Интегрирование функций комплексного переменного
1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой
где — точка, выбранная на дуге разбиения кривой; — приращение аргумента функции на этом участке разбиения, — шаг разбиения, — длина хорды, соединяющей концы дуги ; кривая частей . На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром.
Формула (2.43) определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного . Если выделить действительную и мнимую части функции , т.е. записать ее в виде
то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если предположить непрерывной на будут также непрерывны на непрерывна на по кривой
Используя определение интеграла или формулу (2.44) и свойства криволинейных интегралов второго рода, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств криволинейного интеграла от функций комплексного переменного (свойства, известные из действительного анализа).
в частности, , если функция ограничена по модулю на кривой . Это свойство называется свойством оценки модуля интеграла.
Формулу (2.44) можно рассматривать и как определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через криволинейные интегралы второго рода от функций двух действительных переменных.
Для использования и запоминания формулы вычисления отметим, что равенству (2.44) соответствует формальное выполнение в левой части под знаком интеграла действий выделения действительной и мнимой части функции , умножения на и записи полученного произведения в алгебраической форме:
Пример 2.79. Вычислить интегралы и , где линия
1. Вычислим интеграл . Здесь . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода:
что соответствует формуле (2.44). Вычисляем интегралы:
а) путь интегрирования — отрезок прямой , поэтому .
б) путь интегрирования — ломаная, состоящая из двух отрезков и . Поэтому, разбивая интеграл на два и производя вычисления, получаем
Интеграл от функции зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки здесь . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода
Подынтегральные выражения полученных интегралов второго рода являются полными дифференциалами (см. условие (2.30)), поэтому достаточно рассмотреть один случай пути интегрирования. Так, в случае "а", где уравнение отрезка , получаем ответ
В силу независимости интеграла от формы пути интегрирования, задание в данном случае можно сформулировать в более общем виде: вычислить интеграл
В следующем пункте рассмотрим подробнее подобные случаи интегрирования.
2. Пусть интеграл от непрерывной функции в некоторой области не зависит от вида кривой, соединяющей две точки этой области. Зафиксируем начальную точку, обозначив . конечная точка — переменная, обозначим ее определяет некоторую функцию в указанной области.
Ниже будет дано обоснование утверждения, что в случае односвязной области интеграл определяет в этой области однозначную функцию. Введем обозначение
Функция — интеграл с переменным верхним пределом.
Используя определение производной, т.е. рассматривая , нетрудно убедиться, что имеет производную в любой точке области определения, а следовательно, является в ней аналитической. При этом для производной получим формулу
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе.
Из равенства (2.46), в частности, следует, что подынтегральная функция в (2.45) является аналитической функцией, так как производная аналитической функции по свойству таких функций (см. утверждение 2.28) — функция аналитическая.
3. Функция , для которой выполняется равенство (2.46), называется первообразной для функции в односвязной области, а совокупность первообразных , где .
Из пунктов 2 и 3 получаем следующее утверждение.
1. Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической в односвязной области функции есть функция, аналитическая в этой области; эта функция является первообразной для подынтегральной функции.
2. Любая аналитическая в односвязной области функция имеет в ней первообразную (существование первообразной).
Первообразные аналитических функций в односвязных областях отыскиваются, как и в случае действительного анализа: используются свойства интегралов, таблица интегралов, правила интегрирования.
Между криволинейным интегралом от аналитической функции и ее первообразной в односвязной области имеет место формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница из действительного анализа:
4. Как и в действительном анализе, в комплексной области рассматриваются, кроме интегралов, содержащих параметр в пределах интегрирования (формула (2.45) дает простейший пример таких интегралов), интегралы, которые зависят от параметра, содержащегося в подынтегральной функции: . Среди таких интегралов важное место в теории и практике комплексного интегрирования и приложениях занимает интеграл вида .
Полагая непрерывной на линии
Интеграл (2.48) называется интегралом типа Коши; множитель введен для удобства использования построенной функции.
Для этой функции, как и для функции, определяемой равенством (2.45), доказывается, что она является аналитической всюду в области определения. Причем в отличие от интеграла (2.45) здесь не требуется, чтобы порождающая функция была аналитической, т.е. по формуле (2.48) на классе непрерывных функций комплексного переменного строится класс аналитических функций. Производная интеграла (2.48) определяется по формуле
Для доказательства формулы (2.49) и, следовательно, утверждения об аналитичности интеграла типа Коши достаточно, согласно определению производной, установить справедливость неравенства
для любого и при любом .
