейерштрасса в точке x На рис 6 показаны значения r-характеристики функции Вейерштрасса, вычисленные на интервале, (,+ - ) при равномерном разбиении этого интервала на подинтервалов В левой части рис 6 приведены значения r, найденные по формуле () при использовании значений функции Вейерштрасса на начальном участке интервала ( = ) В правой части рис 6 значения r практически одинаковые При их вычислении используется большое число отчётов функции Вейерштрасса ( = i), где i =, 99,, ) Рис 6 График значений r-характеристики функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ) при x x Из формулы () следует, что r-характеристика функции Вейерштрасса являются функцией не только параметров, и x, но и интервала, который, как уже отмечалось выше, равномерно разбивается на подинтервалов В табл приведены результаты вычисления r/φ-характеристик функции Вейерштрасса () с параметрами = 7, =,9 в точке x =, на интервале = - Вычисления r/φ-характеристик последовательно производились при делении интервала на m равных частей Максимальное число подинтервалов, на которое разбивается интервал -, равно Интервал находится справа от точки x
140 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 9 Число разбиений интервала, Таблица Определение r/φ-характеристик в точке x =, при xx, = - Значение функции r-характеристика Модуль r r r -характеристики 4486e e- - e e e e e e e e e e e e e e e e e- 4964e e e- 946e e e e e e e e e e e e e e e- 495e e e- 4446e e Во второй колонке табл приведены значения функции Вейерштрасса в точках x i, которые соответствуют последнему подинтервалу при равномерном разбиении исходного интервала = - на m фрагментов В третьей и пятой колонках табл даны значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса на интервале = -, найденные по формулам () и () На рис 7 показан график распределения значений функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 на интервале,, + - На графике показано 496 значений функции Следует заметить, что характер распределения значений функции Вейерштрасса на интервале,, + - аналогичен рассмотренным выше распределениям значений этой функции на интервалах,, + - Рис 7 График значений функции Вейерштрасса на интервале,, + - Рассмотрим характер значений функции Вейерштрасса на экстремально малом интервале, а именно, при = - На рис 8 показан график распределения 496-ти значений функции Вейерштрасса с параметрами =7, =,9 на интервале = - Рис 8 График значений функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ), u = , d = 76679
141 4 ГЛАВА На рис 9 представлены первые и последние сто значений функции Вейерштрасса на интервале, (,+ - ) при разбиении интервала на подинтервалов Пунктирной линией показано значение функции Вейерштрасса в точке x =, Рис 9 График значений функции Вейерштрасса при x x, u = , d = Первые и последние шестнадцать значений функции Вейерштрасса, полученных на интервале = -, приведены в табл Таблица Значения функции Вейерштрасса при x x, = - отсчета, отсчета, Значение функции Значение функции e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- В табл значения функции Вейерштрасса в точках интервала = - совпадают между собой до десятого десятичного знака Таким образом, можно считать экспериментально подтвержденной непрерывность функции Вейерштрасса по Гейне, ибо для функции Вейерштрасса имеет место соотношение: lim f ( x ) f ( ) x В табл приведены значения r/φ-характеристик при различных интервалах Интервалы расположены справа от точки x =, Параметры функции Вейерштрасса = 7, =,9 Интервалы делятся на 496 подинтервалов Погрешность при вычислении функции Вейерштрасса ε = 9, число членов ряда () = 46, количество двоичных разрядов q при вычислении равно 68
142 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 4 Значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса r-характеристика Модуль -характеристики r-характеристика Таблица Модуль -характеристики e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Из табл следует, что при r-характеристика стремится к значению , то есть к значению функции Вейерштрасса в точке x =, В общем случае, для непрерывной функции предельная r-характеристика в точке x равна модулю функции в этой точке Для функции Вейерштрасса можно записать r(,, x ) = ω(,, x ) Зависимость r-характеристики от интервала имеет ярко выраженный характер, если интервал, на котором определяется r-характеристика по формуле (), существенно меньше периода функции Вейерштрасса, равному, как уже отмечалось выше, двум Если интервал >, то r-характеристика функции Вейерштрасса весьма слабо зависит от, что легко объяснимо периодическим характером в расположении отсчетов значений функции в различных точках «большого» интервала На рис показаны значения r характеристики w(,7; 7;, + ) в зависимости от величины интервала, на котором эти характеристики определяются Рис Зависимость r-характеристики от значения интервала Под предельным значением -характеристики понимается характеристика, определяемая при интервале Из табл видно, что модуль φ-характеристики функции Вейерштрасса, устанавливаемой по формуле (), при не стремится к определенному значению На рис показаны значения модуля φ-характеристики в зависимости от величины интервала, на котором эта характеристика определяется Рис Зависимость модуля φ-характеристики от значения интервала
143 4 ГЛАВА Для получения модуля предельной φ-характеристики следует использовать операцию усреднения, аналогичную операции, проводимой при получении r-характеристики: где R>, i =. i x x x R,, lim,,[, ], i () В табл 4 приведены значения модулей предельной φ-характеристики при различном числе φ-характеристик, полученных на интервалах i = i по формуле () Таблица 4 Значения модулей предельных φ-характеристик функции Вейерштрасса W(7;,7;,) Число значений, Модуль усредненной -характеристики Число значений, Модуль усредненной -характеристики Из табл 4 следует, что при увеличении числа модулей φ-характеристик модуль усредненной φ-характеристики стремится к определенному значению, а именно 875 На рис показаны значения модулей предельных φ-характеристик функции Вейерштрасса W(7;,7;,) в зависимости от числа φ-характеристик Рис График модулей предельных φ-характеристик Опираясь на проведённые исследования, можно ввести в рассмотрение некоторую модификацию функции Вейерштрасса, которую назовём «функцией Вейерштрасса на интервале» и обозначим w(,,[x, x + ]) Эта функция определена не значением функции в произвольной точке x бесконечного интервала, как то имеет место в классическом случае, а совокупностью равномерно распределенных значений функции Вейерштрасса
144 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 4 на фиксированном интервале изменения переменной При этих условиях «функция Вейерштрасса на интервале» имеет единственные r и -характеристики, определённые выше При интервале, стремящемся к нулю, r-характеристика функции Вейерштрасса совпадает со значением модуля функции Вейерштрасса в точке x Показано, что при усреднении значений φ-характеристик, полученных на различных интервалах при, имеет место предельная φ-характеристика, отличная от нуля или от Следовательно, разность w(x i) w(x ) при x i x бесконечное число раз меняет знак Метод r/-характеристик может быть использован для анализа других быстро осциллирующих функций Так как при построении метода r/-характеристик основные идеи заимствованы из ранее построенного алгоритма суммирования расходящихся непрерывных дробей, то предложенный способ анализа быстро осциллирующих функций можно рассматривать в качестве одного из приложений r/-алгоритма Алгоритм определения знака φ-характеристики Как и в случае r/φ-алгоритма, формула () определяет модуль φ-характеристики Знак φ-характеристики устанавливается также из анализа динамики в распределении отсчетов, в данном случае из анализа значений функции Вейерштрасса на равномерно делимом интервале Следует однако отметить, что характер распределений отсчетов в случае функции Вейерштрасса значительно сложнее, чем в случае, имевшем место при определении аргумента комплексного числа при суммировании расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей Для определения знака φ-характеристики используется алгоритм, описанный ниже Алгоритм имеет два варианта, в зависимости от значения модуля угла : Пусть имеются отсчёты функции Вейерштрасса (рис ) Для простоты описания алгоритма примем, что уровень x, то есть уровень, определяемый значением функции в точке x, равен нулю, то есть совпадает с осью x а) б) Рис Отсчеты значений функции Вейерштрасса Так как положительных отсчётов больше отрицательных, то по формуле () имеем: < < π Анализируются пары с положительными значениями функции, находящиеся или в соседних точках x i и x i+, или на минимальном друг от друга расстоянии, если положительные отсчёты разделяют отрицательные отсчёты Следовательно, анализируем только пары положительных отсчётов (рис б) Итак, можно сформулировать алгоритм определения знака φ-характеристики: Если модуль φ-характеристики, установленный по формуле (), лежит в интервале < < π, то знак φ-характеристики будет положительным, если на принятом интервале Δ среди положительных отсчетов число «убывающих» пар отсчётов значений функции Вейерштрасса в соседних точках составляет большинство из общего числа анализируемых пар Напротив, если большинство пар отсчётов принадле-
145 44 ГЛАВА жит к множеству «возрастающих» пар, то знак φ-характеристики будет отрицательным Если по формуле () получаем, что π < < π, то отсчеты функции с отрицательными значениями составляют большинство (рис 4 а) а) б) Рис 4 Отсчеты значений функции Вейерштрасса с отрицательным преобладанием Так как большинство из отсчетов отрицательные, то анализ пар, будем производить среди модулей отрицательных отсчетов (рис б) Запишем ветвление алгоритма определения знака: Если модуль φ-характеристики, установленный по формуле (), лежит в интервале π < < π, то знак угла будет положительным, если на принятом интервале Δ число убывающих по модулю пар отсчётов значений функции Вейерштрасса в соседних точках составляет большинство из общего числа анализируемых пар Напротив, если большинство пар отрицательных отсчётов, взятых по модулю, принадлежат к множеству «возрастающих» пар, то знак φ-характеристики будет отрицательным 4 Предельные r/φ-характеристики функции Вейерштрасса В табл 5 приведены значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса W(9;,7;,) при различных интервалах Интервалы делятся на 496 подинтервалов Погрешность при вычислении функции Вейерштрасса ε = 9, число членов ряда () =, количество двоичных разрядов при вычислении q = 4 Таблица 5 Значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса W(9;,7;,)при различных интервалах Интервал, r-характеристика Модуль -характеристики Интервал, r-характеристика Модуль -характеристики e e e e e e e e e e e e e e e e e e e При определении предельной r - характеристики представляет интерес не само значение этой характеристики, которое, в силу непрерывности функции Вейерштрасса, заведомо равно значению модуля функции Вейерштрасса в точке x, а скорость, с которой эта характеристика устанавливается при стремлении x к точке x в зависимости от параметров а и функции Вейерштрасса
146 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 45 Под предельным значением -характеристики понимается характеристика, определяемая при интервале Из табл 5 видно, что значения модуля φ-характеристики функции Вейерштрасса, устанавливаемые по формуле (), при не стремятся к определенному значению Для получения модуля предельной φ-характеристики следует использовать операцию, аналогичную операции, проводимой при получении r-характеристики В табл 6 приведены значения модулей предельных φ-характеристик по формуле () Таблица 6 Значения модулей предельных φ-характеристик функции Вейерштрасса w(9;,7;,) Число значений характеристик Модуль предельной -характеристики Число значений характеристик Модуль предельной -характеристики Из табл 6 следует, что модуль предельной φ-характеристики стремится к определенному значению, а именно, к 666 На рис 5 показаны значения модулей предельных модулей φ-характеристик в зависимости от количества текущих значений φ-характеристик Рис 5 График модулей предельных φ-характеристик функции Вейерштрасса w(9;,7;,) 5 Значения r/φ-характеристик в зависимости от координаты x В табл 7 показаны результаты вычисления r/-характеристик для функции Вейерштрасса с параметрами = 9, =,7 в различных точках x i Значения r/-характеристик находились на интервале =, совпадающем с периодом функции Вейерштрасса При вычислениях r/-характеристик в точке x i интервал = делился на 5 подинтервалов Шаг изменения x i равнялся, Таблица 7 Значения r/φ-характеристик функции Вейерштрасса в различных точках xi Значения x Значение функции r-характеристика -характеристика e e e e e e e e e e e e e e e+
147 46 ГЛАВА Окончание табл 7 879e e- 8945e e e e e e e e e e e e e e e e- На рис 6 показана зависимость r-характеристики от x: Рис 6 Значения r-характеристики при различных xi На рис 7 представлен график, построенный по r/-характеристикам для 496-х различных точек x i Рис 7 Отображение на плоскости r/-характеристик функции Вейерштрасса в зависимости от xi Продолжим экспериментальное исследование функции Вейерштрасса Ряд () мажорируется сходящимся рядом =, < <, поэтому функция Вейерштрасса определена и непрерывна при всех вещественных x На рис 8 представлен график функции Вейерштрасса на интервале x при = 5 и =,5 Всего показано 89 значений функций Рис 8 График функции Вейерштрасса, W(5;,5)
148 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 47 На рис 9 представлен график функции Вейерштрасса при = 9 и =,6 На интервале x показано 89 значений функции Рис 9 График функции Вейерштрасса В литературе имеется небольшое число публикаций, в которых приводились результаты экспериментального изучения классической функции Вейерштрасса В этом параграфе приведены графики функции Вейерштрасса на интервалах при различных параметрах и (рис 4) Рис График функции Вейерштрасса w(,5; 5) при < x < Рис График функции Вейерштрасса w(,5; 5) при,5 < x <,5 Рис График функции Вейерштрасса w(,5; 5) при, < x <,
149 48 ГЛАВА Рис График функции Вейерштрасса w(,9; 7) при 7 < x < 7 Рис 4 График функции Вейерштрасса w(,9; 7) при,5 < x <,5 6 Определение функции Вейерштрасса цепными дробями Построим по ряду Вейерштрасса, так называемую, соответствующую цепную дробь В [7] были рассмотрены многочисленные соответствующие непрерывные дроби для элементарных и специальных функций Соответствующие цепные дроби, как правило, представляют функции в более широкой области, нежели ряды, а также имеют более высокую скорость сходимости Соответствующие цепные дроби могут быть установлены по степенных рядам, которыми представляются функции Помимо формул Хейлерманна Стилтьеса и формул Хлопонина, известны рекуррентные алгоритмы для определения коэффициентов соответствующих непрерывных дробей, например, алгоритмы Висковатова, Никипорца, Рутисхаузера Запишем алгоритм Рутисхаузера [5] и приведем граф этого алгоритма Определим для ряда: (6) коэффициенты α соответствующей цепной дроби: + 4 5, +, (6) Коэффициенты цепной дроби (6) находятся по рекуррентным формулам
150 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 49. =,+. 4. 5, =,+ 4,+ + 4. +, = -, +, + +, (6) Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (6), показана на рис 5, α α α α α 4 α 5 α 6 ω α ω α α α α 4 α 5 α ω α α α α 4 α 4 ω 4 α 4 α 4 α 4 α 5 ω 5 α 5 α 5 α 6 ω 6 α 6 α 7 ω 7 Рис 5 Схема алгоритма Рутисхаузера Коэффициенты цепной дроби будем обозначать символом с одним индексом, то есть положим = Вычислим функцию Вейерштрасса () при а = 7; =,9; х =, преобразованием ряда в соответствующую цепную дробь Разрядность переменных 5 бит В табл 8 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции Вейерштрасса w(7;,9;,) Таблица 8 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(7;, 9;, ) звена Значения коэффициентов Значения подходящих дроби, цепной дроби, ω дробей, P /Q e- Так как ω 5 = α 5 = 5, то полученная соответствующая цепная дробь конечная Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке табл 8, в цепную дробь вида (6), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса:
151 5 ГЛАВА w(7;,9;,) =,9557,596,456,46,556 =,77 + В табл 9 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные, построенных из исходных рядов (), представляющих функцию Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в тех же рациональных точках х, что использовались при вычислении функции Вейерштрасса рядами Таблица 9 Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби для различных значений x Аргумент, х Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби конечного звена дроби, e- -559e- 5, е+ -488e- 5, e- 8477e- 5, е e- 5, е+ -545e- 5 Из колонки табл 9 видно, что цепные дроби, представляющие функцию Вейерштрасса в рациональных точках x =,;,;,, конечны, так как пятые частные числители цепных дробей близки к нулю Сравнивая вторые колонки табл и табл 9 можно заключить, что значения функций Вейерштрасса, определенные рядами и цепными дробями, совпадают Причем, для вычисления функции Вейерштрасса w(7;,9;,) с точностью 45 десятичных знаков требуется 4 членов ряда, в то время как при точном вычислении этой же функции соответствующая цепная дробь имеет всего четыре звена Очевидна вычислительная эффективность цепных дробей в сравнении с рядами Соответствующие цепные дроби для функции Вейерштрасса будут конечными в произвольных рациональных точках х, заданных числами с конечным числом десятичных разрядов В табл приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейерштрасса w(7;,9)в точке х =, Таблица Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(7;, 9;, ) звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q e-94 В табл приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов () с параметрами а = 7; =,9 Переменные х имеют три десятичных разряда: x =,; x =,; x =,;
152 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 5 Аргумент, х Таблица Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби при различных значениях x Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби конечного звена дроби, e 7484e-94, e 85e-94, e 98e-95, e 7e-98 7, e 4e-94 9, e -874e-94, e -668e-95, e 959e-97 7, e -5857e-95, e -487e-95 В табл приведены значения функции Вейерштрасса w(7; 9), определенные при помощи ряда () в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными цепными дробями Таблица Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда для различных значений x Аргумент, x Значения функции Вейерштрасса, e, e, e, e, e, e Сравнивая вторые колонки табл и табл можно отметить совпадение значений функций Вейерштрасса, вычисленные по различным алгоритмам, при помощи рядов и цепных дробей В табл приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейерштрасса w(7;,9) в точке х =, Таблица Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(7;, 9;, ) звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, α, Значения подходящих дробей, P +/Q +, , ,567985,994-4,87456, , , ,66856, ,48698, ,699469, ,479869, , , , , e-5 Так как α 8, = 4,56 5, то полученная соответствующая цепная дробь конечная Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке
153 5 ГЛАВА табл, в цепную дробь вида (6), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса: w,5679 4,874,4897, (7;,9;, ),76644, 79 В табл 4 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов () с параметрами а = 7; =,9 Переменные х имеют шесть десятичных разряда: x =,; x =,; x =,; x =, Аргумент, х Таблица 4 Значения функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби при различных значениях x Значения функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепной дроби конечного звена дроби, e-5 6, e-5 8, e-55 8, ,65589e-7 8 В табл 5 приведены значения функции Вейерштрасса w(7;9), определенные при помощи ряда () в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными цепными дробями Таблица 5 Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи рядов для различных значений x Аргумент, x Значения функции Вейерштрасса, , , , Сравнивая вторые колонки табл 4 и табл 5 можно отметить совпадение значений функций Вейерштрасса, вычисленных по различным алгоритмам, при помощи рядов и цепных дробей В табл 6 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной для функции Вейерштрасса w(7;,9) в точке х =, Таблица 6 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(7;, 9;, ) звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, α, Значения подходящих дробей, P +/Q e
154 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 5 Окончание табл e-69 Так как α 8, =,8e 69, то полученная соответствующая цепная дробь конечная Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке табл 6, в цепную дробь вида (), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию Вейерштрасса:,45 5,746, 7657,59 w(7;,9;,),68949,54795 Значения функции Вейерштрасса, установленные при помощи ряда в точке x =,, также равно величине, , которая была установлена через цепные дроби (табл 6) Функция Вейерштрасса (), как известно, определена при < При > ряд () расходящийся Значения расходящегося ряда () при > можно установить через соответствующие цепные дроби Определим обобщённую функцию Вейерштрасса w(,, x) как соответствующую цепную дробь вида, построенную для ряда cos( x), (64) где >, нечетное натуральное число, При < < имеем, как частный случай, классическую функцию Вейерштрасса, представленную сходящимся рядом (), или соответствующей цепной дробью (6), построенной по коэффициентам этого ряда Если точка x, в которой определяется значение обобщённой функции Вейерштрасса, представлена числом с конечным числом десятичных разрядов, то соответствующая цепная дробь, которая собственно определяет эту функцию, будет конечной, как то имеет место при представлении цепной дробью классической функции Вейерштрасса () Во второй колонке табл 7 помещены коэффициенты цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, Таблица 7 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса в точке w(7;, 9;, ) звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q e-5 Четвертая подходящая дробь определяет значение обобщённой функции Вейерштрасса, полученное суммированием расходящегося ряда (64), при = 7; =,9; x =, через соответствующую цепную дробь, найденную по алгоритму Рутисхаузера,
155 54 ГЛАВА описываемому формулами (6) Производная обобщённой функции Вейерштрасса w(7;,9) в точке x =, равна Пятый коэффициент цепной дроби для производной функции w(7;,9) в точке x =, равен -98e-5 В табл 8 даны коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции w(7;,9) в точке x =, Последняя, тридцать вторая, подходящая дробь, определяет значение обобщённой функции Вейерштрасса w(7;,9) в точке x =, Таблица 8 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей обобщённую функцию Вейерштрасса в точке x =, звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q e-48 Значение производной обобщённой функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, равно Тридцать третий коэффициент конечной цепной дроби, представляющий производную обобщённой функции Вейерштрасса w(7;,9) в точке x =,, равен 65e Нахождение производной функции Вейерштрасса цепными дробями Применение цепных дробей позволило установить значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках, имеющих представление десятичной дробью с конечным числом разрядов Прием суммирования расходящихся рядов построением, так называемых, соответствующих дробей, можно использовать при изучении других быстро осциллирующих функций, которые не имеют производных в классическом смысле Как уже отмечалось, установлено, что при > π + функция Вейерштрасса w(,, x) cos( x) не имеет производной в классическом смысле, те не существует предела f(x + x) f(x) lim (7) x x ни при каком значении x Более того, Н Харди [4] показал, что функция Вейрштрасса () не имеет производной и при > Определим производную функции Вейерштрасса из расходящегося ряда, которым производная функции Вейерштрасса может быть формально представлена:
156 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 55 w'(,, x) [ si( x)] (7) Построим для расходящегося ряда (7) с параметрами а = 7; =,9; x =, соответствующую цепную дробь Была получена конечная цепная дробь, причем, число звеньев этой цепной дроби такое же, как и в случае цепной дроби, построенной по сходящемуся ряду (), представляющему функцию Вейерштрасса с теми же параметрами В табл 9 приведены значения коэффициентов конечной цепной дроби, найденной для производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в точке x =, Таблица 9 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса в точке x =, звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q ,e-5 Следовательно, можем записать конечную цепную дробь, представляющую производную функции Вейерштрасса w (7;,9;,) =,9785 6,9,4685 4,878 6,4964 =, В табл показаны значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а =7; =,9 в серии рациональных точек: x =,; x =,; x=,; Аргумент, x Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби в различных точках x Значения производной функции Вейерштрасса Таблица Значения конечных звеньев конечного цепных дробей звена дроби e- e e- 668e e- -676e e e e- -98e e- 9556e e- 79e e e e- -445e e e e- 88e-5 5 Найдем цепные дроби для производной функции Вейерштрасса в других рациональных точках, причем, в точках x с большим числом десятичных знаков Во второй колонке табл имеются коэффициенты конечной цепной дроби, значение которой определяет производную функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в точке x =,
157 56 ГЛАВА Таблица Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x =, звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, ω Значения подходящих дробей, P /Q e-479 В табл приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в серии рациональных точек: x =,; x =,; x =,; Аргумент,x Таблица Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби в различных точках x Значение производной функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепных дробей конечного звена дроби e e e e e e e- -47e e- -876e e- -56e e e e e e- 955e e- 674e-479 В табл приведены коэффициенты конечной цепной дроби для производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в точке x =, Таблица Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x=, звена дроби, Значения коэффициентов цепной дроби, α, Значения подходящих дробей, P +/Q + -,9755 -,9755 9, , , , ,8694, ,975545, , , , , , , , , , , ,86768e-6
158 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 57 В табл 4 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в серии рациональных точек: x =,; x =,; x =,; x =, Таблица 4 Значения производной функции Вейерштрасса, установленные через цепные дроби в различных точках x Аргумент, x Значение производной функции Вейерштрасса Значения конечных звеньев цепных дробей конечного звена дроби e e e e-5 8 В табл 5 приведены коэффициенты конечной цепной дроби для производной функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; =,9 в точке x =, Таблица 5 Значения коэффициентов цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x=, Значения Значения подходящих коэффициентов дробей, P +/Q + цепной дроби, α, звена дроби, e-68 В [5] предложено иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей Для установления значений непрерывных дробей используется r/φ алгоритм Несмотря на то, что понятия сходимости и расходимости относятся к бесконечным цепным дробям, определим эти понятия для конечных цепных дробей, беря термины в кавычки, указывая, тем самым, что рассматриваются конечные цепные дроби Целесообразность введения понятий сходимости и расходимости применительно к конечным цепным дробям обусловлено тем обстоятельством, что в некоторых практически важных случаях решение задачи мы получаем именно в конечных цепных дробях, как, например, при решении систем линейных алгебраических уравнений методом цепных дробей или при суммировании некоторых расходящихся рядов [74] К конечным цепным дробям приходим и при определении производной функции Вейерштрасса в рациональных точках, представляемых числами с конечным числом десятичных разрядов Конечная цепная дробь с звеньями + (7) будет сходиться, если последовательность её подходящих дробей приближается к значению P Q
159 ГЛАВА Если последовательность подходящих дробей (68) не приближается к значению конечной цепной дроби (67), то конечную цепную дробь (67) будем называть расходящейся Для определения значений расходящихся конечных цепных дробей, также, как и в случае расходящихся бесконечных цепных дробей, будем использовать, с некоторой модификацией, r/φ алгоритм: Конечная цепная дробь (7) имеет в общем случае комплексное значение z = r e iφ Модуль r и модуль аргумента φ определяются по формулам: r = P i Q i, i= (74) φ (75) = π, где P i/q i подходящие цепной дроби (67), число отрицательных подходящих из общего числа подходящих дробей Здесь надо отметить, что сам факт конечности цепных дробей не имеет принципиального значения при определении их сходимости и расходимости, так как конечные цепные дроби могут включать сколь угодно большое число звеньев Перспективным подходом к изучению быстро осциллирующих функций является метод, связанный со способом суммирования расходящихся цепных дробей, именуемый как r/φ-алгоритм Этот алгоритм дает возможность установить комплексные значения расходящихся в классическом смысле цепных дробей, имеющих вещественные звенья, и позволяет подойти к изучению производных быстро осциллирующих функций с принципиально новых позиций На рис 6 приведены первые и последние сто подходящих дробей цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, Конечная цепная дробь для производной функции Вейерштрасса в точке x =, с шестью десятичными разрядами содержит 8 звеньев Рис 6 Значения подходящих цепной дроби, представляющей производную w (7;,9;,) Из рис 6 видно, что цепная дробь, представляющая производную функции Вейерштрасса не сходится в классическом смысле
160 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 59 В табл 6 приведены результаты определения значений расходящейся в классическом смысле цепной дроби, которая получена для производной функции Вейерштрасса при помощи модифицированного r/φ-алгоритма Для определении коэффициентов цепной дроби использовался алгоритм Рутисхаузера Полученная цепная дробь конечная, так как 8-й коэффициент этой цепной дроби близок к нулю: α 8, =,8676e-6 Таблица 6 Определение комплексной производной функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, Коэффициенты Коэффициенты Значения подходящих, Значения Значения ряда, с цепной дроби, α, P+/Q+ модуля r+ аргумента φ+ -,9755 -,9755 -,9755,9755, , , , , , , , , ,4749, , ,869, , , ,8684-8,9755,8578,6858, ,6776,8554 -,879858, , ,448e+65-45,988 75,667,544699, ,64e+66,4469-9,458875,554954, ,5654e+67 -, ,5674,55554, ,97744e+68-6,7559-9,95874,56597, ,894769e+68 -, ,687767,594, ,8987e+69,749457,798474,565946, ,8566e+64 -,8676e-6 Таким образом, просуммировав при помощи r/φ-алгоритма расходящуюся в классическом смысле цепную дробь, представляющую производную функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =,, получим значение комплексной производной: w (7;,9;,) =,5 e i,78 На рис 7 показаны значения модуля r комплексного числа, являющегося значением расходящейся цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, 6 4 Рис 7 Значение модуля r комплексного числа На рис 8 приведены значения аргумента комплексного числа, представленного расходящейся цепной дробью, найденной для производной функции Вейерштрасса 4 Рис 8 Значение аргумента φ комплексного числа
161 6 ГЛАВА Аналогичным способом были установлены значения комплексных производных функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точках: x =, и x =,444444: w (7;,9;,) =, e i,49 ; w (7;,9;,444444) = 7,59 e i,58 Применение цепных дробей позволило установить наличие производной функции Вейерштрасса в рациональных точках Эти производные представлены конечными цепными дробями Цепные дроби можно использовать при рассмотрении других функций, которые не имеют производных в классическом смысле В табл 7 приведены результаты определения значений расходящейся в классическом смысле цепной дроби, которая получена для производной функции Вейерштрасса при помощи модифицированного r/φ-алгоритма Для определении коэффициентов цепной дроби использовался алгоритм Рутисхаузера Полученная цепная дробь конечная, так как 8-й коэффициент этой цепной дроби близок к нулю: α 8, =,587e 68 Таблица 7 Определение комплексной производной функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =, Коэффициенты цепной Значения подходящих Значения модуля Значения аргумента дроби, α, P+/Q+ r+ φ e Таким образом, просуммировав при помощи r/φ-алгоритма расходящуюся в классическом смысле цепную дробь, представляющую производную функции Вейерштрасса с параметрами = 7; =,9 в точке x =,, получим значение комплексной производной: w (7;,9;,) = 6, e i,78 8 Определение предела функции через непрерывные дроби Весьма интересным представляется возможность использования r/φ-алгоритма при определении предела функции одного из основных понятий в анализе Известны два эквивалентных между собой определения предела функции в точке x [4] Определение предела функции на языке последовательностей, или определение предела по Гейне, формулируется следующим образом: Число А называется пределом функции y = f(x) в точке x или при x x, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x, то есть lim x = x, последовательность соответствующих значений функции f(x ) сходится к числу А В этом случае следует lim x x f( x) = A, или f(x) A при x x Геометрический смысл предела функции
162 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 6 lim f( x) = A x x означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке x, существуют значения функции, как угодно мало отличающиеся от числа A Определение предела функции на языке ε δ, или определение предела функции по Коши, имеет такую формулировку: Число А называется пределом функции в точке x или при x x, если для любого положительного ε найдётся такое положительное число δ, что для всех x x, удовлетворяющих неравенству x x < δ, выполняется неравенство f(x) A < ε Можно привести определение предела функции f(x) при x x в более общем случае [4] Пусть E есть метрическое пространство Предположим, что точка x E не есть изолированная точка в E Тогда направление x x определим как совокупность всех шаров U r (x ) = , из которых выброшена центральная точка Функция f(x), определённая на E со значениями в метрическом пространстве M, имеет предел при x x, если существует точка A, для которой при любом ε > можно найти число δ > так, что для всех x U δ (x ), то есть для всех x x, удовлетворяющих неравенству p(x, x ) < δ, выполняется неравенство: p(f(x), A) ε Рассмотрим трансцендентные функции, представимые, так называемыми, соответствующими непрерывными дробями, и для них дадим формулировку предела функции, отличающуюся от традиционных определений предела Следует отметить, что трансцендентные функции представляются бесконечными непрерывными дробями и точно получить значение такой функции в точке x нельзя Погрешность приближения будет уменьшаться с ростом числа звеньев цепной дроби Чтобы связать классическое определение предела функции в точке x с пределом функции, представленной цепной дробью, установим соответствие между значением i-й подходящей дроби, представляющей функцию в точке x, и точным значением этой же функции в некоторой точке x i интервала (Рис 9) P Q P + Q + P Q P lim = A Q f(x ) f(x + ) f(x ) Рис 9 Соответствие f(x i ) и P i /Q i lim f(x) = A x x Для функций, которые могут быть представлены соответствующими непрерывными дробями, то есть установлены через коэффициенты степенных рядов по формулам Хейлерманна-Стилтьеса или найдены по формулам Тиле через обратные производные [7], можно дать такое определение предела: Если функция f(x) представлена соответствующей непрерывной дробью f(x) = ω + ω x ω x ω x ω x ω x + + +, (8) то функция f(x) имеет предел при x x, совпадающий со значением бесконечной непрерывной дроби для этой функции в точке x Непрерывная дробь (8) сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r e iφ, если существуют пределы: П P Q i i r i lim, π lim = φ, (8) (8)
163 6 ГЛАВА где P i Q i значение i-й подходящей дроби; число отрицательных подходящих дробей из совокупности, включающей подходящих дробей Аналогичные определения предела функции в точке x можно привести, если функция представима непрерывными дробями иных классов, например, ветвящимися непрерывными дробями Таким образом, при установлении предела функции при x x вместо рассмотрения последовательности точных значений функции f(x ), f(x ), f(x ),, f(x ), при x x, рассматриваются значения подходящих непрерывной дроби функции в P точке x Если цепная дробь сходится в классическом смысле, то lim существует и Q он равен значению функции в точке x Таким образом можно записать: P (x ) lim f(x) = lim x x Q (x ) Если соответствующия непрерывная дробь, представляющая функцию в точке x, не сходится в классическом смыле, то по последовательности подходящих дробей (8) при помощи r/φ-алгоритма, то есть формул (8) и (8), может быть установлено комплексное значение цепной дроби В этом случае функция f(x) при x x имеет комплексный предел r e iφ Итак, предлагается использовать конкретный алгоритм вычисления функции, предел которой находится в точке х, а именно, представление функции, так называемыми, соответствующими непрерывными дробями Вводится однозначный механизм квантования при определении предела функции в точке x, заключающийся в использовании подходящих дробей Устанавливается комплексный предел функции, если он имеет место, при помощи r/φ-алгоритма Для примера рассмотрим соответствующую непрерывную дробь логарифмической функции l( x x x x x x x x x x) (84) Очевидно, что точно определить значение функции l(+x) в точке x нельзя, так как точное значение функции в точке x можно получить только в пределе, с учетом бесконечного числа звеньев цепной дроби (84) Будем устанавливать значение функции l(+x) в точке x, используя последовательность подходящих дробей: P P Pm Pm. Q Q Qm Qm Цепная дробь с возрастающим числом звеньев определяет значение функции в точке x со все большой точностью Будем полагать, что значение непрерывной дроби логарифмической функции с конечным числом звеньев дает значение, которое соответствует точному значению логарифмической функции, в некоторой точке x, лежащей в окрестности точки x Беря непрерывную дробь для l(+x) в точке x, со все большим числом звеньев, например, с числом m, получим точное значение функции в некоторой окрестности точки x, причем, эта точка x m лежит ближе к точке x, нежели точка x, а само значение функции в точке x m ближе к значению искомого предела, те значению функции в точке x, нежели, когда использовалась цепная дробь с меньшим числом звеньев Таким образом, определяя цепную дробь для функции в точке
164 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕШТРАССА НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 6 x, тем самым будем получать последовательность точных значений функции в точках, приближающихся в точке x, то есть фактически определяя предел функции в точке x в классическом смысле Как известно, непрерывные дроби, представляющие функции, могут быть как сходящимися, так и расходящимися Если функция представляется расходящейся цепной дробью, то нельзя вычислить значения функции в последовательности точек, приближающихся к точке x Тем не менее, используя введённые выше определение предела, можно установить предел функции в точке x в случае расходящийся непрерывной дроби Известно, что цепная дробь, соответствующая степенному ряду конечна тогда, когда степенной ряд является рядом Тейлора рациональной функции В случае, если функция представима конечной цепной дробью, можно записать: lim f(x) = P (x ) x x Q (x ) В качестве примера функции, которая представима конечной соответствующей цепной дробью, может быть указана функция Вейерштрасса в рациональных точках x i [7] w(,, x)
165 ГЛАВА 4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Известно, что более половины всех вычислительных задач связаны с решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Это не удивительно, так как математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как СЛАУ, либо сводятся к ним посредством дискретизации Поэтому важен выбор эффективного способа решения систем линейных алгебраических уравнений Прямые методы обеспечивают точный, без учёта погрешности округления, результат за фиксированное число операций Наиболее распространённый из прямых методов метод Гаусса, даёт решение за О( /) операции, что делает его малопригодным при решении систем большой размерности Типичная область применения итерационных методов системы линейных уравнений, возникающих при численном решении дифференциальных уравнений с частными производными Обычно, это системы из большого числа уравнений, матрицы которых могут легко записываться и обрабатываться благодаря их специальному строению С помощью итерационных методов может быть построено однако не решение, а только приближающаяся к решению последовательность Таким образом, итерационные методы имеют некоторую теоретически неустранимую погрешность Уязвимость итерационных методов, однако, в ином Итерационные методы сходятся, то есть дают сходящуюся последовательность, не для любой системы линейных уравнений Критерии сходимости накладывают весьма жёсткие ограничения на матрицу СЛАУ Показательный пример, так называемое, условие "диагонального преобладания" Эффективность итерационного метода во многом определяется также скоростью его сходимости, которая зачастую бывает чрезвычайно медленной Историк математики Клод Брезински по этому поводу писал [9]: Самое трудное это, видимо, убедить людей, занимающихся итерационными методами, использовать процесс ускорения сходимости Существуют, однако, методы решения СЛАУ, которые, являясь по сути точными методами, допускают, тем не менее, в процессе реализации алгоритма, при определённых условиях, накладываемых на матрицу системы, последовательное уточнения неизвестных, сближаясь в этом смысле с итерационными алгоритмами Принципиальное отличие таких алгоритмов решения СЛАУ от итерационных состоит в том, что они допускают фиксированное число итераций, причём, на m-й итерации, где m связано с размерность СЛАУ, имеем точное решение СЛАУ Существование точных алгоритмов решения СЛАУ «с фиксированным числом итераций» вызывает некоторые осложнения при классификации алгоритмов Например, метод сопряжённых градиентов иногда рассматривают как итерационный, хотя этот алгоритм обеспечивает точные решение СЛАУ за конечное число операций Также и метод ортогонализации приводит к итерационному процессу, который, однако, обрывается после m шагов, давая точное решение, если не учитывать погрешностей округления Известна целая серия точных алгоритмов решения СЛАУ, использующих в своей структуре итерационные процедуры, которые обрываются на некотором шаге В результате получаются точные значения неизвестных за конечное число операций, что является основным признаком прямого алгоритма Эти точные алгоритмы имеют признаки
