автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему: Развитие и модификация метода Зейделя приближенного решения операторных уравнений
Автореферат диссертации по теме "Развитие и модификация метода Зейделя приближенного решения операторных уравнений"
На правах рукописи
КИРИЛЛОВА Людмила Николаевна
РАЗВИТИЕ И МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Работа выполнена в Ставропольском государственном университете
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор
Стеценко Владислав Яковлевич Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор
Федорснко Владимир Васильевич кандидат физико-математических наук, доцент Семилетов Владимир Андреевич
Ведушдя организация: Северо-Кавказский государственный
технический университет (г. Ставрополь)
Защита состоится 28 октября 2005г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, ауд. 214.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГУ по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1
Автореферат разослан « » у2005г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Многие математические модели экономических, физических, инженерных задач могут быть реализованы с помощью операторных уравнений. К операторным уравнениям приводится также широкий класс задач анализа, алгебры, теории интегральных и дифференциальных уравнений. При этом в большинстве случаев соответствующие уравнения приходится рассматривать в полуупорядоченных пространствах. Это объясняется тем, что, как правило, в постановке задачи практического содержания существенную роль играют соображения, связанные с положительностью решения или монотонной зависимостью решения от некоторых входящих в уравнение элементов. Так, например, при вариационном описании упругой струны нас интересует только положительное решение модели, отвечающее реальной форме струны.
Решение операторных уравнений при достаточно большом количестве неизвестных только в исключительных случаях удается найти в явном виде, например, в виде ряда. Поэтому для их решения приходиться использовать итерационные методы, которые позволяют найти приближенное решение с определенной степенью точности.
Актуальной задачей большого теоретического и практического значения является указание способа выбора наиболее рационального метода приближенного решения операторного уравнения При этом важно знать не только то, что выбираемый метод имеет более высокую скорость сходимости, но и иметь возможность провести сравнительный анализ эффективности применения того или иного численного метода, уметь оценить точность найденного приближения, а также оценить «зазор» скорости сходимости применяемых методов (т.е. сравнить выгоду, которую дает скорость сходимости, с трудоемкостью метода).
Исследованию этих вопросов и посвящена данная диссертация, которая продолжает исследования в области теории операторных уравнений и применение к их приближенному решению численных методов, проведенные М.Г. Крейном, О.И. Прозоровской, М.А. Красносельским, В.Я. Стеценко и их учениками.
В диссертации для отыскания приближенного решения операторного уравнения используется метод Зейделя, строятся его различные модификации, и проводится сравнительный анализ с методом последовательных приближений.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является указание способа выбора наиболее эффективного метода приближенного решения операторных уравнений посредством сравнения спектральных радиусов двух положительных операторов, разработка новых приемов ускорения сходимости итераций к решению операторных уравнений и их применение, уточнение оценок спектрального о «новатора
и априорных оценок решения операторного уравиения^ц^ иотецд |
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
1. Провести сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя и метода последовательных приближений (МПП) к точному решению линейных систем алгебраических уравнений, интегральных уравнений, уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным нормальным конусом, интегральных уравнений в пространстве функций с нетелесным конусом с целью указания наиболее рационального метода.
2. Разработать варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.
3. Уточнить двусторонние оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.
4. Применить разработанные методы к нахождению приближенных решений операторных уравнений.
5. Создать программное обеспечение, позволяющее реализовать пред ложенные методы.
Научная новизна выполненной диссертации заключается в следующем:
1. При сравнении метода Зейделя с МПП получены достаточные условия, гарантирующие более высолю скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.
2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.
3. Получены более точные, по сравнению с ранее известными, оценки снизу и сверху спектрального радиуса линейного оператора.
4. Выведен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.
5. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х *, отвечающему ведущему собственному значению.
6. Разработаны программы на языке программирования TURBO PASCAL, позволяющие реализовывать некоторые из полученных в данной работе методов и алгоритмов.
Методы исследований. Решение поставленных научных задач основывается на использовании численных методов, математического моделирования, функционального анализа, теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и производимых математических выкладок, базирующихся на теории операторных уравнений в полуупорядоченных банаховых пространствах и классическом функциональном анализе.
Эффективность предложенных методов подтверждается результатами ,, вычислительных экспериментов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая ценность заключается в получении новых достаточных условий, гарантирующих более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП к точному решению различных классов операторных уравнений, а также в получении более точных оценок спектрального радиуса линейного оператора При этом появляется возможность установить не только качественную, но и количественную оценку скорости сходимости выбранного метода.
Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами монотонных быстросходящихся приближений к решению операторных уравнений, рассматриваемых в различных пространствах, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (системы линейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений), задач математической экономики, математической физики, механики и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий по численным методам.
На защиту выносятся следующие положения:
1 Достаточные условия, обеспечивающие более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП для различных классов операторных уравнений.
2. Варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению для различных классов операторных уравнений.
3. Уточненные оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.
