П. П. СЕРЕБРЕНИЦКИЙ КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК СТАНОЧНИКА
3 34 6 С32 Павел Павлович Серебреницкий КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК СТАНОЧНИКА Рецензенты Р. И. Гжиров а М. С. Сахаров Заведующий редакцией Л. Н. Делюкин Редактор М. С. Чернова Художник В. И. Коломейцев Художественный редактор Н. Н. Гульковский Технический редактор А. И. Сергеева Корректоры Л. В. Вешнякова и Е. Н. Внукова ИБ 218 Сдано в набор Подписано к печати М Формат 84ХЮ87з2. Бумага тип. 3. Гарн. литературная. Печать высокая. Усл. печ л. 18,9. Усл. кр.-отт. 19,22. Уч.-изд. л. 1G.17. Тираж 1 экз. Заказ 472. Цена 95 коп. Ордена Трудового Красного Знамени Лениздат, 19123, Ленинград, Фон* танка, 59. Ордена Трудового Красного Знамени типография им. Володарского Лениздата, 19123, Ленинград, Фонтанка, 57 Серебреницкий П. П. С32 Краткий справочник станочника. Л.: Лениздат, с. с ил. (Для молодых рабочих). В справочнике приведены данные по единицам физических величин, математике, допускам и посадкам, машиностроительному черчению. В нем содержатся сведения о технологическом процессе и его элементах, режущем, вспомогательном и мерительном инструменте; приведены некоторые данные о металлорежущих станках. Справочник предназначен для молодых рабочих-станочников. Он будет полезен учащимся профессионально-технических училищ, а также средних и высших технических учебных заведений М171(3) Лениздат, 1982
4 Решениями XXVI съезда КПСС предусмотрено опережающее развитие машиностроения основы технического перевооружения всех отраслей народного хозяйства. Первоочередными в настоящее время являются задачи внедрения в производство различных прогрессивных технологий, высокопроизводительного оборудования и технологической оснастки, а также современных форм организации и управления производством. Высокая технико-экономическая эффективность мероприятий по повышению производительности труда, улучшению качества продукции обеспечиваются прежде всего внедрением новых видов оборудования и технологической оснастки. В промышленности резко возросло количество металлообрабатывающих станков, в том числе агрегатных, сложных многооперационных с разными видами программного управления, автоматических линий. Усложнилось оборудование общего назначения, повысились его точность, мощность, скоростные характеристики, функциональность. Внедряются средства адаптивного управления машинами и оборудованием. Высокопроизводительные методы обработки обусловливают все большее усложнение технологической оснастки, внедрение конструкций со сменными элементами и узлами, позволяющими использовать ее в групповых технологических процессах, с устройствами регулирования и компенсации износа. Более насыщенными и динамичными стали многие станочные операции, требующие соблюдения высокой технологической дисциплины, тщательного контроля не только размеров, формы и взаимного -расположения обрабатываемых поверхностей, но и их микро- и макрорельефов, физико-химических свойств поверхностного слоя и т. д. Из сказанного ясно, что современный рабочий-станочник должен обладать высокой, в ряде случаев почти инженерной профессиональной подготовкой, иметь широкий технический кругозор, хорошо знать возможности используемого оборудования. Он должен разбираться в сложной технологической документации, чертежах