166 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 65 итерационных алгоритмов, так как позволяют, опять-таки при определённых условиях, получать значения x i с некоторой точностью Такие алгоритмы решения СЛАУ будем называть «точными методами с фиксированным числом итераций» В последние десятилетия для решения СЛАУ большой размерности наиболее эффективным средством признаны итерационные методы неполной факторизации, дополненные вариационными алгоритмами ускорения сходимости [9] Если ширина d ленточной части от обратной матрицы совпадает с размерностью N матрицы, то метод неполной факторизации из итерационного превращается в прямой, дающий точное решение за конечное число операций Фактически в этом случае метод неполной факторизации переходит в блочный метод Гаусса Рассмотрим точный алгоритм решения СЛАУ, базирующийся на итерационных алгоритмах решения систем В качестве исходных алгоритмов использовались метод простых итераций, или метод Якоби, а также метод Зейделя Предложенный подход позволяет эффективно находить приближённые значения неизвестных СЛАУ при определенных условиях, накладываемых на коэффициенты матрицы Здесь следует дать некоторые уточнения Метод цепных дробей, представленный в этой главе, приводит к предоставлению x i в виде конечной цепной дроби с числом звеньев, где - размерность решаемой СЛАУ Возможны два варианта: или цепная дробь обеспечивает все более точное определение x i с ростом количества звеньев цепной дроби, или цепная дробь не дает приближений к x i вплоть до вычисления конечной цепной дроби, имеющей звеньев, когда вне зависимости от характера цепной дроби имеем точное значение x i, совпадающие с решением, полученным точным методом, для определенности, найденным по методу Гаусса Цепные дроби первого типа будем называть сходящимися, а цепные дроби второго типа расходящимися Цепные дроби первого типа, обеспечивающие приближение x i, будем называть так же вещественными, а цепные дроби второго типа, когда последовательность значений подходящих дробей не приближает x i, будем называть комплексными Целесообразность такой терминологии обоснована далее Тип цепной дроби, представляющей x i, определяется коэффициентами исходной матрицы СЛАУ 4 Решение СЛАУ методом суммирования расходящихся рядов Во второй главе было определено суммирование рядов через соответствующие цепные дроби: Степенной ряд c c x c x cx (4) сходится к значению соответствующей этому ряду цепной дроби x x x x x (4) Коэффициенты i соответствующей цепной дроби (4) и коэффициенты c iстепенного ряда (4) связаны соотношениями Хейлерманна-Стилтьеса [6] Числовой ряд c c c c (4) x, если ряд (4) рассматривать суммируется значением цепной дроби (4) при как степенной ряд (4) при x Кроме формул Хейлерманна-Стилтьеса, которые весьма затруднительно использовать при получении значительного числа коэффициентов соответствующей цепной i
167 66 ГЛАВА 4 дроби, имеются рекуррентные формулы для определения i, например, алгоритм Рутисхаузера Рассмотрим метод решения СЛАУ, базирующийся на классическом итерационном алгоритме решения СЛАУ, а именно, на алгоритме Якоби, или методе простых итераций В предлагаемом алгоритме суммирование рядов, которые строились для каждой () х i неизвестной по значениям, получаемых в процессе итераций, производилось через построение для этих рядов соответствующих цепных дробей Для краткости предлагаемый комбинированный метод решения СЛАУ будем называть методом цепных дробей Пусть имеется система стандартного вида Ах =, (44) где А ( а, ) i j i, j матрица, х = (х,,х ) T и = (, ) T Система (44) преобразовывается к виду, соответствующему методу простых итераций ( ) ( ) x Bx c, =. где х вектор неизвестных, В и с некоторые новые матрица и вектор, соответственно Можно считать приближения для каждой неизвестной частичными суммами ряда, который сходится, когда сходится итерационный процесс, и расходится, в противном случае Зная частичные суммы ряда, легко найти элементы ряда, первый из которых будет равен pi х, а последующие i pi хi х, то есть можно рассматривать ряд i p p p p, (45) i i i i частичная я сумма которого совпадает со значением Ряд (45) может сходиться медленно и даже расходиться Для суммирования ряда (45) будем использовать соответствующие цепные дроби После того, как найдены коэффициенты соответствующей цепной дроби, можно просуммировать ряд (45), то есть для каждого получим его значение Запишем ряд (45) и соответствующую цепную дробь (4) в модифицированных обозначениях: i i i i i x i. х i i i i i i. i, (46) Коэффициенты непрерывной дроби (46) находятся по рекуррентным формулам Рутисхаузера [7,5]: i i. i, i i i. i 4, i i,, i, i i i i 5,, 4, 4. х i
168 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 67 i i i. i, i i i i. (47) На рис 4 приведена граф-схема алгоритма Рутисхаузера Первая строка этой схемы составлена из коэффициентов исходного ряда Крайний левый столбец этой схемы, то есть коэффициенты, искомые коэффициенты соответствующей цепной дроби (46) i,, Рис 4 Граф рекуррентного алгоритма Рутисхаузера В табл 4 46 приведены результаты решения тестовых систем линейных алгебраических уравнений методом цепных дробей В таблицах первого вида записываются результаты вычислений x различных систем В таблицах второго помещены результаты определения x i В качестве «точных» значений неизвестных систем принимаются их значения, полученные методом Гаусса Опишем подробнее таблицы на примере решения системы (48) Размерность матрицы СЛАУ 8x8 Разрядность операндов при решении системы (48) составляет 5 бит Большая разрядность операндов одна из особенностей рекуррентного алгоритма Рутисхаузера итерации x x x x4 4 4 x 5 5 Определение x Значение x по методу простых итераций системы (48) методом цепных дробей Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Таблица 4 Погрешность, x iг x iдр -467e e e e e e e e -468e e e e e e -5684e e e e -5444e e e e -79e- (48)
169 68 ГЛАВА 4 Окончание табл e e e -7576e e e e -9e e e e -6656e e e e -984e e e e -5968e e e-795 В первой колонке табл 4 указаны номера итераций, во второй результаты вычисления х по методу простых итераций В колонке помещены коэффициенты соответствующей цепной дроби, которые находятся по формулам Рутисхаузера (47) В четвертой колонке приводятся значения для неизвестной х системы (48), полученные методом цепных дробей, то есть после вычисления соответствующей цепной дроби В колонке 5 табл 4 приведены погрешности в определении х, которые устанавливаются как разности x Г x () др, где x Г «точные» значения х системы (48), определяемые по методу Гаусса, x () др значения х системы (48), найденные методом цепных дробей после -й итерации x i Таблица 4 Значения xi системы (48), полученные методом цепных дробей Значения x Значения x i Число i Погрешность, по методу звеньев по методу Гаусса x цепных дробей дроби iг x iдр e e e e e 56-87e e e 56-7e e e e e e e e e e-7 В первой колонке табл 4 указаны номера неизвестных х i решаемой системы Во второй колонке приведены «точные» решения х i системы (48), найденные по методу Гаусса В третьей колонке помещены значения решения х i, установленные методом цепных дробей В колонке 4 указано число звеньев конечных цепных дробей, представляющих неизвестное x i СЛАУ В колонке 5 приведены погрешности для х i Анализируя табл 4 и 4 можно сделать следующие выводы Система (48) не решается методом простых итераций Из колонки 5 табл 4 следует, что уже после -й итерации метод цепных дробей даёт в определении x погрешность порядка -6, а после 56-й итерации имеем точное решение Погрешность метода цепных дробей на 56-й итерации, то есть разность в значениях x i, определённых точным методом Гаусса и методом цепных дробей, составила величину порядка -69 Соответствующая цепная дробь, которая строилась по ряду, генерируемому алгоритмом простых итераций, или методом Якоби, оказалась конечной В самом деле, как видно из колонки табл 4, в которой помещались коэффициенты ω i, получаемые по алгоритму Рутисхаузера из коэффициентов ряда, значение коэффициента ω i с номером 57 приняло практически нулевое значение Если некоторый коэффициент ω i цепной дроби (46) равен нулю, то цепная дробь, естественно, обрывается, то есть становится конечной Метод цепных дробей обеспечивает точное решение СЛАУ при использовании итераций, выполненных по алгоритму простых интераций, где - размерность СЛАУ Часто при тестировании алгоритмов решения СЛАУ используются системы с матрицей Гильберта Система (49) имеет матрицу Гильберта размерности 64x64
170 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 69 / / / 4 / 5 x 4, / / / 4 / 5 / 6 x, / / 4 / 5 / 6 / 7 x,74474 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 x, / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 x 5, (49) При решении системы (49) использовалась разрядная сетка в бит В таблицах 4 и 44 приведены результаты решения системы (49) методом цепных дробей итерации Определение Значение x по методу итераций x Таблица 4 системы (49) методом цепных дробей Коэффициенты ряда Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность ,4E+9 -,4E ,44E+ 7,57E ,E+ -4,E e5 8577e e e e e e e e e e e e e e e 5555e e e -575e 94897e e4 856e e-56 Можно обратить внимание, что коэффициенты цепной дроби, представляющей x, имеют для четных номеров значения, близкие к единице, а для нечётных к нулю x i Таблица 44 Значения xi системы (49), полученные методом цепных дробей Значения x Значения x i i Число Погрешность, по методу по методу Гаусса звеньев дроби x цепных дробей iг x iдр e e e e e e e-59 По методу цепных дробей после -й итерации получаем значение неизвестной x с погрешностью порядка -, а после 8-й итерации погрешность в определении x составляет величину порядка -6 На 9-й итерации имеем значение ω 9 порядка -56, то есть можно говорить о конечной цепной дроби Этот, казалось бы, парадоксальный результат имеет естественное объяснение Неизвестные x i определяются рациональными функциями, записываемыми формулами Крамера, то есть отношениями
171 7 ГЛАВА 4 определителей -х порядков Но, как известно, рациональные функции представляются конечными правильными C дробями Поэтому когда ряд, представляющий x i, преобразовать одним из алгоритмов в соответствующую цепную дробь, или правильную C-дробь, то эта соответствующая цепная дробь будет конечной, что и наблюдается при решении СЛАУ методом простых итераций, дополненного суммированием через цепные дроби Рассмотрим СЛАУ со «случайной» матрицей Размерность матрицы системы 64х64 Каждый элемент взят при помощи программы случайной выборки чисел из некоторого диапазона x x x x4 x 5 (4) В табл 45 и 46 приведены результаты решения системы (4) методом цепных дробей Таблица 45 Определение системы (4) методом цепных дробей итерации Значение x по методу итераций x Коэффициенты ряда Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность, x iг x iдр ,8E+ -,8E e e e e e e e e e e e e e4-6667e e e e e e e e e e e e e-8 x i Таблица 46 Значения xi системы (4), полученные методом цепных дробей Значения x Значения x i i Число Погрешность, по методу по методу Гаусса звеньев дроби x цепных дробей iг x iдр e e e e e e e-4
172 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 7 На 8-й итерации метод цепных дробей даёт точное значение x, так как погрешность в определении x i составляет порядка -4 Из табл 46 следует, что с такой же погрешностью определяются и другие неизвестные системы (4) В рассмотренных выше примерах в качестве промежуточных использовались данные отсчётов, полученные методом простых итераций Было установлено, что описанный метод решения СЛАУ можно применять, используя в качестве базового итерационного алгоритма алгоритм Зейделя Метод Зейделя в совокупности с суммированием порождаемых рядов алгоритмом Рутисхаузера, также, как и в случае метода простых итераций, приводит к точному решению СЛАУ В методе цепных дробей генерация итерационных отсчётов для имеет формальный характер, так как эти отсчёты являются промежуточными результатами и служат для построения по этим отсчётам рядов, значения которых затем находятся вне зависимости от того, являются эти исходные ряды сходящимися или расходящимися Суммирование рядов происходит через построение по одному из известных алгоритмов, так называемых, соответствующих цепных дробей, которые оказываются конечными Эти конечные цепные дроби дают точные значения,если не учитывать неизбежных ошибок округления при счёте Таким образом, установлено, что метод простых итераций в совокупности с построением соответствующих цепных дробей, использующих результаты итераций, приводит к точным решениям СЛАУ Так как скорость сходимости метода простых итераций может быть значительно увеличена при построении соответствующих цепных дробей, видимо, целесообразно эти классические итерационные алгоритмы дополнять программным блоком, включающих построение соответствующих цепных дробей Если построенные по итерациям соответствующие цепные дроби сходятся, то есть дают приближённые значения неизвестных при увеличении количества звеньев, то метод цепных дробей может использоваться в качестве итерационного без существенных ограничений на матрицу решаемой СЛАУ, что весьма полезно в практическом плане, так как позволяет существенно увеличить размерность решаемых СЛАУ 4 Решение систем алгебраических уравнений СЛАУ различных классов Рассмотрим метод цепных дробей для решения СЛАУ более обстоятельно с привлечением СЛАУ, матрицы коэффициентов которых принадлежат различным классам В табл приведены результаты решения тестовых систем линейных алгебраических уравнений методом цепных дробей Прежде всего опишем системы которые решались этим методом Все системы имели «плотные» матрицы коэффициентов, которые условно можно разделить на 9 классов: Аа Ва Са А В С Ас Вс Сс А, В, С матрицы коэффициентов системы, а,, с векторы столбцы правой части систем В матрицах А диагональные элементы постоянны, в матрицах В диагональные элементы возрастают, в матрицах С диагональные элементы уменьшаются Соответственно, «а» означает вектор столбец с постоянными элементами, - вектор - столбец с возрастающими элементами, «с» вектор столбец с уменьшающимися элементами Результаты решения каждой системы методом цепных дробей приводятся в таблицах двух видов, которые рассматривались в первом параграфе В таблицах первого вида записываются результаты вычислений x i различных систем В таблицах второго вида помещены результаты определения x i Во вторых таблицах также указывается число x i x i
173 7 ГЛАВА 4 итераций необходимых для построения конечных цепных дробей, то есть для точного решения системы В качестве «точных» значений неизвестных систем принимаются их значения, полученные методом Гаусса с использованием стандартной программы Система (4) относится к системам класса Ва, так как элементы главной диагонали увеличиваются, а коэффициенты правой части постоянны Размерность СЛАУ 8х x x x x4 x5 (4) Как следует из колонки табл 47, система (4) не решается методом простых итераций, элементы x () i растут по модулю с каждой итерацией примерно на порядок Решения системы (4) удается получить точно методом цепных дробей Из колонки табл 47 видно, что частный числитель ω 57 соответствующей цепной дроби для x равен величине 9,5-55, то есть цепная дробь конечная Таблица 47 Определение x системы (4) методом цепных дробей итерации, Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр e- -888e -889e e- -4e e e e- 656e e e- -867e- 5 59e e e e4 7754e e-4 466e e e e e 5768e- 6789e- 5467e e e e e e e- 68e e e- 855e e7 7696e e e e e e e e e- 9766e e e- 8749e e e e- 57e e e- 847e e e-55 Из колонки табл 47 следует, что коэффициенты цепной дроби, имеющие нечётные номера, близки к нулю Кроме того, можно отметить, что цепная дробь для x сходится, то есть даёт все уточняющиеся значения для x В табл 48 показаны результаты определения неизвестных x i систем (4) Как и следовало ожидать, «точные решения СЛАУ» (4), размерностью 8х8 устанавливаются цепными дробями с 56 звеньями
174 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 7 Таблица 48 Значения xi системы (4), полученные методом цепных дробей x i Значения x i по методу Гаусса Значения x i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр 58455e e e e e- 56 6e e- 7599e- 56 e e e e e e e e e- 56 e e- 7698e e e e e-95 Система (4) относится к системам класса В В системах этого класса элементы главной диагонали матрицы и элементы правой части образуют возрастающие последовательности x x x x4 4 (4) 4 x5 5 Значения x () по методу простых итераций образуют знакопеременную последовательность элементов, причем, по модулю элементы x () возрастают как элементы геометрической прогрессии Как следует из табл 49 и 4, при решении системы (4) обеспечивается погрешность в определении неизвестных порядка -67 Таблица 49 Определение x системы (4) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр e -7e -8e e e -898e e e e e -9448e e e e e -487e e e e e e e e -4446e e e e -7866e e e e -799e e e e -4647e e e- x i Таблица 4 Значение xi системы (4), полученные методом цепных дробей Значения x i Значения x i Число Погрешность, по методу Гаусса по методу звеньев x iг x iдр цепных дробей дроби e e e e e e e e e e e 56-64e e e e e e e e e e e-67
175 74 ГЛАВА 4 Система (4) принадлежит к классу Вс, так как диагональные элементы матрицы возрастают, а элементы правой части - уменьшаются Размерность матрицы СЛАУ 8х8 (4) Метод простых итераций при определении x () дает знакопеременную возрастающую по модулю последовательность чисел (табл 4) Таблица 4 Определение xi системы (4) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби 4 x x / x / x4 / 4 x5 / 5 Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность, x Г x Др E E E E E e e e e-554 Можно отметить высокую скорость сходимости цепных дробей при нахождении решений СЛАУ (4): седьмая подходящая дробь обеспечивает определение x с погрешностью порядка Таблица 4 Значения xi системы (4), полученные методом цепных дробей Метод Число Метод Абсолютная цепных звеньев x i Гаусса погрешность дробей дроби e e e e e e e e-74 Метод цепных дробей даёт точные решения СЛАУ размерности 8х8 при постоении цепных дробей, имеющих 56 звеньев, то есть при построении цепных дробей используются результаты итераций Сам метод простых итераций, применительно к решению СЛАУ (), генерирует расходящиеся последовательности, по которым, однако, строятся быстро сходящиеся конечные цепные дроби Система (44) относится к системам класса Са, так как элементы главной диагонали матрицы уменьшаются, а элементы правой части постоянны
176 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ x x x x4 x5 (44) Во второй колонке табл 4 даны значения x (), полученные методом простых итераций Как и во всех рассмотренных ранее случаях, коэффициенты x () образуют знакопеременную расходящуюся последовательность Частный числитель ω 57 имеет значение, близкое к нулю Соответствующая цепная дробь, построенная для x по значениям x (), полученных методом простых итераций, дает приближения для x с высокой точностью: восьмая подходящая дробь обеспечивает погрешость порядка 8 итерации Определение Значение x по методу простых итераций x системы (44) методом цепных дробей Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Таблица 4 Погрешность, x iг x iдр e- -65e -65e e- -56e e e e e e e e e e- -789e e e e- -455e e -5857e e- -858e e e e e e e e e e e e- -785e e e-564 x i Таблица 44 Значения xi системы (44), полученных методом цепных дробей Значенияx i по методу Гаусса Значенияx i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр e e e e e- 56-5e e e- 56-9e e e e e e e e- 4476e- 56 -e e- 594e e e e e-95 Метод цепных дробей для рассмотренных выше примеров, кроме примера (4) для СЛАУ со случайной матрицей, проявляет себя как эффективный итерационный алгоритм, когда несколько приближений обеспечивают получение решений с большой точностью Но следует чётко понимать, что матрица конкретной СЛАУ определяет, может ли быть метод цепных дробей итерациооным или нет Если критерии показывают, что матрица СЛАУ, условно говоря, комплексная, то метод цепных дробей, то есть цепная дробь, которая представляет неизвестную x i, не может давать
177 76 ГЛАВА 4 приближения и процесс решения такой СЛАУ не может рассматриваться как итерационный В этом случае метод цепных дробей будет оставаться точным методом, как и алгоритм Гаусса, когда после выполнения определённого числа операций получаем точное решение СЛАУ Система (45) относится к системам класса С, так как диагональные элементы матрицы уменьшаются, элементы правой части возрастают Размерность СЛАУ 64х64 x / x / x / 4 x4 4 (45) В табл 45 и 46 приведены результаты решения системы (45) методом цепных дробей Таблица 45 Определение х системы (45) методом цепных дробей Коэффициенты Значение x Значение x по Коэффициенты по Абсолютная цепной методу цепных итерации методу итераций ряда погрешность дроби дробей e ,77E+9 5,77E e e e e e -4774e e e e -8448e e e e e e e e e e e e e e-859 Из данных колонки 5 табл 45 следует, что матрица СЛАУ не обеспечивает условия, которые позволяли бы построить цепную дробь, подходящие которой быстро сходились к решению x Можно сказать, что существует СЛАУ с комплексными матрицами, которые в принципе не позволяют получить сходящиеся итерационные процессы, так как решения подобных СЛАУ комплексные Следовательно, конечные СЛАУ точные решения имеют всегда, если матрица не вырожденная, в то время, как построить сходящиеся итерационные процессы при решении конкретной СЛАУ можно, если такие просцессы допускает матрица СЛАУ Таблица 46 Значения xi системы (45), полученные методом цепных дробей x i Метод Гаусса Метод цепных дробей Число звеньев дроби Абсолютная погрешность e e e e e e e e-96
178 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 77 Интересно отметить, что решениями системы (45) для x, где i =, 4, 8,, 8 являются отрицательные числа, 4, 8,, 8 СЛАУ (5) можно использовать как тестовую В заключение параграфа рассмотрим решение системы Cc x x / x / (46) x4 / 4 В табл 47 и 48 показаны результаты решения системы (46) размерностью 8х8 Таблица 47 Определение х системы (46) методом цепных дробей итерации Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность e e e e e e e e e e e e e77 97e e e e e e e e e-759 Можно заметить, что для матрицы СЛАУ (46) метод цепных дробей приводит к быстросходящимуся итерационному процессу Из колонки 4 таблицы 47 следует, что цепная дробь, построенная по итерационному ряду является знакоположительной, что гарантируют вилку при вычислении значений подходящих дробей Наличие вилки упрощает оценку погрешности при определении значения цепной дроби Результат находится между значениями соседних подходящих Значения подходящих с чётными номерами, т е подходящие P, дают монотонно возрастающую последовательность, иначе говоря, дают результат с недостатком, в то время как подходящие с Q P нечётными номерами + приводят к монотонно убывающей последовательности, Q + т е имеем результат с избытком, причём, значение P Q результату, нежели значение P Q ближе по модулю к истинному Таблица 48 Значения xi системы (46), полученные методом цепных дробей Метод Число Метод Абсолютная цепных звеньев x i Гаусса погрешность дробей дроби e e e e-
179 78 ГЛАВА 4 Окончание табл e e e e- Приведенные примеры решения систем линейных алгебраических уравнений показывают, что на основе методов теории цепных дробей могут быть построены эффективные итерационные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений 4 Решение СЛАУ с симметричной матрицей Рассмотрим решения систем класса A В системе (4) размерностью 8х8 диагональные элементы имеют величину -7 : E-7 x E-7 x E-7 x (4) E-7 x4 E-7 x5 В табл 49 и 4 приведены результаты решения системы (4) Из колонки табл 49 видно, что значения x () с каждой итерацией растут в геометрической прогрессии со знаменателем q 9, в то время как четвертый коэффициент соответствующей цепной дроби близок к нулю Таблица 49 Определение xi системы (4) методом цепных дробей итерации Значениеx по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр -995e e9-699e e- 7874e- 6e e e- -687e e e-494 Используя данные третьей колонки табл 49 можно записать цепную дробь для определения x : x =,6 e9 9,9999 e6 =, В табл 4 приведены результаты решения системы (4) методом цепных дробей Таблица 4 Значения xi системы (4, )полученные методом цепных дробей x i Значения x i по методу Гаусса Значение x i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр e e- -687e e e- -469e e e- 9654e e e- 955e e e- 9549e e e- 9556e e e- 9544e e e- 954e-5
180 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 79 Следует обратить внимание: для точного определения x i СЛАУ с симметричной матрицей методом цепных дробей требуется всего три итерации, причём, число итераций не зависит от разрядности СЛАУ Система (4) относится к системам класса А, то есть к системам, имеющим постоянные элементы по диагоналям и «возрастающую» правую часть Размерность СЛАУ (4) 8х8 x x x (4) x4 4 x5 5 В табл 4 и табл 4 приведены результаты решения СЛАУ (4) Таблица 4 Определение x системы (4) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр -9598e e5-7e e e- 6745e -64e e e e5 796e e e e 7e e e e e- Для определения значения x системы (4) можно записать цепную конечную дробь, содержащую всего пять звеньев: x = +,7 e5 64,,79 e5,7 e5 =,647 + Таблица 4 Значения xi системы (4), полученных методом цепных дробей x i Значения x i по методу Гаусса Значения x i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-55 Из табл 4 видно, что значения x (), получаемые методом простых итераций, растут по модулю чрезвычайно быстро, как элементы геометрической прогрессии со знаменателем q 5 В табл 4 приведены погрешности в определении х i (i =. 8) для системы (4) Необходимо ещё раз отметить высокую эффективность метода цепных дробей при решении СЛАУ с симметричной матрицей Для точного определения значения x i СЛАУ класса A требуется всего пять итераций, опять-таки вне зависимости от размерности системы
181 8 ГЛАВА 4 Система (4) относится к системам класса Ас, когда элементы матрицы по диагоналям имеют одинаковые значения, а элементы правой части образуют «ниспадающую» последовательность E- x E- x / E- x / (4) E- x4 / 4 E- x5 / 5 Диагональные элементы матрицы системы (4) близки к нулю Система (4), очевидно, не может быть решена методом простых итераций Данные второй колонки табл 4, где помещены значения x (i), полученные по методу простых итераций, образуют знакопеременную возрастающую по модулю последовательность чисел На пятой итерации метод цепных дробей позволяет определить x с абсолютной погрешностью, которая составляет величину -495 Таблица 4 Определение x системы (4) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр e -6e e e e e e e e e e e e e e- -489e e e-49 Используя данные третьей колонки табл 4, запишем цепную дробь для x системы (4): x =,6 e,977 e 6,595 e 6,6 e =, Из табл 44 видно, что методом цепных дробей неизвестные системы (4) (х i =, 4,, 8) находятся с погрешностью порядка -495 при числе звеньев цепной дроби, равном 5 Таблица 44 Значения xi системы (4), полученные методом цепных дробей x i Значения x i по методу Гаусса Значения x i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-499 Для построения конечных цепных дробей, точно определяющих решения системы (4), потребовались данные, как и других аналогичных случаях, всего пяти итераций Систему (44) можно отнести к классу Ac В матрице СЛАУ значения диагональных элементов чередуется, то есть элементы равны или Цепные дроби, которыми точно представляются x i, имеют семь звеньев
182 итерации РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 8 x x / x / x4 / 4 x / 5 5 Определение x системы (44) методом цепных дробей Значение x Значение x Коэффициенты по методу по методу цепной дроби простых итераций цепных дробей (44) Таблица 45 Погрешность, x iг x iдр e5-86e e e e e- 5755e-5-958e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-494 Можно обратить внимание, что цепная дробь, представляющая x, не сходится Точное решение даёт конечная цепная дробь: x =,8 e5,69,955 e5,67 e ,7856 e,78 e5 =, Таблица 46 x i Значения xi системы (44), полученных методом цепных дробей Значенияx Значенияx i Число i по методу звеньев по методу Гаусса цепных дробей дроби Погрешность, x iг x iдр e e e e e e e e e e e- 7-5e e e e e- 588e e e- 478e e e e e-496 Следует обратить внимание на чрезвычайно высокую эффективность метода цепных дробей при решении СЛАУ с симметрической матрицей произвольной разрядности Так, значения неизвестных x i СЛАУ с симметричной матрицей произвольной размерности, например, системы (4) устанавливаются точно цепными дробями, имеющих всего 5 звеньев Система (45) размерностью 8х8 имеет несимметричную матрицу x x x (45) x4 x5 В табл 47 и 48 приведены результаты решения системы (45) методом цепных дробей Решения x i СЛАУ с несимметричной СЛАУ определяется цепными дробями,
183 8 ГЛАВА 4 содержавшими 56 звеньев, те цепные дроби имеют звеньев, как при решении СЛАУ с матрицами общего вида размерностью x Таблица 47 Определение xi системы (45) методом цепных дробей итерации Значениеx по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр -9998e- -69e -7e e e-6 678e6 64e e e e9 e e-4 78e e e e-4 e e e-4-648e e e- 7859e-4-88e e e 7859e e e e-8 Матрица СЛАУ (45) обеспечивает, как то следует из табл 47, итерационное решение Метод простых итераций приводит к быстро расходящемуся процессу Однако цепные дроби, которым представляются неизвестные по расходящемуся итерационномц процессу, дают быстро сходящиеся цепные дроби Таблица 48 Значения xi системы (45), полученых методом цепных дробей x i Значенияx i по методу Гаусса Значенияx i по методу цепных дробей Число звеньев дроби Погрешность, x iг x iдр 7859e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-59 Система (46) отличается от системы (45) правой частью x x / x / x4 / 4 x / 5 5 (46) В табл 49 и 4 приведены результаты решения системы (46) методом цепных дробей Таблица 49 Определение xi системы (46) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность, x iг x iдр e -7e e-4-69e e e- -89e e e e-4-699e e e e- 4866e e e e- 474e e e -6448e e-9
184 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 8 Окончание табл e e e- -56e e e- 6474e e e e- 6447e e e e e e e e- -769e e e e- 689e e e e- 6446e e e e e e e e e e e e- -745e e e- Из колонки табл 49 следует, что метод простых итераций применительно к системе (46) даёт быстро расходящуюся последовательность Тем не менее, для быстро расходящегося ряда, построенного по значениям расходящихся итераций, имеем конечную цепную дробь, точно представляющего x Можно также обратить внимание на закономерности в образовании величин чётных и нечётных коэффициентов ω i соответствующей цепной дроби x i Таблица 4 Значения xi системы (46), полученных методом цепных дробей Значения x Значения x i i Число Погрешность, по методу по методу Гаусса звеньев дроби x цепных дробей iг x iр e e e e e e e e e e e e e e- 56 -e e e e e e e e e e Решение СЛАУ различной размерности В этом параграфе будет рассмотрено решения СЛАУ различной размерности Метод цепных дробей обеспечивает точное решение СЛАУ размерности при использовании результатов итераций, то есть конечные цепные дроби, представляющие x i, имеют звеньев Ранее уже отмечалось, что СЛАУ с симметричной матрицей решается методом цепных дробей чрезвычайно эффективно цепные дроби, представляющие неизвестные x i, содержат всего несколько звеньев, причем, независимо от размерности СЛАУ Так, цепные дроби, представляющие x i системы класса A имеют всего три звена Цепные дроби, определяющие x i систем классов A и Ac, то есть СЛАУ с симметричными матрицами, и, соответственно, возрастающими и убывающими правыми частями, содержат 5 звеньев В этом параграфе будут рассмотрены СЛАУ различных классов с размерностью, 64 x 64, 8 x 8 Представляются результаты решения СЛАУ различных классов СЛАУ (44) принадлежит к СЛАУ класса Bc x x / x / (44) 4 x4 / 4
185 84 итерации ГЛАВА 4 В табл 4 и 4 показаны результаты решения СЛАУ (44) размерность 64х64 Таблица 4 Определение х системы (44-64) методом цепных дробей Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность e e e e e e e e e e e e e e e e e e e8 8854e e-78 Система (44) решается методом цепных дробей, причём, цепные дроби, представляющие x i, являются сходящимися, то есть система (44) допускает итерационные приближения, что, как отмечалось выше, определяется элементами матрицы системы или типом матрицы Матрицы СЛАУ приводящие к сходящимся цепным дробям будем называть вещественными, а матрицы СЛАУ, которые порождают расходящиеся цепные дроби для x i, будем называть комплексными матрицами Такие определения матриц СЛАУ будут обоснованы далее Таблица 4 Значения xi системы (44-64), полученные методом цепных дробей x i Метод Гаусса Метод цепных дробей Число звеньев дроби Абсолютная погрешность e e e e e e e-4 Можно обратить внимание, что значения неизвестных системы (44) x i уменьшатся по квадратичному закону В табл 4 и 44 показаны результаты решения СЛАУ (44) размерность 8х8 Таблица 4 Определение х системы (44-8) методом цепных дробей итерации Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность
186 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 85 Окончание табл E E+8 89E+8-856E e E+8-974E e E+8 5E e-754 При решении СЛАУ (44) размерностью 8х8 методом цепных дробей точные значения x i получаем, как и следовало ожидать, на 56-й итерации Точнее сказать: после 56-й итерации цепная дробь, которая строится по алгоритму Рутисхаузера по расходящемуся ряду, генерируемому итерационным процессом, обрывается, то есть становится конечной, и значение этой конечной цепной дроби, представляющей неизвестную x i, совпадает с точным значение неизвестной, которое даёт метод Гаусса Таблица 44 Значения xi системы (44-8), полученные методом цепных дробей Метод Метод Число Абсолютная цепных x i Гаусса звеньев погрешность дробей e e e e e e e e- Можно обратить внимание, что СЛАУ вида (44) можно использовать в качестве тестовой системы, так как известна закономерность, которой подчиняются значения неизвестных x i, i =. начиная с x Тестовыми системами являются СЛАУ с матрицей Гильберта Все неизвестные СЛАУ с матрицей Гильберта имеют единичные значения СЛАУ (44) это СЛАУ класса B x x (44) x 4 x4 4 В табл 45 и 46 показаны результаты решения СЛАУ (44) размерность 64х64 Таблица 45 Определение х системы (44-64) методом цепных дробей Значение x итерации по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность
187 86 ГЛАВА 4 Окончание табл e e e e e e e e e e e8 6896e e e e e e e e e-78 Решение СЛАУ (44) находится на 8-й итерации Так как цепная дробь, представляющая x, является сходящейся, то матрицу коэффициентов СЛАУ (44) будем называть вещественной СЛАУ (44) можно называть тестовой, так как все решения системы, кроме x, имеющие номера x i, i =. имеют единичные значения Таблица 46 Значения xi системы (44-64), полученные методом цепных дробей x i Метод Число Метод Абсолютная цепных звеньев Гаусса погрешность дробей дроби e e e e e e e-5 В табл 47 и 48 показаны результаты решения СЛАУ (44) размерность 8х8 Таблица 47 итерации Определение х системы (44-8) методом цепных дробей Значение x Коэффициенты Коэффициенты по методу цепных ряда дроби дробей Значение x по методу итераций Абсолютная погрешность E+8 -E e E+8 68E+8-74E e E+8-4E e E+8 67E+8-86E e E+8-86E e E+8 44E e-755 Решения СЛАУ (44) размерности 8х8 имеем после 56-ти итераций Коэффициент ω 57 =,4 e-775, то есть имеет значение, близкое к нулевому Метод простых итераций даёт быстро расходящиеся отсчёты, по которым строится так же быстро расходящийся знакопеременный ряд, данные которого, тем не менее, приводят к сходящейся конечной цепной дроби Если размерность СЛАУ, то метод цепных
188 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 87 дробей порождает конечную цепную дробь, имеющую звеньев Значение x i этой конечной цепной дроби совпадает с точным решением СЛАУ Таблица 48 Значения xi системы (44-8), полученные методом цепных дробей x i Метод Гаусса Метод цепных дробей Число звеньев дроби Абсолютная погрешность e e e e e e e e- СЛАУ (44) имеет единичные значения для x i, i =,, Так же известно значение x для СЛАУ (44) различной размерности x = ( ), где размеронсть СЛАУ Приведём решения СЛАУ (44) различной размерности, полученные методом цепных дробей x / x / x (44) / 4 x4 4 Можно заметить, что СЛАУ (44) имеет диагональными элементами элементы гармонического ряда. а элементами правой части элементы натурального ряда. В СЛАУ (44) мы наблюдаем обратную картину: диагональными элементами были элементы натурального ряда, а элементы, стоящие в правой части элементы гармонического ряда В табл 49 и 44 показаны результаты решения СЛАУ (44) размерность 64х64 Таблица 49 Определение х системы (44-64) методом цепных дробей итерации Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность e ,8E+8,8E ,7E+ -,7E e e e e e 78876e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-
189 88 ГЛАВА 4 Таблица 44 Значения xi системы (44-64), полученные методом цепных дробей Метод Число Метод Абсолютная цепных звеньев x i Гаусса погрешность дробей дроби e e e e e e e-5 Связанными, оказываются и решения СЛАУ (44) и (44) Значения x i (i =,, ) системы (44) можно получить как x i, где x i решения системы (44) Решение СЛАУ с матрицей Гильберта Выше уже отмечалось, что СЛАУ с матрицей Гильберта часто рассматривают как тестовые СЛАУ при сравнении эффективности различных алгоритмов решения СЛАУ В матрице Гильберта по первой строке идут члены гармонического ряда, во второй строке элементы начинаются с элемента, в третьей с элемента и тд Матрица Гильберта это частный случай матрицы Ганкеля Элементы правой части формируются как суммы элементов по строкам матрицы Гильберта В табл 44 и 44 показаны результаты решения СЛАУ (444) размерностью 8 x 8 Разрядность переменных 5 бит итерации / / / 4 / 5 x / / / 4 / 5 / 6 x / / 4 / 5 / 6 / 7 x Определение х системы (444-8) методом цепных дробей Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей (444) Таблица 44 Абсолютная погрешность ,7E+ -4,7E ,9E+ 5,4E e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e5 696e e e e-445 Следует обратить внимание, что СЛАУ (444) с матрицей Гильберта решалась при длине разрядной сетки в 5 бит Большая размерность данных обусловлена особенностями алгоритма Рутисхаузера, когда вычитаются очень близкие между собой числа
190 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 89 и нельзя допускать потери мантиссы разности с тем, чтобы избежать деления на ноль или потери точности вычислений Таблица 44 Значения xi системы (444-8), полученные методом цепных дробей x i Метод Гаусса Метод цепных дробей Число звеньев дроби Абсолютная погрешность e e e e e e e e-454 Из третьей колонки табл 44 следует, что неизвестные x СЛАУ с матрицей Гильберта имеют единичные значения В табл 44 и 444 показаны результаты решения СЛАУ (445) размерностью 56 x 56 Решение СЛАУ с матрицей Гильберта размерности 56х56 потребовало чрезвычайно длинной разрядной сетки бит Как уже отмечалось, ьольшая длина разрядной сетки обусловлена особенностями алгоритма Рутисхаузера, который позволяет по коэффициентам ряда найти коэффициенты соответствующей цепной дроби Эта особенность алгоритма Рутисхаузера серьёзно сказывается на эффективности предложенного метода решения систем линейных алгебраических уравнений, который был назван методом цепных дробей, ибо требует при решении СЛАУ большой размерности, вычислительных средств очень высокой производительности итерации / / / 4 / 5 x / / / 4 / 5 / 6 x / / 4 / 5 / 6 / 7 x 689 Определение х системы (445) методом цепных дробей Значение x по методу простых итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты цепной дроби Значение x по методу цепных дробей (444) Таблица 44 Абсолютная погрешность ,E+9 7,6E e -,6E e e e e e 75688e e e e e e e e e e e e 99679e e-4
191 9 ГЛАВА 4 Таблица 444 Значения xi системы (445), полученные методом цепных дробей Значение x Значение x по Число Абсолютная по методу методу цепных звеньев x i погрешность Гаусса дробей дроби e e e e e e e e e-444 Рассмотрим решение СЛАУ со случайной матрицей методом цепных дробей В табл 445 и 446 показаны результаты решения СЛАУ (446) размерностью x Элементы матрицы СЛАУ, как и элементы правой части, получены программой Генератор случайных чисел Решение СЛАУ со случайными матрицами снимает все вопросы относительно универсальности рассматриваемого в этой главе алгоритма решения СЛАУ, названного методом цепных дробей Точные решения СЛАУ с матрицей размерности имеет место при использовании отсчётов, полученных после итераций итерации x x x x4 x 5 Определение х системы (446-) методом цепных дробей Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей (446) Таблица 445 Абсолютная погрешность ,67E+,67E e e e e e e e 8988e e -7955e e e e6 85e e e e e e e e e e44 855e-94 Можно обратить внимание, что ценпая дробь, представляющая x, не даёт приближений к x Значение предпоследней подходящей дроби P 6 Q 6 равно положительному числу:,45, в то время, как точное значение x, устанавливаемое последней подходящей дробью, отрицательно: P 64 Q 64 =,68
