Арифметические действия с числовыми рядами
Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки - от этого результат не изменится.
Числовой ряд - это сумма бесконечного числа слагаемых, и действия нужно производить с оглядкой на этот факт.
Как мы убедимся далее, абсолютно сходящиеся ряды полностью копируют поведение суммы конечного числа слагаемых, а условно сходящиеся - нет.
Содержание
Расставление скобок [ править ]
Под "расставлением скобок" в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность
[math]n_1 \lt n_2 \lt \dots[/math] [math]\sum a_n = (a_1 + \dots + a_) + (a_ + \dots + a_) + \dots[/math] [math]b_p = \sum\limits_^ a_k, \qquad n_0 = 1[/math]
Из построения видно, что частичная сумма ряда [math]b_p[/math] является некоторой частичной суммой ряда [math]a_n[/math] . Если исходный ряд сходится, то и ряд с расставленными скобками сходится к той же сумме. Обратное неверно: рассмотрим ряд с расставленными скобками
[math](1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0[/math]
Но ряд без скобок является расходящимся.
Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.
Перестановка слагаемых ряда [ править ]
Уточним, что понимается под перестановкой слагаемых ряда. Пусть [math]\varphi: \mathbb \rightarrow \mathbb[/math] - биекция.
Дан ряд [math]\sum\limits_^ a_n[/math] . Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_^ a_[/math] . Полученный ряд называется перестановкой ряда [math]a_n[/math] по правилу [math]\varphi[/math] .
[math]B_n = a_ + a_ + \dots + a_, \qquad m_n = \max\limits_[/math] В силу положительности ряда [math]a_n[/math] частичные суммы [math]A_n[/math] ограничены.
По линейности суммы ряда разложим исходный ряд на сумму двух вспомогательных:
Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):
Формула Эйлера [ править ]
Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.
Установим следующую формулу:
Воспользуемся тем, что [math]\ln 1 = 0[/math] :
[math]\ln n = \ln n - \ln 1 = \sum\limits_^ (\ln(k + 1) - \ln k) = \sum\limits_^ \int_^ \frac[/math]
По монотонности [math]\frac 1x[/math] : [math]\int_^ \frac \ge \frac 1[/math]
[math]H_n - \ln n = \frac 1n + \sum\limits_^ \left ( \frac 1k - \int_^ \frac x \right ) \qquad (*)[/math] [math]\frac 1k - \int_^ \frac x \le \frac 1k - \frac 1 = \frac 1 \le \frac 1[/math]
Итак, ряд [math]\sum\limits_^ \left(\frac1k - \int_k^ \fracx \right)[/math] является положительным и мажорируется сходящимся рядом [math]\sum\limits_^ \frac 1[/math] . Значит, этот ряд сходится.
Перестановка, меняющая сумму ряда [ править ]
Представленный ряд сходится, так как является рядом Лейбница. Пусть он сходится к [math]S[/math] , тогда [math]S_ \rightarrow S[/math] , но:
Переставим ряд следующим образом: за каждым слагаемым с нечётным номером пишем два последовательных слагаемых с чётными номерами
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
[math]\sum\limits_^ \left ( \frac 1 - \frac 1 - \frac 1 \right )[/math]
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
Перемножение рядов [ править ]
Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.
Организуем бесконечную матрицу из чисел [math]c_ = a_i \cdot b_j[/math] . Пусть [math]\varphi : \mathbb \rightarrow \mathbb^2[/math] — правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).
Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу [math]\varphi[/math] .
Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:
Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.
Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.
Определим [math]A'[/math] как сумму вспомогательного ряда [math]\sum\limits_^n a_n^+[/math] , [math]A''[/math] как сумму [math]\sum\limits_^n a_n^-[/math] . Аналогично определяем [math]B'[/math] и [math]B''[/math] .
При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:
Для удобства нумеруем слагаемые рядов [math]a_n[/math] и [math]b_n[/math] , начиная с нуля.
Пусть [math]\alpha_n = \sum\limits_^ a_kb_[/math] . Тогда сумма [math]\alpha_0 + \alpha_1 + \dots + \alpha_n[/math] — частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.
[math]D_n = \sum\limits_^ \sum\limits_^ a_jb_ = \sum\limits_^\sum\limits_^n a_j b_=[/math] [math]= \sum\limits_^n a_j \cdot \sum\limits_^n b_ = \sum\limits_^n a_j \cdot \sum\limits_^ b_k = \sum\limits_^n a_j B_[/math] [math]B_n \longrightarrow B \Rightarrow B_n = B + \beta_n, \ \beta_n \longrightarrow 0[/math] [math]D_n = \sum\limits_^n a_j (B + \beta_) = B \sum\limits_^n a_j + \sum\limits_^n a_j\beta_[/math]
Если доказать, что [math]\sum\limits_^n a_j\beta_ \longrightarrow 0[/math] , то из последнего равенства получается искомое.
[math]\beta_n \longrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \qquad \exists N: \forall n \ge N \qquad |\beta_n| \le \varepsilon[/math]
Перебросив индексы в сумме, получаем:
[math]\sum\limits_^n a_\beta_j \le \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right | \le \left |\sum\limits_^N a_\beta_j \right | + \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right |[/math]
Обозначим два слагаемых в последней сумме как [math]\Sigma_1[/math] и [math]\Sigma_2[/math] . Последовательность [math]\beta_n[/math] — бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом [math]M[/math] . Тогда
[math]\Sigma_1 \le \sum\limits_^ |a_| |\beta_j| \le M \sum\limits_^N |a_| = M \sum\limits_^n |a_j|[/math] .
Так как ряд [math]a_n[/math] абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при [math]n \longrightarrow \infty[/math] . Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт [math]\varepsilon[/math] . Итого, [math]\Sigma_1 \le M\varepsilon \qquad \forall n \ge N_1 \ge N[/math] .