и принятых системах условных обозначений, уметь производить различные расчеты, грамотно назначать режимы резания, находить рациональные методы обработки деталей. В процессе профессиональной подготовки молодому рабочемустаночнику необходима различная литература, в том числе и справочная. Предлагаемый справочник содержит основные сведения для рабочих-станочников, занимающихся обработкой металлов резанием на токарных, фрезерных, сверлильных и других металлорежущих станках. В нем приведены данные по единицам физических величин, математике, допускам и посадкам, машиностроительному черчению, основные сведения о технологическом процессе и его элементах, ре- Э
5 жущем, вспомогательном и мерительном инструменте, металлорежущих станках. В некоторых его разделах даны тематические перечни стандартов, что позволяет быстро найти более полный материал по интересующему вопросу. Следует отметить, что сведения о государственных стандартах, действующих в СССР, приводятся в указателе «Государственные стандарты СССР», который издается ежегодно. Все стандарты размещены в нем по разделам, классам и группам. Наряду с государственными стандартами СССР (ГОСТ) в указателе приводятся данные о стандартах Совета Экономической Взаимопомощи (СТ СЭВ), которые в обязательном порядке применяются в народном хозяйстве СССР в качестве государственных стандартов. Стандарты СЭВ, не включенные в указатель, используются в основном в договорно-правовых отношениях между странами членами СЭВ. Если действующий государственный стандарт или его отдельные разделы полностью соответствуют стандарту СЭВ, то последний вводится в ГОСТ. Такой ГОСТ в скобках имеет обозначение стандарта СЭВ, например, ГОСТ (СТ СЭВ ). В обозначении некоторых стандартов ставится звездочка (*). Это означает, что в данном стандарте имеются изменения. Двумя звездочками отмечены стандарты, замененные или отмененные в частях, а тремя звездочками стандарты, которым присвоены обозначения ранее отмененных. Все данные об изменениях стандартов публикуются в ежемесячном Информационном указателе стандартов (ИУС). В нем приводятся также сведения о введении новых ГОСТов, о продлении срока действия тех или иных стандартов, об отмене устаревших и т. п. Автор надеется, что в представленном виде справочник будет полезным дополнением к имеющимся специальным справочникам и пособиям для станочников.
6 О Б Щ И Е ГЛАВА С В Е Д Е Н И Я АЛФАВИТЫ Таблица 1.1. Латинский и греческий алфавиты Начертание букв Название букв Начертание букв Название букв Начер1ание букв Назв-ание б\ кв Латинский алфавит А а а J J ЙОТ ЭС В ь бе К k к a т t тэ С с це L I эль U и У D d де M m эм V v ве Е е е N n эн W w дубль-ве F f эф О о О X х икс О g ге P p и э Н h аш Q я ку У У игрек I i и R r эр Z z зет Греческий а л ф а в И 1 А а альфа I i йота Р 1 ро в р бета К x каппа 1 а сигма гамма A \ ламбда Т т тау д ъ дельта M (x ми Г и ипсилон Е эпсилон N v ни Ф ср фи ъ с дзета S 5 КС и х х хи эта О о омикрон W ф ПСИ е ь тэта П n пи Q (о омега 5