192 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 9 Таблица 446 Значения xi системы (446-), полученные методом цепных дробей x Метод Метод цепных Число звеньев Абсолютная Гаусса дробей дроби погрешность e e e e e e-94 Решение СЛАУ (447) размерностью матрицы размером 8x x x x x4 x 5 (447) В табл 447 и 448 показаны результаты решения СЛАУ (447) размерностью 8x8 Таблица 447 Определение х системы (447-8) методом цепных дробей итерации Значение x по методу итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Абсолютная погрешность ,E+ -,E e e e e e 7845e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-98 Из табл 447 следует, что цепная дробь для x не является сходящейся, то есть не даёт приближений для неизвестной x, как то имело место при решении, например, систем (44) или (44) И дело здесь не в том, что СЛАУ имеет случайную матрицу коэффициентов Мы можем столкнуться с вполне регулярными матрицами коэффициентов СЛАУ, и, тем не менее, цепные дроби для x i не будут сходящимися Метод цепных дробей помог глубже понять природу итерационных, то есть приближающих, алгоритмов решения СЛАУ Оставим за скобками рассмотрение классических линейных итерационных алгоритмов типа алгоритмов Якоби и Зейделя Эти итерационные алгоритмы имеют очень жёсткие условия для их сходимости и их можно соотнести с бесконечными рядами, сходящимися или расходящимися Речь идёт о точных алгоритмах
193 9 ГЛАВА 4 СЛАУ с фиксированным числом итераций, например, о методе сопряжённых градиентов или методе ортогонализации, которые иногда рассматриваются как итерационные Подобные алгоритмы могут быть итерационными или приближёнными, но это определяется только лишь свойствами исходных матриц СЛАУ, о чём речь будет идти в параграфах 5 и 6 Таблица 448 Значения xi системы (447-8), полученные методом цепных дробей x Метод Гаусса Метод цепных дробей Число звеньев Абсолютная погрешность e e e e e e e e-94 Ранее уже отмечалось, что метод цепных дробей решения СЛАУ базируется на итерационных алгоритмах решения СЛАУ Выше в качестве исходного алгоритма использовался итерационных метод Якоби Приведён пример использования в методе цепных дробей алгоритма Зейделя Рассмотрим решения СЛАУ со случайной матрицей при исходном итерационном алгоритме Зейделя Размерность матрицы СЛАУ (48) x элементов x x x x x (448) В табл 449 и 45 показаны результаты решения СЛАУ (448) Определение х системы (448) методом цепных дробей Таблица 449 итер Значение x по методу Зейделя Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей Погрешность абсолютная e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+ -476e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6
194 i РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 9 Таблица 45 Значения xi системы (448), полученные методом цепных дробей Значение x по методу Гаусса Значение x по методу цепных дробей итерации Погрешность абсолютная e e e e+ 869e e e- 4995e e e e e e e e e e e-9 Следует обратить внимание, что конечные цепные дроби, которыми представляются решения x i при использовании в качестве исходного итерационного алгоритма метод Зейделя, содержат звеньев, где -разрядность решаемой СЛАУ Длина конечных цепных дробей для x i в случае метода простых итераций, или метода Якоби, составляет звеньев, где -разрядность СЛАУ 45 Итерационный алгоритм решения СЛАУ Итерационные, методы решения СЛАУ эффективны для СЛАУ большей размерности, когда прямые методы, обеспечивающие точные решения СЛАУ, оказываются неприемлемы по временным характеристикам В то же время классические итерационные алгоритмы, такие как алгоритмы Якоби или Зейделя, накладывают жёсткие ограничения на матрицы СЛАУ, когда требуется, так называемое, диагональное преобладание, и выполнение других критериев сходимости итерационных процессов Как уже отмечалось выше, предложенный алгоритм решения СЛАУ, определённый как метод цепных дробей, являясь по сути точным алгоритмом решения СЛАУ, требующий для реализации итераций, где разрядность матрицы СЛАУ, можно, при определённых условиях, использовать как итерационыый В этом параграфе приведены примеры применения предложенного алгоритма решения СЛАУ в качестве итерационного для решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности Пример Решение СЛАУ размерности 496x496 Разрядность переменных 5 бит x x / x / (45) 4 x4 / 4 Можно обратить внимание, что структура матрицы (45) подобна структуре матрицы СЛАУ (44) Отличие СЛАУ (4) и СЛАУ (45) в том, что если СЛАУ (44) была размерности 64х64 и 8х8, то размерность СЛАУ (45) гораздо более 496х496 Ранее уже отмечалось, что метод цепных дробей даёт точное решение СЛАУ размерности, если при построении цепных дробей для x i использовать итерационные ряды с членами Звенья, так называемой, соответствующей цепной дроби, определённой по итерациям, а точнее, по коэффициентам ряда, построенного по значениям соседних итераций, в том числе и по расходящимся итерациям, находятся по рекуррентному алгоритму Рутисхаузера, который был рассмотрен в параграфе 4 Специфика алгоритма Рутисхаузера такова, что для вычисления значений удалённых коэффициентов ω i цепной дроби, то есть при больших индексах i, требуется длин-
195 94 ГЛАВА 4 ная разрядная сетка В предыдущем параграфе уже отмечалось, что при точном решении СЛАУ с матрицей Гильберта размерности всего лишь 56х56 потребовалась разрядная сетка длиной бит Естественно, вычисления со столь длинной разрядной сеткой чрезвычайно замедляет вычислительный процесс и делает решение СЛАУ большой размерности трудно реализуемым на обычных вычислительных машинах Но всегда ли надо использовать цепную дробь с -звеньями, гарантирующую точные решения СЛАУ? Очевидно, что нет, если матрица СЛАУ допускает сходяшуюся цепную дробь для x i В табл 45 и 45 приведены результаты решения СЛАУ (45) методом цепных дробей, однако, по итерационному ряду строились короткие цепные дроби Так, из табл 45 следует, что использование цепной дроби с 6-ю звеньями, обеспечивает погрешность порядка Использование цепных дробей с 5-ю звеньями приводит к невязке невообразимой малости (ε = 59 ) Таблица 45 Результат решения системы (45) методом цепных дробей итерации Значениея x по методу простых итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей ,E+9 -,5E ,77E+,8E ,4E+ -,7E ,E+,4E e e Пример x i Таблица 45 Результаты решения системы (45) Значениея x по методу цепных дробей Число итераций Невязка метода цепных дробей e e e e e e e e e e e e e-59 Решение СЛАУ размерности 496х496
196 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 95 x x x (45) 4 x4 4 В табл 45 и 454 показаны результаты решения СЛАУ (45) также с использованием коротких цепных дробей, обеспечивающих, тем не менее высокую точность в определении неизвестных системы Таблица 45 Определение x системы (45) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей ,5E+9 -,6E ,9E+,44E ,E+ -,E ,8E+,9E ,5E+ -9,5E e e e e e e e e Таблица 454 Результаты решения системы (45) x i Значения x i по методу цепных дробей Число итераций Невязка метода цепных дробей e e e e e e e e e e e e e-5 СЛАУ (45) имеет матрицу, аналогичную матрице в СЛАУ (44) СЛАУ (45), как и СЛАУ (44) относится к классу сходящихся СЛАУ, что позволяет использовать для приближённого вычисления x i короткую цепную дробь, которая, тем не менее, обеспечивает достаточно высокую точность решений При решении СЛАУ (45) и (45) использовались цепные дроби с 5-ю звеньями Для точного решения СЛАУ (45) и (45) размерностью 496х496 требуется генерация цепной дроби с 89 зве-
197 96 ГЛАВА 4 ньями Из табл 45 видно, что цепная дробь с 6-ю звеньями обеспечивает погрешность 7 Использование цепных дробей с 5-ю звеньями позволяет иметь погрешность при вычислении неизвестных системы (45) порядка 5 Пример Решение СЛАУ (45) размерности 496х496 Разрядность данных, как и в других примерах этого параграфа 5 бит, что достаточно при вычислении по алгоритму Рутисхаузера цепных дробей, содержащих 5 звеньев x x x (45) x4 В табл 455 и 456 приведены результаты решения СЛАУ (45) методом цепных дробей, причём, в режиме итерационного процесса, когда используется сходящаяся цепная дробь Таблица 455 Определение x i системы (45) методом цепных дробей итерации Значение x по методу простых итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей ,8E+ -,8E e e e e e 975e e e e8 674e e e e e e e e4 579e e e e e e e e e e e e6 7486e Систему (45) будем называть сходящейся или вещественной, так как при её решении генерируются сходящиеся цепные дроби для определения неизвестных x i, что даёт возможность определять неизвестные x i итерационно, последовательно увеличивая точность нахождения x i Как следует из данных пятой колонки табл 455, цепная дробь с 9-ю звеньями обеспечивает погрешность порядка x i Таблица 456 Результаты решения системы (45) Значение x по методу цепных дробей Число итераций Невязка метода цепных дробей e e e e-7
198 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 97 Окончание табл e e e e e e e e e-7 Цепные дроби с 5-ю звеньями обеспечивают невязку при решении СЛАУ (45), составляющую величину порядка 7 Скорость сходимости цепных дробей, представляющих решения СЛАУ, зависит от матриц СЛАУ Так жехарактером матрицы СЛАУ определяется сама сходимость цепных дробей, представляющих решение СЛАУ Пример 4 Решение СЛАУ с матрицей Гильберта размером 496x496 Разрядность переменных бит Система (454) имеет матрицу Гильберта, что требует при решении СЛАУ методом цепных дробей длинную разрядную сетку При решении СЛАУ (454) будем использовать сетку в бит, что достаточно при определении алгоритмом Рутисхаузера 5-ти звеньев дроби Цепные дроби при решении СЛАУ с матрицей Гильберта являются сходящимися, однако, как видно из табл 457 и 458 скорость сходимости не высока: 5 звеньев цепной дроби обеспечивают погрешность в определении неизвестных порядка 6 и 7 итерации / / / 4 / 5 x / / / 4 / 5 / 6 x 586 (454) / / 4 / 5 / 6 / 7 x 4698 Таблица 457 Определение x i системы (454) методом цепных дробей Значение x по методу простых итераций Коэффициенты ряда Коэффициенты дроби Значение x по методу цепных дробей ,E+ -,E e e e e e e e e e e e -8856e e7 76e e4-586e e e e e e5 684e e e e e e e e e e e
199 98 ГЛАВА 4 Таблица 458 Результаты решения системы (454) x Значение x по методу цепных дробей Число итераций Невязка метода цепных дробей e e e e e e e e e e e e e-7 46 Решение комплексных СЛАУ В предыдущем параграфе рассматривались примеры решения таких СЛАУ, которые допускали итерационную схему решения Уже отмечалось, что изложенный в этой главе метод решения СЛАУ, названный как метод цепных дробей, позволяет представить каждую неизвестную x i системы конечной цепной дробью, длиной звеньев Но, как известно, цепные дроби могут быть сходящимися и расходящимися Понятия сходящиеся и расходящиеся цепные дроби традиционно относят только к бесконечным цепным дробям Даже если принять во внимание, что конечные цепные дроби могут содержать сколь угодно большое число звеньев, всё же термины сходящиеся и расходящиеся цепные дроби, прилагаемые к конечным цепным дробям, будем заключать в кавычки Иногда вместо сходящихся и расходящихся цепных дробей будем употреблять выражения: вещественные цепные дроби и комплексные цепные дроби Естественно считать, что под словосочетаниями вещественные и комплексные цепные дроби подразумеваются цепные дроби, элементами которых являются, соответственно, вещественные и комплексные числа Но это не так Элементами звеньев цепных дробей, которые именуются вещественными или комплексными являются в обоих случаях действительные числа Тем не менее, расходящиеся в классическом смысле цепные дроби могут иметь комплексные значения, которые по вещественным подходящим дробям определяет r/φ-алгоритм Именно такие цепные дроби мы будем называть комплексными Если устанавливаемые значения цепной дроби вещественные, то цепные дроби определяются как вещественные Обычно r/φ-алгоритм применяется к бесконечным цепным дробям Но как показывает практика, некоторые важные задачи решаются в конечных цепных дробях Конечные цепные дроби появляютя в случае, если ряд Тейлора представляет рациональную функцию В главах и было рассмотрено множество примеров, когда ряды суммировались конечными цепными дробями Такие цепные дроби возникали при суммировании расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана Появлялись они и при вычислении значений в рациональных точках функции Вейерштрасса и её производной Причём, если суммировался конечной цепной дробью сходящийся ряд Вейерштрасса, то имели сходящуюся или вещественную цепную дробь В главе рассматривалась «обобщённая» функция Вейерштрасса w(,, x) при > Цепные дроби, суммирующие cos( x),
200 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 99 обобщённую функцию Вейерштрасса, оказывались «расходящиеся», или «комплексные», что можно видеть из табл и Приложения Если находилось значение производной функции Вейерштрасса в точке x по расходящемуся тригонометрическому ряду, то имели так же конечную цепную добь, причём, с тем же числом звеньев, что и в случае, когда находилось в той же точке x значение функции Вейерштрасса Однако в смысле сходимости конечные цепные дроби для функции Вейерштрасса и её производной отличны между собой Если конечная цепная дробь для функции Вейештрасса была сходящаяся, обеспечивавшая с ростом числа учитываемых подходящих дробей уточнение значения функции в точке x, то есть была в нашей классификации вещественной цепной дробью, то конечная цепная дробь для производной функции, построенной по расходящемуся тригонометрическому ряду, была расходящейся или комплексной Здесь следует заметить, что расходимость ряда, по которой строится цепная дробь, является необходимым, но недостаточным условием, чтобы соответствующая цепная дробь была комплексной, то есть представляла комплексное число В качесстве примера приведём вещественную и комплексную цепные дроби, построенные по расходящимся рядам [55]:! +!! + 4! = =, ! +! +! + 4! + = =,4978 ei,8 Соответствующая цепная дробь для знакопеременного ряда сходящаяся, имеющая действительное значение, в то время, как построенная для знакопостоянного ряда соответствующая цепная дробь, расходящаяся, которая, однако, суммируется r/φалгоритмом и имеет комплексное значение Возвратимся к алгоритму решения СЛАУ, который был назван методом цепных дробей Напомним схему этого алгоритма На первом этапе методом простых итераций решаем исходную систему Так как в методе простых итераций весьма жёсткие условия сходимости, когда должно выполняться диагональное преобладание, то будем полагать, что в общем случае, имеем дело с расходящимися итерационными процессами По результатам итерационных вычислений каждой компоненты x i () строим ряд, который в случае расходящегося итерационного процесса также будет расходящимся Для этого ряда по алгоритму Рутисхаузера строим соответствующую цепную дробь, которая будет конечной Это объясняется тем, что итерационные ряды связаны с рациональными функциями, определяемыми формулами Крамера В параграфе 5 этой главы рассматривались СЛАУ, матрицы которых приводят к сходящимся конечным цепным дробям, то есть реализуюется итерационный процесс, приводящий к точным решениям, если используется вся конечная цепная дробь, имеющая звеньев, где размерность системы В этом параграфе будут рассмотрены системы, неизвестные которых представляются расходящимися конечными цепными дробями По подходящим этих цепных дробей при помощи r/φ-алгоритма можно определить комплексные значения, которые представляются этими цепными дробями с последующей проверкой на невязку подстановкой найденных комплексных корней В принципе, вопрос суммирования раcходящихся цепных дробей при помощи r/φ-алгоритма уже хорошо отработан Своеобразие использования r/φ-алгоритма для нахождения комплексных решений в том, что решается необычная задача отыскание комплексных решений конечных СЛАУ при действительных элементах матрицы системы Насколько исзвестно, такая задача не ставилась ранее, хотя решением СЛАУ специалисты занимаются длительное время Вторая особенность, пусть не такая существенная, это применение r/φ-алгоритма к конечным цепным дробям Как уже отмечалось в предисловии, r/φ-алгоритм основывается на
201 ГЛАВА 4 наблюдениях за подходящими дробями Чтобы с большой точностью установить модуль и аргумент комплексного числа, которые определяются формулами lim П P Q r, i i i (46) π lim (46) = φ, очевидно, что надо использовать достаточно большое число отсчётов или подходящих дробей Ранее было показано, что метод цепных дробей, это точный метод решения СЛАУ, дающий результат для каждой компоненты x i после итераций, проведённый по методу простых итераций, то есть по алгоритму Якоби Если матрица СЛАУ, условно говоря, вещественная, то соответствующая цепная дробь, построенная по итерационному ряду одним из алгоритмов, например, алгоритмом Рутисхаузера, будет сходящейся и её можно использовать для итерационного, то есть приближённого, решения СЛАУ В предыдущем параграфе приводились примеры, из которых следовало, что сходящаяся цепная дробь для компоненты x i, содержащая порядка десяти звеньев, обеспечивала значительную точность при определении действительных неизвестных Поэтому нет необходимости строить цепную дробь, содержащую звеньев, где размерность СЛАУ, которая может достигать очень больших значений, чтобы получить точное значение x i Часто оказывается возможным ограничиться незначительным числом сходящейся цепной дроби, чтобы иметь приемлемую точность решения СЛАУ Следует заметить, что скорость сходимости вещественных цепных дробей определяется матрицей СЛАУ, также, как матрицей СЛАУ определяется сходимость и расходимость построенных цепных дробей Однако дело не только в том, что нецелесообразно использовать сходящиеся цепные дроби с большим числом звеньев Как уже отмечалось, определение коэффициентов соответствующей цепной дроби по ряду весьма трудоёмкая вычислительная процедура Например, при решении СЛАУ с матрицей Гильберта размерности 56х56, требовалась разрядная сетка длиной бит Естественно, использование разрядной сетки такой длины значительно увеличивало время решения задачи на компьютере В случае СЛАУ, порождающей сходящуюся цепную дробь, как правило, нет необходимости строить длинную цепную дробь, то есть цепную дробь с большим числом звеньев, соизмеримой с размерностью СЛАУ Совсем иная ситуация возникает, когда исходная матрица СЛАУ порождает расходящуюся цепную дробь В этом случае мы предпологаем, что истинными решениями СЛАУ будут не действительные решения, определяемые по Гауссу или методом цепных дробей,обеспечивающим точное решение СЛАУ Если построенные цепные дроби не сходятся, мы считаем, что истинными решениями данной СЛАУ будут комплексные решения и именно они отвечают физическому смыслу задачи, когда эти комплексные решения с некоторой точностью удовлетворяют СЛАУ, размерность которой несколько отличается от исходной Комплексные СЛАУ соседних размерностей, то есть размерностей и ( + )( + ) могут иметь точные решения по Гауссу, сильно отличающихся друг от друга, что должно насторожить исследователя При решении комплексных СЛАУ короткими приближающими цепными дробями не обойтись: определение параметров комплексного числа модуля r и аргумента φ с достаточной точностью требует значительного числа подходящих дробей, что, в свою очередь, влечёт использование длинной разрядной сетки, а это обстоятельство приводит к недопустимо большим временным затратам, и в конечном счёте ограничивает размерность СЛАУ, а это, зачастую, приводит к и невозможности решить задачу
202 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Поэтому при решении комплексных СЛАУ был выбран не метод цепных дробей, связанный с построением соответствующих цепных дробей алгоритмом Рутисхаузера, а модифициованный метод прогонки, который, как известно, эквивалентен представлению решений в виде цепных дробей [67] Представим решение трехдиагональной системы алгебраических уравнений, (46) A. AX B T X x, x,, x, B. в виде цепных дробей, частными числителями и знаменателями которых были бы некоторые выражения из элементов исходной матрицы А Как показано выше, решение системы алгебраических уравнений (46) может быть представлено [67] цепными дробями: s x t s t, T (464) где s s x, t t s x, t, s t,, x. (465) (466) (467) (468) (469) (46) (46) Следует обратить внимание, что цепные дроби (464) (467), представляющие неизвестные трёхдиагональной системы (46), укорачиваются Если цепная дробь для x имеет звеньев, то цепная дробь для x содержит всего одно звено При нахождении вещественных значений неизвестных укорачивание цепных дробей не имеет какихлибо негативных последствий Но если мы описываем комплексные решения СЛАУ, то уменьшение числа подходящих делает невозможным использование формул (464)
203 ГЛАВА 4 (467) в r/φ-алгоритме Следует преобразовывать цепные дроби ( ) таким образом, чтобы все цепные дроби, представляющие x i, имели одинаковое число звеньев, а именно, звеньев, как у цепной дроби для x Поэтому развернёмь отношения β i γ i, стоящие в качестве первых звеньев цепных дробей для x i Используя (468) и (469), можно записать: γ =, γ 4 =. β =, γ γ =, γ = γ 4 = 44 4. 4 β =, β = γ, β = γ + γ γ, β 4 = 4 4 γ + 4 γ γ 4 γ γ γ. + + ( ), γ γ γ γ γ (46) (46) В качестве примера покажем преобразование цепной дроби (465) для x, содержащей звено к цепной дроби размерности Используя (46) и (46) запишем: β β γ β = γ = γ Подставляя вместо β, мы удлиняем на одно недостающее звено цепную дробь γ (465): β x = + Подходящие цепной дроби имеют вид: P =, Q P β = Q, s s 4 s t + t t
204 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ P β = Q β γ, β β Пример Решить СЛАУ (456) размерностью 496х496 5 x 5 x 5 x 5 x4 5 x 5 (464) На рис 4 показаны значения первых -ти подходящих цепной дроби, которой представляется корень x трёхдиагональной системы (464) Цепная дробь для x имеет вид (464) Эта цепная дробь получена из решения трёхдиагональной системы алгоритмом прогонка Из рис видно, что цепная дробь для x расходящаяся, так как значения подходящих постоянно изменяются, более того, подходящие дроби меняют свой знак Можно заметить, что число положительных подходящих существенно превышает число подходящих с отрицательными значениями Сравнивая рис 4 и рис 4 на которых показано распределение подходящих дробей с большими номерами ( = 88 4), можно заключить, что графики рис 4 и рис 4 имеют одну и ту же структуру и мало отличаются между собой Графики для модулей r и аргуметов φ, построенные по формулам r/φ-алгоритма, то есть формулам (46) и (46), с учётом всех подходящих цепной дроби, которая получена из алгоритма прогонки для x системы (464) показаны на рис 4 и рис 44 На рис 45 и рис 46 показано распределение подходящих цепной дроби, представляющей комплексный корень x системы (464), причём, показаны первые и последние подходящих дробей Также, как и для x, распределения подходящих на начальном и конечном участке цепной дроби, представляющей x, близки между собой, однако, характер графиков подходящих для x и x существенно разный Беглого взгляда достаточно, чтобы заметить, что доля отрицательных подходящих у цепной дроби для x значительно выше, чем аналогичная характеристика подходящих для x, что находит количественное подтверждение в табл 459 Из данных четвёртой колонки следует, что аргумент φ комплексного корня x равен,656544, а модуль аргумента φ, комплексного корня x существенно меньший:,5464 Формула (46) определяет модуль аргумента комплексного числа, сам же знак определяется анализом распределения подходящих, о чём подробно шла речь в главе Рис 4 Значения подходящих дробей для x системы (464)
205 4 ГЛАВА 4 Рис 4 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 4 Значения модуля r комплексного корня x Рис 44 Значения аргумента φ комплексного корня x Рис 45 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 46 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 47 Значения модуля r комплексного корня x Рис 48 Значения аргумента φ комплексного корня x
206 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 5 Рис 49 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 4 Значения модуля r комплексного корня x Рис 4 Значения аргумента φ комплексного корня x Рис 4 Значения подходящих дробей для x 4 системы (464) Рис 4 Значения модуля r комплексного корня x 4 Рис 44 Значения аргумента φ комплексного корня x 4 Результаты решения системы (464) приведены в табл 459 и табл 46, которые имеют схожий характер В табл 459 показаны результаты определения при помощи r/φ-алгоритма первых и последних неизвестных, имеющих комплексные значения, а также невязки по первым и последним десяти строкам В табл 46 приведены результаты определения комплексных неизвестных с номерами, равными степени . 4, 496 В колонке табл 459 и табл 46 приведены значения неизвестных системы (464), найденные прогонкой, то есть прямым методом решения СЛАУ, обеспечивающих точное решение Известно, что алгоритм прогонки представляет собой адаптированный для трёхдиагональной системы алгоритмом Гаусса Формулы (464) (46) это алгоритм прогонки, записанный в форме цепных дробей Следует отметить, что цепные дроби (464) (467), удобные для нахождения действительных реше
207 6 ГЛАВА 4 ний системы, оказываются требуют модификации, если их применять для нахождения комплексных решений СЛАУ Можно напомнить, что r/φ-алгоритм использует значения подходящих цепных дробей, которыми в случае прогонки, представляются неизвестные Как видно из (464) (467) цепная дробь для x содержит звеньев, цепная дробь для x на одно звено короче, то есть имеет ( )-звеньев Цепная дробь для x уже на два звена короче, чем цепная дробь для x и тд Цепная дробь для x имеет всего два звена, а цепная дробь для x одно звено Укорачивающиеся цепные дроби дают верные вещественные значения О том, что значения x i по прогонке верные, свидетельствуют данные пятых колонок табл 459 и табл 46, в которых показана невязка погрешность, возникающая при подстановке, найденных вещественных значений решений СЛАУ в соответствующие строки Однако, укорачивающиеся цепные дроби оказываются малопригодны при определении комплексных значений неизвестных при помощи r/φ-алгоритма, так как высокая точность в определении комплексных чисел по подходящим возможно лишь при достаточно большом числе подходящих дробей Выше было показачо, что короткие цепные дроби, включающие отношения коэффициентов β j, могут быть развёрнуты до цепной дроби стандартной длины, то есть цепных дробей, содержащих звеньев, как то имет место для цепной дроби, представляющей x Таблица 459 Определение комплексных корней системы (464) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Вещественная невязка Погрешность e i e- -47+i e i e- -5+i e i e-4-77+i e- -57+i e i e-4-56+i e i e i i e i e-6-57+i e-6-77+i i e-6-5+i e i e-6-47+i i 6 Таблица 46 Определение комплексных корней системы (464) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Вещественная невязка Погрешность e i e- -47+i e- -5+i e i e i e i 99
208 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 7 Окончание табл e- -85+i e-4-66+i e-4-95+i (-9876) e- -7+i e i e- -48+i i 6 В третьей и четвёртой кононках табл 459 и табл 46 помещены значения модулей и аргументов комплексных корней системы (464), найденные при помощи r/φалгоритма, то есть формул (46) и (46) Как уже отмечалось, формула (46) устанавливает не аргумент комплексного числа, а модуль аргумента Знак устанавливается дополнительно по алгоритму Определение знака аргумента, приведённого во второй главе В последней, шестой колонке, приведены результаты проверки найденных комплексных решений системы (464) После подстановки в трёхчленные уравнения x i + x i + cx i+ = в левой части должны иметь значения, определяемые коэффициентами правой части, то есть единицу Найденные комплексные решения, естественно, не дают нулевой невязки, однако можно заключить, что точность решений СЛАУ (464) достаточно высока: погрешность по вещественной и мнимой частям порядка В табл 46 даны результаты проверки решения системы (464) В первой колонке указаны номера строк, по которым осуществляется проверка, во второй значения левой части после подстановки комплексных значений x i, в третьей колонке коэффициенты правой части системы (464) Эти коэффициенты имеют единичные значения В четвёртой колонке приведены значения невязки по строкам, то есть разность между значениями правой и левой частями системы для выделенных для проверки строк Таблица 46 Проверка результатов решения системы (46) строки Значение левой части системы Значения правой части системы Погрешность 778-i6-778+i6 47-i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 6 На рис 45 показано расположение на комплексной плоскости решений x i системы (464), полученные при помощи r/φ-алгоритма
209 8 ГЛАВА 4 Рис 45 Расположение x i системы (464) на комплексной плоскости Пример Размер матрицы СЛАУ (465) 496х496 9 x 9 x 9 x 9 x4 9 x 5 (465) СЛАУ (465) будем решать методом прогонки В отличие от метода цепных дробей, которым решались СЛАУ в предыдущих параграфах, метод прогонки требует минимальных вычислительных затрат для построения цепных дробей, представляющих неизвестные системы, что весьма важно при решении комплексных СЛАУ, то есть СЛАУ с матрицей действительных коэффициентов, имеющих, тем не менее, комплексные решения x i Однако, известно, что для определения комплексных решений СЛАУ с высокой точностью, что устанавливается проверкой, то есть для получения малой невязки, необходимо большое число подходящих расходящихся цепных дробей, представляющих комплексные числа Если процедура определения коэффициентов ω i звеньев цепных дробей требует больших аременных затрат, как в случае метода цепных дробей, который включает в себя метод Рутисхаузера для определения коэффициентов цепной дроби по расходящимся, как правило, рядам, сгенерированным итерационными алгоритмами решения СЛАУ, то решение комплексных СЛАУ большой размерности весьма проблематично На рис 46 показаны подходящие дроби для x системы (465) На рис 46 и рис 47 показаны значения модуля и аргумента комплексного корня x, установленного с использованием r/φ-алгоритма
210 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 9 Рис 45 Значения подходящих дробей для x системы (465) Рис 46 Значения модуля r комплексного корня x Рис 47 Значения аргумента φ для комплексного корня x системы (465) На рис 48 рис 4 приведены значения подходящих дробей для x x 4 системы (465) Из графика рис 9 можно заключаить, что знак аргумента комплексного корня x отличается от знака корней x и x 4 Рис 48 Значения подходящих дробей для x системы (465) Рис 49 Значения подходящих дробей для x системы (465) Рис 4 Значения подходящих дробей для x 4 системы (465) В табл 46 и 46 приведены результаты решение СЛАУ (465) Таблица 46 Определение комплексных корней системы (465) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Вещественная невязка Погрешность e i (-648) e- -4+i (-56898) e i (-5577) e i (-4479)
211 ГЛАВА 4 Окончание табл e i e e i (-57579e-5) e i 48e e i 59e e i (-86) e i (-55) e i (-55) e i (-86) e i 59e e i 48e e i (-57579e-5) i e e i (-4479) i (-5577) e-6-4+i (-56898) i (-648) Определение комплексных корней системы (465) Таблица 46 Значения x i Модуль r i Аргумент φ Вещественная невязка Погрешность e i (-648) e- -4+i (-56898) e i (-4479) e i 59e e i e i (-69686) e- -55+i (-879) e i e- 564+i e-4 69+i e i e-4 49+i (-9) i (-648) Пример Размер матрицы СЛАУ (466) 496х496 7 x 7 x 7 x (466) 7 x4 7 x 5 На рис 4 рис 44 показаны графики подходящих дробей, представляющих комплексные корни x x 4 системы (466) Рис 4 Значение подходящих дробей для x системы (466)
212 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Рис 4 Значение подходящих дробей для x системы (466) Рис 4 Значение подходящих дробей для x системы (466) Рис 44 Значение подходящих дробей для x 4 системы (466) Из графиков, показанных на рис 4 рис 44 следует, что аргументы комплексных корней x и x 4 отличаются знаками от аргументов комплексных корней x и x 89х89 В табл 464 и 465 приведены результаты решение СЛАУ (466) размерностью Определение комплексных корней системы (466) Таблица 464 Вещественная Значения x x i Модуль r i Аргумент φ i невязка Погрешность e i (-5466) e i (-56e-5) e i (-8488) e i e i (-6845e-5) e i (-86558e-5) e i (-449) e i (-47) e i (-84574) e- 648+i (-9698) i (-9698) e i (-84574) e i (-47) e i (-449) e i (-86558e-5) e i (-6845e-5) e i e i (-8488) e i (-56e-5) e i (-5466)
213 ГЛАВА 4 Определение комплексных корней системы (466) Таблица 465 Вещественная Значения x x i Модуль r i Аргумент φ i невязка Погрешность e i (-5466) e i (-56e-5) e i e i (-47) e i e i e i e- 75+i e i 77 В табл 464 и 465 даны результаты проверки, то есть приведены погрешности решения СЛАУ (466) установленные после подстановки найденных комплексных корней Из колонок 6 таблиц следует, что невязки составляют незначительные величины порядка 5 Пример 4 Размер матрицы СЛАУ (467) 89x89 7 x 7 x 7 x 7 x4 7 x 5 (467) В табл 466 и 467 приведены результаты решение СЛАУ (467) размерностью 89х89 Таблица 466 Определение комплексных корней системы (467) Вещественная Значения x x i Модуль r i Аргумент φ i невязка Погрешность e-4-55+i e i e i e- 569+i e i e- 978e-5+i e- 888+i (-6549) e- 8765e-5+i (-4647e-5) e i (-4958) e e-5+i 998e e e-5+i 998e e i (-4958) e e-5+i (-4647e-5) e i (-6549) e-4 978e-5+i e i e i 976) e i e i i
214 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Определение комплексной корней системы (467) Таблица 467 Вещественная Значения x x i Модуль r i Аргумент φ i невязка Погрешность e-4-55+i e i e- 569+i e- 8765e-5+i (-4647e-5) e i e- 859+i e- 568+i e i e i e i (-67) e- 87+i e- 546+i e- 574+i (-48) i На рис 45 показано расположение корней системы (467) на комплексной плоскости Рис 45 Расположение решений x i системы (467) Пример 5 Размер матрицы СЛАУ (468) 496х496 x x x (468) x4 x 5 В табл 468 и 469 приведены результаты решение СЛАУ (466) размерностью 89х89
215 4 x i ГЛАВА 4 Определение комплексных корней системы (468) Таблица 468 Значения x i Модуль r i Аргумент φ x = + i Погрешность i i i i (-5989) i i i i (-766) i i i (-6796) -89+i (-45574) i (-49757) i i i (-47665) i i i (-7965) i (-7775) i (-7965) i (-7775) i i i i (-47665) i (-49757) i i (-6796) -89+i (-45574) i i i i (-766) i (-49788) 454+i i (-5495) i (-5989) i i 556 Определение комплексных корней системы (468) Таблица 469 Значения x i Модуль r i Аргумент φ x = + i Погрешность xi i i i (-5495) i (-5989) i i (-766) i i (-47665) i i (-698) i i (-77) i i(-6) i i (-98) i i (-576) i i (-5566) i ( ) 9498+i i (-4676) 5865+i (-749) i i 556 На рис 46 показано размещение в комплексной плоскости решений системы (468), полученные r/φ-алгоритмом на основе отсчётов, полученных прогонкой Рис 46 Расположение решений x i системы (468)
216 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 5 Можно обратить внимание на взаимное расположение на комплексной плоскости корней x, x, x и x 4 Такое расположение не случайно Запишем цепную дробь Никипорца: e iφ = cos φ (469) cos φ cos φ cos φ Если φ = π, то получим цепную дробь, представляющую мнимую единицу: i = (46) Определить значение цепной дроби (46) на компьютере нельзя, но можно определить значение близкой цепной дроби ε (46) ε ε ε В табл 47 приведены результаты определения значения цепной дроби (46) при ε = 4 : 4 (46) Как следует из данных колонок и 5 табл 47 значение цепной дроби (46) есть комплексное число x =,999999e i57746 весьма близкое значению e iπ = i Определение значения цепной дроби (468) Таблица 47 звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, r Погрешность, r r r Аргумент комплексного числа, Погрешноcть, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- 8484E E Размер матрицы СЛАУ (46) 496х496
217 6 ГЛАВА 4 x x x (46) x4 x 5 В табл 47 и 47 приведены результаты решение СЛАУ (46) размерностью 89х89 Таблица 47 Определение комплексных x i системы (46) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Мнимая невязка i (-99745e-5) i (-7775e-5) i i i i i i i i (-685) i (-685) i i i i i i i i (-7775e-5) i (-99745e-5) Таблица 48 Определение комплексных x i системы (464) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Мнимая невязка i (-99745e-5) i (-7775e-5) i 68) i i (-89) i (-558) i (-9745) i (-5658) i (-89) i (-675) i i (-766) i (-99745e-5) Пример 7 Размер матрицы СЛАУ (464) 496х496
218 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 7 x x x x (464) 4 x 5 На рис 47 4 показаны значения подходящих дробей для определения комплексных x, x, x и x 4 Рис 47 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 48 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 49 Значения подходящих дробей для x системы (464) Рис 4 Значения подходящих дробей для x 4 системы (464) На рис 4 и 4 показаны вычисления модуля r и аргумента φ комплексного корня x по подходящим дробям при помощи r/φ-алгоритма Рис 4 Значения модуля r комплексного корня x Рис 4 Значения модуля комплексного корня x
219 8 x i ГЛАВА 4 Определение комплексных x i системы (464) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Мнимая невязка e-5+i (-69555) i (-79) e-5+i (-795) i i 877e i (-97) i (-57) i i i (-67) i (-67) i 57) i 75) i (-57) i (-97) i 877e-5) i 889) e-5+i (-795) i (-79) e-5+i (-69555) Определение комплексных x i системы (465) Таблица 47 Таблица 474 Значения x i Модуль r i Аргумент φ Мнимая невязка x = + i e-5+i (-69555) 565+i i (-79) 9499+i (-4796) i i i i i (-5466) 4546+i i i i (-9) i (-55) i (-99) i i (-49465) 867+i i (-55) 7884+i i (-4764) i i i e-5+i (-69555) 565+i На рис 4 показано распределение на комплексной плоскости решений системы (464) Рис 4 Расположение решений x i системы (464)
220 РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 9 47 Решение комплексных СЛАУ методом цепных дробей Ранее уже отмечалось, что решение СЛАУ методом цепных дробей, когда по итерационным рядам строятся соответствующие цепные дроби для определения неизвестных системы, имеет существенный недостанок, существуют технические трудности при вычислении значений значительного числа коэффициентов соответствующей цепной дроби алгоритмом Рутисхаузера Это ограничивает размерность систем, которые могут быть эффективно решены методом цепных дробей Как известно, точное решение компонент x i, системы размерности определяет цепная дробь с числом звеньев Если матрица решаемой СЛАУ вещественна, то есть построенные для нахождения x i цепные дроби сходятся, то нет необходимости строить цепную дробь с звеньями для достижжения приемлемой точности, возможно использование цепных дробей с незначительным числом звеньев, то есть имеет место аналог сходящегося итерационного алгоритма решения СЛАУ Иное дело, если матрица решаемой СЛАУ комплексная, когда цепная дробь, представляющая x i не сходится В этом случае надо строить цепную дробь, содержащую звеньев, что гарантирует получение точного значения x i, совпадающего со значением x i, полученного прямым методом решения СЛАУ, например, методом Гаусса Если мы ищем комплексные решения подобных СЛАУ, то есть решения, удовлетворяющие математической модели, опсывающей некоторый периодический процесс, то нам надо строить цепные дроби с максимально возможным числом звеньев, что требует специфика r/φ-алгоритма В табл 475 приведены результаты решения СЛАУ (47) методом цепных дробей, то есть через построение по итерационным рядам соответствующей цепной дроби Решалась СЛАУ размерности 5х5 Число звеньев конечной цепной дроби 4 Разрядность данных бит x,, x / x / (47) 4 x4 / 4 4 x / 5 5 x i Определение комплексных x i системы (47) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Погрешность Таблица i (-7687) i (-957) i ( ) i i (-494) i (-4545) i (-45) i (-754) e e-5+i 5468e e e-5+i 9984e-5 Опишем алгоритм определения комплексных значений неизвестных СЛАУ методом уточнения Итак, метод цепных дробей позволяет представить каждую компоненту x: СЛАУ размерности конечной цепной дробью, имеющей звеньев Используя r/φ алгоритм, можем по подходящим цепным дробям, представляющим неизвестные x i исходной СЛАУ, определить значения этих неизвестных, которые, в случае осцилляции подходящих дробей, имеют комплексные величины По r/φ алгоритму
221 ГЛАВА 4 комплексную величину по вещественным подходящим можно установить приближённо Пусть методом цепных дробей найдено некоторое значение x Полагая, что точное значение x лежит в некоторой окрестности x, поместим x в центр квадратной области со стороной Каждую область квадратной плоскости разделим на частей, в результате чего получим сетку с узлами Находим решение исходной СЛАУ, перебирая все комплексные значения x, которые имеются в узлах сетки Перебор вершин идёт в некотором порядке, начиная с верхнего левого узла к нижнему правому узлу N, номер которого будет Для каждого комплексного значения x, если СЛАУ имеет трёхдиагонаньную матрицу или матрицу Хоссенберга, методом деления, решая уравнение с одним неизвестным, устанавливаем точно последовательность комплексных неизвестных СЛАУ, после чего по последней строке устанавливаем невязку Некоторое значение x из массива в комплексных точек даёт минимальную невязку по последней строке СЛАУ Если эта невязка, то есть погрешность в решении системы, удовлетворяет выбранной точности, то решение СЛАУ заканчивается Если точность решений ниже установленной, то точка x (), в которой был достигнут минимум погрешности, если она находится внутри исходного квадрата, а не на границе, вновь ограничивается квадратной областью, но уже меньших размеров, и эта область накрывается уже более плотной сеткой, те сеткой с меньшим шагом Процесс решения повторяется до достижения удовлетворительной невязки Если точка x () попала на границу исходного квадрата, то точка x () ограничивается квадратом со стороной (Рис 44) x () () x Пример Рис 44 Процесс поиска оптимального значения x +, x +, +, x +, +, x = +, x 4 +,4 +,4 x 5 (47) Рассмотрим пример решения комплексной СЛАУ с уточнением координаты x В табл 476 приведены результаты реешния СЛАУ методом цепных дробей Размер СЛАУ 5х5 Число подходящих дробей 4 Разрядность данных бит x i Определение комплексных x i системы (47) Значения x i Модуль r i Аргумент φ Погрешность Таблица i i (-59) i (-567) i (-677) i (-9575)
