Определенный интеграл и его приложения

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Методические указания по дисциплине «Математика» Определенный интеграл и его приложения Нижний Новгород 5

2 Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл одно из основных средств математического анализа Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и тд сводится к вычислению определенного интеграла Пусть на отрезке [, ] задана непрерывная функция f Разделим отрезок а, на п произвольных частей точками n n, выберем на каждом элементарном отрезке k, k произвольную точку ξ k и найдем длину каждого такого отрезка: k k k Определение Интегральной суммой для функции, называется сумма следующего вида σ f ξ n k k k f на отрезке, причем эта сумма имеет по определению конечный предел I, если для каждого ε найдется такое число δ, что при m δ при любом выборе чисел ξ k k неравенство σ I ε выполняется Определение Определенным интегралом от функции f на отрезке, (или в пределах от а до ) называется предел интегральной суммы (если он существует) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков ( m k ) стремится к нулю: I f d m m lim σ lim f ξ k k k k k n Если функция Теорема существования определенного интеграла f непрерывна на отрезке,, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка, на элементарные отрезки и от выбора точек ξ k При этом числа а и соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования

3 Если f на,, то определенный интеграл f d с геометрической точки зрения представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями f. (рис ) = f( ) = = = Рис Приведем далее без доказательства основные свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из определения: d f f d ; d f ; c d f d f f d ; gd f d g f d ; 5 C f d C f c d, где С постоянная величина; 6 Оценка определенного интеграла Если т и М наименьшее и наибольшее значения функции f на отрезке f d M m ;, и, то

4 f 7 Если на отрезке, функции f и условию g f, то d f g d ; g удовлетворяют 8 Теорема о среднем Если функция f непрерывна на,, то на этом отрезке имеется такая точка, что справедливо следующее равенство: d f ξ f Рассмотрим правила вычисления определенного интеграла Если Формула Ньютона Лейбница F есть какая-либо первообразная от непрерывной функции, то справедлива формула d F F f Она называется формулой Ньютона Лейбница или основной формулой интегрального исчисления Эта формула дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная подынтегральной функции Пример Вычислить интеграл d cos 6 6 d π π tg tg tg cos 6 6 Пример Вычислить интеграл e d e d e e e e Пример Вычислить интеграл d

5 d d Простейшие методы вычисления определенных интегралов Замена переменной в определенном интеграле Пусть дан интеграл f d, где функция формулой Если ), f непрерывна на отрезке ; t ) t и t непрерывны на отрезке, ; ) f t определена и непрерывна на отрезке, Введем новую переменную t,, то f d f t t dt Отметим, что при вычислении определенного интеграла в данном случае мы не возвращаемся к старой переменной Пример Вычислить интеграл Сделаем замену переменной новые пределы: при t, при d sin t, тогда d costdt Определим t Следовательно, d sin t costdt cos tdt cost dt dt costdt t sin t sin sin Пример 5 Вычислить интеграл e ln d 5

6 Сделаем замену переменной пределы: при t, e при t Следовательно, d ln t, dt Определим новые e ln d tdt t Если Интегрирование по частям u u и v v - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке,, то можно воспользоваться следующей формулой: uv udv vdu Пример 6 Вычислить интеграл e d Пусть u, dv e d, откуда du d, v e Тогда e d e e d e d Применим формулу интегрирования по частям еще раз Положим dv e d, откуда du d, v e Следовательно, e u, e d e e e d e e e e e e e В некоторых случаях при вычислении определенных интегралов удобно пользоваться формулами вида: ) если f - нечетная функция, те f f d f ; ) если f - четная функция, те f f f d f d Пример 7 Вычислить интеграл csin d, то Подынтегральная функция нечетная, следовательно,, то 6