4 Метод построения приближений по недостатку и по избытку к точному решению линейных и нелинейных операторов.
Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе С ГУ в рамках дисциплин специализации.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002г.), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003г.). На 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2004г., 2005г.). На IV, У-й региональных научно-практических конференциях «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2004г., 2005г.), на XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Северо-Кавказского государственного технического университета за 2004 г. (Ставрополь, 2005 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, 3 приложений.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В работе рассматриваются операторные уравнения вида
где А — оператор, действующий в том или ином (вполне определенном) банаховом пространстве Е, полуупорядоченном некоторым конусом К.
В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств.
Выпуклое множество К сг ¿'называется конусом, если вместе с каждой
своей точкой х оно содержит луч, проходящий через х, и если из х, - х е К вытекает, что х ^ 0 (лучом, проходящим через точку X Е Е X Ф 0,
называется совокупность точек X £ (( > 0)).
Конус К, содержащий внутренние элементы, называется телесным Если любой элемент х пространства Е может быть представлен в виде X = и — V (и, V € К), то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства 0 < X < у следует, что ||х|| < М ||_у|,гдеМ-сопяг - константа нормальности, не зависящая ни от х нисгту.
Множество К функционалов сопряженного пространства Е , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса К а Е, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус К
Будем говорить, что х0 6 К С Е является квазивнутренним элементом, и обозначать х0 » 0 , если для любого / е К* (/^0) выполняется
Положительный линейный оператор А называется неразложимым, если для любого X > 0 из неравенства X > осАх (а > 0) следует, что дг >> 0.
Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Е множество в компактное множество.
Почти во всякой задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Как известно, те значения Я, при которых уравнение
где А — рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ( А - /) 1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Л , не являющихся регулярными, называется спектром оператора Л.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, указаны научная новизна, практическая значимость, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание диссертации.
Глава 1 содержит обзор итерационных методов: МПП и метода Зейделя, решения операторного уравнения (1) Здесь проводится сравнительный анализ скорости сходимости этих методов при решении систем линейных алгебраических уравнений, записанных в операторном виде (1), щеА = (ац), xeR", f е R".
На основе анализа, проведенного по результатам работ М.А. Красносельского и В.Я. Стеценко, обосновываются достаточные условия, при которых метод Зейделя обеспечивает более высокую скорость сходимости к решению линейных систем алгебраических уравнений по сравнению с МПП. Для этого вводится понятие нормы матричных операторов как одной из возможных характеристик скорости сходимости МПП и приводятся точные значения и оценки матричных норм. Т.к. в любом конечномерном пространстве любые две нормы являются эквивалентными, то особый интерес представляет наименьшая из всех возможных норм или некоторая числовая характеристика, являющаяся инвариантом в классе всех эквивалентных норм пространства Е. Этим инвариантом является спектральный радиус линейного оператора.
Спектральным радиусом г (А) линейного оператора А, действующим в банаховом пространстве Е, называется величина
если этот предел существует.
Возможность эквивалентной перенормировки пространства приводит к тому, что норма неотрицательной матрицы будет сколь угодно близкой к значению спектрального радиуса.
Для оператора А в уравнении (1) будем считать выполненным условие г (А) < 1, которое достаточно как для сходимости метода последовательных приближений, так и для сходимости метода Зейделя.
Приведем известный результат (М.А. Красносельский «Положительные решения операторных уравнений». — М.:Физматгиз, 1962): для любого Л , удовлетворяющего неравенству \Я\ > \\Л ||, метод последовательных приближений
Яхт+1 = Ахт + / (т = ОД. )
при любом начальном приближении xQ е. Е , сходится к точному решению х* (/) уравнения (1) со скоростью, не медленнее, чем геометрическая
• Причем сходится тем быстрее, чем меньше величина
Применение метода Зейделя к системе (1) осуществляется по следующей формуле
где А = А1 + Л2 и
где D = (/ - Ах)-' А2, /, =(/-/4,)-1/ . Это значит, что при соответствующей нормировке пространства Л" скорость сходимости метода Зейделя совпадает со скоростью сходимости Ml 111 (4), которая смоль угодно близка к скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем близким к значению спектрального радиуса r(D) матрицы D.
Таким образом, в случае, когда
метод (4) сходится быстрее МПП. При выполнении равенства f"(A ) = г ( D) скорости сходимости двух методов одинаковы.
Достаточные условия того, что метод Зейделя сходится не медленнее МПП, приведены в следующей теореме.
Теорема 1.11. Пусть А2 ^ 0 и выполняется условие г (А) < 1. Тогда выполняется неравенство r(D) < г (А), т.е. метод Зейделя определен и сходится не медленнее, чем метод последовательных приближений для решения уравнения X - Ах + /.
В §2 указаны условия, гарантирующие выполнение строгого неравенства (5), т.е. более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с МПП.
Теорема 1.12. Пусть матрица А; переводит каждый вектор и 0 с положительными координатами в вектор А