222 x i РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ Окончание табл i i i i i i i i i (-8445) i (-675) Определение комплексных x i системы (47) Таблица 477 Значения x i Модуль r i Аргумент φ Погрешность e- +i e- +i e- +i e- +i (-4869e-9) i (-7489e-9) e- +i e- +i e- +i e- +i e- +i 87794e e- +i (-586e-8) e- e-6+i 56e i 445e e- -45e-6+i 5644e e- -655e-+i 6489e- На рис 44 и 45 показаны расположения в комплексной плоскости решений системы (47) исходных решений и после поиска оптимального значения x i в области,, Рис 44 Расположение x i системы (47)
223 ГЛАВА 4 Рис 45 Расположение x i системы (47) после уточнений x () x () x () x Рис 46 Последовательные уточнения координаты x На практике возникает ситуация, когда перебор окрестности x приводит к точке x (), с минимумом невязки по последней строке, которая расположена на границе квадрата (рис 46) Устанавливаем область вокруг точки x () (рис 46) Поиск минимума невязки в узлах сетки наложенной на область вокруг первого минимума невязки, имевшего место, те вокруг точки x () приводит к точке x (), в которой располагается следующий минимум невязки Может возникнуть ситуация, когда перебор, те поиск минимума по последней строке приведёт к точке x (), расположенной почти на действительной оси (рис 47) y x () x () x () x (4) x (5) x x Рис 47 Траектория поиска оптимальной координаты x
225 ГЛАВА 5 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 5 Метод цепных дробей Трехдиагональные матрицы являются интересным математическим объектом В книге Трехдиагональные матрицы [8] отмечается: Будучи простой по своей структуре, трехдиагональная матрица привлекает внимание широкого круга специалистов по вычислительной математике Именно для трехдиагональных матриц получены самые глубокие результаты линейной алгебры Именно для них классические численные методы обретают наиболее изящную и законченную форму Трехдиагональные матрицы служат тем оселком, на котором выверяются новые гипотезы или алгоритмы Но главное, при всей своей простоте они имеют приложения в самых разных областях Эти матрицы играют большую роль в такой области, как разностные методы решения задач математической физики Что же касается собственно линейной алгебры, то здесь один из эффективных подходов к решению проблемы собственных значений для матриц общего вида основан на предварительном преобразовании их к трехдиагональному виду Основываясь на методах теории цепных дробей, построим алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, который эквивалентен классическому алгоритму, известному как прогонка Для нас важно то обстоятельство, что в построении алгоритма решения x i записываются непрерывными дробями Представим решение трехдиагональной системы алгебраических уравнений AX B, (5) A. T X x, x,, x, B. в виде цепных дробей, частными числителями и знаменателями которых были бы некоторые выражения из элементов исходной матрицы А Запишем решение системы (5) по формуле Крамера: x, x,, x Неизвестные величины представляются отношением определителей Например: x i T
226 4 ГЛАВА 5 x . (5) Приведем структуру определителей (5) к виду, соответствующему цепной дроби, то есть к виду, когда в числителе находится трехдиагональный определитель -го порядка, а в знаменателе определитель ( - )-го порядка Поэтому отношение определителей (5) представим следующим образом: x. (5) Определители (5) эквивалентными преобразованиями можно привести к виду: x. (54)
227 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 5 где. 4 4, (55),, Формулы для γ т и β можно записать в рекуррентной форме. (56). Кроме того, имеет место формула: x x i i, i i i (57) i Формулы (56) и (57) совпадают с формулами прямого и обратного хода прогонки Для решения системы (5), содержащей уравнений, необходимо выполнить 9 операций: операций умножения, операций деления, операций вычитания Решение системы (5) представим в виде обыкновенной цепной дроби, то есть отношением трехдиагональных определителей Для этого отношение определителей (54) запишется следующим образом: x. Следовательно. x. Аналогично, (58)
228 6 ГЛАВА 5,, ,, 4, x,, ;, x x (59) где коэффициенты i и i определяются по формулам (57) Все коэффициенты и вычисляются за 6(-) арифметических операций То есть, решение системы алгебраических уравнений (5) может быть представлено конечными цепными дробями:, t s t s x, t s t s x, t s x, x (5) где. (5) Неизвестные x i (i = -,-,,) можно находить по реккурентным формулам: i i * i i x i (, ) x, * x (5). * i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x (5). t s
229 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 7 Так как решение системы (5) представлено в виде цепных дробей, то распараллеливание алгоритма сводится к построению параллельного метода вычисления значений обыкновенных цепных дробей Различные параллельные алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений (5) приведены в [68] 5 Об одном подходе к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Известно, что при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений встречаются принципиальные трудности В [] отмечается: «Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что, казалось бы, разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к истинному решению дифференциального уравнения» Разработанный способ суммирования расходящихся в традиционном смысле непрерывных дробей [65], так называемый r/φ-алгоритм, помог понять природу трудностей, возникающих при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Поясним примером Как известно, удобный метод решения разностной краевой задачи, представляющий один из вариантов исключения неизвестных и носящий название «прогонки», фактически эквивалентен записи решения обыкновенной цепной дробью, что было показано в первом параграфе этой главы Следовательно, для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений решения могут представляться как сходящимися цепными дробями, так и расходящимися Можно, пожалуй, высказать предположение: сколь нибудь общих подходов к созданию теории решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений не было найдено именно потому, что до последнего времени расходящиеся непрерывные дроби в каком-либо позитивном смысле не рассматривались вовсе, то есть расходящиеся непрерывные дроби не изучались И это в отличие от расходящихся рядов, имеющих чрезвычайно развитую теорию и давние традиции их исследований Довольно часто возникает следующая ситуация: решения x i системы существуют, но при измельчении шага сетки значения решений x i системы изменяются, причем скачкообразно, то есть с ростом размерности СЛАУ не могут быть найдены пределы, к которым бы значения x i стремились В этом случае говорят, что система является «расходящейся» и решения не могут быть записаны Возникает вопрос: что это означает для рассматриваемой СЛАУ? Ответ состоит в следующем: если решаемая система «расходится», то возможно существование комплексных решений данной СЛАУ, которые в силу особенностей традиционных методов решения СЛАУ не могут быть установлены Процесс нахождения решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) при помощи r/φ-алгоритма состоит из двух этапов Рассмотрим БСЛАУ АХ=В, (5) А, T Х x, x, x,, x п,, В. п, где А матрица коэффициентов, Х вектор искомых решений, В правая часть системы линейных алгебраических уравнений
230 8 ГЛАВА 5 Для того чтобы узнать, «расходится» данная система или нет, решаем одним из классических методов подсистемы смежных порядков и строим последовательности, x i состоящие из их решений, то есть последовательности вида m 4 m x, x, x,, x, x, x, x,, x, m x, x, x,, x (5) Если эти последовательности стремятся к некоторым пределам с ростом размерности m системы, то последовательность корней m m m m x, x, x,, x, m, будет являться искомым решением рассматриваемой БСЛАУ В случае, если пределы последовательностей (5) отсутствуют, требуется использовать уже упомянутый выше r/φ алгоритм, что составляет следующий этап решения расходящихся БСЛАУ Следует отметить, что при решении расходящихся СЛАУ m>>, что обусловлено особенностями r/φ-алгоритма, требующим для определения комплексного числа большого количества вещественных «отсчетов» Этот алгоритм позволяет использовать полученные в общем случае «по Гауссу» вещественные решения расширяющейся системы (5) для получения множества комплексных решений исходной системы, если они имеются Отметим, что термин расширяющиеся СЛАУ встречается в литературе С термином расширяющиеся СЛАУ связаны выражения: измельчение шагов сетки, неограниченно сгущение сетки, бесконечное дробление сетки и другие подобные словосочетания При решении расходящихся БСЛАУ модуль r i комплексного корня x i находится по формуле где m x i m m r= lim m i x i, i =. (5) m m значение вещественной неизвестной, полученное «стандартным» алгоритмом решения СЛАУ размерности m Модуль аргумента φ i комплексного корня образом: x i п xi БСЛАУ определяется следующим i i lim, (54) m m где m количество отрицательных значений x i, полученных «стандартным» алгоритмом решения СЛАУ из общего количества m значений, найденных из «расширяющейся» системы Таким образом, коэффициенты r i и комплексных решений x i определяются формулами: i m i, r x r x x, /, r x x x, /, x i
231 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 9 r x,, r x x, /, 4 r x x x, /, В качестве примера рассмотрим решение при помощи r/φ-алгоритма бесконечной системы: x x x x4 x 5 x6 (55) В табл 5 5 приведены результаты решения системы (55) с использованием r/φ-алгоритма, то есть формул (5) и (54) В первой колонке таблиц указана размерность решаемых систем Во второй колонке помещены значения неизвестных (i=,4,48), полученные по методу прогонки Как видно из таблиц, значения полученные «по прогонке» для расходящихся систем, не стремятся к каким-либо пределам В то же время в колонках и 4 табл 5 5 с ростом размерности системы (55) при помощи r/φ-алгоритма устанавливаются значения, соответственно, модулей и аргументов комплексных решений x i системы (55) Как отмечалось выше, для достижения необходимой точности при определении модуля и аргумента комплексного числа, необходимо брать значительное число подходящих расходящихся цепных дробей Классические алгоритмы, обратный рекуррентный алгоритм (BR-алгоритм) и прямой рекуррентный алгоритм (FR-алгоритм), оказываются неэффективными при вычислении значений длинных серий подходящих дробей BR-алгоритм требует недопустимо больших затрат машинного времени, так как каждую подходящую дробь приходится вычислять заново, а FR-алгоритм приводит к переполнению разрядной сетки компьютера или появлению «машинного нуля» В первой главе были рассмотрены алгоритмы, эффективные при вычислении значений длинных последовательностей подходящих цепных дробей Таблица 5 Определение x системы (55) при помощи r -алгоритма Размерность Значение m Модуль комплексного Аргумент комплексного x системы, m m по методу прогонки числа, r числа, m,e ,5E- 5,E-,E+, E-, E-,E+ 4 -,E-,769475E- 7, E- 7 5,586E-, E- 4, E- 8-4,5E+,65779E- 7, E- 5-4, E-, E- 8, E- 6, E-, E- 7, E-, E-,86799E- 7,998895E- x i, x i
232 ГЛАВА 5 Окончание табл 5 5,4947E-, E- 7,566474E- -,468567E-,99976E- 7, E- 4 8, E-, E- 7,566474E- 47 7, E-, E- 7, E- 48, E-, E- 7,56856E ,977667E-, E- 7, E ,54567E-, E- 7,9456E- Таблица 5 Определение x4 системы (55) при помощи r -алгоритма Значение m Модуль комплексного Аргумент комплексного x 4 по методу прогонки числа, числа, 4 8, E ,6968E-, E- 6, E- 48, E-, E- 6,685858E- 495, E-, E- 6, E , E-, E- 6, E- Размерность системы, m Размерность системы, m m 4 r m 4 Таблица 5 Определение x48 системы (55) при помощи r -алгоритма Значение m 48 x Модуль комплексного числа, m 48 r Аргумент комплексного числа, m 48 по методу прогонки 48, E , E-, E- -, E , E-,76955E- -,45748E- На рис 5 показаны вещественные значения x (m), полученные методом прогонки из решения «расширяющейся» системы (55) Как видно из графика, значения x (m) с расширением системы (55) не стремятся к каким-либо пределам, а осциллируют Для x (m) приведены значения последних 5 «подходящих», полученных из расширяющихся СЛАУ Рис 5 Значения m x расширяющейся системы (55) На рис 5 показаны значения модуля r (m) комплексной неизвестной x, полученные при решении «расширяющейся» системы (55) с использованием r φ-алгоритма Алгоритм позволяет устанавливать комплексное число, являющееся значением расходящейся цепной дроби, по вещественным подходящим дробям Для определения модуля комплексного числа используется формула (5) m m Рис 5 Значения модуля r комплексного x системы (55) По «отсчетам», приведенным во вторых колонках табл 5 5, можно, помимо модулей, найти аргументы φ i комплексных х i расширяющейся системы (55) Для этого надо использовать формулу (54) Формула (54) определяет модуль аргумента комплексного х i, но не знак аргумента Знак аргумента определяется из динамики распределения на «периоде» отсчетов x (m) полученных по прогонке Алгоритм определения знака угла φ был рассмотрен в гл График значений аргумента φ комплексного x БСЛАУ (55) приведен на рис 5
233 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ Рис 5 Значения аргумента φ () комплексного x системы (55) Запишем значения неизвестных x i (i=. 48) системы (55), которые получены при помощи r/φ-алгоритма: i x,8546e x x 4,889e i,944e i x,7765e x x 8 6 i,785e,7645e, 7, i,657 86,, ,, i676 x x x x x x ,85e i,75e,59e,5699e, i ,, i96 i,58e,769e, i i457 На рис 54 показано размещение в комплексной плоскости значений неизвестных x (i=. 48) бесконечной системы (55),6 y 4 47, 4 r -, x, r 4 48 Рис 54 Расположение xi БСЛАУ (55) на комплексной плоскости Для x и x на рис 54 показаны модули и аргументы комплексных неизвестных Все значения неизвестных x i (i=. 48) системы (55) расположены на окружности, что имеет место для неизвестных x i системы с трехдиагональной матрицей, содержащих одинаковые элементы по диагоналям и с постоянной правой частью Если смотреть на процесс размещения x i из центра этой окружности, то можно заметить, что неизвестные x i укладываются на окружности, двигаясь по часовой стрелке с постоянным «шагом», несколько превышающим угол π/ В табл 54 приведены результаты проверки решения расходящейся бесконечной системы (55), полученного при помощи r/φ-алгоритма В первой колонке табл 54 указаны номера строк системы (55), по которым проводилась проверка Во второй колонке приведены значения проверяемых строк системы (55) после подстановки найденных комплексных x i из решаемой системы (55) размерностью 496 В третьей колонке даны значения правой части системы (55), в четвертой абсолютные погрешности, допущенные при решении системы (55) при помощи r/φ-алгоритма 45 4 Таблица 54 Результаты проверки решения системы (55) Значение Значение левой части системы Абсолютная погрешность строки, правой части,994695e+ + i, e-, e- + i, e-,658587e+ + i, e-, e- + i, e- 4,45847E+ + i, e-, e- + i, e- 8, E+ + i, e- 9, E-4 + i, e- 6, E+ + i, e-, e- + i, e-
234 ГЛАВА 5 Окончание табл 54,79677E+ + i, e-,796774e- + i, e- 64,998748E+ + i9,7674e-4 9, E-4 + i9,7674e-4 8,59955E+ + i, e-4,599556e- + i, e-4 56, E+ + i, e- 7, E-4 + i, e- 5,45E+ + i, e-,4558e- + i, e- 4,587679E+ + i, e- 5, E-4 + i, e- 48, E+ + i4, e- 8, E-4 + i4, e- Из табл 54 можно заключить, что погрешности, допущенные при решении системы (55) с использованием r/φ алгоритма, весьма невелики ( ) 4 Рассмотрим бесконечную систему с периодическими решениями x x x x4 (56) 5 x 6 x Можно обратить внимание, что диагональные элементы коррелирующей цепной дроби равны cos(π/4), то есть аргумент φ в цепной дроби Никипорца равен π/4: i /4 e cos( / 4) cos( / 4) cos( / 4) (57) Цепная дробь (57) это так называемая ультрапериодическая цепная дробь, значения подходящих дробей которой периодически повторяются Всё бесконечное число неизвестных x m системы (56) имеет всего восемь различных значений: x, x, x, x, x, x, x, x, x9, x, x, x 4, x 5, x4 6, x5 7, x6 8, На рис 55 показаны периодические решения БСЛАУ (56) Рис 55 Периодические решения хm системы (56) В табл 55 приведены координаты повторяющихся решений системы (56) хm Абсцисса Значения решений системы (56) Ордината хm Абсцисса Таблица 55 Ордината 5,457646E-,79496E- 7 4, E-, E-,967956E- -,947648E- 8, E- -,945777E- 8, E-, E- 9 8, E-,698645E- 4 5,855887E-,E+ 5, E-,E+ 5 8, E- -, E- 8, E- -, E- 6, E-, E-,984779E-, E- 7 4, E- -, E- 4, E- -,664465E-
235 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ Окончание табл 55 8, E-9-5,89896E-6 4 6, E-9 -, E-5 9 4, E-, E- 5 4, E-, E-, E- -, E- 6,99558E- -, E- 8, E-, E- 7 8, E-, E- 5, E-,E+ 8 5, E-,E+ 8, E- -, E- 9 8, E- -, E- Рассмотрим решение бесконечной системы 4 x 4 4 4, x 4 4, 4, x 4 4, 4, x4 4 (58) 4, 4,4 x 5 4 4,4 x6 4 Ранее рассматривались системы, где по диагоналям матриц располагались элементы, имеющие одинаковые значения Матрица расходящейся бесконечной системы (58) имеет иную структуру: значения элементов поддиагонали и наддиагонали возрастают Все решения системы (58) укладываются не на окружности, а на сжимающейся во внутрь спирали (рис 56),8 y,54,7 x -,7 -,54 -,8,7,54,8,8 Рис 56 Размещение значений хm БСЛАУ (58) на комплексной плоскости В табл 56 приведены значения решений х m системы (58), полученные с использованием r/φ алгоритма Таблица 56 Определения решений системы (58) при помощи r/φ-алгоритма хm Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ 7, E- 7,896746E- 9, E- -, E- 4, E-, E+ 8 4,858499E-, E+ 6 9, E-, E+, E-, E+ 64,758797E-, E+ 8 6, E- 8, E- 56 9, E- 5,7454E- 5, E- -, E+ 4 5, E- -9, E- 48 4, E- 9, E- В табл 57 даны результаты проверки решений системы (58) по строкам с номерами m =. 48
236 4 ГЛАВА 5 Результаты проверки решения системы (58) Таблица 57 Значение Значение левой части системы Абсолютная погрешность строки, правой части 4,99E+ - i, e-7 4, E-6 - i, e-7 4, E+ - i4, e-6 4-6, E-6 - i4, e-6 4 4,96965E+ - i8,885698e-6 4 9, E-6 - i8,885698e-6 8 4, E+ + i8, e-6 4 -,5797E-7 + i8, e-6 6 4, E+ + i7, e-6 4-9,88496E-6 + i7, e-6 4, E+ + i, e-6 4 -, E-5 + i, e ,67E+ + i, e-6 4,679457E-5 + i, e-6 8 4, E+ - i, e-7 4 -,76956E-5 - i, e , E+ + i,57764e-6 4-5,697588E-6 + i,57764e-6 5 4, E+ + i7,787459e-6 4-5, E-6 + i7,787459e-6 4 4, E+ - i,594498e-6 4 -, E-6 - i,594498e , E+ - i, e-6 4 -, E-5 - i, e-6 5 Решение БСЛАУ класса Ac Далее будут рассмотрены решения бесконечных СЛАУ различных классов Приведём таблицу, по которой определялись классы системы: Аа Ва Са А В С Ас Вс Сс Здесь А, В, С матрицы коэффициентов системы;,, c векторы столбцы правой части системы В матрицах типа A диагональные элементы постоянны, в матрицах В диагональные элементы возрастают, в матрицах С диагональные элементы уменьшаются Соответственно, означает вектор-столбец с постоянными элементами, вектор столбец с возрастающими элементами, c вектор-столбец с уменьшающимися элементами В четвёртой главе системы разных классов решались методом цепных дробей, при котором определялись вещественные решения СЛАУ Так как точные решения x, определялись конечными цепными дробями, имеющими звеньев, то никакой специфики при решении СЛАУ с матрицами класса В и С не было СЛАУ с симметричными матрицами А, то есть с матрицами класса А, решались чрезвычайно эффективно Решения СЛАУ класса A определялись цепными дробями, имеющими всего три звена, для получения которых использовались, вне зависимости от размерности исходных СЛАУ Слау классов А и Аc решались конечными цепными дробями, содержащими всего 5 звеньев, что требовало всего 5 итераций, опять-таки вне зависимости от размерности СЛАУ В этой главе будет рассмотрено решение БСЛАУ меодом расширения, когда надятся комплексные значения x i систем, причём размерность систем увеличивается При решении таких задач определяющим является тип правой части системы И это легко объяснимо Чтобы БСЛАУ имели решения, надо, чтобы значения x i вещественные или комплексные, стремились к пределам Но если коэффициенты правой части неограниченно увеличиваются, пределов x i не будет, то есть цепные дроби, представляющие x i с растущими коэффициентами правой части, будут расходящимися в том смысле, что модули комплексных чисел, которые определяются из подходящих дробей с использованием r/φ-алгоритма будут неограниченно расти Другими словами, цепные дроби, которые представляют комплексные корни систем с нарастающейся правой
237 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 5 частью, будут расходящимися БСЛАУ, неизвестные которых представляются расходящимися в смысле r/φ-алгоритма, не имеют решений БСЛАУ (5) относится к Ас, то есть матрица симметричная, а правая часть ниспадающая Пример. х 4,6 х 4,5 х 4,4 х4 4, х5 4, х 4, 6 На рис 57а, 57б, 57в показаны значения подхоящих дробей для x, x и x 4,полученные при решении СЛАУ увеличивающейся размерности методом прогонки Из рис 57б следует, что аргумент комплексного x весьма мал ) x () : (5),5E+,E+ -,5E () б) x : 4,E+,E+ -4,E+ в) x 4 () : ,E+,E+ -,E Рис 57 Значения подходящих дробей для xi (i=,,4) системы (5) В табл 58 и 59 приведены результаты определения комплексных значений x и x системы 5 В первой колонке указаны размерности расширяющихся СЛАУ Во
238 6 ГЛАВА 5 второй колонке даны действительные значения x и x, установленные методом прогонки Как и следовало ожидать, вещественные значения x и x СЛАУ соседних размерностей, то есть отличающихся всего на единицу, имеют далёкие друг от друга значения, которые могут быть разных знаков Таблица 58 Определение комплексного значения x Размерность Значение x () по Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, методу прогонки числа, r числа, φ 4,6E ,777777E+,7886E+,E+, E+ 6, E+,E+ 4-4, E+, E+ 7, E- 7, E+, E+ 4, E- 8 -,55675E+,8996E+ 7, E- 5, E+,878995E+ 6,88578E- 6 -, E+, E+ 7, E- 5, E+, E+ 7,998895E- 5, E+, E+ 6,879978E-, E+, E+ 7,659895E- 4 -, E+, E+ 7,69467E- 47,954669E+, E+ 7,66658E- 48 9, E+, E+ 7, E , E+, E+ 7, E- 496,46846E+, E+ 7,59494E- Таблица 59 Определение комплексного значения x Размерность Значение x () по Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, методу прогонки числа, r числа, φ,788888e , E+, E+,E+ 4 4, E+,998464E+,E+ 7,996897E+, E+,E+ 8 4,5675E+, E+,E+ 5, E+, E+,E+ 6 4, E+, E+,E+ 4,4584E+,9568E+,E+ -9, E+, E+ -,469859E- 4 4, E+, E+ -4, E- 47 4, E+,9489E+ -4, E- 48,699988E+, E+ -4, E- 495, E+, E+ -5, E , E+, E+ -5,677757E- В колонках и 4 табл 58 и 59 показаны значения модуля и аргумента комплексного x системы (5), полученные по подходящим дробям при помощи r/φ-алгоритма Из таблиц видно, что с ростом размерности СЛАУ, значения модуля и аргумента комплексных x и x всё более стабилизируются Таким образом, можно сделать вывод, что БСЛАУ (5) имеют решения, причём, эти решения комплексные На рис 58 и 59 показаны значения модуля и аргумента x БСЛАУ (5), имеющего комплексное значение, полученное при помощи r/φ-алгоритма из расширяющейся системы На рис 58 и рис 59 указаны размерности расширяющихся систем ( ), из решения которых устанавливались значения модуля r () и аргумента φ (), комплексного x системы (5)
239 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 7 г) r () :,E+,E Рис 58 Значения r () для x системы (5) д) φ () : 8,4E-,E Рис 59 Значения φ () для x системы (5) В табл 5 показаны результаты проверки решения системы (5) В первой колонке указаны номера строк, по которым осуществлялась проверка Во второй колонке табл 5 даны значения левой части системы (5) после подстановки комплексных значений x i В третьей колонке приведены значения правой части системы (5) В четвёртой колонке указаны погрешности в решении системы (5), то есть разности между вещественными значениями правой части и результатами подстановки в строки системы комплексных x i, найденных при помощи r/φ-алгоритма Результаты проверки решения системы (5) Таблица 5 Значение левой Значение правой Погрешность строки, части системы части системы 4,497866E+ - i, e- 4,6E+ -, E- - i, e- 4, E+ - i, e- 4,5E+, E- - i, e- 4 4,85877E+ - i8, e- 4,E+ 8, E- - i8, e- 8 4,564587E+ - i7, e- 4,99E+, E- - i7, e- 6 4,975894E+ + i, e- 4,9E+, E- + i, e- 4,768E+ - i, e- 4,75E+ -, E- - i, e- 64 4,46779E+ - i, e- 4,4E+,77958E- - i, e- 8, E+ + i6,7956e-,979e+,567558e- + i6,7956e- 56, E+ - i, e+,85e+ -6, E- - i, e+ 5, E+ + i, e-,595e+, e- + i, e- 4, E+ - i7, e-,8e+ -, E- - i7, e- 48, E+ + i, e+,59e+ -, E- + i, e+ На рис 5 показано расположение значений x x 48 системы (5) на комплексной плоскости -6-6 Рис 5 Расположение xi системы (5) на комплексной плоскости
240 8 ГЛАВА 5 Решим при помощи r/φ-алгоритма ещё несколько систем класса Ас с тем, чтобы определить характерные свойства графиков, на которых показано расположение в комплексной плоскости решений x i систем класса Ас Пример х 496 х 495 х 494 х 49 (5) 4 х5 49 х 49 6 Определение комплексных решений системы осуществляются в два этапа На первом этапе решаются, то есть находятся значения неизвестных x x 48, одним из классических методов, например, методом прогонки, расширяющиеся СЛАУ, то есть СЛАУ, размерность, которых увеличивается Из расширяющихся СЛАУ мы устанавливаем для каждого x i последовательность их вещественных значений в зависимости от размерности системы Эти значения x i в зависимости от размерности СЛАУ мы назвали отсчётами или подходящими дробями Термин подходящая дробь для обозначения значения x i СЛАУ конкретной размерности был выбран по аналогии Как известно, r/φ-алгоритм первоначально использовался для определения значений расходящихся цепных дробей, когда модуль r и φ комплексного числа, которое представляла расходящаяся дробь, устанавливались по формулам: lim П P Q r, i i π lim = φ, где P i Q i подходящие суммируемой цепной дроби; число «подходящих» дробей, имеющих отрицательное значение из общего числа подходящих дробей При решении БСЛАУ при помощи r/φ-алгоритма мы в качестве подходящих дробей используем вещественные значения x i расширяющихся систем, причём, эти значения для x с конкретным индексом i, получены в результате решения СЛАУ одним из известных прямых или точных методов, например, прогонкой Так как последовательность значений x i генерирует ни как какая-то одна цепная дробь, а серия цепных дробей с различным числом звеньев, каждая из которых даёт одну подходящую дробь, то есть одно значение x () i, то такие подходящие дроби следует называть иным термином, например, употреблять термин отсчёт На рис 5 показаны значения отсчётов, полученных для x, x и x 4 из решения прогонкой расширяющихся СЛАУ (5) () ) x : i,6e+,e+ -,6E
241 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 9 б) x () :,69E+,E+ -,69E в) x 4 () :,E+,E+ -,E Рис 5 Значения подходящих дробей для xi (i=,,4) системы (5) В табл 5 и 5 приведены результаты определения комплексных значений x и x системы (5) В первой колонке указаны размерности расширяющихся СЛАУ Во второй колонке даны вещественные значения x и x, установленные из расширяющихся систем методом прогонки Как и следовало ожидать, вещественные значения x и x СЛАУ соседних размерностей, то есть размерностей, отличающихся всего на единицу, имеют далёкие друг от друга значения, которые могут быть разных знаков Таблица 5 Определение комплексного значения x системы (5) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ 4,96E ,65E+, E+,E+ 4, E+, E+,E+ 4-8, E+,456E+ 7, E- 7,687945E+ 9,476879E+ 4, E- 8 -, E+4,644878E+ 7, E- 5 -, E+, E+ 8, E- 6, E+, E+ 7, E- 9, E+ 9, E+ 7,998895E- 4, E+ 9, E+ 6,879978E- 8, E+ 8, E+ 7, E- 4, E+ 8, E+ 7,56856E- 47,484565E+ 8,957965E+ 7, E- 48 5, E+ 8,956786E+ 7,967E- 495, E+ 8, E+ 7, E ,784546E+ 8, E+ 7,56856E- Таблица 5 Определение комплексного значения x системы (5) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,45e , E+,66464E+,E+ 4, E+,646756E+,E+
242 4 ГЛАВА 5 Оеончание табл 5 7,897956E+,454464E+,E+ 8 7,685477E+, E+,E+ 5, E+, E+,E+ 6 8, E+,564875E+,E+,476676E+,68578E+ -, E-,84949E+,77475E+ -,469859E-,586E+, E+ -, E- 4, E+, E+ -, E- 47 5, E+, E+ -, E- 48, E+, E+ -, E- 495, E+,54749E+ -, E- 496, E+, E+ -,784787E- В колонках и 4 табл 5 и 5 показаны значения модуля и аргумента комплексных x и x системы (5), полученные по подходящим дробям при помощи r/φ-алгоритма Из таблиц видно, что с ростом размерности СЛАУ, значения модуля и аргумента комплексных x и x всё более стабилизируются Таким образом, можно сделать вывод, что БСЛАУ (5) имеют решения, причём, решения комплексные На рис 5 и 5 показаны значения модуля и аргумента x БСЛАУ (5) имеющего комплексное значение, полученное при помощи r/φ-алгоритма из расширяющейся системы На рис 5 и 5 указаны размерности расширяющихся систем , из решения которых устанавливались значения модуля r () и аргумента φ () комплексного x системы (5) r () : 9,84E+,E+ φ () : Рис 5 Значения r () для x системы (5) 7,7E-,E Рис 5 Значения φ () для x системы (5) В табл 5 показаны результаты проверки решения системы (5) В первой колонке указаны номера строк, по которым осуществлялась проверка Во второй колонке табл 5 даны значения левой части системы (5) после достановки комплексных значений x i В третьей колонке приведены значения правой части системы (5) В четвёртой колонке указаны погрешности в решении системы (5), то есть разности между вещественными значениями правой части и результатами подстановок в строки системы комплексных x i, найденных при помощи r/φ-алгоритма Результаты проверки решения системы (5) Таблица 5 Значение левой Значение правой Погрешность строки, части системы части системы 4, E+ - i, e+ 4,96E+ -, E+ - i, e+ 4, E+ + i9,595899e- 4,95E+ -, E+ + i9,595899e- 4 4, E+ + i, e- 4,9E+ -, E+ + i, e- 8 4,85994E+ - i4, e+ 4,89E+ -8, E+ - i4, e+
243 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 4 Оеончание табл 5 6 4, E+ - i9, e+ 4,8E+ 5, E+ - i9, e+ 4, E+ - i5, e+ 4,65E+, E+ - i5, e+ 64 4,964777E+ - i,459585e+ 4,E+, E- - i,459585e+ 8,976756E+ - i, e+,969e+,67569e+ - i, e+ 56, E+ - i,54596e+,84e+ 6, E- - i,54596e+ 5, E+ - i6,489e+,585e+ 5,549549E+ - i6,489e+ 4,788644E+ + i,767e+,7e+ -6,76596E- + i,767e+ 48,494448E+ + i, e+,49e+, e- + i, e+ На рис 54 показано расположение значений x x 48 системы (5) на комплексной плоскости Рис 54 Расположение xi системы (5) на комплексной плоскости Продолжим рассмотрение решений БСЛАУ Система (5) также относится к классу Ас, то есть систем, матрица коэффициентов которой симметричная, а коэффициенты правой части образуют убывающую последовательность Пример х 5,96 х 5,95 х 5,94 х4 5,9 х5 5,9 х 5,9 6 На рис 55 показаны значения x, x и x 4, полученные прогонкой при решении СЛАУ возрастающих размерностей ) x () : (5),E+,E+ -,E () б) x :,E+,E+ -,E
244 4 ГЛАВА 5 в) x 4 () :,58E+,E+ -,58E Рис 55 Значения x, x и x 4 расширяющейся системы (5) Из графиков видно, что вещественные x (), x () и x 4 () не стремятся с ростом, то есть с увеличением размерности СЛАУ, к некоторым пределам Более того, значения x (), x () и x 4 () с некоторой периодичностью меняют знак, что свидетельствует, что отсчёты, показанные на рис 55 представляют некоторые комплексные числа, которые могут быть установлены при помощи r/φ-алгоритма Даже беглого взгляда на графики отсчётов x () и x (), приведённых на рисю 55а и 55б, соответственно, чтобы заключить, что значение аргумента комплексного числа, представляющего x i, значительно больше значения аргумента комплексного корня x Анализ распределения отсчётов для x () и x () позволяет утверждать, что комплексные x и x имеют аргументы разных знаков, что подтверждается данными, приведёнными в табл 54 и 55, из которых следуют значения x и x : x =,e i,69949, x =,446e i,68 В табл 54 и 55 приведены результаты вычислений модулей и аргументов комплексных реешний x и x системы (5), которые устанавливаются по формулам r/φ-алгоритма, исходя из вещественных значений x () и x (), полученных прогонкой из расширяющейся СЛАУ (5) Таблица 54 Определение комплексного значения x системы (5) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного системы, прогонки () числа, r () числа, φ 5,96E ,765E+, E+,E+ 6, E-, E+,E+ 4 -,849999E+, E+ 7, E- 7, E-, E+ 4, E- 8 -, E+,6786E+ 7, E- 5 -, E+,844459E+ 8, E- 6, E+, E+ 7, E-,5966E+,976687E+ 7,998895E- 5, E-, E+ 6,879978E- 7, E-, E+ 7,79788E- 4, E+,96598E+ 6, E- 47,59785E+, E+ 6, E- 48 8,57549E-, E+ 6, E- 495, E+,4795E+ 6, E , E+,5955E+ 6, E-
245 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 4 Определение комплексного значения x системы (5) Таблица 55 Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,745e , E+,877957E+,E+ 4,866664E+, E+,E+ 7, E+, E+,E+ 8 8,985477E+, E+,E+ 5, E+,645575E+,E+ 6, E+, E+,E+, E+, E+ -, E-,564944E+, E+ -,469859E-, E+, E+ -, E- 4 4, E-, E+ -,689888E- 47 6, E-,48846E+ -,689888E- 48, E+, E+ -, E- 495, E+, E+ -, E- 496, E+,44687E+ -, E- На рис 56 и 57 показаны значения модуля r и аргумента φ коплексного x i системы (5), полученные r/φ-алгоритмом r () :,E+,E+ φ () : Рис 56 Значения r () : для x системы (5) 7,7E-,E Рис 57 Значения φ () для x системы (5) На рис 58 показано расположение x i системы (5) на комплексной плоскости,8 -,8 Рис 58 Расположение xi системы (5)
246 44 ГЛАВА 5 В табл 56 приведены результаты проверки решений БСЛАУ (5) В четвёртой колонке показаны значения невязок, то есть разности между коэффициентами правой части, имеющими единичные значения и значениями левой части, после подстановки в систему найденных комплексных неизвестных x i Из колонки невязок следует, что система (5) решена r/φ-алгоритмом с достаточно высокой точностью Погрешности как по вещественной, так и по мнимой частям составляют величины порядка 4 Результаты проверки решения системы (5) Таблица 56 Значение левой Значение правой строки, Погрешность части системы части системы 5,949846E+ - i,678449e- 5,96E+ -, E- - i,678449e- 5, E+ - i,969656e- 5,95E+, E- - i,969656e- 4 5, E+ + i4, e-4 5,9E+, E- + i4, e-4 8 5,958796E+ - i, e- 5,89E+ 6,87965E- - i, e- 6 5, E+ - i,8447e- 5,8E+ -4,6889E- - i,8447e- 5, E+ - i, e- 5,65E+, E- - i, e- 64 5,657647E+ - i, e- 5,E+ -6,488576E- - i, e- 8 4, E+ - i,699759e- 4,969E+ -8, E-4 - i,699759e- 56 4, E+ - i5,497645e- 4,84E+ 5, E- - i5,497645e- 5 4,589696E+ - i, e- 4,585E+ 4,6964E- - i, e- 4 4, E+ + i6, e- 4,7E+ -4,547995E-4 + i6, e- 48, E+ + i,465685e-,49e+ -,47878E- + i,465685e- Пример 4 Рассмотрим результаты решения БСЛАУ (54) Эта система также относится к классу Ас 4, х 4, 4, 4, х 4,99 4, 4, х 4,98 4, 4, х4 4,97 (54) 4, 4, х5 4,96 4, х 4,95 6 На рис 59 показано расположение x i системы (54) на комплексной плоскости, причём, с обозначением первых и последних x i системы Из рис 59 видно, что комплексные x i располагаются на смещающихся влево окружностях Шаг по углу для соседних x i составляет примерно 9 о,89 -,89 Рис 59 Расположение xi системы (54) В табл 57 приведены результаты проверки полученных комплексных x i системы (54) Невязки по строкам, помещённые в четвёриой колонке таблицы, свидетельствуют, что комплексные x i системы (54) получены с достаточно высокой точностью
247 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 45 строки, Результаты проверки решения системы (54) Значение левой части системы +i Значение правой части системы Абсолютная погрешность Таблица 57 4,85495E+ + i,966e- 4,E+,85495E- + i,966e- 4,975874E+ + i7,5695e- 4,99E+ -, E- + i7,5695e- 4 4,7486E+ - i,999658e- 4,97E+ 6,7486E- - i,999658e- 8 4, E+ - i, e- 4,9E+, E- - i, e- 6 4, E+ - i5, e-4 4,85E+, E- - i5, e-4 4,768699E+ - i4, e- 4,69E+ 7,869858E- - i4, e- 64 4,45985E+ - i4, e- 4,7E+ 4,59857E- - i4, e- 8, E+ - i, e-,97e+,858868e- - i, e- 56, E+ - i4, e-,845e+, e- - i4, e- 5, E+ - i7,484967e-,589e+ 5, E- - i7,484967e- 4,8745E+ - i5, e-,77e+ 6,745854E- - i5, e- 48,885855E+ + i8, e-,5e+ -, E- + i8, e- Совершенно иной характер расположения комплексных решений БСЛАУ получен для системы (55) Пример 5 х х / х / х4 /4 х5 /5 х /6 6 Система (55) относится также к классу Ас, однако особенность этой системы в том, что коэффициенты правой части быстро убывают, как убывают коэффициенты гармонического ряда Решения системы (55) расположены на окружности (рис 5) как и решения систем класса Аа,6 (55) -,6 Рис 5 Расположение xi системы (54) на комплексной плоскости Разница в том, что решения систем класса Ас с быстрым убыванием коэффициентов правой части лежат на окружности, центр которой находится на пересечении осей координат, в то время как решения систем класса Аа расположены на окружности, полностью расположенной в правой полуокружности, прилегая к оси ординат 54 Решение БСЛАУ класса B Рассмотрим несколько примеров решения БСЛАУ иного класса, а именно, класса Ва, когда диагональные элементы матрицы системы увеличиваются, а коэффициенты
248 46 ГЛАВА 5 правой части имеют постоянную величину Анализ графиков позволит зафиксировать типовую картину в расположении x i на комплексной плоскости для систем этого класса Пример. 4,4,5,5 х х х х4 х5 х 6 На рис 5 показаны значения x, x и x 4, полученные прогонкой при решении СЛАУ возрастающих размерностей а) x () : (54),5E+,E+ -,5E б) x () : 8,9E-,E+ -8,9E в) x 4 () :,4E+,E+ -,4E Рис 5 Значения x, x и x 4 расширяющейся системы (54) Из графиков видно, что вещественные значения x (), x () и x 4 () не стремятся с ростом, то есть с увеличением размерности СЛАУ, к некоторым пределам Из рассмотрения графиков, показанных на рис 5а и рис 5б можно заключить, что аргументы комплексных x и x системы (54) разных знаков Это подтверждается данными, помещёнными в табл 58 и 59, из которых следут, что x =,574e i,546, x =,567e i,555
249 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 47 В табл 58 и 59 приведены результаты вычислений модулей и аргументов комплексных x и x системы (54), которые устанавливались по r/φ-алгоритму, исходя из вещественных значений x () и x (), полученных прогонкой для расширяющихся СЛАУ (54) Таблица 58 Определение комплексного значения x системы (54) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,e , E- 7, E-,E+, E-, E-,E+ 4,7759E+,444694E-,E+ 7, E+,859559E-,E+ 8 5, E-, E-,E+ 5, E-, E-,E+ 6,44674E+ 4, E-,E+, E- 4, E-, E-,9794E+ 5,48599E-,945474E- -, E+ 5,775478E- 5, E- 4 6,88567E- 5,767669E- 5,666E- 47 9,478969E- 5, E- 5, E- 48, E- 5, E- 5, E , E- 5,744477E- 5,477667E , E- 5, E- 5, E- Таблица 59 Определение комплексного значения x системы (54) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ 4, E ,79984E- 6, E-,E+ 4 -,45877E-, E- -, E+ 7-9, E-, E- -, E+ 8 4, E-, E- -8, E- 5 7, E- 4,59448E- -8, E- 6 -,78674E+ 4,4655E- -, E+ 8, E- 5,647895E- -6,88578E- -,8858E- 4, E- -7,998895E-, E+ 5, E- -5,87589E- 4, E- 5, E- -5,85649E- 47 6, E- 5, E- -5,748984E- 48 6, E- 5, E- -5, E- 495,844448E+ 5, E- -5, E , E- 5, E- -5,556798E- На рис 5 и 5 показаны значения модуля r и аргумента φ комплексного x системы (54), полученные и использованием r/φ-алгоритма r () : 6,7E-,E Рис 5 Значения ri () для xi системы (54) -6,7E-
250 48 ГЛАВА 5 φ () : 5,7E-,E () Рис 5 Значения φ i для xi системы (54) В табл 5 приведена проверка комплексных решений БСЛАУ (54), полученных при помощи r/φ-алгоритма В четвёртой колонке показаны значения погрешностей, то есть разности между коэффициентами правой части, имеющих единичное значение и значениями строк, расположенных в левой части системы после подстановки в систему найденных комплексных неизвестных x i Из колонки Погрешность следует, что система (54) решена при помощи r/φ-алгоритма методом расширения СЛАУ с достаточно высокой точностью Погрешности мнимой части составляют величины порядка 4 Результаты проверки решения системы (54) Таблица 5 Значение правой части Значение левой части системы +i Погрешность строки, системы 9,95445E- - i4,57489e-,e+ -4, E- - i4,57489e- 9, E- - i4, e-,e+ -4, E- - i4, e- 4 9, E- - i7,644e-,e+ -6,8868E- - i7,644e- 8 9, E- - i,5887e-,e+ -7,585867E- - i,5887e- 6 9, E- - i,56944e-,e+ -4, E- - i,56944e- 9, E- + i, e-4,e+ -, E- + i, e , E- - i, e-,e+ -5,999975E- - i, e- 8 9, E- - i, e-,e+ -, E-4 - i, e- 56,698464E+ - i6,679556e-,e+, e- - i6,679556e- 5 9, E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- 4 9, E- + i6,97645e-,e+ -9,79694E- + i6,97645e- 48 9, E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- Приведём несколько рисунков, на которых показано расположение комплексных x i БСЛАУ класса Ва Из рис 54 и 55 видно что, чем выше скорость роста диагональных элементов матриц БСЛАУ, тем симметричнее, относительно начала координат располагаются в комплексной плоскости решения БСЛАУ. 4,,4,4,5,4,5,5,5 х х х х4 х5 х 6 х х х х4 х5 х 6 (54) (54) На рис 54 и 55 показано расположение решений x i системы (54) и (54) на комплексной плоскости
251 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 49,7, -,7 -, Рис 54 Расположение xi системы (54) Рис 54 Расположение xi системы (54) 55 Решение БСЛАУ класса Bc СЛАУ (55) пренадлежит к классу Bc. 4,4,5,5 х 4,96 х 4,95 х 4,94 х4 4,9 х5 4,9 х 4,9 6 На рис 56 показаны значения x, x и x 4, полученные методом прогонки для расширяющейся СЛАУ (55) различной размерности На рис 56 показаны 5 значений x i Из графиков видно, что на некоторых участках значения x i меняли свой знак на противоположный с ростом размерности СЛАУ всего на единицу ) x : (55) 4,87E+,E+ -4,87E+ б) x : ,55E+,E+ -,55E
252 5 ГЛАВА 5 в) x : 4 4,8E+,E+ -4,8E Рис 56 Значения x, x и x 4, полученные из расширяющихся СЛАУ Во вторых колонках табл 5 и табл 5 результаты определения x и x системы (55) методом прогонки при решении СЛАУ различной размерности В третьей и четрвёртой колонках этих же таблиц даны значения их модулей r и аргументов φ, комплексных корней x и x, полученных с спользованием r/φ-алгоритма Таблица 5 Определение значений модуля r и аргумента φ для x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ 4,96E ,7486E+,97984E+,E+ 8, E- 8,848859E+,E+ 4 4,549757E+, E+,E+ 7 4, E+,958458E+,E+ 8,896787E+, E+,E+ 5,7944E+, E+,E+ 6 8,9979E+, E+,E+ 4,8985E+, E+, E- 5,45485E+, E+,945474E- -5, E+,478475E+ 5,6958E- 4, E+,447655E+ 5, E- 47,6884E+, E+ 5, E- 48, E+, E+ 5, E , E+,478986E+ 5, E- 496, E+,476884E+ 5, E- Таблица 5 Определение значений модуля r и аргумента φ для x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,7486e ,74497E+, E+,E+ 4 -,548898E+,8689E+ -, E+ 7-4, E+,549598E+ -, E+ 8, E+,5987E+ -8, E- 5, E+,78669E+ -8, E- 6-4, E+, E+ -, E+, E+, E+ -6,88578E- -, E+,9459E+ -7,998895E- 9, E+, E+ -5,479947E- 4, E+, E+ -5, E- 47 5, E+,79674E+ -5, E- 48,6984E+,74464E+ -5,4598E , E+, E+ -5, E- 496, E+, E+ -5, E-