7 csin d Пример 8 Вычислить интеграл sin d Подынтегральная функция четная, поэтому Интегрируя по частям, полагая v cos Следовательно, sin d sin d sin d u, dv sin d, откуда получаем du d, sin d cos cos d cos sin Примеры для самостоятельной работы Вычислить интегралы: d х х d e sin ln d / cos sin d / d 5 sin sin d 6 7 cos 9 х cos ctgd d 5 / sin d 8 e sin d Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f, прямыми и формуле:, и отрезком S f d f, оси Ох, вычисляется по 7

8 Площадь фигуры, ограниченной кривыми f, f f f и прямыми,, вычисляется по формуле: S f f d Если кривая задана параметрическими уравнениями t, t, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми, и отрезком оси Ох, выражается равенством: t t t S dt, где t и t определяются из уравнений t t ) t t, ( t t t при Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением θ β α β, находится по формуле θ ρ ρ и полярными радиусами θ α и S ρ θ d Пример 9 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды t sin t, cost и осью Ох Здесь d costdt, а t изменяется от t до t Следовательно, cost costdt cost dt cost cos t dt cost cost dt cost cost dt 6 dt 8 costdt costdt 6t 8sin t sin t 8

9 ρ cosθ Пример Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой Нарисуем график данной кривой (рис ) Рис Видим, что данная фигура симметрична, поэтому достаточно найти только четвертую часть искомой площади, соответствующей изменению от до, и поэтому S cosθ θ sin θ d Пример Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и гиперболой 8 6 A(,) B(,) Рис Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых: 9

10 или Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители, откуда, и, Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках A, и, S B (см рис ) Следовательно, d ln 8 8 ln 8 ln 8 58 Примеры для самостоятельной работы Вычислить площади фигур, заданных следующими линиями: у х, у х = ; у, х ху, х (I четверть); у = sin, у = - х ; у 5 х (I четверть); 5 cost sin t, cost sin t ; 6 cos t, sin t ; 7 ρ cosθ, ρ cosθ ; 8 ρ sin θ (площадь одной петли); 9 θ ρ cos ; ρ, θ π, θ π cos(θ π) Если кривая Вычисление дуги плоской кривой f на отрезке, - гладкая (те производная f непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле: L d При параметрическом задании кривой t, t ( t, t - непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t до t, вычисляется по формуле:

11 L t t dt θ Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ ρ, α θ β, то длина дуги равна L ρ ρ dθ Таким образом, Пример Найти длину дуги кривой Дифференцируя уравнение кривой, имеем: ln sin х от ln sin cos ctg sin до L ctg d d sin ln tg ln tg ln 6 ln ln Пример Найти длину дуги кривой 9t sin t, 9 cost t до t Следовательно, Вычислим производные по параметру t: 9 cost L cost 9sin t от, 9sin t 9 dt 9 cost cos t sin tdt 9 t costdt 9 sin dt 8 sin dt 6cos 6 7 t t Пример Найти длину дуги кривой Имеем ρ θ Следовательно, ρ θ от θ до θ π L θ θ dθ θ θ dθ θ d θ θ 8 θ 8

12 Примеры для самостоятельной работы Вычислить длины дуг кривых: х у от х = до х = у ln sin от х = до sh от х = до х = t t, t, от t = до t = 5 6 t e cost, t e sin t, sin t cost, sin t cost, 7 ρ cosθ от t = до t = от t = до t = θ 8 ρ cos от = до 9 ρ sin θ θ Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, те в виде S S, объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями, и, находится по формуле V S d, то Пример 5 Найти объем тела, в основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием а Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента (см рис )

13 z M B E O K C D A Рис По условию задачи имеем -m/ D v AB, OC h, MK DE, OK m O m/ u K E Выразим площадь поперечного сечения как функцию от х, для чего предварительно найдем уравнение параболы Длину хорды DE можно получить из подобия треугольников DE h, те DE h Положим ABC и DEC, а именно h MK h DE KC или h DE m, тогда уравнение параболы в системе координат uov примет вид данного тела: v m u m Отсюда находим площадь поперечного сечения S m m m m m u du mu u m, m m или h S h Таким образом, h h h V Sd d h h 9 6