7 1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С января 198 г. в СССР обязательным является применение единиц Международной системы единиц 1, а также десятичных кратных и дольных от них. Наименование, обозначение и правила применения единиц СИ определены ГОСТ (СТ СЭВ ). Основные и дополнительные единицы СИ приведены в табл Таблица 1.2. Основные и дополнительные единицы СИ Величина Единица Наименование Размерность Наименование Обозначе* ние Основные Длина L метр м Масса М киллограмм кг Время т секунда с Сила электрического тока I ампер А тем Термодинамическая пература е Кельвин К Количество вещества N моль моль Сила света У кандела кд Дополнительные Плоский угол радиан рад Телесный угол стерадиан ср Производные единицы СИ образуются из основных и дополнительных единиц СИ (табл. 1.3). Ряд производных единиц имеют специальные наименования (табл. 1.4). Производные единицы СИ со специальными наименованиями также используются для образования других произвольных единиц СИ (табл. 1.5). Допускаются к применению некоторые внесистемные единицы. Из единиц систем, ранее действовавших, временно допускаются к применению после января 198 г. следующие единицы: морская миля, узел, карат, оборот в секунду, оборот в минуту, бар, текс, непер. 1 Международная система единиц (международное сокращенное наименование SI, в русской транскрипции СИ) принята в 196 г. XI Генеральной конференцией по мерам и весам (ГКМВ) и уточнена на последующих ГКМВ. 6
8 Таблица 1.3. Некоторые производные единицы СИ, наименования которых образованы из наименований основных и дополнительных единиц Единица Наименование величины Наименование Обозначение Площадь Объем, вместимость Скорость Угловая скорость Ускорение Угловое ускорение Плотность Удельный объем Плотность электрического тока Напряженность магнитного поля Яркость квадратный метр кубический метр метр в секунду радиан в секунду метр на секунду в квадрате радиан на секунду в квадрате килограмм на кубический метр кубический метр на килограмм ампер на квадратный метр ампер на метр кандела на квадратный метр М 2 М 3 м/с рад/с м/с 2 рад/с 2 кг/м 3 м 3 /кг А/м 2 А/м кд/м 2 Таблица 1.4. Некоторые производные единицы СИ Единица Наименование величины Обоз Выражение через Наимено вание наче основные и дополни ние тельные единицы СИ Частота герц Гц Сила, вес ньютон Н М'КГ'С-* 2 Давление, механическое на паскаль Па М - Ь К Г ' С 2 пряжение, модуль упругости Энергия, работа, количество джоуль Дж М 2 *КГ'С
2 теплоты Мощность, поток энергии ватт Вт м-.кг-с-з Количество электричества кулон Кл с-а (электрический заряд) Электрическое напряжение, вольт В М 2.КГ.С-З.А-1 Электрический потенциал, разность электрических потенциа лов, электродвижущая сила Электрическая емкость фарад Ф М-2. КГ -1.(Ч.А2 Электрическое сопротивле ом Ом м 2 -кг.с-з.а-2 ние Электрическая проводи Сименс См м-2. кг -1. с з.а 2 мость Поток магнитной индукции, вебер Вб м 2.кг-с-2.А-1 магнитный поток Плотность магнитного пото тесла Тл кг.с" 2 -А-1 ка, магнитная индукция Индуктивность, взаимная генри Гн М 2.КГ-С-2.А-2 Индуктивность Световой поток люмен лм кд-ср Освещенность люкс лк М
9 Таблица 1.5. Некоторые производные единицы СИ Единица Наименование величины Наименование Обозначение. Выражение через основные и дополнительные единицы СИ Момент силы ньютон-метр Нм м 2 -кг-с- 2 Поверхностное натя ньютон на метр Н/м КГ-С-2 жение Динамическая вяз паскаль-секун- Па-с м-^кг-с- 1 кость да Пространственная кулон на куби Кл/мз м-з-с-а плотность электриче ческий метр ского заряда Электрическое сме кулон на квад КЛ/М2 M-2.C-A щение ратный метр Напряженность элек вольт на метр В/м М'КГ'С-з.