Таким же методом можно показать, что существует производная от функции, определяемой равенством (2.49), т.е. , и справедлива формула
Процедуру можно продолжить и доказать по индукции формулу для производной любого порядка от функции
Анализируя формулы (2.48) и (2.49), нетрудно убедиться, что производную можно получить формально, производя дифференцирование по параметру под знаком интеграла в (2.48):
Применяя формально правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра раз, получим формулу (2.50).
Результаты, полученные в этом пункте, запишем в виде утверждения.
Вычисление интегралов от функций комплексного переменного
Выше получены формулы вычисления интегралов от функций комплексного переменного — формулы (2.44) и (2.47).
Если кривую или, что соответствует действительной форме: , то, используя правила вычисления интегралов второго рода в случае параметрического задания кривой, можно преобразовать формулу (2.44) к виду
Полученный результат и результаты, полученные в предыдущей лекции, запишем в виде последовательности действий.
Способы вычисления интегралов .
Первый способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных — применение формулы (2.44).
2. Записать подынтегральное выражение в виде произведения или, перемножая, .
3. Вычислить криволинейные интегралы вида , где по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.
Второй способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования — применение формулы (2.51).
1. Записать параметрическое уравнение кривой и из него определить пределы интегрирования: — конечной.
4. Вычислить полученный в п.3 определенный интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной.
Заметим, что интегрирование комплекснозначной функции действительной переменной не отличается от интегрирования действительнозначной функции; единственным отличием является наличие в первом случае множителя
Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях — применение формулы (2.47).
1. Найти первообразную , используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа.
2. Применить формулу (2.47): .
1. В случае многосвязной области проводятся разрезы так, чтобы можно было получить однозначную функцию .
2. При интегрировании однозначных ветвей многозначных функций ветвь выделяется заданием значения функции в некоторой точке кривой интегрирования. Если кривая замкнутая, то начальной точкой пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции. Значение интеграла может зависеть от выбора этой точки.
Пример 2.80. Вычислить , где с точкой
а) Применяем первый способ — (формулу (2.44)).
1,2. Подынтегральное выражение имеет вид . Поэтому
3. Вычисляем интегралы при (уравнение отрезка , соединяющего точки и ). Получаем
б) Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
и каждый вычисляем, как в предыдущем пункте. При этом для отрезка а для отрезка
Заметим, что подынтегральная функция в данном примере — функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь разные значения, что и проиллюстрировано в этом примере.
Пример 2.81. Вычислить , где , обход кривой Решение
Кривая имеет простое параметрическое уравнение , поэтому удобно использовать второй способ (формулу (2.51)). Подынтегральная функция здесь — непрерывная функция, аналитической не является.
3,4. Подставляем в подынтегральное выражение. Вычисляем интеграл
Пример 2.82. Вычислить интегралы от аналитических функций:
а) ; б) , путь интегрирования не проходит через точку Решение
а) Применяем формулу (2.47) (третье правило); первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:
б) Подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки
На рис. 2.44 показаны два случая проведения разрезов. Направление обхода границы односвязных областей, где подынтегральная функция является аналитической, указано стрелками. Вычисляем интеграл:
Пример 2.83. Вычислить интеграл .
Подынтегральная функция — аналитическая всюду в
Этот результат получен в примере 2.78 согласно первому способу.
Пример 2.84. Вычислить интеграл , где — окружность .
Применим второй способ.
Вычисляем полученный определенный интеграл. При получаем
Так как при . При .
Выпишем полученный результат в виде формулы:
В частности, . Заметим, что если окружность обходится точкой , если обход в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и — обход по часовой стрелке). Поэтому
Пример 2.85. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного :
а) путь интегрирования не проходит через точку ;
б) путь интегрирования не проходит через точку раз по окружности против часовой стрелки.
а) Этот интеграл — интеграл с переменным верхним пределом — определяет в любой односвязной области однозначную аналитическую функцию (см. 2.45)). Найдем аналитическое выражение этой функции — первообразной для . Отделяя действительную и мнимую части интеграла (применяя формулу (2.44)), нетрудно убедится, что подынтегральные выражения интегралов второго рода являются полными дифференциалами и, следовательно, интеграл не зависит от вида кривой, соединяющей точки и от точки до точки , где , и дуги с
Интеграл запишем в виде суммы: . Для вычисления интеграла по дуге окружности применяем формулу (2.51), дуга при этом имеет уравнение . Получаем ; в результате
Правая часть равенства определяет однозначную функцию — главное значение логарифма. Ответ получаем в виде
Заметим, что полученное равенство можно принять за определение однозначной функции в односвязной области — плоскости с разрезом по отрицательной действительной полуоси , где — n-раз пробегаемая против часовой стрелки окружность , а и — формула (2.53). Получаем результат .
