4.4. Переходные процессы в RLC-цепях

Рассмотрим переходные процессы в RLC-цепях на примере цепи последовательного колебательного контура рис. 4.3,а, потери в котором будем учитывать путем включения в цепь резистораR.

Рис.4.3. RLC-цепь (а) и переходные процессы в ней (б) и (в).

Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1, и подключим входное воздействие к контуру. Под действием подключенного источника u в контуре потечет ток i, который создаст напряжения uR, uL, uC .

На основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение

Учитывая, что будем иметь

Общее решение уравнения (4.34) будем искать в виде суммы свободной uС св и принужденной uС пр составляющих:

Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.34) при u = 0

Решение (4.36) зависит от корней характеристического уравнения, которое получается из (4.36) и имеет вид

Корни этого уравнения определяются только параметрами цепи R, L ,C и равны

где α = R/2L – коэффициент затухания контура;

– резонансная частота контура.

Из (4.38) видно, что корни р1 и р2 зависят от характеристического сопротивления контура и могут быть:

при R > 2ρ вещественными и различными;

при R < 2ρ комплексно-сопряженными;

при R = 2ρ вещественными и равными.

При R > 2ρ свободная составляющая будет равна:

Пусть входное воздействие u = U = const, тогда принужденная составляющая uпр = U. Учитывая выражение (4.39) и что uпр = U выражение (4.35) примет вид:

Зная uС находим ток в контуре

Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем начальные условия для uC и i при t = 0:

Решая систему уравнений (4.42) получаем:

Подставляя А1 и А2 в уравнения (4.40) и (4.41) и учитывая, что в соответствии с (4.38) p1 p2=1/LC будем иметь:

Графики изменения uС, i, uL в последовательном колебательном контуре при условии R > 2ρ приведены на рис. 4.3,б).

Моменты времени t1 и t2 определяются соответственно из условий

Анализ графиков, описываемых выражениями (4.43 – 4.45) показывает, что при R > 2ρ (при больших потерях) в контуре происходят апериодические процессы.

Рассмотрим процессы в контуре при R < 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем:

где – частота свободных затухающих колебаний. Решение уравнения (4.36) имеет вид

где A и θ – постоянные интегрирования

Учитывая (4.47) и что uпр = U находим закон изменения напряжения на емкости

Под действием uС в цепи протекает ток

Полагая в (4.48) и (4.49) t = 0 и учитывая законы коммутации получим

Решая систему уравнений (4.50) находим

Подставляя А в (4.48) и (4.49) и учитывая, что находим уравнения описывающие изменения uС, i, uL в контуре для случая R < 2ρ:

График изменения напряжения uС, определяемый выражением (4.51) изображен на рис. 4.3,б пунктирной линией. Из рисунка и выражения (4.51) видно, что если последовательный контур имеет малые потери (R < 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс.

Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при ненулевых начальных условиях. Установим ключ К в цепи рис. 4.3,а в положение 2. При этом произойдет отключение входного воздействия от цепи и цепь замкнется. Поскольку до коммутации цепи конденсатор был заряжен до напряженияuC = U, то в момент замыкания цепи он начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходной процесс.

Если в контуре выполняется условие R> 2ρ, то корни р1 и р2 в (4.38) будут вещественны и различны и решение уравнения (4.36) будет иметь вид

Напряжение uC создает ток в цепи

Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 положим t = 0 и учтем, что на момент коммутации uC = U, i = 0, тогда из (4.54) и (4.55) получим

Решая систему уравнений (4.56) находим

Подставляя А1 и А2 в (4.54) и (4.55) получаем уравнения для напряжения uC и тока i в цепи контура

Из выражений (4.57) и (4.58) видно, что при отключении входного воздействия от цепи контура, который имеет большое затухание (R > 2ρ) происходит апериодический разряд емкости С. Запасенная до отключения входного воздействия энергия в емкости WС = CU2/2 расходуется на покрытие тепловых потерь в резисторе R и создания магнитного поля в индуктивности L. Затем энергия электрического поля емкости WС и магнитная энергия индуктивности WL расходуется в резисторе R.

Найдем закон изменения напряжения uC и тока i в цепи, когда контур обладает малыми потерями, т.е. при условии R < 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид:

Под действием uC в цепи протекает ток

Для определения постоянных интегрирования А и θ учтем, что на момент коммутации t = 0, uC = U, i = 0 и подставляя эти значения в (4.59) и (4.60) получаем

Решая систему уравнений (4.61) находим

Подставляя А и θ в (4.59) и (4.60) и учитывая, что получаем уравнения, определяющие закон изменения напряжения и тока в контуре с малыми потерями

Анализ уравнений (4.62) показывает, что при отключении входного воздействия от контура с малыми потерями (R < 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в.

Скорость затухания периодического процесса характеризуют декрементом затухания, который определяется как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака

В логарифмической форме декремент затухания имеет вид

Из (4.64) видно, что затухание тем больше чем больше потери в контуре, которые определяются величиной R. При R ≥ 2ρ переходной процесс в контуре становится апериодическим. При R = 0 в контуре имеет место незатухающее гармоническое колебание с частотой . В реальных контурах R ≠ 0, поэтому в них имеют место затухающие колебания.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