3. Аналитическая геометрия на плоскости
Это уравнение, напомним, выполняется в специальной системе координат, которая называется канонической. Числа $a, \, b$ называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Точки $(\pm a, \, 0)$ называются вершинами гиперболы. Выпишем элементарные свойства гиперболы.
1. Из уравнения следует, что $|x| \geq a$.
2. Так как переменные $x,y$ входят в уравнение гиперболы только в квадратах, то из того, что $(x,y)$ лежат на гиперболе следует, что точки $(\pm x, \, \pm y)$ также лежат на гиперболе при любом выборе знаков. Это означает, что гипербола симметрична при отражении относительной осей координат и имеет центр симметрии, точку $O$.
3. Гипербола состоит из двух ветвей, содержит точки, сколь угодно далекие от начала координат.
4. Решая уравнение (22) относительно переменной $y$, получаем: \[ y=\pm b \sqrt. \] Когда $|x| \rightarrow \infty$, ветви гиперболы приближаются к прямым $y=\pm bx/a$. Эти прямые называются асимптотами гиперболы, она лежит между ними. Положим для гиперболы $c=\sqrt$, эксцентриситет $\varepsilon = c/a$. Эксцентриситет описывает вытянутость гиперболы. Точки $(\pm c, \, 0)$ называются фокусами гиперболы. Как следует из определений, $c>a$, так что для гиперболы $\varepsilon >1$. Отрезки, соединяющие точку $M$ гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки $M$. Уравнение гиперболы очень похоже на уравнение эллипса, отличие - в знаке одного из членов уравнения. Поэтому и описание гиперболы в определенном смысле параллельно описанию эллипса. Доказательство теорем по существу повторяет доказательство аналогичных результатов для эллипса.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы модуль разности ее фокальных радиусов равнялась $2a$, \begin |r_1-r_2|=2a. (23) \label \end
1. Достаточность. Из рисунка получаем: \[ r_1=\sqrt, \quad r_2=\sqrt, \] так что выполняется условие (для определенности рассматриваем правую ветвь гиперболы, так что $r_1>r_2$) \[ \sqrt-\sqrt=2a. \] Покажем, что отсюда следует, что $(x,y)$ удовлетворяет уравнению (22). Надо избавиться от корней. Для этого перенесем один из корней направо и возведем в квадрат. Раскрывая скобки, получаем: \[ x^2+2xc+c^2+y^2=4a^2+4a\sqrt+x^2-2xc+c^2+y^2. \] Сокращая подобные члены и деля на 4, получаем: \[ a\sqrt=xc -a^2. \] Возводя еще раз в квадрат, приходим к формуле: \[ a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^2xc+x^2c^2. \] Сокращая еще раз подобные члены, получаем: \[ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2). \] Подставляя $c^2=a^2+b^2$, получаем соотношение, только множителем отличающееся от соотношения (22).
2. Необходимость. Пусть выполняется (22), вычислим $r_1$. Имеем: \[ r_1=\sqrt=\sqrt=\sqrt= \] \[ \sqrt=a+\varepsilon x. \] Вычисление $r_2$ по этой схеме приводит к результату (имеется отличие только в одном знаке!) $r_2=\varepsilon x -a$, из свойств гиперболы следует, что в правой части - положительное число. Вычитая, получаем (23). ч.т.д. Имеется еще одно описание эллипса. Введем т.н. директрисы гиперболы - прямые $x=\pm a/\varepsilon$, см. рис. 6. В данном случае $\varepsilon >1$, так что директрисы лежат между вершинами гиперболы.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы было равно эксцентриситету гиперболы, \begin r_2/d_2=\varepsilon. (24) \label \end
1. Достаточность. Пусть $r_2=\varepsilon d_2$. Из рисунка следует, что $d_2=a/ \varepsilon -x$, так что \[ \sqrt=a-\varepsilon x. \] Возводя в квадрат, получаем: \[ x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2\varepsilon x+\varepsilon ^2x^2. \] Приводя подобные члены и учитывая явное выражение для $\varepsilon $, получаем: \[ \frac+y^2=b^2. \] Это соотношение, после домножения на подходящий множитель, переходит в (22).
2. Необходимость. Пусть точка $(x,y)$ лежит на гиперболе, т.е. выполняется уравнение (22). Как было показано при доказательстве предыдущей теоремы, мы получаем $r_2=\varepsilon x -a$. Из рисунка: $d_2=x-a / \varepsilon $. Делим одно на другое - получаем (24). ч.т.д. \textit. Пусть известно следующее: фокусное расстояние $c=10$, она проходит через точку $(12, \, 3\sqrt)$. Напишем уравнение этой гиперболы. Подставляя точку в каноническое уравнение гиперболы, получаем: \[ \frac-\frac=1, \] Обозначая $b^2=s$, получим квадратное уравнение $s^2+89s-4500=0$. Его положительное решение $s=36$. Соответственно, $a^2=100-36=64$. Таким образом, искомая гипербола имеет вид \[ \frac-\frac=1, \]
Решение типовых задач.
Написать уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот, если вещественная полуось равна $\sqrt$ и гипербола проходит через точку $\textbf (5,\sqrt)$.
По условию $a=\sqrt$. Длину мнимой полуоси найдем, подставив в каноническое уравнение гиперболы координаты точки $\textbf$: \[ \frac-\frac=1 \] Отсюда $b=3$. Тогда можно записать каноническое уравнение гиперболы \[ \frac-\frac=1 \] и уравнения асимптот $y=\pm \fracx$.
Написать уравнение гиперболы с фокусами $F_1(-7;0)$ и $F_2(7;0)$, проходящей через точку $\textbf(-2;12)$.
Найдем фокальные радиусы точки $\textbf$: \[ r_1 = |MF_1| = \sqrt=13, \, \] \[ r_2 = |MF_2| = \sqrt=15. \] Согласно приведенной выше теореме, модуль разности фокальных радиусов равен длине большой оси гиперболы: $|r_1-r_2|=2a$, следовательно, в нашем случае имеем $|13-15|=2a$. Значит длина большой полуоси $a=1$. По условию $c=7$. Тогда из соотношения $c=\sqrt$ выразим малую полуось - $b=\sqrt=\sqrt=\sqrt$. Запишем каноническое уравнение гиперболы \[ x^2 - \frac=1. \]
Написать каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса $\frac+\frac=1$.
1. Написать уравнение гиперболы, полуось которой равна половине фокусного расстояния эллипса \[ \frac+\frac=1, \] а фокусное расстояние гиперболы равно большой оси эллипса.
2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если угол между ее асимптотами равен 60 градусов, и гипербола проходит через точку $(4\sqrt,2)$.
3. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом \[ \frac+\frac=1, \] эксцентриситет которой равен 1,25.
4. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом \[ \frac+\frac=1, \] и проходящей через точку $(4\sqrt,3)$.
5. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точки $(6,-1)$, $(-8, 2\sqrt)$.
6. Вычислить фокальные радиусы для точки (-5;9/4), лежащей на гиперболе \[ \frac-\frac=1. \]
7. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой эксцентриситет равен 2.
8. Вычислить полуоси гиперболы, асимптоты которой даны уравнениями $y = \pm 2x$ и фокусы находятся на расстоянии 5 от центра.
9. На гиперболе \[ \frac-\frac=1 \] найти точку, для которой расстояние от левого фокуса в 2 раза больше, чем расстояние от правого фокуса.
10. Через точку $(3,-1)$ провести хорду гиперболы \[ \frac-y^2=1, \] делящуюся в этой точке пополам.