Пример 2.86. Вычислить интеграл по верхней дуге окружности при условии: a) Решение
Задание значений функции (см. пример 2.6). Разрез можно провести, например, по мнимой отрицательной полуоси. Так как при , то в первом случае выделяется ветвь с .
а) Ветвь определяется при для подынтегральной функции получаем
б) Ветвь определяется при для подынтегральной функции имеем . Вычисляем интеграл:
В теории и практике, в приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного, при исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек рассматриваются интегралы по замкнутым кривым — границам областей, в частности окрестностей точек. Будем рассматривать интегралы , где — аналитическая в некоторой с области, за исключением отдельных точек, — граница области или внутренний контур в этой области.
Основная теорема Коши для простого контура
Теорема 2.1 (теорема Коши для простого контура). Если аналитическая в односвязной области, то для любого контура , принадлежащего этой области, справедливо равенство
Доказательство теоремы нетрудно получить, опираясь на свойство аналитических функций, согласно которому аналитическая функция имеет производные любого порядка (см. утверждение 2.28). Это свойство обеспечивает непрерывность частных производных от и , поэтому, если использовать формулу (2.44), то легко видеть, что для каждого из подынтегральных выражений в криволинейных интегралах второго рода выполняются условия полного дифференциала, как условия Коши-Римана аналитических функций. А интегралы по замкнутым кривым от полных дифференциалов равны нулю.
Заметим, что все теоретические положения, излагаемые ниже, опираются в конечном счете на эту важную теорему, в том числе и упомянутое выше свойство аналитических функций. Чтобы не было сомнения в корректности изложения, заметим, что теорема может быть доказана без ссылки на существование ее производных только на основании определения аналитической функции.
Следствия из теоремы 2.1
1. Теорема справедлива и в случае, если — граница области является аналитической в области и на границе, т.е. в , а при этом будет внутренним контуром в 2. Интегралы по различным кривым, лежащим в односвязной области аналитичности функции и соединяющим две точки этой области, равны между собой, т.е. , где и — произвольные кривые, соединяющие точки и (рис. 2.46).
Для доказательства достаточно рассмотреть контур , состоящий из кривой (от точки к точке ) и кривой (от точки к точке ). Свойство можно сформулировать следующим образом. Интеграл от аналитической функции не зависит от вида кривой интегрирования, соединяющей две точки области аналитичности функции и не выходящей из этой области.
Это дает обоснование данного выше утверждения 2.25 о свойствах интеграла и о существовании первообразной аналитической функции.
Теорема Коши для сложного контура
Теорема 2.2 (теорема Коши для сложного контура). Если функция является аналитической в многосвязной области, ограниченной сложным контуром, и на этом контуре, то интеграл по границе области от функции равен нулю, т.е., если — сложный контур — граница области, то справедлива формула (2.54).
Сложный контур для — связной области состоит из внешнего контура ; контуры попарно не пересекаются, обход границы — положительный (на рис.2.47,
Следствия из теоремы 2.2
1. При выполнении условий теоремы 2.2 интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним; обход на всех контурах в одну сторону (на рис. 2.48,
2. Если является аналитической в односвязной области
Интегральная формула Коши
В следующей теореме, в отличие от двух предыдущих, рассматривается интеграл от функции, которая, не являясь аналитической в области, ограниченной контуром интегрирования, имеет специальный вид.
Теорема 2.3. Если функция является аналитической в области , то для любой внутренней точки имеет место равенство
Область и интеграл существует.
Теорема представляет собой важный прикладной интерес, а именно по формуле (2.57) решается так называемая краевая задача теории функций: по значениям функции на границе области определяется ее значение в любой внутренней точке.
Замечание 2.11. В условиях теоремы интеграл определяет аналитическую функцию в любой точке , причем в точках конечной области (по формуле (2.57)), а вне является аналитической, в отличие от непрерывной на Утверждение 2.28
1. Аналитическая функция в любой точке аналитичности может быть записана в виде интеграла
2. Аналитическая функция имеет производные любого порядка, для которых справедлива формула
Формула (2.59) дает интегральное представление производных аналитической функции.