А -1 трического поля Абсолютная диэлек фарад на метр Ф/м м-з-кг-^с^а 2 трическая проницаемость Удельная энергия джоуль на ки Дж/кг М 2 'С-2 Теплоемкость систелограмм джоуль на Дж/К М2.КГ.С-2.К-1 мы, энтропия системы кельвин Удельная теплоем джоуль на ки- Дж/(кг-К) М2.С-2.К-1 кость, удельная энтро лограмм-кельпия вин Поверхностная плот ватт на квад Вт/м2 КГ'С-3 ность потока энергии ратный метр Теплопроводность ватт на метр- Вт/(м-К) М'КГ-С-З'К" 1 Энергетическая сила кельвин ватт на стера Вт/ср мз-кг-с-з-ср- 1 света (сила излучения) диан Установлены правила образования десятичных кратных и дольных единиц, а также их наименований и обозначений с помощью множителей и приставок (табл. 1.6). Присоединение к наименова- Таблица 1.6. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименование Множитель Приставка Обозначение приставки Множитель Приставка Обозначение приставки 118 экса э 1-1 деци д 115 пета п 1-2 санти С 112 тера т Ю-з МИЛЛИ м 19 гига г 1-е микро мк 16 мега м 1-9 нано н 13 кило к 1-12 пико п 12 гекто г Ю-15 фемто ф 11 дека да 1-18 атто а а
10 Таблица 1.7. Соотношении между единицами угловой скорости Единицы измерения Название Обозначение рад/с об/с об/мин /с Радиан в секунду рад/с 1,159 9,55 57,3 Оборот в секунду об/с 6, Оборот в минуту об/мич,15 1, Градус в секунду * 1, , ,167 1 Таблица 1.8 Соотношения единиц силы Единицы измерения Название и определение Обозначение дина Н сн кгс Дина сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 см на секунду в квадрате Ньютон сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м на секунду в квадрате дина (кг» с м/с 2 ) н (КГ-М/С2) 1 ю-» 1-8 1,197-1-в 15 1,11 97 Стен сила, сообщающая телу массой 1 т ускорение 1 м на секунду в квадрате сн (Т-М/С2) ,97 Килограммсила сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 9,86 6 м на секунду в квадрате кгс /кг-9,866-м\ 9,866.1ь 9,86 6 9,866-Ю-з 1 V С2 J 9
11 jg Таблица 1.9. Соотношения единиц давления (напряжения) Единицы измерения Название и определение Обозначение Па (Н/м 2 ) кгс/м 2 (мм вод. ст«) атм ат (кгс/см 2 ) торр (мм рт. ст.) кгс/мм 2 Паскаль (ньютон на квадратный метр) Па (Н/м2) 1, , е 1, ,5-Ю-з 1, Килограмм-сила на квадратный метр (миллиметр водяного столба) кгс/м 2 (мм вод. ст.) 9, , , Атмосфера физическая атм 1, ,13 3-1* 1 1,133 7, , Атмосфера техническая (килограмм-сила на квадратный сантиметр) ат (кгс/см 2 ) 9,86 6-1* 1*, ,356-Ю ртут Торр (миллиметр ного столба) торр (мм рт. ст.) 1, ,595 1, ,359-Ю-з 1 1, Килограмм-сила на квадратный миллиметр кгс/мм 2 9, ,33 1 7,
12 нию единиц двух или более приставок подряд не допускается. Например, вместо наименования единицы микромикрофарад следует писать пикофарад. В связи с тем, что наименование основной единицы массы килограмм содержит приставку «кило», для образования кратных и дольных единиц массы используется дольная единица грамм (,1 кг), и приставки надо присоединять к слову «грамм», например, миллиграмм (мг) вместо микрокилограмм (мккг). Дольную единицу массы грамм допускается применять н без присоединения приставки. В научно-технической литературе использовались различные системы единиц физических величии: СГС, МТС, MKJCC, МКС и др. Соотношение некоторых единиц этих систем с единицами СИ приведены в табл Единицы СИ в таблицах выделены. Таблица 1.1. Перевод значений силы (веса), давления, напряжения в единицы СИ: ньютон (Н), паскаль (Па) п N п N п N п N кгс И кгс И кгс н кгс Н кгс/мм 2 1" Па- кгс/мм 2.1" Па- кгс/мм 2 1" Па- кгс/мм 2 1" Па. кгс/см' 1 4 Па кгс/см 2 1* Па кгс/см 2 1* Па кгс см 2 ; :.ю* Па 1 9, , , , , , , , , , и ПО и