253 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 5 На рис 57 и 58 показаны значения модуля r и аргумента φ, определённые из значений x, r/φ-алгоритмом при учёте различного числа отсчётов x, найденных прогонкой из расширяющихся СЛАУ ) r () :,67E+,E+ б) φ () : Рис 57 Значения r () для x системы (55) 5,8E-,E Рис 58 Значения φ () для x системы (55) В табл 5 помещены результаты проверки комплексных решений системы (55) Результаты проверки решения системы (55) Таблица 5 Значение левой Значение правой строки, части системы части системы Погрешность 4,649794E+ - i8,574599e- 4,96E+ -,999657E- - i8,574599e- 4, E+ - i8, e- 4,95E+ -,47557E- - i8, e- 4 4, E+ + i5, e- 4,9E+ -, E- + i5, e- 8 4, E+ - i, e- 4,89E+ -, E- - i, e- 6 4,6777E+ - i,955546e- 4,8E+ -,698967E- - i,955546e- 4, E+ + i, e- 4,65E+ -, E- + i, e- 64 4, E+ - i,869767e- 4,E+ -, E- - i,869767e- 8 4, E+ - i6, e- 4,69E+ -6, E- - i6, e- 56, E+ - i6, e-,94e+ -4,594E- - i6, e- 5, E+ - i, e-,685e+ -,94557E- - i, e- 4, E+ + i, e-,7e+ -, E- + i, e- 48, E+ - i,9556e-,49e+ -6,568E- - i,9556e- Пример. 4,4,5,5 х 5,96 х 5,95 х 5,94 х4 5,9 х5 5,9 х 5,9 6 На рис 59 показаны значения x, x и x 4, полученные методом прогонки для расширяющихся СЛАУ (55) Из рис 59а и 59б следует, что модули r комплексных x и x близки, а аргуметы φ должны иметь противоположные знаки, причём, аргумент комплексного x имеет положительный знак, а аргумент комплексного x отрицателен Данные, приведённые в табл 54 и 55, подтверждают эти выводы, сделанные из рассмотрения отсчётов x и x, приведённых на рис 59а и 59б: x =,96e i,56, x =,87e i,5 (55)
254 5 ГЛАВА 5 Сравнивая отсчёты для x, x и x 4, полученные при решении системы (55) с отсчётами для для x, x и x 4, найденными прогонкой для расширяющейся системы (55) можно обратить внимание, что картинки этих отсчётов весьма различны, период отсчётов на рис 56 значительно больший, нежели период отсчётов на рис 59 а) x : 5,6E+,E+ -5,6E+ б) x : ,E+,E+ -4,E+ в) x : ,5E+,E+ -5,5E Рис 59 Значения подходящих дробей для xi системы (55) В табл 54 во второй колонке приведены результаты опредления x системы (55) методом прогонки Значения x СЛАУ соседних размерностей значительно отличаются друг от друга, вплоть до знака, что хорошо видно из рис 59 В третьей и четвёртой колонках табл 57 даны значения модуля r и аргумента φ комплексного x, полученные с использованием r/φ-алгоритма Таблица 54 Определение значений модуля и аргумента x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного системы, прогонки () числа, r () числа, φ 5,96E , E+,97985E+,E+, E- 4, E-,E+ 4 5,444E+ 8, E-,E+ 7 5, E+ 8, E-,E+ 8, E+ 9, E-,E+ 5, E- 9,96775E-,E+ 6 5,574987E+,974764E+,E+ 6, E+, E+,E+, E+, E+,E+
255 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 5 Окончание табл 54 -, E+,97765E+ 4,848889E- 4, E+,948878E+ 4, E- 47, E+, E+ 5,479E- 48 6, E+, E+ 5, E- 495, E+, E+ 5, E ,767574E+, E+ 5, E- Таблица 55 Определение значений модуля и аргумента x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного () системы, прогонки числа, r Размерность системы,, e , E+, E+,E+ 4 -, E- 6, E- -, E+ 7-4, E- 7, E- -, E+ 8, E+ 8, E- -8, E- 5 4, E+,68897E+ -8, E- 6 -, E- 9, E- -, E+ -, E+, E+ -, E+,655596E+,44996E+ -,469859E+,956548E+, E+ -5, E- 4, E+, E+ -5, E- 47, E+, E+ -5, E- 48 -, E+, E+ -5, E- 495, E+, E+ -5,556844E ,896744E-,876757E+ -5, E- На рис 5 и 5 показаны значения модуля r и аргумента φ, определённые из значений x r/φ-алгоритмом при учёте различного числа отсчётов x, найденных прогонкой из расширяющихся СЛАУ r () :,E+,E+ φ () : Рис 5 Значения r () для x системы (55) 5,69E-,E Рис 5 Значения φ () для x системы (55) -5,69E- В табл 56 помещены результаты проверки комплексных решений системы (55) строки, Результаты проверки решения системы (55) Значение левой части системы Значение правой части системы Погрешность Таблица 56 5,545597E+ - i,547486e- 5,96E+ -7, E- - i,547486e- 5,9886E+ - i9, e- 5,95E+ -7, E- - i9, e- 4 5, E+ - i4, e- 5,9E+ -7, E- - i4, e- 8 5,46875E+ - i7, e- 5,89E+ -5, E- - i7, e- 6 5, E+ + i, e- 5,8E+ -5, E- + i, e-
256 54 ГЛАВА 5 Окончание табл 56 5,4875E+ + i, e- 5,65E+ -, E- + i, e- 64 4,97597E+ - i5, e- 5,E+ -5, E- - i5, e- 8 4, E+ + i7, e- 4,969E+ -6, E- + i7, e- 56 4,849567E+ + i, e- 4,84E+ -, E- + i, e- 5 4, E+ + i4, e- 4,585E+ -4,4689E- + i4, e- 4 4,4746E+ - i6,9896e- 4,7E+ -6, E- - i6,9896e- 48, E+ - i, e-,49e+ -9,997787E-4 - i, e- Пример. 4,4,5,5 х х,5 х, х4,5 х5, х,6 6 (55) На рис 5 показаны значения x, x и x 4, полученные методом прогонки для расширящихся СЛАУ (55), причём, показаны значения x, x и x 4, из систем малых размерностей ( 5) Из графиков 5а и 5б можно заключать, что модули r комплексных x и x близкме, а аргументы φ для тех же x и x противоположного знака, что подтверждается данными табл 57 и 58: а) x : x =,75e i,74, x =,65e i,84,8e+,e+ -,8E+ б) x : 5,E+,E+ -,E+ в) x : 4 5,E+,E+ -,E+ 5 Рис 5 Значения подходящих дробей для xi системы (55) Во вторых колонках табл 57 и табл 58 приведены результаты определения x и x системы (55) методом прогонки при решении расширяющихся СЛАУ, то
257 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 55 есть, СЛАУ, размерность коорых увеличивается В теретьих и четвёртых колонках этих же таблиц даны значения модулей r и аргументов φ комплексных корней x и x, полученных с использованием r/φ-алгоритма Таблица 57 Определение значений модуля и аргумента x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,e , E+,468594E+, E+,E- 8, E-, E+ 4,495595E+ 9, E- 7, E- 7 -, E+, E+, E+ 8 4, E- 9, E-, E+ 5,75969E- 7, E-, E+ 6, E+ 7, E- 9, E- 7,884448E- 6,4676E- 9,758656E- -, E+ 6, E- 9, E- 5,848754E- 7,549E- 8,948E- 4-8, E+ 7, E- 8, E- 47, E- 7, E- 7, E- 48, E+ 7, E- 7, E- 495, E- 7, E- 7,495676E- 496,499445E+ 7, E- 7, E- Таблица 58 Определение значений модуля и аргумента x системы (55) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ, e ,666666E-,59899E+,E+ 4 -,94555E- 8, E- -, E+ 7,798797E+,69765E+ -5, E- 8 5,4485E-,98579E+ -4, E- 5 5, E- 8, E- -6, E- 6 -, E- 8, E- -8, E-, E- 6, E- -7,885876E-,484469E+ 6, E- -7,998895E- 4, E- 6,86754E- -7,54756E- 4 8, E+ 6, E- -7, E- 47 5,777857E- 6, E- -7, E- 48 -, E+ 6, E- -7, E , E- 6, E- -8, E ,658644E- 6, E- -8,46764E- В табл 59 приведены результаты проверки комплексных решений системы (55) Результаты проверки решения системы (55) Таблица 59 Значение левой Значение правой Погрешность строки, части системы части системы,456547e+ - i,4784e-,e+, e- - i,4784e- 5,877846E- - i, e- 5,E-,877846E- - i, e- 4,484657E- - i4, e-,5e- -, E- - i4, e- 8, E- + i, e-,5e- -, E- + i, e- 6 7,774884E- + i, e- 6,5E-, E- + i, e-, e- + i5, e-,5e- -, E- + i5, e- 64,97754E- - i, e-,565e-,47754e- - i, e-
258 56 ГЛАВА 5 Окончание табл ,849756E- + i, e- 7,85E- -,6654E- + i, e- 56,69498E- - i, e-,965e- 7,7488E- - i, e- 5-9, E- + i4,96498e-,955e- -,4548E- + i4,96498e- 4 9, E- + i, e- 9,76565E-4 8, E- + i, e- 48 5,947757E-4 - i,89559e-4 4,8885E-4,4557E-4 - i,89559e-4 Приведём ещё один пример решения системы класса Вс Пример 4 х 5,96, х 5,95,, х 5,94,, х4 5,9 (554),,4 х5 5,9,4 х 5,9 6 В табл 5 показаны комплексные решения системы (554), полученные при помощи r/φ-алгоритма Таблица 5 Значений комплексных x i системы (554) x i, Модуль комплексного Аргумент комплексног числа, r () о числа, φ,649967e+ 6, E-,454479E+ -, E- 7, E- -,56548E+ 4 4, E-,49554E+ 7, E- -, E+ 8 9, E- 8, E- 5 6, E-,5996E+ 6,498446E+, E- 56, E+ -, E- 5, E+ 6, E- 5,99584E+ -, E- 6, E-, E+ 4,65E+, E- 47 6, E- 9, E- 48 8, E- -, E- На рис 5 показано расположение на комплексной плоскости значений x i системы (554) На рисунке видно регулярные области, в которых нет точек принадлежащих x i,45 -,45 Рис 5 Расположение xi системы (554) на комплексной плоскости
259 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 57 В табл 5 приведены результаты проверки комплексных решений системы (554) Таблица 5 Результаты проверки решения системы (554) Значение левой Значение правой строки, части системы части системы Абсолютная погрешность 5, E+ - i5, e- 5,96E+ 5, E- - i5, e- 5, E+ - i,47554e- 5,95E+ 4, E- - i,47554e- 5, E+ - i7,787594e- 5,94E+ 4, E- - i7,787594e- 4 5, E+ + i, e- 5,9E+ 5, E- + i, e- 7 5, E+ + i, e- 5,9E+ 6, E- + i, e- 8 5, E+ - i5, e- 5,89E+ 8, E- - i5, e- 5 5, E+ + i5,544647e- 5,8E+, E- + i5,544647e- 6 5, E+ + i5,859944e- 5,8E+ -,697469E- + i5,859944e- 5, E+ + i, e- 5,66E+ 8,64976E- + i, e- 5,555599E+ + i4, e- 5,65E+ 9,55994E- + i4, e- 4,6988E+ - i,558558e- 4,74E+ -, E- - i,558558e- 4 4,874489E+ + i, e- 4,7E+,444895E- + i, e- 47, E+ - i4, e-,5e+ 7, E- - i4, e- 48,56495E+ - i, e-,49e+ 7,66495E- - i, e- 56 Решения БСЛАУ класса C БСЛАУ класса Са называем систему, диагональные элементы матрицы которой уменьшаются, а элементы правой части постоянные Пример 5,96 5,96 х 5,95 х 5,95 5,94 х 5,94 5,9 х4 5,9 5,9 х5 5,9 х 6 (56) На рис 54 показаны значения x, x и x 4, полученные методом прогонки для расширящихся СЛАУ (56) Из рис 54а и 54б видно, что аргумент комплексного x по модулю значительно больше аргумента комплексного x Кроме того, можно обратить внимание, что графики отсчётов для x и x 4, показанные на рис 54а и 54в весьма схожи а) x :,6E+,E+ -,6E+ б) x : ,E-,E+ -4,E
260 58 ГЛАВА 5 в) x : 4 5,E-,E+ -5,E Рис 54 Значения подходящих дробей для xi (i=,,4) Во вторых колонках табл 5 и 5 приведены результаты определения x и x системы (56) методом прогонки Как видно из графиков и таблиц, значения x и x систем соседних размеров, то есть размерность СЛАУ порядков и +, значительно отличается друг от друга и, следовательно, можно говорить о БСЛАУ (56) как о расходящейся в классическом смысле Если при решении БСЛАУ использовать r/φалгоритм, то из данных -й и 4-й колонок табл 5 и 5 следует, что значения x и x с ростом размерности стремятся к пределам, только эти пределы комплексные числа: x =,4e i,, x =,76e i,8 Таблица 5 Определение комплексного значения x системы (56) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ,e , E- 4,5986E-,E+ 8, E-, E-,E+ 4-5,685784E-, E- 7, E- 7 6,8479E-, E- 4, E- 8 -,595459E-, E- 7, E- 5 8,766675E-, E- 6,88578E- 6,884486E+, E- 5, E-, E+, E- 6,85974E-, E-, E- 5, E-, E-,6445E- 7, E- 4 4,8664E-, E- 7, E- 47 -,6894E+,47876E- 8, E- 48 -,655748E-,47858E- 8, E ,7999E-, E-,674555E+ 496, E+, E-,475E+ Таблица 5 Определение комплексного значения x системы (56) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ, e , E-,759869E-,E+ 4, E-, E-,E+ 7,84549E-, E-,E+ 8, E-, E-,E+ 5, E-, E-,E+ 6 -, E-, E- -,94959E- -,687987E+, E- -,94959E-, E-,987458E- -,689758E-
261 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 59 Окончание табл 5, E-, E- -, E- 4,879675E-, E- -,884478E- 47 4,47469E+, E- -,47978E- 48, E-, E- -,445959E- 495, E-, E- -,75856E , E-, E- -, E- На рис 55 и 56 показаны значения модуля r и аргумента φ, определённые из значений x при помощи r/φ-алгоритма r () :,48E-,E () Рис 55 Значения r для x системы (56) () φ :,E+,E Рис 56 Значения φ () для x системы (56) В табл 54 приведены результаты проверки комплексных решений системы (56) Таблица 54 Результаты проверки комплексных решений системы (56) Значение левой Значение правой Абсолютная погрешность строки, части системы части системы 9, E- - i9,447564e-,e+ -,77749E- - i9,447564e- 6,886947E- - i8, e-,e+ -, E- - i8, e- 4 7, E- - i9,799579e-,e+ -, E- - i9,799579e- 8 8,958584E- - i,55654e-,e+ -, E- - i,55654e- 6 9,58988E- - i,458595e-,e+ -4, E- - i,458595e- 6,676576E- - i6, e-,e+ -, E- - i6, e- 64 7, E- - i,8875e-,e+ -, E- - i,8875e- 8 7, E- - i5, e-,e+ -, E- - i5, e- 56 7,947988E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- 5 7, E- + i,497985e-,e+ -, E- + i,497985e- 4 7,557745E- + i9, e-,e+ -, E- + i9, e- 48 7,8688E- - i8, e-,e+ -, E- - i8, e- Из данных невязки, приведённых в 4-й колонке табл 54 можно заключить, что погрешности по некоторым строкам весьма значительны, то есть комплексные корни не всегда определяются с высокой точностью Имеется несколько схем уточнения комплексных корней трёхдиагональной системы Самая простая схема состтоит в следующем Принимаем, как исходное значение, комплексный x, найденный при помощи r/φ-алгоритма из отсчётов, полученных из расширяющихся СЛАУ методом прогонки Все остальные комплексные x i находятся из уравнений с одним неизвестным В табл 55 приведены комплексные значения x i, получнные методом расширения В табл 56 приведены результаты определения комплексных x i системы (56) методом деления, отправляясь от полученного r/φ-алгоритмом значения x
262 6 ГЛАВА 5 Таблица 55 Определение x r/φ-алгоритмом X, Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ, e-,475e+, e- -, E-,546887E- -,45999E+ 4 6, E-, E+ 7, E- -, E+ 8, E-, E+ 5, E- -, E+ 6,465848E-, E+ 5,686475E-, E+ 5, E-, E-, E- -4, E- 4,598E- -, E+ 47,9764E- -9, E- 48,495798E- 7, E- Таблица 56 Определение x r/φ-алгоритмом Xкон, Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ, e-,475e+, e- -, E-,455878E- -8, E- 4 4,484959E-, E+ 7, E- -,5968E+ 8 8, E-,484694E+ 5,68666E- -, E+ 6,654766E-,694655E+ 5, E-,46459E+ 5, E-, E-,747759E- -, E- 4,448895E- -,5765E+ 47, E- -6,44775E- 48, E-, E-8 На рис 57 и 58 показано расположение на комплексной плоскости значений x i системы (56), полученные r/φ-алгоритмом и методом перебора, соответственно,9,5 -,9 Рис 57 Расположение x i на комплексной плоскости (r/φ-алгоритм) -,5 Рис 58 Расположение x i на комплексной плоскости (метод перебора) В табл 57 показаны результаты проверки комплексных решений системы (56), которые получены методом деления Из четвёртой колонки табл 57 следует, что невязки, то есть погрешности в решении системы (56), найденные методом деления, исходя из найденного r/φ-алгоритмом комплексного значения x, чрезвычайно малы и составляют величины порядка 9 Тем не менее, следует иметь в виду, что эффективность метода деления полностью определяется тем, насколько точно установлено комплексное исходное значение x и для конечных СЛАУ с квадратными матрицами этот метод может приводить к существенным невязками по последней строке системы Таблица 57 Результаты проверки комплексных решений, полученные r/φ-алгоритмом Значение правой Значение левой части системы Абсолютная погрешность строки, части системы 9, E- + i,99545e-9,e+ -,598794E-8 + i,99545e-9,4886e+ + i,589654e-8,e+ 4,88684E-9 + i,589654e-8,856e+ - i8, e-,e+ 8, E- - i8, e- 4 9, E- - i, e-9,e+ -,668597E-8 - i, e-9 7,4E+ - i,77454e-9,e+, e-9 - i,77454e-9 8,7584E+ - i9,976978e-,e+ 7, E-9 - i9,976978e- 5 9, E- - i9,49e-9,e+ -4, E-9 - i9,49e-9 6,68E+ - i,65589e-9,e+, e-8 - i,65589e-9,9699e+ + i7,978695e-,e+ 9, E-9 + i7,978695e-,458e+ + i6, e-9,e+ 4, E-9 + i6, e-9
263 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 6 Окончание табл 57,898E+ - i, e-9,e+ 8, E-9 - i, e-9 4 9, E- + i4,898494e-9,e+ -8, E-9 + i4,898494e , E- + i4, e-,e+ -4, E- + i4, e- 48,E+ - i9,84755e-,e+,697899e-9 - i9,84755e- Пример х, х, х, х (56) 4, х5, х 6 В табл 58 и 59 приведены решения БСЛАУ (56), полученные r/φ-алгоритмом и методом деления, соответственно Значение x в обеих таблицах одинаковые В методе r/φ-алгоритма комплексные значения каждого x i находились независимо из отсчётов, получаемых для x i прогонкой при увеличении размерности решаемых СЛАУ В методе деления для начала счёта бралось комплексное значение x и затем последоваьельным решением трёхчленных уравнений с одним неизвестным, то есть методом деления однозначно устанавливались все остальные неизвестные трёхдиагональной системы (56) Следует заметить, что СЛАУ (56) весьма незначительно отличается от СЛАУ (56), не имеющей комплексных решений Таблица 58 Определение x i r/φ-алгоритмом Модуль комплексного Аргумент комплексного X, числа, r числа, φ 4, E- 7, E-,488869E- -, E+ 4, E-, E- 4, E- -,57878E+ 7 4,968854E- 5, E- 8 5, E- -, E+ 5 4,85946E-,6786E- 6, E- -,578555E+ x x x = x 4 x 5 Таблица 59 Определение x i методом перебора Модуль комплексного Аргумент комплекс- Xкон, числа, r ного числа, φ 4, E- 7, E- 8,744477E- -,77958E+ 4, E-,55576E- 4, E- -,775485E+ 7 4,94659E- 5, E- 8,677E- -,756474E+ 5 4, E-,845484E- 6 6,487744E- -, E+ (56) 5 5, E-, E+ 5 5,85854E- -,59795E+,965966E- -, E- 4, E- 6, E- 47, E- -7, E- 48,7499E-,484664E+ 5, E- 9, E- 5 4, E- -8, E-, E- -, E- 4,59474E- 6,65656E- 47, E- -5,56979E- 48, E- 7,854788E- На рис 59 и 54 показано расположение на комплексной плоскости значений x i системы (56), полученные r/φ-алгоритмом и методом деления, соответственно
264 6 ГЛАВА 5,67,85 -,67 Рис 59 Расположение xi системы (56) на комплексной плоскости (r/φ-алгоритм) -,85 Рис 54 Расположение xi системы (56) на комплексной плоскости (метод перебора) В табл 54 и 54 приведены результаты проверки комплексных решений системы (56), полученные, соответственно, r/φ-алгоритмом и методом перебора Из сравнения данных, приведённых в колонках 4 табл 58 и 59 видно, что метод перебора обеспечивает невязки чрезвычайной малости (ε = 8 ) Таблица 54 Результаты проверки комплексных решений, полученные r/φ-алгоритмом Значение левой Значение правой Абсолютная погрешность строки, части системы части системы 9,976596E- - i6,496744e-,e+ -, E- - i6,496744e- 9, E- - i,545864e-,e+ -5, E- - i,545864e- 9, E- - i, e-,e+ -8, E- - i, e- 4 9,89646E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- 7 9,886498E- - i4,55556e-,e+ -, E- - i4,55556e- 8 9, E- - i5,4867e-,e+ -, E- - i5,4867e- 5 9, E- - i9,46485e-,e+ -, E- - i9,46485e- 6 9,69785E- - i,589558e-,e+ -, E- - i,589558e- 9,875455E- - i, e-,e+ -8, E- - i, e- 9,4547E- - i,575746e-,e+ -9, E- - i,575746e- 9, E- - i,686558e-,e+ -, E- - i,686558e- 4 9, E- - i4, e-,e+ -9,474684E- - i4, e- 47 5, E- + i9, e-,e+ -4, E- + i9, e- 48 5,84789E- + i6,865965e-,e+ -4, E- + i6,865965e- Таблица 54 Результаты проверки комплексных решений, полученные методом перебора Значение левой Значение правой Абсолютная погрешность строки, части системы части системы,4e+ + i,6966e-9,e+,859894e-9 + i,6966e-9 9, E- + i4, e-9,e+ -,58776E-7 + i4, e-9 9, E- + i5, e-,e+ -, E-8 + i5, e- 4 9, E- - i6,46496e-,e+ -,44967E-8 - i6,46496e- 7 9, E- - i,644959e-8,e+ -,688765E-8 - i,644959e-8 8 9, E- - i7,59857e-9,e+ -9, E-8 - i7,59857e-9 5 9, E- - i, e-8,e+ -4,76694E-8 - i, e-8 6,78E+ + i4, e-8,e+, e-8 + i4, e-8 9, E- - i, e-8,e+ -, E-8 - i, e-8,8764e+ + i4, e-8,e+ 8,76545E-8 + i4, e-8 9, E- - i,88794e-8,e+ -6, E-8 - i,88794e-8 4 9, E- - i, e-8,e+ -, E-9 - i, e-8 47,6E+ - i5, e-8,e+ 6,47674E-8 - i5, e , E- - i4,8459e-9,e+ -,577485E-8 - i4,8459e-9
265 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 6 Пример 4,96 4,96 4,95 4,95 4,94 4,94 4,9 4,9 4,9 4,9 х х х х4 х5 х 6 (56) В табл 545 приведены комплексные значения x i, полученные методом расширения с использованием r/φ-алгоритма В табл 546 приведены результаты определения комплексных x i системы (56) методом перебора Когда перебором устанавливаются значения комплексных x i, на строке, обеспечивающие минимум невязки Таблица 54 Определение x i r/φ-алгоритмом Модуль Аргумент комплексного числа, комплексного числа, x, r φ, e-,6644e+, e- -, E-, E- -,948E+ 4, E-,574555E+ 7, E- -,47765E+ 8, E-, E+ 5, E- -, E+ 6 5, E-,57445E+ 5,785956E- -,9879E+ 5 7, E-, E+ 5, E- -, E+ 4,47964E-, E+ 47, E-,594958E+ 48 4, E-, E+ Таблица 54 Определение x i методом перебора Модуль Аргумент комплексного числа, комплексного числа, x кон, r φ, e-,6644e+, e- -, E-, E- -9, E- 4, E-,74985E+ 7, E- -9, E- 8,87898E-, E+ 5, E- -, E+ 6 4, E-, E+ 5, E- -,888E+ 5 5, E-, E+ 5, E- -9,886889E- 4, E-, E+ 47, E-,7E+ 48,869767E- 8, E- На рис 54 и рис 54 показано расположение на комплексной плоскости значений x i системы (56),5,6 -,5 Рис 54 Расположение xi системы (56) на комплексной плоскости (r/φ-алгоритм) -,6 Рис 54 Расположение xi системы (56) на комплексной плоскости (метод перебора)
266 64 ГЛАВА 5 В табл 545 и 546 приведены результаты проверки комплексных решений системы (56), полученные, соответственно, r/φ-алгоритмом и методом перебора Из сравнения невязок, приведённых в колонках 4 табл 545 и 546, видно, что метод перебора обеспечивает малую погрешность в лпределении комплексных решений системы (56), составляющие величины порядка 7 9 строки, Таблица 544 Результаты проверки комплексных решений, полученные r/φ-алгоритмом Значение левой части системы Значение правой части системы Абсолютная погрешность 9,967586E- + i7, e-,e+ -6, E- + i7, e- 6,8996E- - i7, e-,e+ -, E- - i7, e- 9,956978E- + i,789969e-,e+ -7, E- + i,789969e- 4 6, E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- 7 9,85866E- + i, e-,e+ -, E- + i, e- 8 6, E- - i, e-,e+ -, E- - i, e- 5 9,76898E- + i7,84974e-,e+ -, E- + i7,84974e- 6 6, E- - i5, e-,e+ -,658475E- - i5, e- 9,985855E- + i, e-,e+ -7,494995E- + i, e- 6, E- - i, e-,e+ -,47994E- - i, e- 5, E- + i6, e-,e+ -4, E- + i6, e- 4 9, E- - i4,769964e-,e+ -6, E- - i4,769964e- 47 4, E- - i, e-,e+ -5, E- - i, e- 48 7, E- + i,449599e-,e+ -, E- + i,449599e- строки, Таблица 545 Результаты проверки комплексных решений, полученные методом перебора Значение левой части системы Значение правой части системы Абсолютная погрешность,67995e+ + i8,454457e-9,e+, e-7 + i8,454457e-9,469e+ + i, e-7,e+, e-7 + i, e-7 9, E- + i,59586e-9,e+ -6,674748E-9 + i,59586e-9 4 9, E- + i5, e-7,e+ -, E-8 + i5, e-7 7,7889E+ - i8, e-9,e+ 7,888699E-8 - i8, e-9 8,78787E+ + i4,575855e-7,e+ 7, E-7 + i4,575855e-7 5,6E+ + i5, e-8,e+,686978e-7 + i5, e-8 6,45E+ - i8, e-7,e+ 4,4577E-7 - i8, e-7,5987e+ + i,488464e-7,e+, e-7 + i,488464e-7,7e+ - i6, e-7,e+,79974e-7 - i6, e-7,7496e+ + i, e-7,e+ 7, E-7 + i, e-7 4 9, E- + i4,574479e-8,e+ -, E-8 + i4,574479e-8 47,4644E+ + i, e-7,e+, e-7 + i, e , E- + i,88445e-8,e+ -5, E-7 + i,88445e-8 57 Решение БСЛАУ класса Cc Пример 5,96 5,96 5,95 5,95 5,94 5,94 5,9 5,9 5,9 5,9 х 5,96 х 5,95 х 5,94 х4 5,9 х5 5,9 х 5,9 6 (57) На рис 54 показаны значения x, x и x 4, полученные методом прогонки для расширяющихся СЛАУ (57)
267 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 65 x :,4E+,E+ -,4E+ x : ,57E+,E+ -,57E+ x : ,6E+,E+ -,6E Рис 54 Значения подходящих дробей для xi (i=,,4) Во вторых колонках табл 546 и табл 547 приведены результаты определения x и x системы (57) методом прогонки при расширяющихся СЛАУ (57), то есть систем изменяющейся размерности В третьих и четвёртых колонках этих же таблиц даны значения модулей r и аргументов φ комплексных корней x и x, полученных по вещественным отсчётам с помощью r/φ-алгоритма Таблица 546 Определение значения модуля и аргумента комплексного x системы (57) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ 5,96E , E-, E+,E+ 4,658E-, E+,E+ 4 -, E- 8, E- 7, E- 7,574765E- 7, E- 4, E- 8-7, E- 7, E- 7, E- 5 4,686677E- 6,564554E- 6,88578E- 6 9, E+ 7, E- 5, E- 7,466599E+ 7,875555E- 6,85974E- 9,6496E- 7, E- 5, E- 5,994654E- 6,86476E- 7,864774E- 4,8959E- 6, E- 7,79875E- 47,54488E+ 6, E- 7, E- 48 9,599479E- 6, E- 7,549594E , E- 6, E- 7,5695E , E+ 6, E- 7,748556E-
268 66 ГЛАВА 5 Таблица 547 Определение значения модуля и аргумента комплексного x системы (57) Размерность Значение x () по методу Модуль комплексного Аргумент комплексного () () системы, прогонки числа, r числа, φ 8, E , E- 8, E-,E+ 4,596899E+ 9,5869E-,E+ 7 9,867465E- 8, E-,E+ 8,585884E+ 8, E-,E+ 5 9, E- 9, E-,E+ 6-8, E- 9, E- -,94959E- -,659598E+ 9, E- -,94959E- 8, E- 9, E- -,689758E- 8, E- 9,585596E- -, E- 4 9, E- 9, E- -, E- 47 -,559756E+ 9,54756E- -, E- 48 9,87669E- 9,5665E- -,978959E , E- 9, E- -,977E , E- 8, E- -, E- На рис 544 и 545 показаны значения модуля r и аргумента φ, определённые r/φ-алгоритмом при учёте различного числа отсчётов x, полученных прогонкой из расщиряющихся СЛАУ (57) r () : 7,4E-,E+ φ () : 8,E Рис 544 Значения r () для x системы (57),E Рис 545 Значения φ () для x системы (57) На рис 546 показано расположение на комплексной плоскости значений x i системы (57),98 -,98 Рис 546 Расположение xi системы (57) на комплексной плоскости
269 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 67 В табл 548 приведены результаты проверки комплексных решений системы (57) Результаты проверки решений системы (56) Таблица 548 Значение левой Значение правой Абсолютная погрешность строки, части системы части системы 5, E+ - i5, e- 5,96E+ -,75494E- - i5, e- 5, E+ - i5,88548e- 5,95E+ -5, E-4 - i5,88548e- 4 5, E+ - i8, e- 5,9E+ 5, E- - i8, e- 8 5, E+ - i5,78749e- 5,89E+, E- - i5,78749e- 6 5, E+ - i, e- 5,8E+ -,948989E- - i, e- 5,89756E+ - i7, e- 5,65E+, E- - i7, e- 64 5,6794E+ - i9, e- 5,E+ -, E- - i9, e- 8 4, E+ - i6,875678e- 4,969E+, E- - i6,875678e- 56 4, E+ - i6,496745e- 4,84E+ -8,55658E- - i6,496745e- 5 4, E+ - i, e- 4,585E+ -,756594E- - i, e- 4 4, E+ - i6,4844e- 4,7E+ -, E- - i6,4844e- 48,47668E+ - i6,796659e-,49e+ -, E- - i6,796659e- 58 О некоторых особенностях решения СЛАУ методом цепных дробей В четвертой главе рассматривался алгоритм решения СЛАУ, использующий цепные дроби Этот алгоритм реализуется в два этапа На первом этапе СЛАУ решается классическим итерационным методом, называемым методом простых итераций Полагаем полученные значения для каждой неизвестной x i частичными суммами ряда, который сходится, когда сходится итерационный процесс, и расходится в противном случае Затем по этим частичным суммам определяются коэффициенты рядов, которыми представляются неизвестные x i системы Эти ряды могут сходиться медленно и даже расходиться Для суммирования, то есть определения их значений по коэффициентам рядов, строятся, так называемые, соответствующие цепные дроби После того как найдены коэффициенты соответствующих цепных дробей, следует просуммировать ряд, то есть для каждого x i получим его значение Было установлено, что соответствующие цепные дроби, представляющие х i СЛАУ с матрицей размерности конечные и содержат звеньев Значения x i, устанавливаемые конечными цепными дробями, совпадают со значением x i исходной СЛАУ, получаемые точными алгоритмами, например, алгоритмом Гаусса Таким образом, метод цепных дробей это точный метод решения СЛАУ, который базируется на итерационном алгоритме, например, на алгоритме простых итераций Неизвестные x i представляются конечными цепными дробями, имеющим звеньев: ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) x i (58) Здесь надо отметить, что конечность цепных дробей не имеет для дальнейшего обсуждения принципиального значения, так как на практике размерность решаемых СЛАУ может достигать очень значительных величин, порядка 5-6, причем, эти границы имеют тенденцию к постоянному росту Существенно то, что цепные дроби, которые определяют неизвестные x i, содержат значительное число звеньев Цепные дроби, включающие достаточно большое число звеньев, будем рассматривать как бесконечные Именно для бесконечных цепных дробей определяются понятия сходимости и расходимости Выше уже обсуждался вопрос об уместности использования в практических исследованиях понятий сходимости и расходимости для конечных цепных дробей, имеющих больше число звеньев Следует отметить одну особенность конечных расходящихся цепных дробей, представляющих x i системы Особенность эта заключается в том, что значение последней подходящей расходящейся цепной дроби, те значение P /Q,
270 68 ГЛАВА 5 совпадает с точным значением x i, полученным прямым методом решения СЛАУ, например, методом Гаусса Расходящаяся бесконечная цепная дробь, по определению, не может иметь вещественного значения, так как предела значений её подходящих не существует Итак, при решении СЛАУ размерностью конечные цепные дроби, те подходящие с номером P /Q, вне зависимости, являются ли они сходящимися или расходящимися, определяют точные значения неизвестной x i системы, полученные прямым методом Однако между сходящимися и расходящимися цепными дробями есть принципиальное различие Сходящаяся конечная цепная дробь допускает с ростом номера подходящих P /Q все более точное определение x i В этом смысле можем говорить о сходстве с итерационным алгоритмом, когда имеет место уточнение решения x i Если решение x i представляет расходящаяся цепная дробь, то хотя значение P /Q такой конечной цепной дроби совпадает с точным значением x i, получаемой прямым методом, сказать, что последовательность подходящих конечной цепной дроби, определяющей неизвестную x i, то есть последовательность значений подходящих дробей P P P P. Q Q Q Q дает значения чисел, приближающихся к значению искомой x i, нельзя Более того, значения соседних подходящих могут не только заметно отличаться по величине, но иметь разные знаки (рис 547) Рис 547 Значения подходящих расходящихся цепных дробей Наличие подходящих с различными знаками это основной признак комплексности цепной дроби, те комплексного значения расходящийся цепной дроби, звенья которой имеют, тем не менее, вещественные значения Процесс суммирования расходящихся в классическом смысле бесконечных непрерывных дробей, имеющих комплексные значения, достаточно хорошо отработан при решении различных задач вычислительной математики [74-77] При решении СЛАУ r/φ-алгоритм должен быть распространён на конечные расходящиеся цепные дроби Нелишне здесь отметить, что r/φ-алгоритм должен рассматриваться как некий алгоритм усреднения, поэтому этот алгоритм дает точное комплексное значение цепной дроби при значительном числе подходящих дробей Другими словами, для определения комплексных значений цепных дробей необходимо большое число подходящих дробей Это замечание не относится к так называемым ультрапериодическим цепным дробям, то есть к расходящимся цепным дробям, значения подходящих дробей которых периодически повторяются [54] Например, к ультрапереодическим цепным дробям относится цепная дробь: /4 e, P si( ) / 4. Q si / 4 (. ),
271 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 69 В ультрапереодических цепных дробях вся информация о значении цепной дроби имеется в подходящих, составляющих один период Итак, рассмотрим два случая: сходящейся и расходящейся цепной дроби, представляющей x i СЛАУ Коэффициенты соответствующей цепной дроби по коэффициентам ряда определяются по формулам Хейлермана-Стилтьеса [6] Коэффициенты c ряда в методе цепных дробей определяются из последовательности , получаемой при итерационном процессе решения исходной СЛАУ, те коэффициенты ряда определяются элементами матрицы исходной системы В зависимости от элементов исходной матрицы цепная дробь, определяющая x i, может быть как сходящейся, так и расходящийся Если конечная цепная дробь (58) сходящаяся, то последовательность
приближает с ростом числа подходящих m значение x i все точнее и точнее, достигая при m = точного значения Скорость приближения зависит от скорости сходимости цепной дроби, которая определяется коэффициентами ω i соответствующей цеп-ной дроби, а в конечном счете, определяется элементами ij исходной матрицы СЛАУ, а также коэффициентами правой части системытаким образом, в случае сходящейся цепной дроби метод цепных дробей имеет признаки итерационного алгоритма, однако имеет и принципиальные от него отличия Если классические итерационные алгоритмы дают, в случае сходимости, бесконечную последовательность приближений, не достигая ни при каком значении точного значения x i, то итерационный алгоритм, порождаемый методом цепных дробей, в случае сходящейся цепной дроби дает фиксированное число приближений, а именно - приближений, достигая при подходящей с номером точного значения x i, который совпадает со значением x i, получаемым при применении прямых методов решения СЛАУ, например, методом Гаусса или методом прогонки Метод прогонки, как известно, представляет собой метод исключения Гаусса, применимый к ленточным системам линейных алгебраических уравнений Алгоритм прогонки можно записать в форме цепных дробей, если воспользоваться формулами Крамера Так как квадратную матрицу общего вида можно эквивалентными преобразованиями привести к матрице Хессенберга или к трехдиагональной матрице, то можно записать цепными дробями Хессенберга или обыкновенными цепными дробями решения СЛАУ с матрицей общего вида И здесь так же возможны два случая: цепные дроби оказываются сходящимися, которые обеспечивают все более точные приближения с ростом числа используемых подходящих дробей, и расходящимися, когда подходящие дроби не приближают решение Точное решение x i обеспечивается, как и в случае сходящихся цепных дробей, на последней -й подходящей конечной цепной дроби Алгоритм Гаусса с прямым и обратным ходом не позволяет строить цепные дроби размерности для каждой неизвестной и поэтому не предполагает приближений к x i Хотя возможно построение из алгоритма Гаусса иных алгоритмов вычисления неизвестных, дающих приближения к x i Рассмотрим второй случай, то есть случай расходящихся цепных дробей Подходящие дроби вплоть до P /Q не дают приближений к неизвестной x i, которая представляется цепной дробью Если x i не приближается цепными дробями, то из этого следует, что данная СЛАУ не может быть решена итерационным методом и для определения её значения следует использовать τ/φ алгоритм, который введен для определения значений расходящихся бесконечных цепных дробей Введем определение сходимости конечных цепных дробей по аналогии с тем, как было сделано для бесконечных цепных дробей: Конечная цепная дробь:
272 7 ГЛАВА 5 (58) сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное z = r e iφ, причём, модуль r и аргумент φ определяются формулами: m m П P Q r, m. i i i π m m = φ, где P m/q m значение m-й подходящей дроби m-число отрицательных подходящих дроби из совокупности, включающей m подходящих Если начиная с некоторого номера i все подходящие конечной цепной дроби имеют один и тот же знак, и притом, последовательность подходящих сходится к значению P /Q, то считаем, что цепная дробь имеет вещественное значение, равное значению последней подходящей дроби те значению P /Q Если подходящие конечной цепной дроби не стремятся к значению последней подходящей, причем, подходящие меняют свой знак, то конечная цепная дробь (58) приближенно имеет комплексное значение, где значения r и φ определяются формулами (58) и (584) Комплексное число, соответствующее значению расходящейся конечной цепной дроби (58), может быть установлено тем точнее, чем большее число звеньев имеет эта цепная дробь Любой точный или прямой метод решения СЛАУ можно сделать по структуре итерационным, точнее, с одинаковым числом отчетов для x i Число итераций связано с размерностью СЛАУ Метод цепных дробей это итерационный метод с отсчётами, так как на -й итерации метод обращается в точный метод Построить квазиитерационный метод из точного метода, например, из метода Гаусса, не тривиальная задача, допускающая не единственное решение Известны методы решения СЛАУ, которые допускают получение серии уточнений решений перед тем, как дать точные решения Например, методы сопряженных градиентов и ортогонализации, приводят к итерационным процессам, которые обрываются после шагов, давая точное решение Можно предположить, что существуют комплексные СЛАУ, когда во всех, так называемых, точных методах с фиксированным числом итераций не имеет места последовательного приближения к точному значению x i Отсутствие приближений в точных методах с фиксированным числом итераций признак того, что СЛАУ имеют фактически комплексные решения, устанавливаемые из приближений, или подходящих дробей, при помощи r/φ-алгоритма Следует повторить, что с высокой точностью комплексные корни СЛАУ с вещественными коэффициентами могут быть найдены, если СЛАУ достаточно большой разрядности На практике следует пользоваться точными методами с ограниченным числом итераций Дело в том, что используя прямые методы, в которых нет приближений к точному решению, например, методом Гаусса или методом прогонки, невозможно обнаружить не только приближения к x i, но что еще более важно, в таких прямых методах отсутствует возможность найти комплексные решения СЛАУ В этом слабость таких прямых методов и их бесперспективность, если речь идет о задачах, которые имеют комплексные решения Такие задачи практика выдвигает постоянно, но специалисты по прикладной математики эти задачи решить не в состоянии, ибо наталкиваются на расходящиеся разностные схемы, которые как раз связаны с умением разбираться с комплексными СЛАУ, те СЛАУ с вещественной матрицей, но имеющих комплексные ре z i r e (58) (584)
273 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 7 шения Поэтому прямые методы СЛАУ, которые не позволяют в процессе решения получать отчеты значений неизвестных, или уйдут из профессиональных вычислительных пакетов, или должны быть переработаны таким образом, чтобы получать текущие приближения x i или отчеты, без которых невозможно определить комплексные неизвестные Прямые методы решения СЛАУ, не дающих приближений или отчетов, такие как алгоритм Гаусса или прогонки, могут быть использованы при решении систем линейных алгебраических уравнений В [67] был предложен способ решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, который был назван как метод расширения Этот метод был описан в этой главе Сравним объём вычислений при нахождении комплексных решений СЛАУ достаточно большой размерностью, которой следует выполнить при использовании метода цепных дробей и алгоритма решения БСЛАУ, методом расширения, предполагающего многократные решения расходящихся СЛАУ одним из известных алгоритмов, например, алгоритмом Гаусса Предположим комплексная СЛАУ содержит уравнений Конечная цепная дробь, представляющая x i имеет звеньев Граф алгоритма Рутисхаузера при вычислении коэффициентов цепных дробей содержит вершин При вычислении одной вершины следует выполнить операции Следовательно, при определении конечной цепной дроби с звеньями надо выполнить арифметических операций Для нахождения цепных дробей для неизвестных следует выполнить операций К этим вычислительным затратам следует добавить операции, необходимые при выполнении итераций для исходной СЛАУ по методу Якоби Кроме того, необходимо выполнение операции вычитания для построения исходных рядов, которые по алгоритму Рутисхаузера преобразуются в соответствующие цепные дроби Особенность метода цепных дробей в сравнении с «методом расширения» при решения БСЛАУ состоит в том, что в «методе цепных дробей» определение комплексных значений неизвестных x i ведется непосредственно из системы размерности В методах «расширения» решаются подряд системы от размерности СЛАУ х до СЛАУ больших размерностей, так как для определения комплексного значения x i необходимо расширять систему с тем, что бы было достаточное число вещественных отсчетов x i для определения с приемлемой точностью комплексного значения x i Решением тестовых комплексных СЛАУ двумя описанными способами дают близкие результаты, однако метод цепных дробей существенно эффективней в смысле вычислительных затрат, нежели метод расширения Очевидно, нужны более детальные сравнительные исследования двух алгоритмов решения комплексных СЛАУ Суть предложенной концепции решения СЛАУ, как конечных, так и «бесконечных», состоит в анализе решений СЛАУ, точнее, отчетов или подходящих дробей с тем, чтобы установить, какова природа решений СЛАУ вещественная или комплексная Современный подход к решению СЛАУ не рассматривает анализ приближений решений, если не брать итерационные алгоритмы, где имеют место приближения В прямых методах приближениям особое внимание не уделяется, отмечается лишь, что в некоторых прямых методах решения СЛАУ, например, в методах сопряженных градиентов или в методе ортогонализации, можно наблюдать приближения, которые обрываются на -м шаге, давая точные решения Следует отметить, что не все прямые методы можно рассматривать как итерационные с конечным числом итераций Это замечание, например, относится к методу Гаусса или похожим алгоритмам Исходя из формул Крамера, можно независимо для каждой неизвестной x i построить конструкции, которые бы представляли неизвестные x i в виде непрерывных дробей Хессенберга, когда x i представляется отношением определителей от матриц Хессенберга порядка и - Эти непрерывные дроби дают приближений к x i, так как непрерывная дробь для каждой неизвестной x i имеет подходящих Такой алгоритм решения СЛАУ, который
274 7 ГЛАВА 5 назовем алгоритмом Хессенберга, имеет некоторое сходство с прямым ходом алгоритма Гаусса Но говорить, что алгоритм Хессенберга есть некотрая модификация метода Гаусса было бы большой натяжкой Алгоритм Хессенберга можно кратко записать следующим образом этап По формулам Крамера записываются отношения определителей для неизвестных системы AX=B (584) x, x,, x этап Преобразование формул Крамера в непрерывные дроби Хессенберга x i ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) (585) Отношение определительной (585) это непрерывная дробь Хессенберга Для определения числителей P знаменателей Q можно использовать линейные рекуррентные соотношения -го порядка Если система имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов, то используется метод прогонки Прогонка, также как и метод Гаусса, эффективный последовательный алгоритм решения СЛАУ, где нет приближений для неизвестной x i Рассмотрим алгоритм решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей, дающей приближение для x i этап Записывается решение СЛАУ с -х диагональной матрицей по формуле Крамера x, x,, x (586) этап Преобразование (586) к отношениям трехдиагональных определителей, которые эквивалентны обыкновенным цепным дробям: x i ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) 4 ( i) 44 ( i) 4 ( i) 44 (587) Формула (587) это запись обыкновенной цепной дроби через отношения трехдиагональных определителей и - порядков Формулы Крамера могут быть приведены к отношению определителей, аналогичных по структуре определитям Хессенберга, что приводит к «восходящим» непрерывным дробям
