Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Интеграл Бернулли для установившегося вихревого и безвихревого (потенциального) движения жидкости. Частные случаи вихревого движения
Идеальная жидкость - жидкость без вязкости. На самом деле любая жидкость вязкая. Модель идеальной жидкости применяется, если силы вязкости, действующие на ЖЧ, малы по сравнению с другими силами. Подставим в уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости (газа) - . Получим:
данные уравнения называются уравнениями Эйлера и описывают движение идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости.
Уравнение неразрывности имеет при этом выглядит:
В векторной форме уравнения Эйлера:
а в форме Громеки-Ламба: (4)
Для жидкости в баротропном состоянии - . В разделе «Гидростатика» мы ввели для баротропной жидкости функцию давления R: или . Подставим и в последнее уравнение Эйлера:
Для несжимаемой жидкости :
Как раньше обозначив , получим:
Уравнения Эйлера вместе с уравнение неразрывности (4 уравнения) содержат 5 неизвестных: В случае несжимаемой жидкости r известно и система замкнута. Для сжимаемого газа система дополняется уравнением состояния: .
Граничные условия для идеальной и вязкой жидкости различаются. В отсутствии вязкости жидкость не прилипает к стенке, а скользит вдоль нее с собственной скоростью. Условие непроницаемости стенки имеет вид:
где - проекция скорости жидкости на стенке по нормали к стенке; - проекция скорости стенки на нормаль к стенке.
Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.
1. Установившееся безвихревое (потенциальное) движение.
То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:
полученное соотношение (10) называют интегралом Бернулли.
2. Установившееся вихревое движение.
То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:
В общем случае вектора и не параллельны. Умножим уравнение Эйлера (11) на вектор- дифференциал линии тока :
так как , а согласно свойству линии тока, то Þ .
Кроме того, ранее было установлено:
другими словами вдоль линии тока:
получили интеграл Бернулли.
Для установившегося вихревого течения идеальной жидкости сумма остается постоянной вдоль линий тока, а для установившегося безвихревого течения идеальной жидкости сумма постоянна во всей области течения.
Частные случаи установившегося вихревого движения.
а) Изотермическое течение несжимаемой идеальной жидкости в поле силы тяжести.
Подставляя в (14) и Þ , получим:
б) Изотермическое течение идеального газа.
Согласно закону Бойля-Мариотта при постоянной температуре:
закон сохранения массы: (17)
Пусть - давление и плотность газа в некоторой точке течения.
Подставим (18) в выражение для функции давления:
Влиянием силы тяжести для газа можно пренебречь, то есть - .
Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:
Пусть - скорость газа в точке с . Тогда получим:
в) Адиабатное течение идеального газа.
Уравнение адиабатного процесса:
где k – показатель адиабаты (k=1.4 для воздуха).
Подставим (22) в выражение для функции давления:
В силу невесомости газа: .
Пусть - скорость газа в точке с . Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:
Вопрос
Силы, действующие в жидкости. Свойства напряжений. Тензор напряжений.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ЖИДКОСТИ.
Силы, действующие в жидкости.
В жидкости действуют не сосредоточенные, а распределенные силы. По характеру действия они делятся на поверхностные и массовые (объемные).
Поверхностные силы - это силы, возникающие из-за непосредственного контакта ЖЧ с соседними частицами или какими-нибудь телами. К поверхностным относятся силы давления и вязкости
В гидромеханике принято считать положительными растягивающие напряжения, то есть направленные в сторону внешней к рассматриваемому объему нормали.
Массовые силы – это силы, действующие одинаково на каждую материальную точку ЖЧ – элементарного объема жидкости. Поэтому они не могут вызывать деформации ЖЧ, а только ее замедление или ускорение. Примерами массовых сил являются сила тяжести, электромагнитные силы, силы инерции.
Для количественной характеристики массовых сил используют следующую величину
которая называется плотностью распределения массовых сил в точке, куда стягивается объем Имеет размерность ускорения
Для силы тяжести:
Значение поверхностной силы в точке в общем случае зависит от выбора элементарной площадки, проходящей через данную точку, а массовые силы определены однозначно.
Свойства напряжений. Тензор напряжений.
Переходя к пределу при и учитывая, что , получим:
Отсюда следует, что напряжение на любой площадке DSn может быть выражено через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.
Или в проекциях на оси:
Первый индекс указывает нормаль площадки, на которую действует напряжение, а второй индекс - ось, на которую проектируется данное напряжение. Напряжения с разноименными индексами (pxy) – касательные, с одноименными – нормальные (pxx).
То есть, напряжение на любой площадке DSn можно найти, если известна матрица:
Эта матрица называется тензором напряжение (тензор второго ранга).
Записывая уравнения моментов, можно показать, что:
- это закон парности касательных напряжений.
Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определяется шестью величинами – тремя касательными и тремя нормальными напряжениями.
Касательные силы обусловлены действием вязкости. Поэтому касательные напряжения равны нулю в идеальной (невязкой) жидкости. Касательные напряжения равны нулю также в покоящейся жидкости. Вспомните закон трения Ньютона: , вязкие напряжения возникают только при относительном сдвиге слоев. В этих случаях:
Из (10) и (12) следует:
называется гидродинамическим давлением в идеальной жидкости, и гидростатическим давлением в покоящейся жидкости. Оно всегда положительно, так как - напряжения сжатия.
1. Давление в точке – скалярная величина, равная модулю напряжения сжатия в данной точке.
2. Давление не зависит от ориентации элементарной площадки в данной точке.