13 Продолжение табл. iao п N п Л' п N п N кгс Н кгс н кгс Н кгс Н кгс/мм 2 1«Пакгс/мм 3 1 е Пакгс/мм 2.1" Па. кгс/мм 2 1«Пакгс/см 2 1*Па кгс/сма 1* П* кгс/см а 1*Па кгс/сма 1*Па Примечание. Значения соответствуют: п кгс=лгн; п кгс/мм 2 =ЛМ 6 Па; п кгс/см2=лг-ю 4 Па. Например: И кгс = 18 Н, 21 кгс/мм2=2о6.1<5 Па, 21 кгс/см 2 =26-1* Па. Таблица Соотношение единиц скорости Единицы измерения Определение Обозначение мм/мин см/с м/с м/мин км'ч Миллиметр в минуту ММ/МИН 1, , , Сантиметр в секунду см/с 6 1,1,6,36 Метр в секунду м/с ,6 Метр в минуту м/мин 1 1,66. ,6 Километр в час км/ч ,66 27,778, ,666 1
14 Таблица Соотношение единиц работы и энергии Единицы измерения Название Обозначение эрг Дж кгсм Вт-ч кал квт»ч ккал Эрг эрг 1 Ю- 7 1, , » 2, ,78-Ю- 1 * 2, и (ватт-се Джоуль кунда) Дж (Вт-с) 17 1, , *, ,78-1-7,239-Ю-з Килограмм-сила на метр КГС-М 9, , ,724-Ю-з 2, ,724-1-е 2,343-Ю-з Ватт-час Вт-ч 3,6.1ю 3,6.13 3, ,6 1-12,1,86 1 Калория кал 4, ,186 8, Д , ,1 Киловатт-час квт-ч 3, ,6-Юб 3, , ,6-12 Килокалория ккал Юю 4186,8 426,85 1, ,628-1** 1
15 ^ Таблица Соотношение единиц мощности Единицы измерения эрг/с Вт (Дж/с) кгс-м/с л.с кал/с Название Обозначение Эрг в секунду эрг/с 1 Ю -7 1, , ю 2, Ватт (джоуль в секунду) Вт (Дж/с) 17 1, ,359 6-Ю- 3 2, * Килограмм-сила на метр в секунду кгс. м/с 9,86 б-1 7 9, , ,342 7 Лошадиная сила Л.С. 7, , ,67 Калория в секунду кал/с 4, ? 4,186 8, ,692 4-Ю-з 1
16 Т ач> лица Соотношение единиц длины Единицы измерения Название Обозначение о А вм мкм мм см м дм (in) Ангстрем о А 1 од ю - * ю,39-Ю-з Нанометр (миллимикрон) нм 1 1 Ю- 3 ю ю - 9, Микрометр (микрон) мкм Ю-з ю - * 1-е, * Миллиметр мм ,1,1,39 37 Сантиметр см Юз 17 1* 1 1,1,393 7 Метр м ,37 Дюйм дм (in) 2,54Л8 2, ,54.1* 25,4 2,54 2, k 1 1 \ 1!
17 1.3. СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ Тригонометрические функции. Основные тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника выражаются соответствующими соотношениями его сторон (рис. 1.1,а): a b a b smot= ; cosot = ; tg a =-y; ctg<x =, где а,ъ
- катеты, с гипотенуза. Графически тригонометрические функции можно представить в виде отрезков, построенных на окружности, радиус которой равен единице (рис. 1.1, б). Знак функции зависит от величины угла. Рис Тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника Функции дополнительных углов (больших 9 ) могут быть приведены к функции углов прямоугольного треугольника (меньших 9 ). Формулы приведения функций и их знаки даны в табл. 1.15, значения тригонометрических функций часто встречающихся углов в табл. 1.18, а основные зависимости между функциями- в табл Для определения функций углов, заданных с точностью до I 1, необходимо заданный" угол представить как сумму, состоящую из целого числа градусов и доли градуса, и, пользуясь основными формулами тригонометрии и табл. 1 16, вычислить значение функции. Для определения функций углов можно пользоваться микрокалькулятором или более подробными таблицами. Таблица Знаки функций и формулы приведения Функция Угол с? '36 36 ±а 9 ± a 18 ±a 27 ±a Sin<? + + ±slna -f COSa Tsina COSa COS^p + + +COSa Tsina cosa ±sina tg? + + ±tg«=fctga ±tg«tctga erg? ±Cfga Ttga ±Ctga Ttgac Примеры: sin 12'= sin (9 +3 ) = cos 3 ; cos 15 = cos (18 3 ) = cos 3 ; tg 3 = tg (27 J +3 ) = ctg 3 ; ctg 14 J = ctg (18 J 46 ) = ctg 4. 16
18 J части 4 тети вчястеи 6 частей 8 частей f частей 12 частей 12частей Рис Расчет координат центров отверстии, рас положенных по окружности
19 Пример. Определить значение sin 23 42'. Представим sin 23 42'= = sin ( / ) = sin 23.cos 42'+cos 23.sin 42'. Из табл sin 23 =,397; cos 23 J =,92 5; cos 42'«1; sin 42'=,12 2; sin 23 42'=,39 7+,92 5-,12 2=,41 9. Расчет координат центров отверстий, расположенных по окружности. На рис. 1.2 приведены координаты центров отверстий, расположенных на окружности диаметром, равном единице. Для определения координат центров отверстий, расположенных на диаметре, не равном единице, необходимо соответствующие координаты, взятые по рис 1.2, умножить на величину диаметра. Например, расстояние Л между двумя отверстиями по вертикали (три отверстия по окружности) для диаметра, равного единице, составляет,75; при диаметре 8 мм оно будет равно,75-8=6 мм. Зависимости для расчета элементов плоских фигур, различных тел, профилей приведены в табл Таблица 116 Значения тригонометрических функций (через 1 градус) а since Iga \ \ Sina tga \ a 1 sina Iga \ 1 w,, 9 I 1,175, ,515, ,8746 1, ,349, ,5299, ,8829 1, ,523, ,5446, ,891 1, ,698, ,5592, ,8988 2,5 26 5,872, ,5736, ,145 25,963 6,145, ,5878, ,9135 2, ,1219, ,618, ,925 2, ,1392, ,6157, ,9272 2, ,1564, ,6293, ,9336 2, ,1736, ,6428, ,9397 2, ,198, , ,9455 2,94 19, ,279, ,6691, ,9511 3, ,225, , ,9563 3, ,2419, ,6947, ,9613 3, ,2588, ,771 1, 45 75,9659 3, ,2756, ,7193 1, ,973 4, ,2924, ,7314 1, ,9744 4, ,39, ,7431 1,111 4? 78 4,75 12, ,3256, ,7547 1, ,145 11,9816 2,342, , ,671 1, ,3584, J771 1, ,9877 6, ,3746, ,788 1, ,993 7, ,397, ,7986 1, ,9925 8, ,467, ,89 1, ,9945 9, ,4226, , , , ,4384, ,829 1, ,31 4, ,454, ,8387 1, , , ,4695, ,848 1, , , ,4848, ,8572 1, , ,29 1 3,5,5774 6t 6,866 1,732 3f 9 1, oo ^ 1 1 \ COSa ctga J \ cosa ctga J \ 18 cosa ctga a
20 Таблица 1.17, Значения тригонометрических функций (через 1 минуту) (sin и tg от до 1, cos и ctg от 89 до 9 ) sin tg - 1 sin tg - O'J,, 9 ' зо'1.8 73, ' 1, 29, ,9 2, , 58, ,9 31, , 87, ,9 6, ,1 16, ,9 89, ,1 45, ,1 18, ,1 75, ,1 47, ,2 4, ,1 76, ,2 33, ,11 5, ,2 62, ,1134, ,2 91, ,1164, ,3 2, ,1193, ,3 49, ,12 22, ,3 78, ,12 51, ,4 7, ,12 8, ,4 36, ,13 9, ,4 65, ,13 38, ,4 95, ,13 67, ,5 24, ,13 96, ,5 53, ,14 25, ,5 82, ,14 54, ,6 11, ,14 83, ,6 4, ,15 13, ,6 69, ,15 42, ,6 98, ,15 71, ,7 27, ,16,16 '5 26,7 56, ,16 29, ,7 85, ,16 58, ,8 15, ,16 87, ,8 44,8 44 f 31 59,1716,17 16 t 1 3',8 73, ' 6',17 45, ' - cos ctg / - cos ctg 91 19
21 Таблица Значения тригонометрических функций часто встречающихся углов Углы а рад Значения функций sina cosa tga ctga б О 1 +,5= + if 1 1 +,866= + -у УТ +,577=+ -3-/3 ± сю +1,732= +/3 4 J_ 3 J_ 2 2_ 1С 3 _5 1С 6 1С 1 1С % 1 2"* 2 T N 5 6 1С 2ic +,77= + 4" /2 +,866=+-2-/3" +,866= +
1 -,5= - T 1 A_,866= 1^3 1,866= -i- /3",5= +,77= +4-^2" +,5=+-^,5- " * 2,866= -s-yt,866= 1 1 /3 -,5= - 4* +,5 + 4* +,866= +4-/3" ,732= + К З * i 1,732= /3" -,577= 4-/3" +,577=+ 4
/3" +1,732= + J/T ± 1,732= VT,577= 4" /3" At ,577= VT,577= 4
1,732= ys. ± * ж s 3,141 6.
22 Таблица IЛ9. Основные зависимости между тригонометрическими функциями Функции одного угла 1 sin 2 a -f- cos 2 a = 1; tga ctga = 1; 1 sin a tp" a = = s Ctg a COS a ' r tga sin a У 1 cos 2 a = 1 cos sin-a^ tga = Ctga = sin a /1 Sin2a ' COS a /l COS* a ; Функции двух углов sin (a ± p) = s i n a cos p ± cos a sin p; cos (a ± p) =rcos a cos P T sin a sin P; tg a ± tg P sm a sin p = 2sin ^ cos 2 a + p a P cos a-f cosp = 2 cos c o s a + p cosa cosp = -2sin 2
sin (a 4-P) t g a ± t g p = Q s m a p 2
Функции двойных и половинных углов 2 t g a sin 2 a = 2 sin a cos a; cos 2 a = cos 2 a sin 2 a; tg 2 a = у д % sin a -l/l cosa a * /1 -f- COS a ± / 2! cos т = ± J / - 2 ; tg cos a sm a + cos a 1 + cos a ' 2 sin 2
1 cos a; 2 cos 2 -?r 5=5 1 + cos a; ctg у sin a cos a Степени функций одного угла 1 COS 2 a l + c o s 2 a 1 \ сos 2 a sin» 2 I cos2e = 2 :, 2 a = ^ - 1 = i + c o s 2 a Произведение функций двух углов Sin a- sin p = - j - [cos (a P) cos (a + P)]; COS a COS P = [COS (a
- p) + COS (a + p)]; Sin a- COS p 3=8 -g- [sin (a + P) + sin (a p)]; < tga + tgp ^ " ^ P - c t g e + ctgp 1 Перед знаком радикала должен быть поставлен знак плюс или минус в зависимости от того, в какой четверти находится угол (см. табл. 1.18). 21
23 Таблица 1.2. Расчет плоских фигур Формулы для нахождения элементов Равносторонний треугольник а = 6 ; а = 1Д55Л = 1,732/? = 3,464г; h =,866я = 3r; R =,577я = 2г; г =,289я = = ОД/? =,ЗЗЗЛ; Р = Зд = 2Л /3 = 3R /3 = = 6> ]/Т; 5 =,433д2 -,577Д2 = 1,299/?2 - =5Л9б/-2 Равнобедренный треугольник а = 9 ^- ; sina h, COS а а» 2h б? tg«= С
2а kg в 2А, sin Y а ' 2Л/. ; K «+ ( T ) ' I 2а с 2^f^; P = 2a + c = 2a(l+cosa); а* 2 л с 2 S = Sin 2а =-^- tga = 2 Прямоугольный треугольник = 9 3; с = Уа'^+ ; Р = а + Ь + с; 5 = Прямоугольный равнобедренный треугольник =,25С2 = # 2 = А 2 Косоугольный треугольник Ь с sin a sin р sin Y a 6 a p «2/?; a 2 = c 2 2 ccos <xj a + p -f 7 = 18 ; Я = л + 6 +с; p =,5(a c); 22
24 Продолоюение табл. 1.2д Формулы для нахождения элементов г а Г g Г 2_. tg 2
= p b> tg 2 -/? с' /г Л = ^ sin 7 = с sin p; /и Л =,5 /2^2 a 2 + 2^2; / ft cos b + c 7 2 4/? Квадрат a = Л УТ= 2r =,77<Z; d= a /"2 = 2/? = 2r ]/"_"; P 4a
2d У 2 = 8r = 4iR /fj S = a 3 = 2/?^ = 4r2 =,5rf2 Прямоугольник a = 9 3 =- == -у == ; «р, = 2? а 18 2a = 18 ср 2 ; 9i ft ft sina = cos-y--"-^; tga = ctg - = ; COS a» 4,5- cos a > 2sin p P = 2 (д + ft) = 2_ V\ +sin(p 1 : S = a& Обозначения: P периметр; p полупериметр; S площадь; R радиус описанной окружности; г * радиус вписанной окружности; /i высота; d диагональ; т медиана; / биссектриса. Таблица 1*21. Площади и центры тяжести плоских фигур Параллелограмм 5 = ah = a 2 sin a S ah = ab sin a = a sin p S =s т/г -у