Математика для поступающих в магистратуру 2021
Действительные числа. Точные верхняя и нижняя грани. Предел последовательности. Критерий Коши.
Предел и непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса и теорема о промежуточных значениях. Равномерная непрерывность.
Производная. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Пространство Rⁿ. Открытые, замкнутые и компактные множества.
Мера Жордана в пространстве Rⁿ.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные.
Кривые в Rⁿ. Длина кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода.
Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный интеграл. Критерий Коши. Абсолютная и условнаясходимость. Признак Дирихле.
Числовые ряды. Признаки Коши и Даламбера, интегральный признак. Эталоны. Абсолютная и условная сходимость. Признак Дирихле.
Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса, признак Дирихле и критерий Коши равномерной сходимости ряда.
Степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара. Ряд Тейлора.
Матрицы. Определители матриц 2-го и 3-го порядков.
Направленные отрезки. Векторы. Линейная зависимость векторов.
Базис. Матрица перехода.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Прямая на плоскости и в пространстве.
Произведение матриц. Детерминант матрицы n-го порядка. Теорема Крамера.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.
Линейное пространство. Линейные отображения и преобразования в линейном пространстве. Собственные векторы и собственные значения.
Билинейные формы. Квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Евклидово пространство. Матрица Грама.
Самосопряженные преобразования. Ортогональные преобразования.
Коэффициенты Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.
Интегралы, зависящие от параметра. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки Вейерштрасса и Дирихле. Критерий Коши. Непрерывность интеграла по параметру. Дифференцирование и интегририрование интеграла по параметру.
Преобразование Фурье. Интеграл в смысле главного значения. Прямое и обратное преобразование Фурье. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.
Функциональные пространства. Евклидовы и нормированные пространства. Пространства $$C[a;b]$$, $$CL_1[a;b]$$, $$CL_2[a;b]$$, $$RL_1[a;b]$$ и $$RL_2[a;b]$$. Полнота нормированного пространства. Полные системы в нормированных пространствах. Суммы Фейера. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
Неявная функция. Якобиан.
Условный и безусловный экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
Кратный интеграл Римана. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.
Криволинейные интегралы 2-го рода. Формула Грина. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.
Дивергенция поля. Формула Гаусса-Остроградского. Ротор поля. Формула Стокса.
Ряд Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье и остатка ряда Фурье.
Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру. Признаки Вейерштрасса и Дирихле. Критерий Коши.
Функциональные пространства. Полнота нормированного пространства. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения Бернулли и Риккати. Интегрирующий множитель.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Матричная экспонента. Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений и для уравнения n-го порядка в нормальном виде. Особые решения.
Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Определитель Вронского. Теорема Лиувилля-Остроградского.
Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовые портреты линейных систем 2-го порядка.
Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений и линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка.
Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Вариационная задача со свободным концом. Вариационная задача без ограничений.