14 Вычисление объема тела вращения Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой f и прямыми. вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле V d Если фигура, ограниченная кривыми f, g g, вращается вокруг оси Ох, то объем f и прямыми тела вращения V d Пример 6 Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и (рис 5) = Рис 5 Определяем точки пересечения данных кривых Для этого решаем уравнение, откуда, те, Следовательно, 5 V d 5 5 Примеры для самостоятельной работы Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных линиями: у 6, e, х =, у =

15 ,, В цилиндрический стакан с водой вложен параболоид вращения вершиной вниз Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высотой цилиндра Найти объем оставшейся в стакане воды, если радиус равен а, а высота - 5 Найти объем тела, ограниченного плоскостями х =, х =, если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при х = площадь сечения равна 7 (кв ед) 5 Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривой f то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле вращается вокруг оси Ох, t t t S d Если кривая задана параметрическими уравнениями, то t, t S t dt t Пример 7 Найти площадь поверхности, образованной вращением, вокруг оси Ох дуги кривой Находим, тогда Произведем замену переменной от до S 9 d интегрирования по t: если, то t ; если t, 6 d dt Определяем пределы, то t Таким образом, S t 9 d t dt t d t 6 9 5

16 9 5 6 t Примеры для самостоятельной работы Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуг кривых: 6 cos от х = до 7 sh от х = до х = 8 9, х = 5, х 9 t cos t, sin t 6 Приложения определенных интегралов Статические моменты инерции и моменты инерции плоских фигур и дуг Пусть на плоскости хоу задана система материальных точек A. A n n, n с массами m, m,, m n A,, Определение Статическим моментом M этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты: M n k m k Аналогично (как сумма произведений масс точек на их абсциссы) определяется статический момент системы относительно оси Оу: k M n k m k k Определение Моментами инерции I и I системы относительно осей Ох и Оу называются суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси Таким образом, I n k mk k, I mk При этом за статические моменты и моменты инерции плоских фигур и дуг принимают соответствующие моменты условных масс, равномерно n k k 6

17 распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой f где dl d выражаются по формулам: M dl, M dl, I dl, I dl, - дифференциал дуги кривой Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой вычисляются по формулам: f, осью Ох и двумя прямыми,, M ds d, M ds d, Здесь I d, I ds d ds d - дифференциальная площадь криволинейной трапеции Пример 8 Найти статический момент и момент инерции полуокружности относительно оси Ох Статический момент M будем вычислять по формуле M dl, где dl d, а Тогда M Находим момент инерции относительно оси Ох: I dl d d d d d Введем подстановку sin t, d costdt ; если то t ; если, то t Следовательно, 7

18 I sin t costdt cos tdt costdt t sin t Пример 9 Найти момент инерции площади эллипса cost, sin t относительно оси Оу Момент инерции площади эллипса относительно оси Оу равен I ds, где ds d Из параметрических уравнений эллипса находим: sin tdt sin tdt ds sin t функция четная; а, во-вторых, что если получим, откуда, учитывая, во-первых, что, то t ; если, то - t, I ds cos t sin tdt cos t sin tdt sin tdt Примеры для самостоятельной работы costdt t sin t Найти статические моменты и моменты инерции дуги астроиды cos t, sin t, лежащей в I четверти Найти момент инерции параболического сегмента, ограниченного параболой и прямой у =, относительно оси Ох Найти момент инерции и статический момент прямоугольника со сторонами а и относительно осей симметрии прямоугольника Найти полярный момент инерции круга диаметром d, те момент инерции относительно оси, проходящей через центр круга и перпендикулярной его плоскости 8

19 Нахождение координат центра тяжести Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой на отрезке, выражаются формулами: f L dl ; dl, L где dl d, а L длина дуги Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам: где ds S ds S d, а S площадь фигуры d; ds d, S S ch Пример Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии на отрезке, Поскольку данная кривая симметрична относительно оси Оу, то ее центр тяжести лежит на этой оси, следовательно, Остается найти Имеем sh ; тогда dl sh d ch d ; а длина дуги L d ch d sh sh Таким образом, L dl sh ch d sh ch d sh sh sh 8 sh sh sh Пример Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса cost, sin t, расположенной в первой четверти, и осями координат В первой четверти при возрастании х от до а величина t убывает от до ; поэтому 9

20 S d S costsin t S sin tdt sin t costdt sin td sin t S sin S t S Воспользовавшись формулой площади эллипса S, получим Аналогично находим S d S sin t sin tdt cos td cost Таким образом, cost cos t, Примеры для самостоятельной работы Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями х =, х, у =, cos 5 Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченной линиями, у = 6 Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями, у = Работа переменной силы Вычисление работы и давления X f на отрезке,, вычисляется по формуле A f d, действующей в направлении оси Ох Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S,

21 умноженной на глубину погружения h, на плотность и ускорение силы тяжести g, те P ρghs Пример Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а и радиус R Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине х и имеющего длину а, ширину m и толщину d, равен dv md d Элементарная работа, совершаемая при поднятии этого слоя воды на высоту х, равна da ρg d, где - плотность воды Следовательно, ρg d ρg g ρ A Пример Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h 5 м и радиусом основания R 5 м на его стенки, если ρ 9 кг/м выражается так: Отсюда Элемент силы давления на поверхность стенки в выделенной полоске dp ρgrd h h P Rρg d Rρg Rρgh H 67H 6 7kH Примеры для самостоятельной работы 7 Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания равен а и высота равна 8 Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерны равна а, а диаметр равен d? 9 Цилиндрический баллон диаметром, м и длиной,8 м наполнен газом под давлением кпа Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема, в два раза меньшего?

22 5 Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой а и радиусом ( = 9 кг/м ), на стенки бака на каждом метре глубины 5 Скорость точки меняется по закону v = + 8t (где v выражается в м/c) Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [, ]? 5 Скорость точки меняется по закону v = (6 t) (где v выражается в м/c) Каково наибольшее удаление точки от начала движения? Несобственные интегралы Вычисление несобственных интегралов Несобственными интегралами называются: ) интегралы с бесконечными пределами; ) интегралы от неограниченных в точке функций Несобственный интеграл от функции определяется равенством d f lim f d f в пределах от а до + Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности - расходящимся Аналогично f d lim f d и d f Если функция непрерывна при f lim d f имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка c и c, то по определению полагают, и f cα d f d lim f lim d α β cβ Несобственный интеграл f d (где c f, c ) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них

23 Пример Вычислить несобственный интеграл cos d Имеем sin sin lim sin lim cos d lim sin lim, те предел не существует Следовательно, несобственный интеграл расходится Пример 5 Вычислить несобственный интеграл Подынтегральная функция четная, поэтому d d d Тогда d d lim lim ctg lim ctg Таким образом, d, те несобственный интеграл сходится Пример 6 Найти d поэтому имеем Подынтегральная функция f в точке неограничена, а d lim d lim ln те несобственный интеграл расходится Пример 7 Найти Имеем e d lim e d e d lim lim e ln ln d lim e, lim e,

24 те несобственный интеграл сходится Примеры для самостоятельной работы Вычислить несобственные интегралы: ctg d 5 d 5 55 d d ln d 58 ( d )( ) Признаки сравнения несобственных интегралов При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения: ) если функции f и интегрируемы на отрезке, A, где g определены для всех и A, и если f g для всех, то из сходимости интеграла g d вытекает сходимость интеграла ) если при порядка f d, причем d g функция f d ; f является бесконечно малой p по сравнению с, то интеграл при p и расходится при p Если функция f d сходится f определена и непрерывна в промежутке и является бесконечно большой порядка р по сравнению с, то интеграл при f d сходится при p и расходится при p d Пример 8 Исследовать сходимость интеграла

25 Подынтегральная функция меньше, чем f в промежутке интегрирования d g, а интеграл является сходящимся Следовательно, данный интеграл тоже сходится ln Пример 9 Исследовать сходимость интеграла e d sin Подынтегральная функция f в промежутке интегрирования положительна и f при Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби; имеем ln

sin при, откуда те ln lim e lim lim sin f является бесконечно большой порядка, p по сравнению с Следовательно, по признаку второй заданный интеграл сходится Примеры для самостоятельной работы Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов: ln( ) e 59 d 6 cos d 6 d ctg d 6 d 6 tg Приближенное вычисление определенных интегралов Не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона Лейбница затруднительно, и применяются различные методы их приближенного вычисления Приведем далее несколько способов приближенного интегрирования, исходя из понятия определенного интеграла как предела суммы 5

26 Формула прямоугольников Пусть на отрезке [, ] задана непрерывная функция = f() Разделим этот отрезок точками =. n = на n равных частей длины х: х n Обозначим далее через у, у, у,, уn-, уn значения функции f() в точках k = + k (k =. n) Составим суммы ух + ух + + уn-х, ух + ух + + уnх Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f() на отрезке [, ] и поэтому приближенно выражает интеграл: или f ( ) d ( n ) n предельная абсолютная погрешность f ) n R n R ( ) d ( n Rn ; ( ) M, где M m f ( ) n [, ] Это и есть формулы прямоугольников Из рис 6 видно, что если f() положительная и возрастающая функция, то первая формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из вписанных в прямоугольную трапецию прямоугольников, а вторая формула площадь ступенчатой фигуры, состоящей из описанных около криволинейной трапеции прямоугольников = f() n n n- = n- n= Рис 6 6

27 Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (те чем меньше шаг деления ) n Формула трапеций Естественно ожидать, что получится более точное значение определенного интеграла, если данную кривую = f() заменить не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис 7) В этом случае для приближенного вычисления определенного интеграла получим формулу вида: n f ( ) d ( n ) n R, ( ) где Rn m f ( ) - предельная абсолютная погрешность (точное n [, ] ( ) значение погрешности δt f ( c), где < c < ) Это и есть формула n трапеций Отметим, что число, стоящее в правой части этой формулы, есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул прямоугольника = f() n n n- = n- n= Рис 7 Формула Симпсона (формула парабол) Разделим отрезок [, ] на четное число равных частей n = m Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [, ] и [х, х] и ограниченной заданной кривой = f(), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки М х, ), ( у 7

28 М х, ), М х, ) и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис 8) Такую ( у ( у криволинейную трапецию называют параболической у M M M = f() = m- m= Рис 8 В этом случае, для приближенного вычисления имеем формулу вида f ( ) d (( m ) ( m ) ( m )) Rn, m 5 ( ) IV где Rn m f ( ) - предельная абсолютная погрешность (точное 8(m) [, ] 5 ( ) IV значение погрешности δ S f ( c), где < c < ) Это и есть 8(m) формула Симпсона Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла f ( ) d по формуле Симпсона можно применять следующий прием Полагая n = m, вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага интеграла есть I; затем шаг проводят для шага х ; пусть найденное значение m удваивают и вычисление по формуле Симпсона х) ; пусть найденное значение интеграла есть I; m ( погрешность второго вычисления приблизительно в 6 раз больше погрешности первого и обе они имеют одинаковый знак Поэтому погрешность первого вычисления (при шаге (учитывающей и знак погрешности): х ) определяется следующей формулой m 8