Вычисление интегралов по замкнутому контуру
Будем рассматривать интегралы вида , где функция аналитическая в — многочлен, не имеющий нулей на контуре . Для вычисления интегралов применяются теоремы из предыдущей лекции и следствия из них.
Правило 2.6. При вычислении интегралов вида в зависимости от характера (кратности) нулей многочлена и их расположения относительно контура можно выделить четыре случая.
1. В области . Тогда функция аналитическая и, применяя основную теорему Коши, имеем результат .
2. В области . Тогда записываем дробь в виде , где — функция, аналитическая в
3. В области (кратности ). Тогда записываем дробь в виде , где — функция, аналитическая в
4. В области и . Тогда, используя следствие 1 из теоремы 2.2, запишем интеграл в виде
где и — границы непересекающихся окрестностей точек и . Для каждого из полученных интегралов проводим далее вычисления в соответствии с пунктами 2 и 3. Очевидно, можно рассмотреть и случаи большего числа нулей в области
Пример 2.87. Вычислить , где — произвольный контур, ограничивающий область, содержащую точку Решение
Рассмотрим двусвязную область, одна граница которой — контур , другая — окружность . По следствию 2 из теоремы 2.2 (см. (2.56)) имеем
Учитывая результат решения примера 2.84 (формула (2.52)), получаем ответ .
Заметим, что решение можно получить, применив интегральную формулу Коши с . В частности, получаем , так как контур один раз обходит точку обходит точку или отрицательном направлении , то .
Пример 2.88. Вычислить , где
Подынтегральная функция непрерывна на кривой — интеграл существует. Для вычисления используем результаты предыдущего примера и примера 2.85. Для этого рассмотрим замкнутый контур, соединив, например, точку (кривая , соединяющей точки 1 и
Используя результаты примеров 2.85 и 2.87, получаем ответ:
Без изменения геометрической картинки, можно рассмотреть случай, когда кривая раз обходит начало координат. Получим результат
Полученное выражение определяет многозначную функцию , путь интегрирования не проходит через начало координат. Выбор ветви многозначного выражения определяется заданием значения функции в некоторой точке.
Пример 2.89. Найти , если Решение
Пример 2.90. Вычислить в следующих случаях задания контура ; б) .
Находим нули знаменателя — особые точки подынтегральной функции. Это точки . Далее нужно определить расположение точек относительно контура интегрирования. В обоих случаях ни одна из точек не входит в область, ограниченную контуром. В этом можно убедиться, использовав чертеж. Оба контура — окружности, центр первой и радиус ; центр второй и это расстояние равно , что больше радиуса , поэтому не принадлежит кругу . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек — нулей знаменателя.
Пример 2.91. Вычислить в следующих случаях задания контура ; б) .
Рассуждая, как в предыдущем примере, находим, что в обоих случаях внутри кругов расположена только одна из особых точек . Поэтому, применяя п.2 правил 2.6 (интегральная формула Коши) , записываем подынтегральную функцию в виде дроби , где числитель — функция, аналитическая в указанных кругах. Ответ для обоих случаев одинаковый:
Пример 2.92. Вычислить в следующих случаях задания контура ; б) .
Контуры интегрирования — окружности, как и выше, причем в случае "а" центр находится в точке , в случае "б" — в точке .nВ обоих случаях внутрь соответствующих кругов попадает одна точка . Применяя п.2 правил 2.6, записываем подынтегральную функцию в виде , где числитель является аналитической функцией в рассматриваемых областях. Применяя интегральную формулу, получаем ответ:
Пример 2.93. Вычислить интеграл в следующих случаях задания контура: а) ; б) .
Находим особые точки подынтегральной функции — нули знаменателя . Определяем принадлежность точек соответствующим областям. В случае "а" в круг не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.
В случае "б" в круг радиуса 2 с центром в точке входит одна точка: , где — аналитическая функция в круге . Вычисляем интеграл:
Пример 2.94. Вычислить интеграл в следующих случаях задания контура: а) ; б) .
а) В круг попадает точка . Записываем функцию и применяем п.3 правил 2.6 при и . Вычисляем интеграл:
б) В круг входят обе точки . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
где каждый из контуров и охватывает только одну из точек. В частности, в качестве контура можно взять окружность из предыдущего случая "а"; — окружность из примера 2.93 п. "б", т.е. можно воспользоваться полученными результатами. Записываем ответ: