Поток жидкости через поверхность

Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.

Поток жидкости через поверхность

Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём $\mathbf < \textit < V >> $ течёт поток жидкости, имеющий скорость $\bar < v >(M)$ в точке $\mathbf < \textit < M >> $. Пусть в $\mathbf < \textit < V >> $ размещена проницаемая < возможно, воображаемая >поверхность $\sigma $. Требуется найти количество $\Pi $ жидкости, протекающей через $\sigma $ за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

В случае, когда $\sigma $ - ограниченная плоская область и $\bar < v >(M)= \overline < const >$, решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием $\sigma $ и боковой стороной $\bar < v >(M)$. Площадь основания объёма равна $\sigma $ < этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь >, высота $h=\mbox < пр >_ < \bar < n >> \bar < v >=\vert \bar < v >\vert \cos \varphi =\bar < v >\cdot \bar < n >$, т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, $\Pi =\bar < v >\bar < n >\sigma $. Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.

Возможны два способа представления этой величины.

Обозначив $f=(\bar < v >\cdot \bar < n >)$, получим $\prod = f\cdot\sigma$
Если в некоторой координатной системе $\bar < v >(M)$ имеет координаты $\mathbf < \textit > $, $\mathbf < \textit < Q >> $, $\mathbf < \textit < R >> $, единичный вектор $\bar < n >(M)$ имеет координаты - направляющие косинусы $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma $, то $\Pi =\bar < v >\bar < n >\sigma =(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\sigma =P(\cos \alpha \cdot \sigma )+Q(\cos \beta \cdot \sigma )+R(\cos \gamma \cdot \sigma )$.

Чему равно произведение $\cos \gamma \cdot \sigma $? Произведение $\vert \cos \gamma \vert \cdot \sigma $ равно площади $s(D_ < xy >)$ проекции $D_ < xy >$ поверхности $\sigma $ на плоскость $\mathbf < \textit < Oxy >> $ < площади всегда положительны >.

Следовательно, $\cos \gamma \cdot \sigma $ равно $s(D_ < xy >)$, если $\cos \gamma \geqslant 0$ < или, что то же самое, угол $\gamma $ - острый; проекция $\bar < n >(M)$ на орт $\bar < k >$ оси $\mathbf < \textit < Oz >> $ положительна > . Этот случай соответствует верхнему рисунка.

Соответственно, $\cos \gamma \cdot \sigma $ равно $-s(D_ < xy >)$, если $\cos \gamma <0$ < или, что то же самое, угол $\gamma $ - тупой; проекция $\bar < n >(M)$ на орт $\bar < k >$ оси $\mathbf < \textit < Oz >> $ отрицательна > . Этот случай соответствует нижнему рисунку. Итак, можно записать $R(\cos \gamma \cdot \sigma )=\pm R\cdot s(D_ < xy >)$.

Аналогично изложенному, $P(\cos \alpha \cdot \sigma )=\pm P\cdot s(D_ < yz >)$, где следует взять знак "+", если угол $\alpha $ - острый, и "-", если этот угол тупой, и $Q(\cos \beta \cdot \sigma )=\pm Q\cdot s(D_ < xz >)$, где берётся знак "+", если угол $\beta $ - острый, и "-", если этот угол тупой; $D_ < yz >$ - проекция $\sigma $ на плоскость $\mathbf < \textit < Oyz >> $, $D_ < xz >$ - проекция $\sigma $ на плоскость $\mathbf < \textit < Oxz >> $. Окончательно, $\Pi =\pm P\cdot s(D_ < yz >)\pm Q\cdot s(D_ < xz >)\pm R\cdot s(D_ < xy >)$.

Пусть теперь $\sigma $ - произвольная гладкая ограниченная поверхность, и скорость $\bar < v >(M)$ может меняться от точки к точке. Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём $\sigma $ сетью кривых на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i $, и, считая, что $\sigma _i $ - плоская область, скорость $v\bar < ( >M)$ по $\sigma _i $ постоянна и равна $\bar < v >(M_i )$ и что ориентация всей части $\sigma _i $ характеризуется единичным нормальным вектором $\bar < n >(M_i )$, получим, что через $\sigma _i $ в единицу времени протекает $\Pi _i =\bar < v >(M_i )\bar < n >(M_i )\sigma _i $ жидкости < $i=1,2,\ldots ,n$ >.

Как мы видели, это выражение можно представить и в виде $\Pi _i =\bar < v >(M_i )\bar < n >(M_i )\sigma _i =f(M_i )\sigma _i $ < где $f(M_i )=\left| < \bar < v >(M_i ) >\right|\cdot \cos \varphi (M_i ), \varphi (M_i )$ - угол между $\bar < n >(M_i )$ и $\bar < v >(M_i ))$, и в виде $\prod_ =\pm P(M_ )\cdot s( < D_ > _ < yz >)\pm Q(M_i)\cdot s( < D_ > _ < xz >)\pm R(M_i)\cdot s( < D_ > _ < xy >)$.

Суммируя эти выражения по всем $n$ дугам, получим выражения двух интегральных сумм: $\sum\limits_ < i=1 >^n < f(M_i )\cdot \sigma _i >$ и $\sum\limits_ < i=1 >^n < \left[ < \pm P(M_i )\cdot s( < D_i >_ < yz >)\pm Q(M_i )\cdot s( < D_i >_ < xz >)\pm R(M_i )\cdot s( < D_i >_ < xy >) >\right] > $.

Переход к пределу в этих интегральных суммах при $\mathop < \max >\limits_ diam (\sigma i )\rightarrow 0$ приведёт к двум поверхностным интегралам: $\iint\limits_\sigma < f(M)\cdot d\sigma >$ и $\iint\limits_\sigma < \pm P(M)ds_ < yz >\pm Q(M)ds_ < xz >\pm R(M)ds_ < xy >> $

Первый из этих интегралов называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности. Во втором интеграле элементы площади в координатных плоскостям принято записывать так, как мы это делали в двойном интеграле: $ds_ < yz >=dydz,ds_ < xz >=dxdz,ds_ < xy >=dxdy$ и опускать знаки перед слагаемыми: $\iint\limits_\sigma < P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy >$ - этот интеграл называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам. Как и криволинейные интегралы двух родов, это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, поверхностный интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности, так как угол $\phi$ входит в подынтегральную функцию в явном виде, в то время как поверхностный интеграл второго рода меняет знак при изменении стороны поверхности < вектор $\bar < n >(M)$ меняется на $-\bar < n >(M)$ > .

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Поток жидкости через поверхность

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Булевы функции от $n$ переменных

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Поток векторного поля через поверхность

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Специальные векторные поля

Введение

Криволинейный интеграл первого рода

Механические приложения тройного интеграла

Класс Te . Теорема о замкнутости Te

Гармонические поля

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