275 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 7 Прямые методы решения СЛАУ, описываемые формулами (585) и (586) есть ни что иное как запись решения СЛАУ непрерывными дробями Каждое неизвестное x i записывается непрерывной дробью Хессенберга или непрерывной дробью Якоби с звеньями, где -размерность СЛАУ Таким образом, прямые методы решения СЛАУ записаны непрерывными дробями Несмотря на то, что понятия сходимости и расходимости относятся к бесконечным непрерывным дробям, мы определим эти понятия и для конечных непрерывных дробей, беря эти термины в кавычки с тем, чтобы указывать, что рассматриваются конечные непрерывные дроби Конечная цепная дробь с звеньями (588) будет сходящейся, если последовательность значений подходящих сходится к значению цепной дроби P /Q Если последовательность значений подходящих P /Q, P /Q,, P m/q m не приближается к значению последней подходящей дроби P /Q разложения (578), то такую конечную цепную дробь будем называть расходящейся Для определения значений расходящихся конечных дробей, будем использовать несколько модифицированный r/φ-алгоритм, описываемый формулами (58) и (58) Таким образом, предполагается, что СЛАУ (584) с действительными коэффициентами может иметь как действительные решения, так и комплексные Следует заметить, что точные комплексные неизвестных x i могут быть установлены, если имеем дело с бесконечными СЛАУ, те если размерность СЛАУ неуклонно растет Если цепные дроби, представляющие x i, сходятся, то значение x i определяются значением последней подходящей дроби, причем значение в этом случае будет установлено точно, как то имеет место в прямых алгоритмах решения СЛАУ Итак, можно сделать некоторые выводы при решении СЛАУ с вещественными коэффициентами достаточно больших размерностей возможны как вещественные, так и комплексные решения СЛАУ; комплексные решения СЛАУ могут быть установлены из рассмотрения длинной последовательности подходящих дробей, или отчетов ; в вычислительной практике, должны использоваться алгоритмы решения СЛАУ, которые допускают получение приближений для каждой неизвестной x i; профессиональные пакеты решения СЛАУ должны разрабатываться из расчёта, что СЛАУ могут иметь как вещественные, так и комплексные решения Комплексные x i могут определяться двумя подходами В первом подходе рассматриваются значения подходящих расходящихся цепных дробей, фиксированной размерности, определяемой размерность решаемой СЛАУ Во втором методе x i устанавливается решением последовательно расширяющихся СЛАУ Очевидно, первый подход более экономичный, так как результат берётся из СЛАУ фиксированной размерности Повысить точность определения комплексных x i системы в методе фиксированной размерности СЛАУ можно увеличивая размерность решаемой СЛАУ 59 Построение сходящихся разностных схем при помощи r/φ алгоритма Если при измельчении сетки решение u (h) разностной краевой задачи L hu (h) = f (h) сходится к решению и дифференциальной краевой задачи Lu = f, то бесконечная система линейных алгебраических уравнений, к которой приводится дифференциальное уравнение при решении сеточным методом, является сходящаяся Другими словами, если дифференциальное уравнение при замене его разностным уравнением приводит к сходящейся БСЛАУ, то такая разностная схема сходится и дифференциальное уравнение может быть решено с любой точностью разностной схемой при измельчении сетки Таким образом,
276 74 ГЛАВА 5 есть классы дифференциальных уравнений, которые могут быть решены какой-либо разностной схемой, а есть дифференциальные уравнения, которые в принципе не могут быть решены непосредственно разностными схемами К расходящимся разностным уравнениям приводят исходные дифференциальные уравнения, которые имеют комплексные решения, и которые поэтому не могут быть решены классическими приемами теории разностных схем, сводящими исходную задачу к БСЛАУ с действительными коэффициентами Если какая либо разностная схема, которая строится по исходному дифференциальному уравнению, приводит к расходящимся БСЛАУ, то бесполезно менять разностные схемы для этого дифференциального уравнения в надежде найти сходящуюся разностную схему Виновата в расходимости не разностная схема, а исходное дифференциальное уравнение, имеющее решение, лежащее в комплексной плоскости Ситуация в разностных схемах напоминает ситуацию с формулами Эйткена [68] Все комплексные или действительные корни уравнения п-го порядка с действительными коэффициентами можно записать отношениями определителей матриц Теплица, причем, элементы определителей действительные числа, то есть коэффициенты исходного алгебраического уравнения -го порядка БСЛАУ, которые порождаются разностными схемами, это аналог формул Эйткена Чтобы найти комплексные корни БСЛАУ, элементы которой действительные числа, надо использовать, как и в случае формул Эйткена, r/ - алгоритм В [] отмечается, что обладание свойством сходимости - фундаментальное требование, которое предъявляется к разностной схеме Lhu (h) = f (h) (59) при численном решении дифференциальной краевой задачи Lu = f Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы (59) можно найти решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого h достаточно малым Далее в [] следует фраза: Точно сформулировав понятие сходимости, мы подошли к центральному вопросу, как построить сходящуюся разностную схему для вычисления решения дифференциальной краевой задачи Постановка вопроса, по-видимому, не совсем точна: нельзя построить сходящуюся в классическом смысле разностную схему, если дифференциальное уравнение не допускает такого по своей природе Аналогично, если полином имеет комплексные корни, то нельзя предложить сходящиеся формулы Эйткена, если при этом не использовать r/ - алгоритм В [] доказывается теорема о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной И далее отмечается: В этой теореме содержится указания на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения дифференциальных краевых задач: надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые Здесь также можно добавить, что построение сходящейся в классическом смысле разностной схемы определяется не искусством программиста, а исходным дифференциальным уравнением Обращает внимание то обстоятельство, что в литературе не обсуждается вопрос о природе самой расходимости разностных схем Чем обуславливается возникновение расходящихся разностных схем? Формулы Крамера - это аналог формул Эйткена, которые используются для определения нулей полинома через его коэффициенты Будем рассматривать формулы Крамера для бесконечных систем алгебраических уравнений Для разностных схем при исследовании аппроксимации и сходимости рассматриваются именно БСЛАУ, так как при h такие системы возникают автоматически Уже отмечалось, что формулы Эйткена, как и формулы Крамера, в случае действительных коэффициентов, не могут дать комплексных корней непосредственно Для этого надо использовать r/ - алгоритм Наличие у полинома комплексных корней известно, по крайней мере, со времен Кардано Тот факт, что бесконечные СЛАУ с действительными элементами могут иметь комплексные корни, был обнаружен, по-видимому, недавно [67] Впервые это было установлено для БСЛАУ с трехдиагональной матрицей
277 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 75 Выше было показано, что расходящиеся в классическом смысле разностные схемы можно зачастую перевести в разряд сходящихся, если при решении расходящихся бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, порождаемых расходящимися разностными схемами, использовать r/ - алгоритм Поэтому предлагается иное, отличное от традиционного, определение сходимости разностных схем: Будем говорить, что решение u (h) разностной краевой задачи Lhu (h) = f (h) при измельчении сетки сходится к решению и дифференциальной краевой задачи Lu = f, если h u u, при h, h U h (h) причем, каждая компонента u i (i =,, ) находится из решений при помощи r/ - алгоритма расширяющихся СЛАУ,, порождаемых используемой разностной (h) (h) схемой Компонента u i (i =,, ) имеет в общем случае комплексное значение u i = r ie iφ i, если существуют пределы m ( m) r m i lim иi, i. (59) m i ( m ) i i lim, (59) m m где значение вещественной неизвестной, полученное из решения стандартным алгоритмом СЛАУ фиксированной размерности m, число отрицательных значений, полученных стандартным алгоритмом решения СЛАУ из общего количества m значений, найденных из расширяющейся (m) u i (m) i системы Аналогично введем определение аппроксимации разностной схемы Разностная задача Lhu (h) = f (h) аппроксимирует задачу Lu = f на решении и, если в равенстве x i u i Lh[и]h = f (h) + δf (h) невязка δf (h), возникающая при подстановке [и] h в разностную краевую задачу L hu (h) =f (h), стремится к нулю при h : ( h) x i ( h) u f f L, (h) u i F h h h F h причем, каждая компонента (i =,, ) находится при помощи r/ - алгоритма из решений расширяющихся СЛАУ, m, порождаемых используемой разностной схемой (h) (h) Компонента u i (i =,, ) имеет в общем случае комплексное значение u i = r ie iφ i, если существуют пределы (59) и (59) Будем рассматривать расширяющиеся СЛАУ, то есть системы уравнений, размерность которых неограниченно возрастает Решениями таких расширяющихся систем могут быть как вещественные, так и комплексные величины [67] Чтобы найти комплексные решения СЛАУ, надо получить большое число подходящих, то есть решений h u i, расширяющихся СЛАУ Решения h u i, этих расширяющихся, но всякий раз фиксированной размерности СЛАУ, могут находиться известными прямыми методами за конечное число арифметических операций, например, с использованием алгоритма
278 76 ГЛАВА 5 прогонки в случае СЛАУ с трехдиагональной матрицей Если получим из расширяющейся СЛАУ при помощи r/ - алгоритма п первых комплексных неизвестных системы, то эти неизвестные будут с некоторой погрешностью, в зависимости от размерности расширяющейся СЛАУ, удовлетворять конечной системе линейных алгебраических уравнений, включающей первые п уравнений расширяющейся системы Как и в случае нахождения комплексных нулей полинома, если комплексные неизвестные СЛАУ имеют аргумент кратный π, число арифметических операций для нахождения таких неизвестных будет фиксированным, как фиксированным будет и число различных по значениям комплексных неизвестных таких СЛАУ В [67] приведены СЛАУ, имеющие периодические комплексные решения При расходящихся СЛАУ добавление лишь одного узла в цифровую сетку может привести к совершенно новому набору решений И еще об одном аспекте решения расходящихся бесконечных СЛАУ При решении систем линейных алгебраических уравнений Ax = f, где А матрица т х т, х = (х, х,, х т ) Т искомый вектор, f = (f, f,, f m) T заданный вектор, предполагается, что определитель матрицы А отличен от нуля, так что решение существует и единственно Необходимо отметить, что если значение x т комплексная величина, причем, аргумент комплексного корня r ie iφ i кратен числу π, то есть, то определители матриц таких систем с периодичностью при расширении исходной системы будут принимать нулевые, а также экстремальные значения (± ) Ультрапериодические непрерывные дроби, подходящие которых периодически принимают экстремальные значения (, ± ) подробно рассматривались в публикациях [54, 55] Так что хрестоматийное требование: определитель матрицы А отличен от нуля - не имеет места при решении расходящихся бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Если в дифференциальном уравнении производные заменяются разностными аналогами и затем измельчается шаг сетки, то нередки случаи, когда сходимости не наблюдаются Уже отмечалось, что решения бесконечных систем могут быть комплексными, хотя известные методы решения СЛАУ не улавливают комплексность, когда та прячется в СЛАУ с действительными элементами, между тем как r - алгоритм устанавливает комплексные корни БСЛАУ, если они имеются Когда производные заменяем известными разностными формулами, то переходим через разностные схемы к СЛАУ с действительными коэффициентами, откуда комплексные корни без спецсредств уже не извлечь В уже ставшем классическим учебнике по численным методам [] авторы пишут: Можно ли вообще путем измельчения сетки получить методом сеток приближенное решение, сколь угодно близкое к точному решению? Естественно, что интерес могут представлять только такие разностные схемы, с помощью которых можно получить приближенное решение, достаточно близкое к точному, это так называемые сходящиеся разностные схемы Разностная схема называется сходящейся при заданном способе стремления h к нулю, если решения системы разностных уравнений стремятся при этом к точному решению задачи для дифференциального уравнения На рис 548 показана схема решения задач математической физики методом конечных разностей с использованием r/φ-алгоритма Немного о терминологии Термин расширяющиеся системы линейных алгебраических уравнений встречается в литературе С термином расширяющиеся СЛАУ связаны выражения: измельчение шагов сетки, неограниченно сгущенные сетки, бесконечное дробление сетки и другие подобные словосочетания [] Как отмечалось в [], к решению систем линейных алгебраических уравнений сводится подавляющее большинство задач вычислительной математики Об этом же писал и академик ГИ Марчук []: Предмет вычислительной математики, как правило, связан с методами сведения задач к системам алгебраических уравнений и их по- i / п
279 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 77 следующему решению То есть, по мнению академика, вычислительная математика покоится на СЛАУ Поэтому исследования бесконечных систем линейных алгебраическим уравнениям нам представляются особенно актуальными Исходная задача Разностная схема Сходящаяся разностная схема Расходящаяся разностная схема Сходящаяся бесконечная СЛАУ Расходящаяся бесконечная СЛАУ Решение БСЛАУ стандартным алгоритмом Решение БСЛАУ стандартным методом Определение неизвестных х i при помощи - алгоритма Рис 548 Схема решения задач математической физики с использованием r/φ-алгоритма Возникает вопрос: как трактовать комплексные решения БСЛАУ? Некоторые подходы к решению проблемы даёт сам r/φ-алгоритм, то есть формулы (59) и (59) Как уже отмечалось, r/φ-алгоритм устанавливает комплексное число из наблюдений длинной серии отсчетов, описываемых вещественными числами Комплексные решения это параметры периодического процесса, описываемого расходящейся в классическом смысле разностной схемой Аргумент φ - характеризует скорость протекания этого периодического процесса Так что решения периодической задачи на самом деле описываются вещественными параметрами r и φ Поэтому, видимо, следует брать словосочетание комплексные решения в кавычки Можно сказать, что высшая математика отличается от элементарной тем, что в элементарной математике результаты приводятся в конечном виде, в то время как в высшей математике вводится переменная величина, то есть движение Движение дает возможность вести наблюдения, получать отсчеты Наблюдения, то есть отсчеты, порой показывают, что вычислительный процесс не сходится, другими словами, нет никакого результата в классическом понимании сходимости Если отсчеты берутся как значения серии подходящих непрерывных дробей той или иной структуры, то расходящиеся в классическом смысле непрерывные дроби могут быть просуммированы, то есть установлены значения выражений, из которых проистекают эти непрерывные дроби Использование r/φ-алгоритма позволяет из отсчетов установить с любой точностью комплексное значение выражения, порождающего эти отсчеты Это в концепции тройственности АЗ Никипорца эллиптический случай Расходящиеся непрерывные дроби Стилтьеса, подходящие дроби которых колеблются в конечных пределах, а точнее, четные и нечетные подходящие которых стремятся к различным пределам, связаны с гиперболическим случаем Обыкновенные непрерывные дроби имеют линейный граф Ветвящиеся непрерывные дроби, описываются графом типа дерева Такие расходящиеся в классическом смысле ветвящеся непрерывные дроби могут иметь множество локальных пределов
280 78 ГЛАВА 5 Явления природы столь разнообразны и затейливы, что можно полагать, что вещественные отсчеты при их расшифровке могут свидетельствовать не только о комплексных числах, то и о числах с иными свойствами дроби 5 БСЛАУ с периодическими решениями Приведем сводку периодических в смысле значений подходящих цепных дробей i i x cos x, x e, x e Комплексный корень представляется цепной дробью e i cos cos cos cos Подходящие дроби разложения определяются формулой P Q si( ). si При различных значениях аргумента имеют место ультрапериодические цепные i i x cos x, x e, x e P Q e i i si( ). (. ) si i i x cos x, x e, x e P Q e i si( ). si (. ) i 4 i 4 x cos x, x e, x e 4 i 4 e P Q si( ) 4. si 4 (. ) i 5 i 5 4 x cos x, x e, x e 5
281 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 79 5 e i P Q si( ) 5. si 5 5 5. i i 6 5 x cos x, x e, x e 6 e i 5 P Q si( ) 6. si 6. 5 5 i i 6 x cos x, x e, x e 5 e i5 P Q si( ) 5. si 5 i i 5 7 x cos x, x e, x e 5 5 e i P si( ) 5. Q si 5 i i 8 x cos x, x e, x e
282 8 ГЛАВА e i P si( ). Q si i i 9 x cos x, x e, x e e i P Q si( ). si Таким образом, комплексные цепные дроби, то есть цепные дроби, имеющие своими значениями комплексные числа, могут быть периодическими в смысле величин подходящих дробей Для этого цепная дробь должна представлять комплексный корень квадратного уравнения, аргумент которого определяется соотношением s, где s - рациональное число Рассмотрим предельные случаи i i а), x x, x e, x e e i P Q si( ). si i, б) x x, x e, x e i e i ( ) ( ) ( ) ( ) P Q si( ). si 4. Пример Рассмотрим БСЛАУ, диагональные элементы которой близки к значению, то есть к значению cos π 4
283 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 8,44,44,44,44,44,44 x x x x4 x5 x 6 Ранее рассматривалась цепная дробь / 4 e (5) Цепная дроби (5) это, так называемая, ультрапериодическая цепная дробь, у которой значения подходящих дробей повторяются: (. ) БСЛАУ (5) имеет восемь значений решений, которые также периодически повторяются: x = μ, x = μ, x = μ, x 4 = μ 4, x 5 = μ 5, x 6 = μ 6, x 7 = μ 7, x 8 = μ 8 x 9 = μ, x = μ, x = μ, x = μ 4, x = μ 5, x 4 = μ 6, x 5 = μ 7, x 6 = μ 8 В табл 549 приведены значения периодически повторяющихся решений системы (5) Значения периодических решений системы (5) Таблица 549 x i Координата x Координата y x i Координата x Координата y 5,457646E-,79496E- 8, E- -, E-,967956E- -,947648E- 4,996799E-,9667E- 8, E-, E- 5 4, E- -,6584E- 4 5,855887E-,E+ 6 4, E-9 -, E-5 5 8, E- -, E- 7 4, E-, E- 6, E-, E- 8, E- -,945777E- 7 4, E- -, E- 9 8, E-,698645E- 8, E-9-5,89896E-6 5, E-,E+ 9 4, E-, E- 8, E- -, E-, E- -, E-,984779E-, E- (5) 8, E-, E- 4, E- -,664465E- 5, E-,E+ 4 6, E-9 -, E-5 На рис 549 и 55 показаны периодические решения БСЛАУ (5) и (5),,9 -, -,9 Рис 549 Решения системы (5) Рис 55 Решения системы (5)
284 8 ГЛАВА 5 Пример Рассмотрим БСЛАУ, диагональные элементы которой близки к значеню, то есть к значению cos π 6,75,75,75,75,75,75 Имеет место цепная дробь х х х х4 х5 х 6 /6 e (54) Цепная дробь (54) имеет периодически повторяющиеся значения подходящих дробей: (. ) БСЛАУ (5) имеет всего различныз решений, которые периодически повторяются: x = x, x = x 4, x = x 5,, x = x 4 В табл 55 приведены значения периодически повторяющихся решений системы (5) хm Абсцисса Значения периодических решений системы (5) Ордината хm Абсцисса Таблица 55 Ордината 5, E-,968874E- 7, E-,87586E-,48949E- -,4999E- 8 5,478897E-,E+, E-, E- 9, E- -, E- 4 4,96647E- -, E- 4,789E-,4464E- 5, E-, E-, E- -, E- 6 5, E-,E+, E-,578858E- 7, E- -,876674E- 4,995776E- -,545798E- 8 4,747599E-,74547E- 4, E-9-5,854475E-6 9, E- -, E- 5 4, E-, E-, E-, E- 6, E- -,57498E- 4, E- -,6855E- 7, E-,67869E- 9,977448E- -, E-6 8 4,49E- -, E- 4, E-, E- 9, E-, E- 4, E- -, E- 5,497464E-,E+ 5, E-, E-, E- -,564487E- 6 4, E- -, E- 4, E-,5487E- Пример Рассмотрим БСЛАУ, диагональные элементы которой близки к ( + ), то есть к значению cos π (5)
285 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 8,985 x,985 x,985 x,985 x4 (55),985 x5,985 x 6 Можно записать цепную дробь: eiπ = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (56) Ультрапериодическая цепная дробь (56) имеет период 4, то есть x = x 5, x = x 6, x = x 7,, x = x 48 В табл 55 приведены координаты периодических (Т=4) х m решений системы (55) хm Значения периодических решений системы (55) Абсцисса Ордината хm Абсцисса Таблица 55 Ордината 5,684574E- 6,69887E- 7, E- -, E-, E- -,74565E- 8, E-, E- 4, E-, E- 9,98696E- -, E- 4, E- -,548966E-, E-, E- 5, E-, E- 4, E- -, E- 6, E- -, E-, E-,7895E- 7, E-, E- 5,55456E- -6, E- 8,89589E- -,5668E- 4 7, E-9 -, E-5 9 7, E-, E- 5 4, E- 6,594664E- 4, E- -,784595E- 6,47579E- -, E- 8, E- 6, E- 7 4, E-, E- 5,868865E-,E+ 8, E- -,555564E- 8,659566E- -6, E- 9,54E-, E- 4 4, E-, E-, E- -, E- 5 7, E- -, E-, E-, E- 6, E-,7978E-, E- -,779544E- Из табл 55, в которой даны координаты на комплексной плоскости решений х m БСЛАУ (55), видно, что решения периодически повторяются: x x 5, x x 6, x x 7, x 4 x 8, x 5 x 9, x 6 x, x 7 x, x 8 x На рис 55 показаны периодические решения БСЛАУ (55),8 -,8 Рис 55 Расположение решений системы (55) на плоскости
286 84 ГЛАВА 5 Пример 4 Рассмотрим БСЛАУ, диагональные элементы которой близки к, то есть к значению cos π, х, х, х, х4 (57), х 5, х6 Имеет место цепная дробь: / e (58) Подходящие дроби ультрапериодической цепной дроби (58): (. ) В табл 55 приведены координаты периодических решений x системы (57) Значения периодических решений системы (57) Таблица 55 x i Координата x Координата y x i Координата x Координата y 4,496787E-, E- 4,5599E-, E- 4,868765E- -, E- 4 4, E- -, E- -, E-5-5, E-4 5 -, E-4 -, E- 4 4, E-, E- 6 4,58464E-, E- 5 4, E- -, E- 7 4, E- -,4994E- 6-6,4999E-5 -,745655E- 8 -, E-4 -, E- 7 4,56664E-, E- 9 4, E-, E- 8 4, E- -, E- 4,7856E- -,466894E- 9-9,776868E-5 -,649688E- -, E-4 -,766896E- 4, E-, E- 4,558444E-, E- 4, E- -, E- 4, E- -,48984E- -, E-4 -, E- 4 -,87456E-4-4,5847E- На рис 55 и рис 55 показано расположение решений системы (57),65,65 -,65 -,65 Рис 55 Расположение x-x9 системы (57) Рис 55 Расположение x-x9 системы (57)
287 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 85 Из рис 55 и 55 видно, что координаты x i несколько разъезжаются Трансформация координат x i с ростом номера неизвестных наблюдается и из табл 55 Это объясняется тем, что решалась не СЛАУ вида x x x =, (59) x 4 x 5 а близкая СЛАУ (57) Чем более диагональные элементы отличаются от эталона, то есть от, тем более сбивается периодичность в решении СЛАУ, как то хорошо видно из рис 554 Пример 5, х,, х,, х,, х4 (5),, х 5, х6 На рис 554 показано расположение на комплексной плоскости первых 8 x i системы (5),6 -,6 Рис 554 Расположение решений системы (5) Пример 6 Рассмотрим БСЛАУ, диагональные элементы которой близки к нулю:, х,, х,, х,, х4, (56), х 5,, х6, Имеет место цепная дробь: i / e i, (56) Подходящие дроби периодически повторяются:
288 86 ГЛАВА 5 (. ) На рис 555 и рис 556 показаны расположения на комплексной плоскости решений системы (56) и (56),5,54 -,5 Рис 555 Расположение xi системы (56) Рис 556 Расположение xi системы (56) Пример 7 Рассмотрим БСЛАУ (56), диагональные элементы которой ещё более отличны от нуля:, х, х, х, х4 (56), х 5, х6 Как видно из рис 555 и рис 556, решения систем (56) и (56), движутся по окружности, причём, скорость смещения тем выше, чем более диагональные элементы отличны от нуля Этот же феномен переход от периодических решений к непериодическим характерен для всех рассмотренных выше СЛАУ с периодическими решениями Пример 8 Рассмотрим ещё один предельный случай БСЛАУ, диагональные элементы которой равны : x x x x4 (564) x 5 x6 Из цепной дроби Никипорца e iφ = cos φ -,54 cos φ cos φ cos φ при φ = имеем цепную дробь, значение которой равно : e i = = Подходящие цепной дроби (565) записываются следующим образом: (565)
289 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 87 P = +, =,, Q На рис 557 показано расположение решений системы (565),6 -,6 Рис 557 Расположение решений системы (565) на плоскости Пример 9 Рассмотрим СЛАУ, элементы которой несколько меньше :,9999 x,9999 x,9999 x,9999 x4,9999 x 5,9999 x6 На рис 558 (а, б) показано расположение на комплексной плоскости, соответственно, значений x i (i = 56) и значений x i (i = 4) Из графиков видно, что все x i БСЛАУ (566) распологаются на окружности некоторого диаметра,8,8 а) б) (566) -,8 -,8 Рис 558 Расположение решений системы (566) 5 Решение БСЛАУ классов A, B и C Особенность решений классов A, B и C состоит в том, что значения x i этих систем не может сходиться к некоторым пределам, ибо коэффициенты правой части непрерывно возрастают, что влечёт неограниченный рост значений x i с увеличение размерности системы
290 88 ГЛАВА 5 Пример,99 х,99 х,99 х,99 х4 4 (5),99 х 5 5,99 х6 6 На рис 559 показаны вещественные значения x i, полученные при решении системы (5) увеличивающейся размерности x () : 4,4E+,E+ -4,4E Рис 559 Значения подходящих дробей для x системы (5) В табл 55 и 554 показаны результаты определения модуля r и аргумента φ для x и x системы (5) Таблица 55 Результаты определения модуля и аргумента x системы (5) Размерность системы, Значение x по методу прогонки Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ 5,55684E , E- 4,879E-, E+ 5, E- 9,56446E-, E+ 4 -,99956E- 5, E-, E+ 7 5, E- 9, E-, E+ 8 -, E- 8,87977E-, E+ 5 6,565E-,977886E-, E+ 6 -,785996E-, E-, E+ -, E+ 4, E-, E+ 5, E+ 4, E-, E+, E+, E+, E+ 4 -,88944E+, E+, E+ 47-8,855766E+,766577E+, E+ 48 7,59468E+, E+,585E+ 495,55846E+ 7, E+, E , E+ 7, E+, E+ Таблица 554 Результаты определения модуля и аргумента x системы (5) Размерность системы, Значение x по методу прогонки Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ, e ,5648E-,56567E- -, E+ 4, E+, E- -, E+ 7-5, E-, E- -, E+ 8,798996E+, E- -, E+ 5 -, E-, E- -, E+ 6, E+, E- -, E+
291 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 89 Окончание табл 554, E+ 9, E- -, E+ -9,868786E+,48785E+ -, E+ -5,688587E+,76574E+ -, E+ 4 5, E+,775697E+ -, E+ 47, E+ 7,57897E+ -, E+ 48 -,444558E+ 7,5486E+ -, E , E+, E+ -,578967E+ 496, E+, E+ -, E+ На рис 56 и 564 показаны графики значений модуля модуля r и аргумента φ для x системы (5), полученные r/φ-алгоритмом r () : 8,8E+,E () Рис 56 Значения r для x φ () :,7E+,E Рис 564 Значения φ для x В табл 555 приведены результаты проверки найденных при помощи r/φ-алгоритма комплексных x i Значения невязок, приведённые в 4-й колонке таблиц 555 свидетельствуют о том, что при решении систем классов A, B и C необходима дополнительная корректировка x i, полученных r/φ-алгоритмом Результаты проверки решений системы (5) Таблица 555 Значение правой части Значение левой части системы Абсолютная погрешность строки, системы 5, E- - i,66669e-,e+ -9, E- - i,66669e-, e- + i, e-,e+ -, E+ + i, e- 4,56578E- + i,65948e- 4,E+ -, E+ + i,65948e- 8 4, E- + i, e- 8,E+ -7,588654E+ + i, e- 6 5, E- - i,696e-,6e+ -,549674E+ - i,696e-, e+ - i,66684e+,e+ -,67596E+ - i,66684e+ 64 4, E+ - i6,57599e- 6,4E+ -,699E+ - i6,57599e- 8 6, E+ + i8, e-,8e+ -5, E+ + i8, e- 56 8, E+ + i, e+,56e+ -, E+ + i, e+ 5 4, E+ - i, e+ 5,E+ -4, E+ - i, e+ 4, E+ - i, e+,4e+ -,764668E+ - i, e+ 48 8, E+ - i, e-,48e+ -,968884E+ - i, e- В табл 556 приведены значения модулей и аргументов комплексных x i системы (5), полученные непосредственнно r/φ-алгоритмом при решении расширяющихся СЛАУ (5) В табл 557 даны значения модулей и аргументов x i системы (5), полученные алгоритмом перебора с целью минимизации невязки
292 9 ГЛАВА 5 x, Значения комплексных x i Модуль комплексного числа, r Таблица 556 Аргумент комплексного числа, φ, e+, e+,5845e+ -, E+,895595E+ -, E+ 4, E+, E+ 7, E+ -, E+ 8, E+, E+ 5, E+, E+ 6,4545E+, E+ Таблица 557 Значения откорректированных x i x кон, Модуль Комплексного числа, r Аргумент к омплексного числа, φ, e+, e+, e+ -, E+, E+ -,56776E+ 4,99668E+, E+ 7,485484E+ -, E+ 8,476764E+, E+ 5, E+, E+ 6, E+, E+ 5, E+,54445E+ 5, E+ -, E+, E+,666E- 4 4, E+, E+ 47 4, E+, E+ 48, E+ -6, E- 5, E+, E+ 5, E+ -,89489E+, E+, E- 4,44465E+, E+ 47 4, E+ 7, E- 48,559446E+ -5,799966E- На рис 565 показано расположение в комплексной плоскости x i полученных непосредственно из решения расширяющихся систем (5) На рис 566 показаны x i, значения которых установлены после коррекции алгоритмом перебора Рис 565 Расположение x i без коррекции Рис 566 Расположение x i после коррекции Нельзя не отметить сетку довольно сложной структуры, которая изображена на рис 566 Расположение x i на этой сетке обеспечивает комплексную невязку чрезвычайной малости Сравнивая значения x i приведённые в табл 556 и 557 можно заметить, что откорректированные значения модулей и аргументов комплексных x i незначительно отличаются от исходных значений x i Тем не менее, использование уточнённых значений x i даёт, как свидетельствует табл 558, даёт чрезвычайно малые невязки, то есть чрезвычайно высокую точность решения комплексной системы В табл 558 приведены результаты проверки решений системы (5) после уточнения комплексных корней Невязки, как по вещественной, так и по мнимой части представляют величины порядка 4
293 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 9 Результаты проверки решений системы (5) Таблица 558 Значение левой Значение правой строки, части системы части системы Абсолютная погрешность,e+ + i, e-,e+,657665e-4 + i, e-,e+ - i, e-,e+,685575e- - i, e-,e+ - i,599547e-,e+, e- - i,599547e- 4,E+ - i8, e-4,e+ -, E- - i8, e-4 7,6E+ + i, e-,6e+, e- + i, e- 8,7E+ + i, e-4,7e+ 6,4656E-5 + i, e-4 5,4E+ - i, e-,4e+,84646e- - i, e- 6,5E+ - i, e-,5e+ -, E- - i, e- 5 5,E+ - i, e- 5,E+ -4, E- - i, e- 5 5,E+ + i, e- 5,E+, E- + i, e-,e+ - i, e-,e+ 4, E-4 - i, e- 4,E+ + i,644e-,e+ -8, E-4 + i,644e- 47,56E+ + i, e-,56e+ -, E- + i, e- 48,57E+ + i,565688e-,57e+ -,96556E- + i,565688e- Пример Система класса B, х,, х. х. 4 х4, (5),4,5 х 5,4,5 х6, 5 Система (5) относится к СЛАУ типа Bб, когда растут элементы матрицы и элементы правой части системы Ранее уже отмечалось, что именно рост элементов правой части не позволяет найти решения подобных БСЛАУ, так как решение x i не стремится к пределам с ростом размерности системы Тем не менее, использование r/-алгоритма позволяет находить не «мгновенное», а «истинные» решения таких СЛАУ На рис 567 показаны значения подходящих дробей для определения значения х системы (5) Из рисунка можно сделать заключение, что аргумент комплексного x близок к на / x () :,7E+,E+ -,7E Рис 567 Значения подходящих дробей для x В таблице 559 приведены результаты определения модуля и аргумента x системы (5)
294 9 ГЛАВА 5 Таблица 559 Результаты определения модуля и аргумента x системы (5) Размерность системы, Значение x по методу прогонки Модуль комплексного числа, r Аргумент комплексного числа, φ,e ,E+,E+,E+ 9, E-4 9, E-,E+ 4, E+, E-,E+ 7,855E+, E-,E+ 8 6, E-, E-,E+ 5, E-,799797E-,E+ 6,58666E+,89849E-,E+,66994E+, E-,E+ 5,75596E-, E-,E+ -6, E+ 5, E- 7, E- 4 9, E- 5, E- 7, E- 47 -, E- 6, E-,9676E+ 48, E+ 6, E-,548467E , E- 9, E-,47649E+ 496, E+ 9,554994E-, E+ На рис 56 и рис 564 показано соответственно, расположение комплексных решений системы (5) полученных при помощи r/-алгоритма без коррекции коэффициент x i и с коррекцией коэффициент алгоритма минимизации невязки решений,, -, -, Рис 568 Расположение x i без коррекции Рис 569 Расположение x i после коррекции В табл 56 приведены результаты проверки решений системы (5) при помощи r/-алгоритма Результаты проверки решений системы (5) Таблица 56 Значение левой Значение правой Погрешность строки, части системы части системы 4,44766E- - i9, e-,e+ -5, E- - i9, e- 4,47554E- - i5, e-,e+ -5, E- - i5, e- 4 4, E- - i, e-,e+ -5,97644E- - i, e- 8 4,676495E- - i, e-,7e+ -6, E- - i, e- 6 4, E- + i4,8696e-,5e+ -6,749486E- + i4,8696e- 4,584569E- + i9, e-,e+ -5, E- + i9, e- 64 7,67574E- - i4, e-,6e+ -, E- - i4, e- 8 4, E- + i6, e-,7e+ -7, E- + i6, e- 56 8, E- + i6,67698e-,55e+ -4,84587E- + i6,67698e- 5 5, E- + i, e-,5e+ -9, E- + i, e- 4 6,86697E- + i, e-,e+ -, E+ + i, e- 48, E+ + i6, e-,47e+ -4, E- + i6, e-
295 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 9 Пример Рассмотрим БСЛАУ класса Cв 5,96 х 5,96 5,95 х, 5,95 5,94 х, 5,94 5,9 х4, (5) 5,9 5,9 х 5,4 5,9 х6, 5 На рис 57 показаны значения x, полученные методом прогонки при решении расширяющейся системы (5) x () : 4,74E+,E+ -4,74E Рис 57 Значения x расширяющейся системы (5) В табл 56 приведены значения модуля и аргумента комплексного x системы (5), установленные r/φ-алгоритмом из вещественных значений x полученных прогонкой при решении расширяющихся СЛАУ (5) Из третьей колонки табл 56 следует, что значения r с увеличением размерности системы также растёт, что естественно, так как с ростом размерности системы увеличиваются коэффициенты правой части системы, что сказывается на структуре цепной дроби, определяющей значения x Уже отмечалось, что алгоритм прогонки эквивалентен представлению неизвестной трёхдиагональной системы цепной дроби, коэффициенты которой по определённым формулам находятся из коэффициентов матрицы СЛАУ и коэффициентов её правой части Если мы предположим, что значения x i, полученные прогонкой при решении расширяющейся СЛАУ, есть подходящие некоторой цепной дроби, то можно говорить, что такая гипотетическая цепная дробь является расходящейся, ибо нет предела значений подходящих дробей P Q при Таблица 56 Определение значения r и φ комплексного x системы (5) Размерность системы, Значение x по методу прогонки Модуль комплексного числа, r,e , E- 4,578584E-,E+ 7, E-, E-,E+ 4-5,765875E-,679956E- 7, E- 7 6,64E-, E- 4, E- 8 -, E-, E- 7, E- 5 7,494949E-,77474E- 6,88578E- 6,85E+, E- 5, E-,497987E+,598957E- 6,85974E-, E-, E- 5, E- Аргумент комплексного числа, φ
296 94 ГЛАВА 5 Окончание табл 56, E-, E-, E+ 4-8,688756E-, E-,959854E+ 47 -,6944E+, E-,494664E+ 48 -, E-, E-, E , E- 5, E-,496644E , E+ 5,9945E-, E+ Несмотря на то, что неизвестные x i в системах, в которых коэффициенты правой части увеличиваются с ростом размерности системы, не стремятся к пределам, вещественным или комплексным, тем не менее, используя r/φ-алгоритм мы можем говорить, что мы находим комплексные решения расширяющихся СЛАУ, которые не могут быть установлены традиционными методами Такие комплексные решения слабо зависят от изменения размерности СЛАУ и могут описывать реальную физическую задачу, для которой составляется математическая модель, приводящая к комплексным решениям Таким образом, следует различать решения бесконечных СЛАУ и решение расширяющихся СЛАУ Под расширяющимися СЛАУ будем понимать СЛАУ, размерность которых увеличивается, всякий раз оставаясь конечной Для некоторых классов БСЛАУ, прежде всего для БСЛАУ с ограниченной правой частью, мы можем получать предельные решения, то есть решения, действительные или комплексные для СЛАУ размерности, при Для расширяющихся СЛАУ мы не имеем возможности получить предельные решения, так как решения изменяются с ростом размерности СЛАУ, однако мы можем решать наборы таких расширяющихся СЛАУ и по решениям этих СЛАУ различной размерности, устанавливать истинные решения таких СЛАУ Эти истинные решения могут быть как вещественными, так и комплексными Под истинными решениями понимаются решения, адекватные физической модели Основной признак истинных решений слабая зависимость решений от размерности СЛАУ Комплексные решения СЛАУ до сих пор ускользали из поля зрения специалистов, занимающихся линейной алгеброй и численными методами В табл 56 приведены результаты проверки решения системы (5) при помощи r/φ-алгоритма строки, Результаты проверки решений системы (5) Значение левой части системы Значение правой части системы Таблица 56 Погрешность 8, E- + i, e-,e+ -,8686E- + i, e-, e- - i4, e-,e+ -6,787E- - i4, e- 4, E- - i, e-,e+ -6,777567E- - i, e- 8 5, E- - i, e-,7e+ -4,889759E- - i, e- 6 9, E- + i6, e-,5e+ -,56476E- + i6, e-, e- - i,469449e-,e+ -6,44945E- - i,469449e- 64, E- - i, e-,6e+ -7, E- - i, e- 8, E- - i, e-,7e+ -8, E- - i, e- 56 4,899697E- - i,4469e-,55e+ -7,748998E- - i,4469e- 5, E- + i,554557e-,5e+ -,45679E+ + i,554557e- 4 6, E- + i4,586874e-,e+ -, E+ + i4,586874e- 48 4, E- - i, e-,47e+ -, E+ - i, e- Из четвёртой колонки табл 56 следует, что установленные нопосредственно r/φалгоритмом комплексные решения системы (5) приводят к значительным невязкам, то есть погрешностям По алгоритму перебора были найдены такие значения комплексных x i системы (5), подстановка которых давала минимальную невязку В табл
297 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ и 564, приведены координаты на комплексной плоскости значений x i системы (5) до и после «коррекции» Таблица 56 Координаты x i системы (5) (до коррекции) Таблица 564 Координаты x i системы (5) (после коррекции) Модуль Аргумент комплексного комплексного x, числа, r числа, φ 4, E-, E+,79968E- -,69946E- 4, E- -, E+ 4, E-, E+ 7, E- -, E+ 8, E-, E+ 5 4, E- -, E+ 6 4,495979E-, E+ 4, E-, E+, E- -, E-, E- -9, E- 4,975974E- -, E+ 47 7,47556E- -, E+ 48, E-,E+ Модуль Аргумент к Комплексного омплексного x кон, числа, r числа, φ 4, E-, E+, E- -4,477545E- 4, E- -, E+ 4, E-, E+ 7, E- -,66574E+ 8, E-, E+ 5, E- -, E+ 6 4,955456E-, E+ 4,858847E-,567749E+, E- -, E- 4, E- -7, E- 4, E- -9, E- 47 7,479749E- -7,889895E- 48, E-, E- Сравнивая данные табл 56 и 564, можно отметить, что координаты x i системы (5), полученные непосредственно r/φ-алгоритмом, и откорректированные координаты x i, установленные перебором, в целом незначительно разнятся друг от друга Тем не менее, использование откорректированных координат комплексных x i системы дают чрезвычайно малую невязку (Табл 565), что свидетельствует о высокой точности полученных решений строки, Таблица 565 Проверка решений системы (5) после коррекции Значение левой части системы Значение правой части системы Погрешность,E+ - i,678565e-6,e+ -, E-5 - i,678565e-6,e+ + i4, e-5,e+ 7, E-5 + i4, e-5,e+ + i, e-5,e+ 8, E-6 + i, e-5 4,E+ - i8,667544e-5,e+,47599e-5 - i8,667544e-5 7,6E+ + i5, e-5,6e+ -5, E-5 + i5, e-5 8,7E+ + i, e-5,7e+ 6, E-5 + i, e-5 5,4E+ + i, e-5,4e+ -,77678E-5 + i, e-5 6,5E+ - i, e-5,5e+, e-5 - i, e-5,e+ + i, e-7,e+ -,479774E-5 + i, e-7,e+ - i6,67785e-5,e+ -5, E-5 - i6,67785e-5,e+ + i, e-5,e+ -4, E-5 + i, e-5 4,E+ - i, e-5,e+ -9, E-5 - i, e-5 47,46E+ + i9, e-6,46e+ 9,497697E-6 + i9, e-6 48,47E+ + i,89789e-5,47e+ -, E-5 + i,89789e-5 На рис 57 и 57 показаны размерности x i системы (5) на комплексной плоскости, соответственно, до и после коррекции координаты x i
298 96 ГЛАВА 5,6,6 -,6 -,6 Рис 57 Расположение x i без коррекции 5 Функция Пуанкаре и Крамера Рис 57 Расположение x i после коррекции Запишим алгоритм решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) Пусть имеется БСЛАУ с вещественными элементами: x x = x При решении БСЛАУ (5) используют метод усечения, который естественней было бы именовать методом решения расширяющихся СЛАУ Суть этого метода проста и напоминает подход к традиционному определению сходимости рядов или цепных дробей Например, сходимость непрерывных дробей определяется следующим образом Цепная дробь: + (5) сходится и имеет своим значением число α, если существует предел подходящих цепной дроби (5): P (5) lim = α Q (5) Если предела подходящих дробей не существует, то непрерывная дробь (5) считается расходящейся «Метод решения расширящихся» СЛАУ предполагает решение СЛАУ увеличивающихся размерностей Запишем последовательности решений , полученных по формулам Крамера для расширяющихся СЛАУ: (54) < > На последовательность значений x i, полученных при решении расширяющихся СЛАУ, можно смотреть как на последовательность подходящих дробей Если для каждой компоненты x i существует предел lim m x i (m) = p i, (55)
299 РЕШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СЛАУ 97 где p i некоторое вещественное число, то считается, что БСЛАУ (5) имеет решения x = p, x = p,, x = p, (56) Запишем подходящие дроби для x, полученные по формулам Крамера при решении БСЛАУ (5): x () = ; x () = ; x () = ; x () = ; (57) Для БСЛАУ (5) можно записать: (58) x = ; x =, Выражения (58) будем называть функцией Пуанкаре, который, как известно, одним из первых получил фундаментальные результаты в теории бесконечных определителей [] Для функции Пуанкаре введём обозначение: i lim = Poi i (x ( ) i ) (59)
300 98 ГЛАВА 5 Функция Пуанкаре (59) имеет своим значением, в общем случае, комплексное число z i = r i e iφ i, если существуют пределы i m ( ) lim m m xi. m m (m) i r П i, φ i = π lim m, m где x i (m) значение формулы Крамера размерности m для x i (m) i количество отрицательных значений x i из т «подходящих» Требуется исследования сходимости функции Пуанкаре, аналогично тому, как то было сделано для обыкновенных и ветвящихся непрерывных дробей Теория сходимости функций Пуанкаре, видимо, будет существенно сложнее теории сходимости обыкновенных непрерывных дробей или ветвящихся непрерывных дробей, а также других известных классов, например непрерывных дробей Хессенберга и Никипорца Сравнительно просто будет разработать теорию сходимости, то есть установить признаки сходимости для БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей, так как решения БСЛАУ с трёхдиагональной матрицей при помощи алгоритма прогонки можно представить обыкновенными непрерывными дробями Здесь следует, однако, иметь в виду, что классическая теория сходимости непрерывных дробей с вещественными элементами не предпологает возможности определения их комплексных значений Функция Пуакаре была определена как аналитическое выражение, позволяющее определить комплексные или вещественные значения x i бесконечной системы Другими словами, предполагается сходимость x i к некоторым, в общем случае, комплексным пределам, при неограниченно расширяющейся системе Как уже отмечалось, БСЛАУ с возрастающими элементами правой части могут иметь значения x i, модули которых также неограниченно увеличиваются Поэтому введём функцию Крамера, которая будучи аналогична функции Пуанкаре, тем не менее, связана со СЛАУ, матрицы которых не расширяются бесконечно, а имеют ограниченные размеры Таким образом, под функцией Крамера будем понимать функцию, определяющую значение x i конечной системы x x =, (5) x причём, значение x i устанавливается не по формуле Крамера, а по процедуре, использующей r/φ-алгоритм m= Функция Крамера Cr x () i = im m= m= имеет своим значением в общем случае комплексное число z i = r i e iφ i, если i im m= m m ( m) xi. m, l (m) r П l (5) φ i = π i m, где x i (m) значение формулы Крамера размерности m для x i (m) i количество отрицательных значений x i из общего числа m «подходящих дробей»