29 δ S I I 5 Этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений Пример Вычислить по формуле прямоугольников интервал интегрирования на частей Оценить погрешность В данном случае d, разбив у х ; при n = имеем х, Точками деления служат х ; х х х, ; х,;; х, 9 9 Найдем далее соответствующие значения подынтегральной функции: у х, у,, 9, у =,95, у =,, у =,8, у5 =,5, у6 =,65, у7 =,, у8 =,, у9 =,78, у =, Используя формулу прямоугольников, получим d =,(, +,9 +,95 +, +,8 +,5 +,65 +, + +, +,78) =,,98, Оценим погрешность В данном случае f ( ) на отрезке [, ] достигает наибольшего значения, равного,5, при х = Таким образом, f ( ) Лейбница: Отсюда находим Следовательно, ( ) R n,5 d,,5 Вычислим для сравнения этот же интеграл по формуле Ньютона d d ( ),9 Таким образом, действительно, истинное значение интеграла лежит в найденном интервале 9

30 Пример Вычислить интеграл n = ; оценить погрешность d по формуле трапеций, приняв При тех же обозначениях, что и в предыдущем примере, используя формулу трапеций, получим, d =,( +,9 +,95 +, +,8 +,5 +,65 +, + +, +,78),8 Далее f ( ) ; f ( ) на отрезке [, ] Таким образом, по формуле предельной относительной погрешности имеем ( ) R n, Итак, d,8, Пример Вычислить приближенно по формуле Симпсона х d с точностью до, Прежде всего, определим, какой шаг заданной точности Имеем f ( ) ; f ( ) ; нужно взять для достижения f ( ) ; ( ) f ( ) ; ( ) 5 Наибольшее значение f IV ( ) f IV ( ) 7 ( ) на отрезке [, ] достигается в точке IV х = : f () Значит, R ( х) 8 ( ) ( ) 8 IV n ( ) f ( ) Поскольку эта погрешность должна быть меньше,, то,, те 6 ( ),6 Можно принять х =,5 (если х =,5, то ( ), 65 ), те несколько больше нужной величины, но это не отразится на точности

31 вычислений, поскольку при оценке была использована предельная абсолютная погрешность величина заведомо большая физической погрешности Итак, для достижения нужной точности достаточно разбить интервал интегрирования пополам Вычислим значения функции f ( ) при х = ; х =,5; х = : f ( ), ; f (,5), 8 ; f (,), (вычисления проведем с одним запасным знаком) Поэтому,5 х d (,,8,),77 Таким образом, округляя последний знак, находим х d, 78 Вычислим для сравнения точное значение этого интеграла по формуле Ньютона Лейбница: х [ х d ln( х )] ln( (, ),88),78 Таким образом, значение этого интеграла, вычисленное по формуле Симпсона, имеет даже не три, а четыре верных знака после запятой d Пример Вычислить по формуле Симпсона, приняв n = 8 Вычисления вести с шестью знаками после запятой Оценить погрешность полученного результата, пользуясь способом удвоения шага вычислений; сравнить результат с истинным значением интеграла, взяв последнее с одним запасным (седьмым) знаком Нужно определить значения подынтегральной функции для следующих значений аргумента (х =,5): х =, х =,5,, х6 =, Находим соответствующие значения f ( ) : у =,, у =,9865, у =,976, у =,8767, у =,8, у5 =,79, у6 =,6, у7 =,56689, у8 =,5 Подставляя эти данные в формулу Симпсона при х =,5 и х =,5:

32 х,5 I ( 8 ( у5 7 ) ( 6 )) (,,5 (,9865,8767,79,5667 (,976,8,6) 8,8958,78598; х,5 I ( 8 ( 6 ) ) (,,5 (,976,6),8 9,7,7859 Отсюда δ I I S Таким образом, все шесть знаков I должны быть точными Истинное значение интеграла есть d ctg что подтверждает найденный результат Примеры для самостоятельной работы 6 Вычислить по формуле Симпсона,785979, d с точностью до,, приняв n = 65 Вычислить по формуле Симпсона ln d с точностью до,, приняв n = 66 Вычислить по формуле трапеций e d с точностью до,, приняв n = / cos 67 Вычислить по формуле трапеций d с точностью до,, приняв n = 6

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