302 ГЛАВА 6 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 6 Формулы Эйткена Известны разнообразные применения алгебраических уравнений при решении научных и технических задач Часто алгебраические уравнения появляются в задачах аэродинамики При расчете устойчивости различных конструкций используют, так называемые, собственные значения матриц, определяемые из решения алгебраических уравнений, степень которых равна количеству учитываемых гармоник Особенно часто алгебраические уравнения возникают при выполнении различных геометрических расчетов, в частности, при определении точек пересечения и сопряжения криволинейных контуров Разным аспектам теории и практики алгебраических уравнений посвящены недавно опубликованные монографии [6, 7] Тем не менее, актуальной является оценка ситуации в этом разделе математики, которая была дана известным американским специалистом Р Хеммингом [45]: Задача нахождения корней многочленов возникает достаточно часто для того, чтобы оправдать тщательное изучение и разработку специальных методов ее решения Различным методам нахождения действительных линейных и квадратичных множителей можно посвятить целую книгу Тот факт, что существует так много методов, показывает, что не существует ни одного вполне удовлетворительного" В самом деле, известно более сотни алгоритмов и их модификаций, которые используются для нахождения нулей полиномов [6] В основном, это алгоритмы численного решения алгебраических уравнений Ниже будут рассмотрены аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения -й степени через коэффициенты исходного уравнения Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения Для нахождения комплексных корней дополнительно используется метод суммирования расходящихся непрерывных дробей, именуемый как r/-алгоритм [5], нашедший разнообразные применения в вычислительной математике [, 7, 74] Имеется алгебраическое уравнение степени : x Запишем следующую производящую функцию x x (6) x x c x cx x c m x m (6) Коэффициенты α i в (6) и (6) совпадают Коэффициенты c m последовательности (6) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения c m c c c, m m m c, c (6)
303 ГЛАВА 6 Для определения корней алгебраического уравнения (6) Эйткен предложил формулы [85]: m m m c c x lim, (64) : lim x x x x c c c c c c c c c c m m m m m m m m m m m, (65) : lim x x x x x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m, (66) Корень x i может быть представлен выражением: 4 : lim i m i m i m i m m m i m m m i m i m i m i m m m i m m m i m i m i m i m m m i m m m i m i m i m i m m m i m m m m i c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c x (67) Очевидно, что используя формулы Эйткена можно непосредственно находить только действительные корни алгебраического уравнения (6) При определении комплексных корней алгебраического уравнения (6) используется r/-алгоритм 6 Представление нулей полинома непрерывными дробями Никипорца Запишем формулы Эйткена (64) - (67) в развернутом виде В результате преобразований получим конструкции из отношений определителей матриц Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты исходного уравнения (6) Формулу (64) можно представить отношением определителей: : 4 x (6)
304 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Последующие корни уравнения (6) запишутся следующим образом: : x (6) : 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x i (6) Отношения определителей (6) (6), выражающие корни алгебраического уравнения (6) через его коэффициенты, будем называть функциями N i () Для функций N i () введём обозначение: ),, ( ) ( i i N N Здесь следует подчеркнуть, что для алгебраических уравнений степени выше четвёртой функции N i () записываются аналогично их записи для алгебраических уравнений степени, и 4 Функции N i (), определяемые выражениями (6) (6), будем называть также непрерывными дробями Никипорца Определение математических конструкций (6) (6) как непрерывных дробей особой структуры позволяет естественно ввести такое фундаментальное понятие как подходящая дробь, что упрощает описание способа решения алгебраических уравнений с использованием функций N i () и r/-алгоритма Для нахождения комплексных корней уравнения (6), определяемых также формулами (6) (6), необходимо дополнительно использовать r/-алгоритм Модуль r i и модуль аргумента i искомого комплексного числа x i = r i e iφ i устанавливаются здесь формулами: i x r m m m m i m i. lim ) (, (64), lim ) ( m m i m i (65) где (m) i x m-я подходящая дробь выражения (6),
305 ГЛАВА 6 i (m) число отрицательных подходящих дробей для i-го корня из m подходящих дробей Например, подходящие дроби для x определяются следующим образом: x () () :, x :, x () 4 :, Следует обратить внимание, что по формуле (65) определяется модуль аргумента комплексного числа Знак аргумента устанавливается из анализа динамики в распределении подходящих дробей Из рассмотрения калибровочных непрерывных дробей, представляющих комплексные числа, в [74] был сформулирован алгоритм определения знака аргумента по распределению значений подходящих дробей Этот алгоритм основывается на анализе значений пар подходящих дробей«возрастающими» парами названы пары, для которых P Q < P + Q + «Убывающими» парами являются пары, если P Q < P + Q + Как следует из формулы (65), если φ < π, то большинство подходящих дробей из общего числа подходящих имеет положительный знак Большинство подходящих отрицательны, если π < φ < π При < φ < π анализируются пары из положительных подходящих дробей Если π < φ < π, то анализируются пары из подходящих, имеющих отрицательные значения Итак, алгоритм определения знака формулируется следующим образом: «Если модуль аргумента комплексного числа, установленный по формуле (65), лежит в интервале π < φ < π, то знак будет положительным, если число «убывающих» пар подходящих составляет большинство из общего числа анализируемых пар Напротив, если большинство пар подходящих принадлежит к множеству «возрастающих» пар, то знак аргумента будет отрицательным Если по формуле (65) получим, что π < φ < π то знак угла будет положительным, если число «возрастающих» пар подходящих составляет большинство из общего числа анализируемых пар Если большинство пар подходящих принадлежит к множеству «убывающих» пар, то знак аргумента будет отрицательным» Для определения подходящих непрерывных дробей (6), записываемых отношениями определителей Теплица, то есть определителей не общего, а весьма специального вида, может быть использован известный алгоритм «частных и разностей», или QD-алгоритм Рутисхаузера [7] Рекуррентный QD-алгоритм Рутисхаузера описывается формулами: i i i i xm xm em e, m (66) i i i xm e m e m i xm (67) В качестве начальных условий принимаются величины: x, x, (68) m
306 Кроме того, РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ e m m, m. (69) m i i i x e, i i i x x e x На рис 6 показан граф рекуррентного QD-алгоритма Рутисхаузера Рис 6 Граф рекуррентного QD-алгоритма Рутисхаузера 6 Примеры решения алгебраического уравнения При помощи рекуррентного QD-алгоритма, описываемого формулами (66) и (67), и r/-алгоритма, определяемого формулами (64) и (65), вычислим корни уравнения 4-й степени, коэффициенты которого получены случайной выборкой чисел из диапазона Это уравнение имеет вид: x x 59x 5x x x 88 (6) Коэффициенты уравнения (6) Таблица На рис 6 (а, б) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют действительные корни x и x алгебраического уравнения (6) На рис 6 (а, б, в, г) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют комплексно-сопряжённые корни x 6 и x 7, а также x и x алгебраического уравнения (6) Из графиков видна «периодичность» в расположении подходящих дробей, представляющих комплексные корни
307 4 ГЛАВА 6 а) б) Рис 6 Подходящие дроби, представляющие действительные корни x и x алгебраического уравнения (6) а) б) в) г) Рис 6 Подходящие дроби, представляющие комплексно-сопряжённые корни x6, x7 и x, x алгебраического уравнения (6) В табл 6 и табл 6 показаны значения подходящих дробей представляющих действительные корни x и x уравнения (6)
308 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 5 Таблица 6 Таблица 6 Значения P Q для x Значения P Q для x, Значения P / Q, Значения P / Q -5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,76445 В табл приведены результаты вычисления двух пар комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), а именно, x 6, x 7 и x, x В первых колонках табл указано число подходящих дробей P Q, которые использовались при определении значений модулей и аргументов комплексных корней Таблица 64 Определение корня x6 полинома (6) x 6 =, e i, , Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, = 768 -, ,85499, , , , , ,65544, , , , ,994, , ,744675,789577,545868,877549, ,48668, ,8689, , ,54966, ,9867, ,84 Определение корня x7 полинома (6) x 7 =, e -i, Таблица 65, Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, = 768 -, , , , , , , , , , ,69576, ,59 -,876894, , , ,6 -,877549, , , ,5867 -, , , , ,8669 -, ,85697 Определение корня x полинома (6) x =, e i, Таблица 66, Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, = 768,549656, ,997876,55566, , , ,4478, , , , ,7888, , , , ,564595,557765, ,5949, ,98546, , , , ,568, ,6579 Во вторых колонках табл показаны значения подходящих непрерывных дробей Никипорца, представляющих комплексно-сопряжённые корни уравнения (6) В третьих и пятых колонках этих таблиц приведены, найденные по r/-алгоритму, то есть по формулам (64) и (65), значения модулей r i и аргументов i комплексно-сопряжённых корней уравнения (6) В четвёртых и шестых колонках таблиц
309 6 ГЛАВА 6 представлены, соответственно, r = r r и =, устанавливающие разности между значениями модулей и аргументов комплексных корней, полученных с использованием стандартной программы решения алгебраических уравнений и найденных посредством алгоритма Эйткена-Никипорца В качестве стандартной программы использовалась функция polyroots, входящая в пакет MthCAD Комплексные корни x 6, x 7, и x, x 4 найденные стандартной программой, имеют значения: x 6 =, e i, , x 7 =, e i,876487, x =, e i, , x =, e i, Определение корня x полинома (6) x =, e i, , Значения P / Q Таблица 67 Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, = 768, , , ,55566, , , , , , ,456584, , , , ,96854, , ,557585, , , ,8757 -, , , , , , ,58 В табл 68 приведены значения комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), которые установлены с использованием r/-алгоритма, а также проведено сравнение полученных результатов с результатами в определении корней уравнения (6) при помощи стандартной программы «polyroots», входящей в пакет Mthcd Таблица 68 Таблица комплексных корней полинома (6) Модуль числа, r др r = r сп r др Аргумент числа, др = сп др корня, x i x,99988,8578, , x 4,98588,798 -, ,95746 x 6,658774,79, ,94 x 7, ,8657 -, ,84876 x 8, ,78684,946876,56698 x 9, ,857 -,946876,56697 x,489857,998, , x,48775,5589 -, , x,598478,896, ,7546 x, ,7475 -, ,8448 x 4, ,65, , x 5, ,96 -, ,68676 x, ,78957, ,4697 x, , ,976877,58745 x, ,465, ,485 x 4, ,48 -, ,4495 x 5, ,464457, ,79 x 6, ,5879 -,76,87859 x 7, ,6, ,578 x 8, , , ,44764 x 9, ,5897,868949,7879 x 4, ,58 -,86894, В табл 69 приведены действительные корни полинома (6), также найденные при помощи r/-алгоритма, то есть формул (64) и (65)
310 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 7 Таблица 69 Действительные корни полинома (6) Значения = x сп x др корня кореней x -9, ,46847 x 6, ,7447 x 5 -, ,8496 x 8 -, ,967 x 4 -, ,859 На рис 64 показано расположение корней уравнения (6) на комплексной плоскости Рис 64 Расположение корней уравнения (6) на комплексной плоскости Выше отмечалось, что формулы (6) (65) представляют корни полинома -й степени через его коэффициенты Используя эти формулы, можно устанавливать различные критерии, связанные с корнями полиномов общего вида Произвольное алгебраическое уравнение степени разрешимо с использованием r/-алгоритма, то есть формул (64) и (65), в функциях N i (), записываемых отношениями (6) определителей Теплица бесконечного порядка Предлагаемый алгоритм нахождения нулей полинома имеет две особенности в сравнении с существующими методами решения алгебраических уравнений Первая и, пожалуй, принципиально важная особенность: предложен простой аналитический способ записи всех корней уравнения -й степени по коэффициентам исходного уравнения Комплексные корни находятся из "расширяющихся" отношений определителей с использованием r/-алгоритма Вторая особенность предложенного алгоритма нахождения нулей полинома -й степени, простота и регулярность информационного графа алгоритма, что делает его привлекательным при аппаратной реализации в решающем поле суперкомпьютеров с реконфигурируемой структурой Следует также отметить, что рассмотренный алгоритм позволяет определять все корни полинома параллельно, то есть одновременно Пример Определим корни уравнения 5-й степени, коэффициенты которого равны /, где =. 5 Это уравнение имеет вид: x x x x x x (6) На рис 65 (а, б) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют действительный корнь x 4 алгебраического уравнения (6)
311 8 ГЛАВА 6 На рис 66 (а, б, в, г) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют комплексно-сопряжённые корни x 7 и x 8, а также x 48 и x 49 алгебраического уравнения (6) Из графиков видна «периодичность» в расположении подходящих дробей, представляющих комплексные корни Рис 65 Подходящие дроби, представляющий действительный корень алгебраического уравнения (6) а) б) в) г) Рис 66 Подходящие дроби, представляющие комплексно-сопряжённые корни x6, x7 и x8, x9 алгебраического уравнения (6) В табл 6 6 приведены результаты вычисления двух пар комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), а именно, x 7, x 8 и x 48, x 49 В первых колонках табл 6 6 указано число подходящих дробей P Q которые использовались при определении значений модулей и аргументов комплексных корней
312 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 9, Таблица 6 Определение корня x7 полинома (6) Значения Модуль числа, r Аргумент числа, P / Q 768, , , , ,99449, ,958, , ,9546, , , , , ,57585,99849, , Таблица 6 Определение корня x8 полинома (6) Значения Модуль числа, r Аргумент числа, P / Q 768, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Таблица 6 Определение корня x48 полинома (6) Значения Модуль числа, r Аргумент числа, P / Q 768 -, , , , , , , , , , , , , ,9644, ,87785,96776, , Таблица 6 Определение корня x49 полинома (6) Значения P / Модуль числа, r Аргумент числа, Q 768 -, , , ,644487, , ,687856, ,49 644, , , , , , , , , Во вторых колонках табл 6 6 показаны значения подходящих непрерывных дробей Никипорца, представляющих комплексно-сопряжённые корни уравнения (6) В третьих и четвёртых колонках этих таблиц приведены, найденные по r/-алгоритму, то есть по формулам (64) и (65), значения модулей r i и аргументов i комплексно-сопряжённых корней уравнения (6) В табл 64 даны значения комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), которые установлены с использованием r/-алгоритма, В колонках и 4 табл 64 проведено сравнение полученных результатов с результатами в определении корней уравнения (6) при помощи стандартной программы MthCAD Таблица 64 Таблица комплексных корней полинома (6) корня, x i Модуль числа, r др r = r сп r др Аргумент числа, др = сп др x, ,986e-6, ,78467E-5 x, ,87998E-6 -, ,74645E-6 x, ,788E-6,5957,449865E-6 x 4, ,656995E-6 -,5957,5977E-6
313 ГЛАВА 6 Окончание табл 64 x 5, , ,4688E-5 -,67878E-5 x 6, , ,6544E-5,57576E-5 x 7,999777, ,694694E-5,897E-6 x 8, , ,967964E-5 -, E-6 x 9, , ,84648E-5 5,895546E-5 x, , ,4749E-5-5, E-5 x 4,99468, ,47896E- -5,959E- x 4, ,46557,97575E-,56457E- x 44, , , E-4,485478E- x 45, , ,98778E-4 -,996546E- x 46, , ,545496E-5 5,8665E-5 x 47, , ,449567E-5-5,87576E-5 x 48,969578, ,56847E-5-9,78475E-5 x 49,967 -, ,585988E-5 9, E-5 x 5,9977, ,756798E-4,57577E-7 x 5, , , E-4 -,84754E-7 Единственный действительный корень полинома (6), также найденный при помощи r/-алгоритма, то есть формул (64) и (65), равен величине, На рис 67 показано расположение корней уравнения (6) на комплексной плоскости Рис 67 Расположение корней уравнения (6) на комплексной плоскости Выше отмечалось, что формулы (6) (65) представляют корни полинома -й степени через его коэффициенты Используя эти формулы, можно устанавливать различные критерии, связанные с корнями полиномов общего вида Произвольное алгебраическое уравнение степени разрешимо с использованием r/-алгоритма, то есть формул (64) и (65), в функциях N i (), записываемых отношениями определителей Теплица бесконечного порядка (6) Комплексные корни находятся при использовании r/-алгоритма непосредственно, без выделения квадратичных множителей с последующим решением квадратных уравнений, как то имеет место в известных алгоритмах решения алгебраических уравнений Пример Вычислим корни уравнения 5-й степени, коэффициенты которого получены случайной выборкой чисел из диапазона Это уравнение имеет вид: 5 4 x x 7x x 85x 45x 9 (6) В табл 65 приведены коэффициенты уравнения (6)
314 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ Таблица 65 Коэффициенты уравнения (6) В табл 66 приведены значения комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), которые установлены с использованием r/-алгоритма Во второй колонке табл 6 даны значения модулей комплексных корней, полученных по формулам (64) Следует обратить внимание, что модули комплексных корней расположены строго «по убыванию» их значений В 4-й колонке табл 66 помещены аргументы комплексно-сопряжённых корней уравнения (6), которые установлены по формуле (65) В колонках и 5 табл 66 показаны, соответственно, r = r сп r др и = сп др, устанавливающие разности между значениями модулей и аргументов комплексных корней, полученных с использованием стандартной программы решения алгебраических уравнений, и найденных посредством r/-алгоритма Таблица 66 Таблица комплексно-сопряжённые корней полинома (6), полученных с применением r/-алгоритма Модуль комплексного Аргумент комплексного корня числа, r r = r сп r др др числа, др = сп др x, ,446, ,8957 x,48445, , ,96768 x, ,5478, ,579 x 4, , , , x 5,66977,8696, ,946 x 6,66455, , ,7858 x 8, ,74866, ,565 x 9, ,5688 -, ,66749 x 8, ,58566, ,848 x 9,994665,767 -, ,7999 x, ,448, ,9744 x, ,5646 -, ,967 x, ,5775, ,46967 x, ,49 -, , x 4, ,68987, , x 5, , , , На рис 68 показаны подходящие непрерывных дробей, которые представляют единственный действительный корень x 7 алгебраического уравнения (6) x 7 =,789 Рис 68 Подходящие дроби, представляющие действительный корень x 7 алгебраического уравнения (6)
315 ГЛАВА 6 На рис 69 (а, б) и 6 (а, б) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют комплексно-сопряжённые корни x 8 и x 9, а также x и x алгебраического уравнения (6) а) б) Рис 69 Подходящие дроби, представляющие комплексно-сопряжённые корни x 8 и x 9 алгебраического уравнения (6) а) б) Рис 6 Подходящие дроби, представляющие комплексно-сопряжённые корни x и x алгебраического уравнения (6) В модифицированном алгоритме Рутисхаузера, чтобы найти комплексно-сопряжённые корни x i и x i+ алгебраического уравнения (6) определяются коэффициенты квадратных уравнений x px q по правилу: x ( ) ( ) ( ) i i i, i x x p, (64) ( ) ( ) ( ) i i i, i x q (65) На рис 6 рис 64 показаны графики значений p () и q () для комплексно сопряжённых корней x 8 и x 9, а также x и x алгебраического уравнения (6) Значения p и q соответствующих квадратных уравнений фиксируются в правых частях графиков
316 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ () Рис 6 Значения p 8,9 для определения корней x8 и x9 методом Рутисхаузера () Рис 6 Значения q 8,9 для определения корней x8 и x9 методом Рутисхаузера () Рис 6 Значения p, для определения корней x и x методом Рутисхаузера () Рис 64 Значения q, для определения корней x и x методом Рутисхаузера В табл 67 и табл 68 приведены значения коэффициентов квадратных уравнений, из которых устанавливаются комплексно-сопряжённые корни x 8, x 9 и x, x исходного уравнения (6) Значения p () и q () определяются, соответственно, по формулам (64) и (65) Здесь следует обратить внимание, что в алгоритме Рутисхаузера, описываемого () и формулами (64) и (65), подходящие комплексно-сопряжённые корней x () i, x i+ x ( ) i представлены вещественными «отчётами», помещенными во вторых, третьих и шестых колонках табл 67 и табл 68, соответственно Необходимо отметить, что () если при определении значения p i,i+ использовались значения x () i и x () i+, то есть значения с индексами, то при определении q i () использовались x i ( ) и x i+ ()
317 4 ГЛАВА 6, Значения x () Вычисление p 8,9 ( ) 8 x () и q8,9 квадратного уравнения для корней x8 и x 9 ( ) 9 x ( ) 8 Таблица 67 Значения ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) x8 x9 p8,9 Значения x 8 x9 q8,9 4 -,45988,895479, , , , , , , , ,79997, , , , , , , , , , , , , ,897 8,579798, , , ,99 56,44757, , ,687997, ,59764, , , , , , , ,446655, ,6987, , ,545687, , , , , , , , , , , , , , ,48674, , , , , ,766489, Значения x () () Вычисление p 8,9 и q 8,9 квадратного уравнения для корней x и x ( ) x ( ) x ( ) Таблица 68 Значения ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x x p, Значения x x q 4 -, , , , , , , , , , , , ,4799 5, ,685858, ,5757 -,679649, , , , , ,57447, , , , ,896, , , , ,785597, , , , , , , , , , , , ,64889, , , ,894864, , ,447665, , , , ,598994, , ,586, ,78767, , ,5877, ,85455, На рис 65 рис 68 показаны графики модулей и модулей аргументов комплексно-сопряжённые корней x 8 и x 9, а также x и x, которые находятся из решений соответствующих квадратных уравнений с коэффициентами p и q, найденных по формулам (64) и (65) ( ), Рис 65 Значения модуля r корней x8 и x9 алгебраического уравнения (6) Рис 66 Значения модуля аргумента корней x8 и x9 алгебраического уравнения (6)
318 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 5 Рис 67 Значения модуля r корней x и x алгебраического уравнения Рис 68 Значения модуля аргумента корней x и x алгебраического уравнения (6) В табл 69 и табл 6 приведены результаты определение значений комплексносопряжённых корней x 8 и x 9, а также x и x уравнения (6), найденных с использованием алгоритма Рутисхаузера, то есть вычислений по формулам (64) и (65) коэффициентов p и q соответствующих квадратных уравнений В табл 6 приведены значения всех комплексно-сопряжённых корней алгебраического уравнения (6), установленные по модифицированному алгоритму Рутисхаузера Таблица 69 Вычисление модуля и аргумента комплексных корней x 8 и x 9 x 8,9 =, e i, , Модуль числа, r r = r сп r др Аргумент числа, = сп др 4, , E-9, , E-8 48, , E-9, , E-8 496, ,99696E-9, , E-8 89, , E-9, , E-8 684, , E-9, , E-8 768, , E-9, , E-8 Вычисление модуля и аргумента комплексных корней x и x x, =, e i, Таблица 6, Модуль числа, r r = r сп r др Аргумент числа, = сп др 4,7955, , , , , , , , , E-5, , E-5 89, , E-9, ,85445E-8 684, ,796E-9, , E-8 768, ,4975E-8, , E-9 Таблица 6 Таблица комплексно-сопряжённых корней полинома (6), установленных по модифицированному алгоритму Рутисхаузера Модуль комплексного Аргумент комплексного корня числа, r r = r сп r др др числа, др = сп др x,,499485,869448e-8, ,584956E-9 x,4, ,656699E-8, , E-8 x 5,6, , E-9, , E-9 x 8,9, , E-9, , E-8
319 6 ГЛАВА 6 Окончание табл 6 x,,697, e-9,874985,47868e-8 x,, ,49669e-, , e- x 4,5,9697, , , x 6,7,9867, ,9657, x 8,9, , E-9,5779 6, E-9 x,, ,4975e-8, , E-9 x,, , E-9, , E-8 x 4,5, ,898499E-9, , E- На рис 69 показаны корни уравнения (6) на комплексной плоскости Рис 69 Расположение корней уравнения (6) на комплексной плоскости Сравнение результатов вычисления комплексных корней уравнения (6), помещённых в табл 66 и табл 6, показывает, что модифицированный алгоритм Рутисхаузера обеспечивает несколько большую точность в определении корней, нежели r/-алгоритм В то же время, следует подчеркнуть, что r/-алгоритм более надёжный алгоритм, так как не пребует жёсткой синхронизации подходящих, что имеет место в алгоритме Рутисхаузера, как то следует из формул (64) и (65) Таким образом, использование r/-алгоритма в вычислительной практике, несмотря на некоторую его громоздкость, представляется более перспективным, нежели использование алгоритма Рутисхаузера, в связи с тем, что комплексные корни при применении r/-алгоритма находятся непосредственно из множества подходящих дробей, а не из решения соответствующих квадратных уравнений, что требует жёсткой синхронизации «отчётов» Следует отметить, что определение комплексных корней алгебраических уравнений степени во всех известных алгоритмах, включённых в стандартные вычислительные программы, подразумевает именно нахождение квадратичных множителей, то есть составление и решений квадратных уравнений, имеющих отрицательный дискриминант, то есть два комплексно-сопряжённых корня Так как r/-алгоритм по природе своей есть алгоритм усреднения, метод решения алгебраических уравнений, базирующийся на этом алгоритме, является устойчивым к накоплению вычислительной погрешности и «сбоям», то есть надёжным Пример 4 При помощи QD-алгоритма, описываемого формулами (66) и (67) и r/-алгоритма, определяемого формулами (64) и (65), вычислим корни уравнения 5-й степени, коэффициенты которого получены выборкой простых чисел из диапазона Это уравнение имеет вид:
320 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ x 97x x 8x 5x 89x (66) Таблица 6 Коэффициенты уравнения (66) На рис 6 (а, б, в, г) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют комплексно-сопряжённые корни x и x, а также x 8 и x 9 алгебраического уравнения (66) Из графиков видна «периодичность» в расположении подходящих дробей, представляющих комплексные корни а) б) в) г) Рис 6 Подходящие дроби, представляющие корни алгебраического уравнения (66) В табл 6 66 приведены результаты вычисления двух пар комплексно-сопряжённых корней уравнения (66), а именно корень, x, x, и x 8, x 9 В первых колонках табл 6 66 указано число подходящих дробей P / Q, которые использовались при определении значений модуля и аргумента комплексных корней
321 8 ГЛАВА 6, Вычисление корня x полинома (66) x =,469988ei, Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, Таблица 6 = 768, ,574559,97, , , , ,8854, , ,679654,464786,98, , , , ,5766, , , , ,664, , , ,46999,45468, ,8659 x, Вычисление корня x полинома (66) =, e i, Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, Таблица 64 = 768, , , , , , ,55455, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Вычисление корня x8 полинома (66) x 8 =, ei, , Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, Таблица 65 = 768-8,9685, ,569448, , ,686954, ,4865,546548, ,9, ,86445, , ,787889, ,74769, , ,745,998478,4976, , , , ,5559, ,57798, Вычисление корня x9 полинома (66) x 9 =, e i, Значения P / Q Модуль числа, r r = r r Аргумент числа, Таблица 66 = 768 7,8858,555957, , , , , ,8449 -,546548, ,458596, ,7 -, , , , , , , , ,998949,7 -,546444, , , , , ,49756 Во вторых колонках табл 6 66 показаны значения подходящих непрерывных дробей Никипорца, представляющих комплексно-сопряжённые корни уравнения (66) В третьих и пятых колонках этих таблиц приведены найденные по r/-алгоритму, то есть по формулам (64) и (65), значения модулей r i и аргументов i ком
322 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ 9 плексно-сопряжённых корней уравнения (66) В четвёртых и шестых колонках таблиц представлены, соответственно, r = r r и =, устанавливающие разности между значениями модулей и аргументов комплексных корней, полученных с использованием стандартной программы решения алгебраических уравнений и найденных посредством алгоритма Эйткена-Никипорца В качестве стандартной программы использовалась функция polyroots, входящая в пакет MthCAD Комплексные корни x, x, и x 8, x 9 найденные стандартной программой, имеют значения: x =,46998e i, , x =,467888e i, , x 8 =, e i, , x 9 =, e i, В табл 67 приведены значения комплексно-сопряжённых корней уравнения (66), которые установлены с использованием r/-алгоритма, а также проведено сравнение полученных результатов с результатами в определении корней уравнения (66) при помощи функции polyroots Mthcd корня Модуль комплексного числа, r др Таблица комплексных корней полинома (66) r = r сп r др Аргумент комплексного числа, др Таблица 67 = сп др x, ,4648, ,89558 x,4658,8545 -, ,9786 x 4, ,757, ,57467 x 5, , ,48754, x 6, ,45777, , x 7, ,795 -, ,59999 x 8, ,57658, ,8789 x 9, , , ,8648 x, ,6689, ,96656 x, ,6 -, ,795 x, ,794695, , x, ,597 -,549698,7988 x 4, ,878, ,89864 x 5, ,5755 -,585897,5468 x 6, ,49588, ,648 x 7, ,5695 -, ,946 x 8, ,84698,75558,5645 x 9, , ,7986,8786 x, ,5786, ,58 x, ,449 -,854794,54867 x, ,66849, ,476 x, , , ,87784 В таблице 7 приведены действительные корни полинома (66) корня Таблица 68 Действительные корни полинома (66) Значение кореней = xсп xдр x -96, , x4 -,998685,78 x5 -,499469,8447
323 ГЛАВА 6 На рис 6 показано расположение корней уравнения (66) на комплексной плоскости Рис 6 Расположение корней уравнения (66) на комплексной плоскости Из рис 6 видно, что вещественные корни x и x 5 имеют «экстремальные» значения Если остальные корни уравнения (66) распологаются на окружности с радиусом близким к единице, то x равен 96,9777, x 5 =, Следует подчеркнуть, что алгоритм Эйткина Никипорца решения алгебраических уравнений строго определяет значения корней в порядке убывания их модулей
324 Г Л А В А 7 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА 7 Дзета-функции Римана Дзета-функции Римана, которые входят в обойму специальных функций современной математики и имеют фундаментальное значение в аналитической теории чисел, определяются выражением: ( s) s Часто используется более простая конструкция ( ) ( ( Re s,, ) (7) ) (7) При четном Эйлером были найдены формулы суммирования таких рядов: где B ( ( ) ) B ()!, (7) 4 числа Бернулли Запишем некоторые частные случаи функции Римана: (), , (74) (4),87, (75) (6),746, (76) (8), (77) Эйлер определил значения функции вплоть до значения с точностью в двадцать десятичных разрядов Для функций ( ) формулы суммирования не установлены Можно записать значения этих функций: ( ) 8 () ( ),569, (78) 4 ( 5),697755, (79) ( 7), (7)
325 ГЛАВА 7 Кроме классических дзета-функций, рассматриваются иные суммы обратных степеней: () ( ) ( ) (,, ) (7) Например, ( ) l, (7) 4 (), (7) 4 Например, 4 7 (4) (74) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, ) (75) (), (76) (4) (77) Имеют место соотношения [84]: где E числа Эйлера, E ) многочлены Эйлера ( x ( ) ( ) ( ) (,, ) (78) ( ) ) E ( (,, ), (79) ()! ( ) ( ) E( x)sec( x) dx (,, ), (7) 4( )! (), (7) ( ) G, , (7) 5 7 G постоянная Каталана 7 Дзета-функции Никипорца () (7) 5 7 Можно ввести функции, аналогичные дзета-функции Римана, и для цепных дробей Здесь однако вариантов значительно больше Степени обратных величин могут
326 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА занимать позиции как частных числителей, так и частных знаменателей Назовем эти функции дзета-функциями Никипорца и введем соответствующие обозначения p m 4 m K, (7) m q K (7) m m 4 m Здесь следует заметить, что ряд (7) 4 m сходится при,, расходится, то Цепные дроби (7) и (7), представляющие дзета-функцию Никипорца, можно рассматривать как при положительных, так и отрицательных значениях показателей степени, в том числе и при И еще одно принципиальное отличие ряда (7) от цепных дробей (7) и (7) Рассматривать сходящиеся ряды при всех отрицательных элементах не имеет смысла, ибо знак можно вынести за скобки Иное дело в цепных дробях: если частные числители цепной дроби отрицательны, (74) то знак минус вынести за скобки нельзя Цепная дробь (74) имеет самостоятельный интерес Как показано в [65], цепные дроби (74) часто имеют комплексное значение при действительных элементах Введем в рассмотрение дзета-функции Никипорца вида: () p 4 m, (75) q (76) 4 m По аналогии с тем, как были введены суммы обратных степеней для рядов, введем функции функции p (), q(), p (), q () p (), p (), p (), q(), (), (), p (), q(), q(), q(), а также p () и q () p 4 m, (77) q, (78) 4 m : и
327 4 ГЛАВА 7 p 5 7 m, (79) q( ), (7) 5 7 m p 5 7 m ( ), (7) q( ), (7) 5 7 m p 5 7 m ( ), (7) q( ), (74) 5 7 m p 4 6 m ( ), (75) q( ), (76) 4 6 m 4 6 p ( ), (77) q( ), (78) 4 6 m p 4 6 m ( ), (79) q( ) (7) 4 6 m
328 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА 5 Хотя в цепных дробях (7), (7), (75) (7) целые числа или ноль, в общем случае следует брать, как и в дзета-функциях Римана, комплексную переменную z Например: z p m 4 m ( z) K z m Запишем частные случаи дзета-функций Никипорца, особо обращая внимание на сходимость цепных дробей, которые определяют эти функции при различных значениях z p m 4 m ( ) (7) Km Цепная дробь (7) расходящаяся, так как пределы, к которым стремятся подходящие с четными и нечетными номерами различны:, ,,59 67 При пределы имеют значения и Расходящимися будут цепные дроби (7) при 4 z 4 и z p m 4 ( 4), (7) Km 4 4 p m 4 ( ) (7) Km В самом деле, для цепной дроби (7) четные и нечетные подходящие стремятся, соответственно, к различным пределам:, , , Для цепной дроби (7) четные и нечетные подходящие стремятся к пределам:, , p Однако цепная дробь, является уже сходящейся цепной дробью: p m 4 m ( ) (74) Km Установим значение цепной дроби (74) Запишем для ряда Лейбница равноценную цепную дробь: l (75) 5 :
329 6 ГЛАВА 7 Значение ряда Лейбница, а следовательно, и равноценной цепной дроби (75), равно Следовательно, можно записать: l p ( ) Km m 4 m l, Цепная дробь (74) сходится столь же медленно, как и ряд Лейбница Сходится, при том со значительно большей скоростью, цепная дробь p m 4 m ( ) (76) P Q 44 Km 44, Остановимся на суммировании цепной дроби (76) Имеет место цепная дробь для неполной гамма-функции [49]: При параметрах Таким образом (, x) e / Известно [84], что Полагая, что x / и x x x x, получим после преобразований x x /, e 4 m e,, получим Следовательно, можно записать, x erfc x, erfc p 4 m / e / e ( ), , erfc Цепная дробь является цепной дробью Фибоначчи, а ее значение отношением золотого сечения p () p 5 ( ), Продолжим запись цепных дробей, связанных с дзета-функциями Никипорца p ( ) 4 m (77)
330 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА 7 Цепная дробь (77) является сходящейся цепной дробью Скорость сходимости цепной дроби весьма высока: пятнадцатая подходящая дробь дает 4 верных десятичных знаков P Q 5 5, Несложно заметить, что цепная дробь (77) связана с числом e: e 4 (78) Еще большей скоростью сходимости обладают цепные дроби p (), p (),, p () p m 4 m (), K (79) m p ( ), Цепную дробь (79) запишем в эквивалентном виде: p () p ( m ) (), (7) 4 m 4 m 4 ( m ) m p ( ), , p m 4 m (), K m p ( ), Уже отмечалось, что в отличие от дзета-функции Римана, ( s) s s s s 4 дзета-функция Никипорца, связанная с цепными дробями, имеет значительно большее число вариантов построения Выше были рассмотрены примеры дзета-функций Никипорца с элементами в частных числителях цепной дроби Запишем несколько примеров функции q q () ( ), (7) m 4 m Km Цепная дробь (7), очевидно, сходящаяся Третья подходящая дает значение цепной дроби (7) с 4-ю верными десятичными разрядами ( ), q (7) m 4 m Km Цепная дробь (7) также имеет высокую скорость сходимости Седьмая под-
331 8 ГЛАВА 7 ходящая дробь обеспечивает вычисление значения дроби (7) с 4-ю верными десятичными разрядами ( ), (7) q m 4 m Km Известен ряд, являющийся частным случаем гипергеометрического ряда: x x x ( c, x)! c! c( c )! c( c ) ( c ) В монографии [] приведена цепная дробь, в которую раскладывается отношение: Полагая, что c, x ( c, x) x / c x x (74) ( c, x) c c c, получим цепную дробь: Следовательно, функция Никипорца представляется отношением гипергеометрических рядов частного вида Очевидно, цепная дробь (,) (75) (,) 4 m q () F (,) q( ) (76) 4 m F (,) q () совпадает с цепной дробью p () p 5 q( ) (), (77) Весьма примечательна цепная дробь q q() (78) Km m 4 m Эта цепная дробь является сходящейся, однако сходимость дроби (78) чрезвычайна медленная, необходимо вычислить цепную дробь (78) с более чем миллионом звеньев, чтобы установить ее значение с пятью верными десятичными знаками P Q Цепная дробь (78) связана с числом π: :,57797 () (79) q 4 m Здесь можно напомнить, что дзета-функция Никипорца фундаментальной константой числом e: : p связана с другой p () m 4 m e (74) K m Продолжим запись дзета-функций Никипорца
332 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА 9 () (74) q K m m 4 m Цепная дробь ( ) расходящаяся, так как значение пределов, к которым стремятся дроби, содержащие четное и нечетное число звеньев, различно:,898779,, Естественно, являются расходящимися цепные дроби q (),, 4, () (74) q K m m 4 m, ,, , () (74) q 4 m, ,, Помимо знакоположительных рядов, хорошо известны знакопеременные ряды Например: l, Однако сходящиеся ряды со всеми отрицательными элементами обычно не рассматриваются, ибо в этих рядах знак минус можно вынести за скобки Запишем цепную дробь с отрицательными частными числителями ( ): i (744) Цепные дроби вида (744) весьма распространены в теории цепных дробей Цепными дробями этой структуры представляются многие элементарные и специальные функции Например, x x x x x tgx, (745) 5 7 x x x x x Arthx, (746) 5 7
333 ГЛАВА 7 x Ei( x) e (747) x x x Расходящиеся цепные дроби вида (744), как правило, имеют комплексные значения и могут быть просуммированы при помощи r/φ-алгоритма, как это показано в [55] i e cos, (748) cos cos cos 6 6 l( ) (749) 5 Рассмотрим дзета-функции Никипорца вида p () и q () Эти функции представляются цепными дробями с отрицательными частными числителями и знаменателями: p 4 m ( ), (75) q( ) (75) 4 m Определим значения дзета-функций Никипорца значениях p () Сходящейся является дробь 4 m p и при различных q, (75) p 4 () m, Цепная дробь () 4 m (75) является расходящейся цепной дробью, так как значение ее неограниченно растет Легко понять причины расходимости цепной дроби (75) Известно [55], что цепные дроби имеют своими значениями единицу Поэтому значение цепной дроби 4 (754)
334 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА будет неограниченно расти с увеличением числа звеньев Чтобы просуммировать цепную дробь (754), которая равноценна ряду. 4. (755) надо построить через равноценный расходящийся ряд (755) так называемую соответствующую цепную дробь Можно записать такую последовательность выражений: 4. 4!! (756) Расходящаяся в классическом смысле цепная дробь (756) может быть просуммирована при помощи r/φ-алгоритма Как показано в [55], цепная дробь (756) имеет комплексное значение i,8,497e которое связано с интегральной показательной функцией:, (757),8,497e i Ei( ) e Таким образом, установлено значение расходящейся в классическом смысле цепной дроби 4 i,,497e 8 Ei( ) (758) e Можно записать p 4 Ei( ) e (759) Любопытна следующая цепная дробь: p () (76) Разумеется, цепная дробь (76) расходящаяся в классическом смысле В [55] приведена цепная дробь Никипорца: Если /, то из (76) получим i e cos (76) cos cos cos e Следовательно, можно записать p i () e Значение цепной дроби (76) непосредственно установить нельзя, так имеется «деление на ноль» Поэтому будем определять при помощи r/φ алгоритма значение «близкой» к (76) цепной дроби (табл 7) i
335 Запишем дзета-функции Никипорца ГЛАВА 7 p () при других значениях p ( ) (76), имеет, как по- Цепная дробь (76), то есть дзета-функция Никипорца казано в [55], комплексное значение: p i e i e /, e, i erfc p Также комплексное значение имеет дзета-функция где i Имеют места соотношения [7]: it [55]: p () i, p (76) e dt E, (764) cht E числа Эйлера звена дроби Значение подходящей дроби, e-7,9989e+ 5, E-7,9966E+,999797E-6,49968E+ 8, E-6,7998E+,499557E-5,68E+,65966E-4,77E+ 5, E-4,989688E+,89E-, E+ 8,7574E-,7677E+, E-,75879E+,755686E-,65796E+ 4,659679E- Определение значения цепной дроби Модуль комплексного числа, r,4475,49,6685,999996, ,999984,989489, ,98, , , , , , , , ,58, ,6, ,, Погрешность, r r r, ,49, ,6998,446,57768,87576,75474, ,57,46957,787,9755,78,87554,66,6949,58,646,6,949,,748 Аргумент комплексного числа. 785986,785986, , ,85894,85894,46957,46957, , , , ,4765,4765,47857,47857, , , , ,47975,47975 Установим значения цепных дробей p () при, 4, Таблица 7 Погрешность,, ,6799,6799, , ,6644,6644,495576,495576,596,596,55657,55657,6858,6858,59,59,97,97,949,949,99,99
336 ДЗЕТА-ФУНКЦИИ НИКИПОРЦА p 4 m ( ) (765) Подходящие дроби разложения (765) с четными и нечетными номерами стремятся к различным пределам:,676,, p 4 m ( 4), (766),549899,,56466 p 4 m ( ), (767),5675,, О цепных дробях, имеющих различные пределы четных и нечетных подходящих В этой главе рассматривались цепные дроби, четные и нечетные подходящих которые имели различные пределы Такие цепные дроби определяются как расходящиеся Известна теорема Коха, опубликованная в 895 г [9] Теорема Цепная дробь расходится, если ряд, составленный из элементов i, сходится: В этом случае существует конечные пределы: lim, lim, lim, P F P F 4 Q G lim Q и выполняется условие F G FG Используя принцип тройственности Никипорца, определим, что непрерывные дроби с вещественными элементами могут иметь не только комплексные значения (эллиптический случай), но и иметь различные пределы четных и нечетных подходящих дробей (гиперболический случай) Непрерывная дробь (7) G u сходится и имеет своим значением пару чисел z r e, если существуют пределы
337 4 ГЛАВА 7 r Pi / Qi i P / Q lim (7) P / Q u lim l или lim l r u r где P i/q i подходящие цепной дроби (7) P P Если lim lim, то примет нулевое значение и цепная дробь (7) Q Q сходится в классическом смысле
338 ГЛАВА 8 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ Ветвящиеся непрерывные дроби ВЯ Скоробогатько ( ) начал предисловие к своей одной из последних книг Дивлюсь на світ як математик такими словами: Людина завжди прагнула пізнати світ у всій його повноті, відкрити загальні закономірності, а не блукати серед частковостей Ця властивість характерна не тільки для філософії як загальної науки, а й для інших галузей знань і, в першу чергу, для математики Не знаем, как в философии, но в математике дар открывать загальні закономірності чрезвычайно редок Как показывает практика, многие специалисты прекрасно обходятся без этого дара, устраивая со временем свою научную карьеру наилучшим образом Такое положение вещей иногда искренне возмущало ВЯ Скоробогатько, но он тут же осознавал абсурдность своих сетований и все кончалось острой шуткой Ветвящиеся цепные дроби, как математический аппарат, сформировались в работах львовского профессора Виталия Яковлевича Скоробогатько и его учеников во второй половине шестидесятых годов [9, 4] ВЯ Скоробогатько охотно вспоминал, как он пришел к ветвящимся цепным дробям Об этом он рассказывал на лекциях и семинарах, на страницах своих книг В свое время довелось множество раз вести беседы с Виталием Яковлевичем Скоробогатько о ветвящихся цепных дробях И всякий раз разговор вращался вокруг одних и тех же материй: ветвящиеся цепные дроби идеально приспособлены для адекватного описания в пространственно-временном отношении ветвящихся процессов, коими так богата природа А посему ветвящимся цепным дробям уготована на веки вечные завидная судьба, они всегда будут востребованы На наивный вопрос: как случилось, что, казалось бы, лежащие на поверхности ветвящиеся цепные дроби ускользали от внимания великих и даже величайших учёных XVIII-XX веков, ВЯ Скоробогатько обычно отвечал: Раньше жизнь была размеренной и неторопливой Это в двадцатом веке люди постоянно слышат о цепных ядерных реакциях В предисловии к своей монографии Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике, вышедшей в издательстве Наука в 98 г [4] ВЯ Скоробогатько отмечал, что из рассмотрения графа обыкновенной цепной дроби возникла догадка, что обычная цепная дробь является частным случаем более общего математического понятия, основанного на более общем понятии дерева Правда, страницей далее ВЯ Скоробогатько выдвигает другую версию озарения: Догадка о существовании ветвящихся цепных дробей возникла у автора в результате размышлений о методе решения дифферинциальных уравнений СА Чаплыгина и его применении к уравнениям с частными производными Сохранился семистраничный вариант рукописи первой статьи по ветвящимся цепным дробям Даты в автографе нет, но можно считать, что статья готовилась не позже первой половины 966 г Приводим фрагмент первой страницы этой рукописи ВЯ Скоробогатько, несомненно, уже имеющей ценность для историков математики
339 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 5 Сохранились копии писем ВЯ Скоробогатько академику Юрию Владимировичу Линнику ( ), выдающемуся специалисту в теории чисел и теории вероятностей, лауреату Ленинской премии, Герою социалистического труда В письмах имеются сведения о начальном этапе развития теории ветвящихся цеп-
340 6 ГЛАВА 8 ных дробей Дадим без купюр заключительную часть первого письма, датированного октября 97 г: Частично также интересуюсь теорией чисел У нас во Львове сейчас стремительно и успешно развивается теория ветвящихся цепных дробей Что это такое? Это дроби, когда в знаменателях обычной цепной дроби появляются несколько дробей (Первая публикация Доповіді АН УССР, 967 г, ) Убеждён, что диофантовы уравнения нужно решать именно ветвящимися цепными дробями У нас получен интересный, как мне кажется, результат: решён вопрос о виде алгебраической иррациональности любой степени А именно, для того, чтобы число было алгебраической иррациональностью -ой степени, необходимо и достаточно, чтобы оно разлагалось в ветвящуюся периодическую цепную дробь Для уравнения -ей степени эта работа скоро выйдет в Доповідях АН УССР Наш ученик ФО Пасичняк оформляет этот результат как диссертационную работу Разумеется, если Вы не против, то мы можем установить с Вами деловые контакты по этому вопросу Марковские процессы (теория вероятностей) со счётным числом состояний, как оказалось, изображаются ветвящимися цепными дробями Это самый естественный аппарат Словом, ветвящаяся цепная дробь так относится к анализу с несколькими аргументами, как обычная цепная дробь к функциям с одним аргументом Разумеется, уже есть многочисленные публикации Как только строго обоснуем разложимость функций Аппеля в ветвящиеся цепные дроби, приступим к написанию суммирующей монографии в этом направлении Сделаем одно замечание Следуя списку работ ВЯ Скоробогатько, помещённом в Библиографическом указателе [8], первую публикацию по ветвящимся цепным дробям следует считать публикацию, вышедшую годом ранее, те в 966 г: Скоробогатько ВЯ, Дронюк НС, Бобик ОI, Пташник БЙ Гіллясті ланцюгови дроби і їх застосування- Друга наук конф молодих математиків України- К: Наук думка, 966, Во втором письме ВЯ Скоробогатько к ЮВ Линнику говорится и о других проводимых им исследованиях Так как ЮВ Линник был земляком, родом из Белой Церкви Киевской области, ВЯ Скоробогатько писал ему на украинском Приведём это письмо полностью Львів, 7 ХІІ, 97 р Вельмишановний Юрію Володимировичу! Одержав від Вас два листи і відозву на автореферат ІП Пустомельнікова Дякую Автореферат Ви оцінили, з моєї точки зору, точно Дійсно, цей напрямок перспективний Завжди хочеться говорити про ті результати, що тепер одержуються, а не про те, що вже одержано Мій учень РВ Слоневський разом з іншими щойно розробив новий метод розв язування математичних задач економіки на основі гіллястих ланцюгових дробів Це задачі, які формулюються в термінах марковських процесів (Див книгу Ховарда) Ми обов язково цей напрямок доведемо до діла, тобто будуть розроблені стандартні програми і будуть втілені в практику принаймі -х обчислювальних центрів Вже зараз видно переваги цього методу, коли розглядаються великі кількості рівнянь з великою кількістю невідомих (сам цим займатися не буду) Зрозуміло, що краще нам приїхати до Ленінграду в лютому місяці, на початку або в середині Впевнений, що будуть встановлені наукові контакти, які будуть сприяти прогресу математики, незалежно від загальної орієнтації обох сторін Дякую за запрошення на дачу, але скажу відверто, що я не дачна людина Найкращий стан для мене рибалка бродячого типу (зимою, літом, весною та восени), саме там приходять найкращі думки Звичайно, я дещо можу розповісти про нашу універсальну теорію відносності,
341 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 7 але повторю, що вона ще сирувата з точки зору втілення ідей у формули, хоча одномірний (самий важливий) випадок майже повністю зроблено Зрозуміло, мене цікавить використання одержаних результатів і в оптиці, якщо це можливо, бо промінь світла викривлюється в сфері з неоднорідними оптичними властивостями Теоретично принаймі можна уявити собі середовище з такими оптичними властивостями, що промінь світла буде рухатися саме по -точковій прямій, а довільне оптичне середовище можна мабуть апроксимувати з якою завгодно точністю середовищем, де промені світла будуть -точковими прямими, тому як завгодно точно можна наблизити реальний шлях світла -точковою моделлю (при досить великому п) і всі ефекти універсальної теорії відносності будуть у частинок, що рухаються у такому середовищі по -точковим прямим З Вашим батьком можна було би поговорити конкретно в цьому плані Але чи не старий він для цього Може йому вже важко мислити Все ж таки 8 рік це не 8 років В усякому разі ми цей напрямок так чи інакше обов язково доведем до діла Заздалегідь дякую за відбитки робіт про арифметичну теорію відносності Мене завжди цікавили конструктивні математичні побудови, а це мабуть конструктивна річ Про книгу МІ Гаврилова не пишу, вивчимо всі про і контра Звичайно, мене особисто цікавлять і інші проблеми математики, наприклад, побудова якісної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними Мені присвоїли звання доктора саме за теорему про внутрішній діаметр Суть її в тому, що перша гранична задача для сильно еліптичної системи однозначно розв язана, якщо діаметр максимальної кулі, вписаної в дану область, досить малий (Це буде не завжди) Якщо область опукла, то завжди при досить гладких коефіцієнтах системи Це типова якісна теорема для рівнянь з частинними похідними; цей напрямок у нас розвивається Виявилося, що тут є прямий зв язок з питаннями стійкості плазменого шнура Якщо би у вас були спеціалісти по плазмі, то корисно було би і з ними зв язатися Ще раз дякую за відозву на автореферат Пустомельнікова Щиро бажаю успіхів в науці та організаційних питаннях, зв язаних з наукою З повагою, В Скоробогатько P S Дійсно, у нас відбувається швидка інфляція наукових ступенів та звань усіх рангів, але ніколи не буде інфляції справжніх вчених Твердые заверения ВЯ Скоробогатько, аналогичные фразе из письма: Ми обов язково цей напрямок доведемо до діла, тобто будуть розроблені стандартні програми і будуть втілені в практику, как правило, не подкреплялись трудовым энтузиазмом его сотрудников и посему повисали в воздухе, производя некоторые его сотрясения и вводя в смятение слабонервных В этом письме выразительны слова: я не дачна людина Найкращий стан для мене рибалка бродячого типу У Виталия Яковлевича был годами отлаженный режим, всем были известны рыбные дни среда и суббота Однажды весной в середине восьмидесятых подлёдный лов едва не окончился трагически, но обычное самообладание не оставило его, и он, потеряв всю рыбацкую амуницию и значительную часть вещей гардероба, выбрался из казалось бы безнадежной ситуации Виталий Яковлевич вспоминал фразу, оброненную одним из институтских начальников: Вы могли здорово подвести коллектив В самом деле, памятная история случилась в рабочее время ВЯ Скоробогатько любил и умел шутить, что называется, невзирая на лица Шутки получались не всегда, надо сказать, благостными Чего стоит хотя бы телеграмма одному почтеннейшему ученому по случаю 8-го марта Он трезво смотрел на миропорядок, повторяя пословицу: Идёшь постричь, не забывай, что можешь вернуться обритым И странно потому было слышать его сетования на действия товарищей, ответственных за передвижения по научной лестнице, особенно в верхней её части ВЯ Скоробогатько был прекрасным аналитиком На семинарах он мог часами
342 8 ГЛАВА 8 исписывать доску выкладками и формулами И все же ВЯ Скоробогатько признавался, что ему ближе геометрические методы исследований В одной из последних своих книг Методи математики: розвиток, застосування, суспільне відлуння ВЯ Скоробогатько писал: В останні 5 років розгорнулася робота по створенню загальної теорії систем диференціальних рівнянь Громіздкість аналітичного апарату, що при цьому використовується, зумовила розвиток геометричних методів, які роблять теорію більш прозорою і наочною У цьому напрямку в математичну науку були введені нові поняття, на базі яких одержано нові результати, частину з яких ми тут наводимо И далее идет речь о биссектрисе и внутреннем диаметре тела, казалось бы простейших геометрических понятиях, которые явились центральным звеном в доказательстве основных теорем докторской диссертации ВЯ Скоробогатько Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными ВЯ Скоробогатько так определяет биссектрису: Грубше кажучи, бісектриса фігури є її середньою лінією внаслідок того, що кожна точка локально найбільш віддалена від межі S області D Аналогічно вводиться поняття бісектриси і у випадку області D, розташованої у просторі вимірності В книге приводятся несколько фигур с обозначением биссектрис: x Б D Обычно ВЯ Скоробогатько прибегал к такому наглядному толкованию биссектрисы плоской фигуры: биссектрисы это маршруты, по которым должна перещаться девушка в озере, держась подальше от хулиганов на берегу И еще ВЯ Скоробогатько говорил: Биссектриса угла известна более двух тысяч лет, но биссектриса фигуры введена мною Как опытный педагог, ВЯ Скоробогатько на семинарах, лекциях и в публичных выступлениях часто обращался к притчам, историям, пословицам и поговоркам Думается, привлечение художественных образов было не просто приемом, поз воляющим удерживать внимание аудитории или способом точнее и эффективнее донести до слушателя мысль Видимо, ВЯ Скоробогатько искренне разделял известный постулат Карла Вейерштрасса: математику требуется воображения не меньше, чем поэту Дело не в буйстве фантазии, а в общности приемов, присущих как художественному, так и научному творчеству Одному из авторов этой книги довелось декабрьским вечером 995 г сопровождать ВЯ Скоробогатько из центра города к его дому на улице Козланюка Возвращались с книжкиных именин ВЯ Скоробогатько, только что выписавшийся из донецкой клиники, где ему уже не могли помочь, представлял свою последнюю книгу Методы математики Обычно книжкины именины справлялись шумно На этот раз было не до веселья ВЯ Скоробогатько показал собравшимся в отделе книжку в темно-коричневом переплете, зачитал Зміст, несколько фраз, и все стали мало-помалу расходиться Мы продвигались по Пекарской, было темно и морозно Разговор шел о гиблом положении науки, научных карликах, болтунах-демократах и прочих обыденных вещах Неожиданно Виталий Яковлевич вспомнил своего старого товарища академика Ярослава Степановича Подстригача, долгое время бывшим директором института и уже три года, как ушедшего из жизни
343 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 9 Вспомнил, как будто продолжал неоконченный спор Вопреки обстоятельствам, никаким христианским смирением не сквозило Егор Булычев в пьесе Горького сокрушался перед смертью: Жизнь прожил не на той улице Виталий Яковлевич жил математикой и, похоже, в конце пути был удовлетворен балансом Здесь вспоминается другой случай, относящийся к декабрю уже 994 г Обычно после семинара, если сообщение было удачным, ВЯ Скоробогатько приглашал докладчика, прихватывая еще одного-двух наиболее активных участников семинара, в ближайшее кафе и обсуждение семинара продолжалось в другом интерьере Была пора купонов, когда компот и копеечный салат из капусты тянули на десятки тысяч денежных единиц Виталий Яковлевич уже был болен, но внешне это мало в чем проявлялось, семинары же следовали по заведенному порядку один за другим Посреди беседы ВЯ Скоробогатько сказал фразу, очень уж диссонировавшую с убогим застольем: Ветвящиеся цепные дроби обессмертили меня В другой раз ВЯ Скоробогатько вспоминал, как навещая приятеля университетского профессора, дышавшего, что называется, на ладан, услышал от того: У Вас есть ветвящиеся цепные дроби Вам можно позавидовать ВЯ Скоробогатько не единожды отмечал, что его высокочтимый учитель академик Ярослав Борисович Лопатинский долгое время относился к его занятиям ветвящимися цепными дробями снисходительно В последние годы жизни Лопатинский стал понимать, что ветвящиеся дроби это серьезно, добавлял Виталий Яковлевич ВЯ Скоробогатько множество раз подчеркивал, с каким превеликим трудом давались ему и его ученикам первые шаги в теории ветвящихся цепных дробей и такие привычные теперь обозначения и определения Это когда сделано, так вроде и думать тут нечего, говорил он и продолжал: Был большой риск Я испытывал ответственность перед моими первыми аспирантами Боднарчуком, Пустомельниковым и Слоневским, пошедшими за мною в разработке нового математического аппарата Но мы победили направление получило признание ВЯ Скоробогатько по-отечески относился к своим сотрудникам и ученикам День в отделе он начинал с обхода, как врач своих палат У каждого из присутствовавших спрашивал: Успіхи є? В ответ, как правило, слышалось невнятное бормотание Виталий Яковлевич любил давать советы, особенно в организации здорового образа жизни У него всегда наготове были рецепты из народной медицины от тех или иных напастей Никогда не уклонялся хлопотать за своих, хотя чиновничество обычное или научное, не любил, и кажется, жалел этот отряд человечества Несмотря на умудренность, ВЯ Скоробогатько проявлял порой откровенную наивность в ряде жизненных ситуаций Так, ему представлялось, что вот-вот воздастся по заслугам и он будет избран в Академию В 978 году не хватило одного голоса, чтоб попасть туда Виталий Яковлевич очень переживал неудачу, не избежал инфаркта, но считал, что справедливость восторжествует Однако ситуация с выборами повторялась: всякий раз не хватало чуть-чуть При приближении 6-летнего юбилея Виталий Яковлевич почти по секрету рассказывал ближайшим сотрудникам, что в мэрии есть мнение отметить его, заслуженного деятеля науки Украины, имеющего десятки учеников и международное признание, улучшив ему жилищные условия Известно, что ВЯ Скоробогатько жизнь прожил в небольшой квартире, полученной в начале пятидесятых годов при решающей финансовой поддержке тещи из костромской глухомани С ростом семейства квартира была уже тесна По словам Виталия Яковлевича в мэрии обещали не просто новую квартиру, а двухэтажный особняк Он живо описывал, как на втором этаже особняка разместится его кабинет, в котором непременно разместится доска, чтобы можно было в любой час с мелом в руке вести с учениками обсуждение
344 4 ГЛАВА 8 математических проблем Семинарские занятия были для ВЯ Скоробогатько формой существования У нас есть возможность привести фрагмент рукописной страницы из письма ВЯ Скоробогатько к президенту Академии наук СССР Гурию Ивановичу Марчуку Письмо датировано 8 октября 986 г Так как почерк ВЯ Скоробогатько в высшей степени неразборчив, дадим подстрочник завершающего фрагмента: Я могу приехать в Москву вместе со своими учениками и проинформировать Вас более подробно о наших работах Замечу, что имею 4 еженедельных семинара на протяжении лет (теория ветвящихся цепных дробей, дифференциальные уравнения с частными производными, вычислительная математика, общая теория относительности) Повторяю, что Ваша поддержка будет поддержкой того, что еще осталось живо от руководства шкурников и карьеристов Действительно, на первой странице цитируемого письма ВЯ Скоробогатько к ГИ Марчуку говорилось: Кратко опишу научные достижения современных математиков Львова с тем, чтобы Вы были знакомы с ними, а также с целью установления научных контактов ученых, сгруппировавшихся около Вас и тем, что еще осталось в живых в математической науке на Украине после многолетнего бездарного руководства математикой на Украине со стороны Далее шли фамилии Истина конкретна, этой краткой фразой ВЯ Скоробогатько часто прерывал туманные разглагольствования Его раздражало, что, казалось бы, революционная и чрезвычайно перспективная для вычислительной математики теория ветвящихся цепных дробей не встречала не то что энтузиазма, но даже маломальского внимания со стороны научного начальства Ведь мы сидим на золоте!, возглашал он, и указывал, как на Западе вовсю раскручивают куда менее значимые теории ВЯ Скоробогатько при случае напоминал, что он автор семи новых направлений в математике Из семи он особо выделял два своих детища: теорию ветвящихся цепных дробей и многоточечную геометрию В 989 году, к двадцатипятилетнему юбилею клуба творческих математиков, были выпущены памятные медали, которые
345 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 4 бы увековечивали оба творения На фотографии показана медаль, посвященная открытию ветвящихся цепных дробей Медали были изготовлены в незначительном количестве, ибо нашлось мало охотников приобрести их даже за весьма умеренную плату рублей, хотя качество медалей было отменным Естественно, памятные медали создавались скульптором-медальером по эскизам Виталия Яковлевича Основная идея медалей самые глубокие математические теории рождаются из созерцания и осмысливания окружающего нас мира ВЯ Скоробогатько всю жизнь интересовался философией Это особенно ярко запечатлелось в одной из последних его книг: Дивлюсь на світ як математик, которая вышла в 994 году Характерны заголовки параграфов этой небольшой книги: Біблійні істини з точки зору математики, Імовірнісна інтерпретація розв язків основних рівнянь математичної фізики, Розкриття причин імовірнісної природи світу, Філософія багаточкової геометрії, Простори дробових вимірів, Філософія теорії гіллястих ланцюгових дробів И хотя ВЯ Скоробогатько в математике был суровым материалистом, в жизни он находился значительно ближе к идеализму, скептически относясь к откровению: Бытие определяет сознание Он не разделял кредо людей эпохи рыночных отношений: в начале надо создать прочный экономичный базис, а уж потом можно всерьез заняться делом, в том числе и наукой Он не сомневался, что такая премудрость ведет в конце концов к жизненному краху ВЯ Скоробогатько полагал, что жизнь ставит вопросы в ином порядке Здесь он не был оригинален Великий химик ДИ Менделеев, кстати, в свое время проваленный на выборах в Императорскую Академию наук, был убежден, что только духовно одаренные люди и способны привести общество к материальному процветанию Случалось, Виталий Яковлевич глухо роптал, видя, как его ученики, в том числе и талантливые, все более отдаляются от науки, встав на административную стезю В самом деле, многие специалисты отходили от математического аппарата, который оказывался не в состоянии достойно прокормить своего исследователя На фотографии, которая была задумана к юбилею Виталия Яковлевича, отмечавшемуся в июле 98 года, запечатлены многие его ученики Как отмечалось в аннотации к книге Методы математики, Скоробогатько ВЯ створив математичну школу, з якої вийшло вісім докторів наук і біля тридцяти кандидатів наук Не все из присутствующих на фотографии обрели с годами общенародную известность, поэтому приведем фамилии:
346 4 ГЛАВА 8 Первый ряд (слева направо): Крупка ЗІ, Пелех ЯМ, Максимів ЄМ, Боднар ДІ, Пташник БЙ, Кучмінська ХЙ, Марко ВФ, Кукс ЛМ, Клюйник ІФ, Шмойлов ВІ, Пелих ВО, Каленюк ПІ Второй ряд: Комарницький ЯІ, Штабалюк ПІ, Обшта АФ, Боднарчук ПІ, Сявавко МС, Слоньовський РВ, Миронюк ПЙ, Мельничук ЮВ, Коробчук ІВ, Мойсак ПП, Огирко ОВ, Пасічник ТВ
347 ИЗ ИСТОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ 4 Во Львове, в центральной части города, на стене дома 5 по улице Лермонтова (ныне улица Дудаева), можно видеть мемориальную доску со скульптурным портретом ВЯ Скоробогатько: У цьому будинку в роках працював видатний математик, Заслужений діяч науки Укра їни, професор Віталій Скоробогатько И всё же, как нам представляется, лучшая часть научной и педагогической деятельности ВЯ Скоробогатько прошла в доме на тихой улице Кармелюка, где в небольшом зале на первом этаже долгие годы, с 975 по 987, шли бесконечные семинары Скоробогатько Виталий Яковлевич непременно сидел в первом ряду, внимательно слушал докладчика, нередко комментируя с места или выходя к доске
348 ПРИЛОЖЕНИЕ Классическая формула Вейерштрасса w(,, x) = cos( πx), (П-) = где < <, а нечётное натуральное число, известна почти сто пятьдесят лет Примечательна функция Вейерштрасса тем, что являясь непрерывной функцией, она при > π + не имеет производной, что в своё время несказанно поразило математическую общественность, вызвав едва ли не кризис в самой математике Несмотря на длин- ную историю, тем не менее, практически не известны работы, где бы функция Вейерштрасса рассматривалась экспериментально, что позволяло бы исследователям иметь достоверные сведения о значениях и графиках этой функции при тех или иных параметрах Это тем более актуально, что само вычисление функции Вейерштрасса на компьютере имеет некоторые технические сложности Приведённые в Приложении результаты вычислений функции Вейерштрасса получены с большой точностью, а данные имеют пятьдесят верных десятичных разрядов В табл П- и П- приведены значения функций Вейерштрасса с параметрами = 7, = 9, x = и = 9, = 7, x =, полученные при учёте различного числа членов ряда (П-) Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ), полученные вычислением отрезка ряда П- Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e e e- Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7;, ), полученные вычислением отрезка ряда П- Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e-
349 ПРИЛОЖЕНИЕ e e e e e e e e- В табл П- и П-4 приведены значения функцций Вейерштрасса с параметрами = 7, = 9 и = 9, =,7 при различных x Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных x x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд), e-, е+, e-, е+, e-8, е+, e-, е+, e-, -e, e- Таблица П-4 Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7) при различных x x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд), e-, е+, e-, е+, e-45, е+, e-, е+, e-, -4е+, e- В табл П-4 и П-5 приведены значения функций Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7 при различных значениях х, причём, функции Вейерштрасса вычислялись не с использование рядов w(,, x) = cos( πx), = а постороенным по этим рядам соответствующим цепным дробям Соответствующие цепные дроби для рядов, представляющих функции Вейерштраса, конечные В колонке табл П-4 и табл П-5 приведены значения нулевых коэффициентов цепных дробей, а в колонках 4 этих же таблиц показаны число звеньев конечных цепных дробей, представляющих функцию Вейерштрасса Сравнивая табл П- с табл П-5 и табл П-4 с табл П-6, можно видеть, что значения функций Вейерштрасса, определённые с испоьзованием рядов и конечных цепных дробей, совпадают вплоть до 5-го десятичного разрада Надо, однако иметь ввиду, что для вычисления значения функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 в точке, с точностью 46 десятичных разрядов потребовалась, как то слкдует
350 46 ПРИЛОЖЕНИЕ из табл П-, отрезок ряда с 4 членами, то же время, для точного определения значения функции Вейерштрасса с теми же параметрами = 7, =,9 в точке х =, необходима конечная цепная дробь, имеющая всего 5 звеньев (Табл П-5) Таблица П-5 Вычисление функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 при различных х конечными цепными дробями x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w, e e- 5, е e- 5, e e- 5, е e- 5, e e-4, е e- 5, e e- 5, е e- 5, e e- 5, e e- 5 Таблица П-6 x, аргумент Вычисление функции Вейерштрасса с параметрами = 9, =,7 при различных х конечными цепными дробями Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w, e e-, е e-, e e-, е e-, e e-4, е e-, e e-, е e-, e e-, e e- Производная функции Вейерштрасса может формально быть записана расходящимся рядом: W (,, x) = [ π si( πx)] = (П-) Преобразуем расходящийся ряд (П-) в соответствующую цепную дробь Оказывается, соответствующая расходящемуся ряду (П-) будет конечной, причём, с числом звеньев таким же, как имеет соответствующая цепная дробь для сходящегося ряда, представляющего функцию Вейкрштрасса В табл П-7 и табл П-8 приведены значения конечных цепных дробей, представляющих производные функций Вейерштрасса с параметрами, соответственно, = 7, =,9 и = 9, =,7 в различных точках х Таблица П-7 Значения производной функции Вейерштрасса w (7;, 9) при различных x x, аргумент Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e- e e- 668e e- -676e e e e- -98e e- 9556e-5 5
351 ПРИЛОЖЕНИЕ e- 79e e e e- -445e e e e-5 5 Таблица П-8 Значения производной функции Вейерштрасса w (9;, 7) при различных x x, аргумент Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e- 5545e e- -76e e e e e e e e e e e e e e e e e e-5 Интеграл функции Вейерштрасса si ( πx) π (П-) В табл П-9 приведены значения интеграла функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, = 7, определёнными при различных значениях х построением по ряду П- соответствующей цепной дроби Таблица П-9 Значения интеграла функции Вейерштрасса w(7;, 9) x, аргумент Значение интеграла функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e e e 668e e -676e e -5594e e -98e e 9556e e 79e e -4664e e -445e e 76655e-5 5 Таблица П- Значения интеграла функции Вейерштрасса w(9;, 7) x, аргумент Значение интеграла функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e 5545e e -76e e e e -5499e e 4
352 48 ПРИЛОЖЕНИЕ e e e e e e e -7957e e e-55 Оказалось, что число звеньев конечных соответствующих цепных дробей, постороенных по рядам представляющим функцию Вейерштрасса w(,, x) = cos( πx), = (П-4) зависит от x, точнее от числа десятичных разрядов, представляющих х В табл П- и П- приведены результаты вычисления функции Вейерштрасса с параметрами (7;,9;,) и (9;,7;,), соответственно, при использованиии различного числа членов ряда (П)-4 Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7;, ) Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e e e-
353 ПРИЛОЖЕНИЕ 49 В табл П- и П-4 приведены результаты вычисления функций Вейерштрасса с параметрами = 7, = 9 и = 9, =,7 при различных значения х При вычислении значений функции Вейерштрасса использовались ряды (П-4), с числом членов, обеспчивающих определение значений функции с точными пятидесятью десятичными разрядами Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных х x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд) e e e e Таблица П-4 Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7) при различных х x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд) e e e e e e e e e e- В табл П-5 и П-6 приведены результаты вычисления значений функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7 при различных х Значения функции вычислялись при помощи соответствующих цепных дробей, построенных для рядов (П-4) В колонке 4 таблиц П-5 и П-6 указано число звеньев конечных дробей В сравнении с аналогичными таблицами, в которых х имеет один десятичный разряд, конечные цепные дроби, для функций Вейерштрасса при х, записываемых в двух десятичных разрядах, имеют большее число звеньев Таблица П-5 Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9) в различных точках х, определённые цепной дробью x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e e e e e e e e e e e e e e-98 9
354 5 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П-6 Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7) в различных точках х, определённые цепной дробью x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e e e e e e e e e e e e e e e e-96 9 Производная функции Вейерштрасса W (,, x) = [ π si( πx)] (П-5) = В табл П-7 и П-8 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7 в различных точках х Значения производной функции Вейерштрасса определены построением по расходящися рядам (П-5) соответствующих цепных дробей Эти цепные дроби конечные и их длина такая же, как и соответствующих цепных дробей для аналогичных рядов функции Вейерштрасса Таблица П-7 Значения производной функции Вейерштрасса w (7;, 9) в различных точках x x, аргумент Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e e e- -775e e- -48e e- 9757e e- -678e e- -84e e- 5487e e- 695e e e e- -988e Таблица П-8 Значения производной функции Вейерштрасса w (9;, 7) в различных точках x x, аргумент Значение производной функции Вейерштрасса (дробъ) Значение, w звена, w e- 6e e e e- -97e e- -49e e- 459e e- 64e e- -486e e- 795e e- 44e e- -98e-498 9
355 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 В табл П-9 и П- приведены значения функции Вейерштрасса с параметрами = 7, = 9 и = 9, = 7, установленными при x = с учётом различного числа членов ряда Таблица П-9 Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) при различных х Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e e e- Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7;, ) при различных х Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e e e- Из сравнения табл П-9 и П-, как и аналогичных таблиц, приведённых раннее, следует, что ряд Вейерштрасса w(,, x) сходится тем быстрее, чем меньше значение коэффициента Например, вычисление значения функции Вейерштрасса w(9;,7;,) с точными пятидесятью десятичными разрядами обеспечивается отрезком ряда, содержащего не более 4 слагаемых, в то время, как в случае функции Вейерштрасса w(9;,7;,) для обеспечения такой же точности необходим отрезок ряяда, имеющего порядка 48 слагаемых В табл П- приведены значения функции Вейерштрасса с параметрами = 9, = 7, установленные в различных значения х
356 5 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П- Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7) x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд), e, e, e, e, e, e, e, e, e, e Из табл П- видно, что значения функции Вейерштрасса в точках х, разделённых полупериодом, то есть единицей, равны по модулю, но имеют различные знаки В табл П- и П- приведены значения функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7, установленные при различных значения х с использованием соответствующих цепных дробей Таблица П- Определение значений функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных х построением соответствующих цепных дробей x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w, e 74e-94, e 8e-94, e 9e-95, e e-98 7, e e-94 9, e -87e-94, e -66e-95, e 95e-97 7, e -585e-95, e -48e-95 Таблица П- Определение значений функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных х построением соответствующих цепных дробей x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w, e 9e , e 75e-899 4, e e-899 4, e -4e-9, e -8e-9 9, e 8e-899 4, e -6e , e 75e-9, e 67e-899 4, e 46e Из данных третьих колонок таблиц П- и П- следует, что соответствующие цепные дроби, построенные по ряду Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7, конечные В колонке 4 этих же таблиц показано число звеньев конечных цепных дробей для различных значений х Сравнивая число звеньев конечных цепных дробей, построенных для функции Вейерштрасса для х с одним, двумя и тремя десятичными
357 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 разрядами, можно сделать вывод, что длина конечных соответствующих цепных дробей растёт с ростом числа десятичных разрядов, которые представляют точку х Кроме того, для некоторых значений х, имеющих одинаковое число десятичных разрядов, конечные цепные дроби могут быть разной длины Длины конечных цепных дробей для функции Вейерштрасса с разными параметрами и также различны В табл П-4 показаны результаты вычисления производной функции Вейерштрасса построением соответствующей цепной дроби по расходящемуся ряду, которым формально может быть представлена производная W (,, x) = [ π si( πx)] = при параметрах = 9, =,7 Таблица П-4 Определение производной функции Вейерштрасса w (9;, 7) при различных х x, аргумент Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e e e e e e e- 765e e e e- 9869e e- 4844e e e e- 995e e e В таблице П-5 показаны результаты вычисления интеграла функции Вейерштрасса si (πx ) π = при параметрах = 9, =,7 для различных значений х Таблица П-5 Определение значения интеграла функции Вейерштрасса x, аргумент Значение интеграла функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w звена, w e 74445e e -8478e e -9746e e 765e e -5844e e 9869e e 4844e e 55768e e- 995e e 57644e Надо отметить, что число звеньев конечных соответствующих цепных дробей, представляющих функцию Вейерштрасса, а также производную и интеграл этой функции, одинаково Продолжим экспериментальное изучение свойств функции Вейерштрасса В табл П-6 и П-7 приведены результаты вычисления функции Вейерштрасса с параметрами = 9, =,7 и = 7, = 9 при x = с учётом различного числа слагаемых ряда Веёерштрасса cos( πx) =
358 54 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П-6 Определение значения функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e e e- Таблица П-7 Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7;, ) Число членов Значение функции Вейерштрасса (ряд) ряда e e e e e e e e e e e- В табл П-8 и П-9 приведены значения функции Вейерштрасса с параметрами = 9, = 7 и = 7, = 9, установленные при различных значения х Таблица П-8 Значения функции Вейерштрасса w(9;, 7) при различных значения х x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд) e e e e e- Таблица П-9 Значения функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных значения х x, аргумент Значение функции Вейерштрасса (ряд) e
359 ПРИЛОЖЕНИЕ 55 Окончание табл П e e- В табл П- и П- приведены точные значения функции Вейерштрасса с параметрами = 7, =,9 и = 9, =,7, установленные при различных значения х с использованием соответствующих цепных дробей Таблица П- Определение значений функции Вейерштрасса w(7;, 9) при различных х построением соответствующих цепных дробей x, Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w аргумент звена, w e- 699e e- 49e e e e- -89e e e e- 7e e e- 868e-478 Таблица П- Определение значений функции Вейерштрасса w(9;, 7) при различных х построением соответствующих цепных дробей x, Значение функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w аргумент звена, w e- -9e e e e e e e e- -4e e e- -59e e- -8e-5 Сравнивая табл П-, в которой приведено число звеньев конечной цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса w(9;,7) в точках х, имеющих три десятичных разряда, с табл П-, где указано число звеньев цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса с этими же параметрами, но в точках х, имеющих четыре десятичных разряда, можно обратить внимание на резкое увеличение длины конечных цепных дробей для х с четырьмя десятичными разрядами В приложении зависимость числа звеньев конечной соответствующей цепной дроби от числа десятичных разрядов в записи значения х рассмотрены более подробно В табл П- и П- показаны результаты вычисления производной функции Вейерштрасса построением соответствующей цепной дроби по расходящемуся ряду, которым формально может быть представлена производная функции Вейрштрасса то есть по ряду W (,, x) = [ π si( πx)] при параметрах = 7, =,9 и = 9, =,7
360 56 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П- Определение производной функции Вейерштрасса w (7;, 9) при различных х x, Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w аргумент звена, w e e e- 9765e e- -4e e- 476e e- 948e e- -854e e- 454e e- -58e e- 547e e- -85e-478 Таблица П- Определение производной функции Вейерштрасса w (9;, 7) при различных х x, Значение производной функции Вейерштрасса (дробь) Значение, w аргумент звена, w e- 844e e- -456e e- -e e- -8e e- -486e e- -4e e e e- -78e e- -e e- e-4
361 ПРИЛОЖЕНИЕ В таблицах Приложения приведены значения коэффициентов соответствующих цепных дробей, построенных для функции Вейерштрасса и её производной Также приведены значения подходящих цепных дробей, которые получены для функции Вейерштрасса и её производной, с тем, чтобы установить характер сходимости подходящих дробей для этих цепных дробей Так как функция Вейерштрасса непрерывная, то при достаточно большом количестве звеньев должна легко обнаруживаться сходимость цепной дроби, представляющей функцию Вейерштрасса Напротив, есть основания предполагать, что цепная дробь, построенная по ряду, формально представляющему производную функции Вейерштрасса, будет расходящейся в том смысле, что значения её подходящих дробей при их последовательном вычислении не дают приближения значения производной за которое можно принять значение построенной конечной цепной дроби Графически значения серии подходящих дробей ведут себя аналогично графикам классических расходящихся цепных дробей, которые при суммировании их r/φ-алгоритмом имеет комплексные значения В табл П- П- даны результаты вычисления функций Вейерштрасса и её производной построением конечных соответствующих цепных дробей Вычисление функции Вейерштрасса и её производной осуществлялось при параметрах: w(,, x) = cos( πx), = w (,, x) = [ π si( πx)] = = 7; =,9; x = (П-) Разрядность данных при вычислении коэффициентов соответствующих цепных дробей по алгоритму Рутисхаузера составляла 5 Таблица П- Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-5
362 58 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П- Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-5 Таблица П- Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-498 Таблица П-4 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-497 Таблица П-5 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-48
363 ПРИЛОЖЕНИЕ 59 Таблица П-6 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-478 Таблица П-7 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-477 Таблица П-8 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса
364 6 ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл П e-476 итерации Таблица П-9 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-7 Таблица П- Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-69
365 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Таблица П- Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-5 Таблица П- Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7;, 9;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значение подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-5 В табл П- П-4 приведены результаты вычисления функции Вейерштрасса w(,, x) и её производной w (,, x) при параметрах = 7 и = в различных точках х Особенность этих таблиц в том, что функция Вейерштрасса, как и ёё производная, определяются при параметрах >, а именно = Как известно, классическая функция Вейерштрасса определяется сходящимся рядом (П-) при < < При > ряд (П-) будет расходящимся, значение которого может быть установлено построением, так называемых, соответствующих цепных дробей Эти сооответствующие цепные дроби оказываются конечными, как и в случае построения соответствующих цепные дробей для сходящиххся рядов Вейерштрасса (П-), когда < < Число звеньев конечных цепных дробей, построенных для расходящихся рядов, то есть при > w(,, x), совпадает с числом звеньев конечных цепных дробей, установленных для аналогичных сходящихся рядов w(,, x) при < <
366 6 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П- Значения подходящих дробей функции Вейерштрасса w(7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-5 Таблица П-4 Значения подходящих дробей производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-5 Таблица П-5 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-498 Таблица П-6 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-497
367 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Таблица П-7 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-48 Таблица П-8 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-478 Таблица П-9 Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса
368 64 ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл П e-477 Таблица П- Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-476 Таблица П- Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-68
369 ПРИЛОЖЕНИЕ 65 Таблица П- Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) итерации Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби производной функции Вейерштрасса e-68 итерации Таблица П- Результаты вычисления функции Вейерштрасса w(7; ;, ) Значения коэффициентов цепной дроби Значения подходящих цепной дроби функции Вейерштрасса e-5 Таблица П-4 Результаты вычисления производной функции Вейерштрасса w (7; ;, ) Значения коэффициентов Значения подходящих цепной дроби итерации цепной дроби производной функции Вейерштрасса
370 66 ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл П e-5
371 ПРИЛОЖЕНИЕ На рис П- и П- представлены графики функции Вейерштрасса (П-) в зависимости от параметров и на интервале 4, то есть на интервале, включающем два периода функции Вейерштрасса =,5; = =,5; = =,5; = 5 =,5; = 7 =,5; = 9 Рис П- Графики функции Вейерштрасса w(,5; ; x) в зависимости от параметра
372 68 ПРИЛОЖЕНИЕ =,; = 7 =,; = 7 =,5; = 7 =,7; = 7 =,9; = 7 Рис П- Графики функции Вейерштрасса w(7; ; x) в зависимости от параметра