МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова
1 Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области геодезии и фотограмметрии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки Геодезия и дистанционное зондирование с присвоением квалификации (степени бакалавр.
2 Составители О.В.Исакова, Л.А.Сайкова Редактор Г.А.Суворченкова Расчётные задания и методические рекомендации для студентов по самостоятельному изучению раздела высшей математики «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». М.: Изд. МИИГАиК, 01. Данные методические указания к решению задач по дифференциальному исчислению и расчётные индивидуальные задания написаны в соответствии с утверждённой программой курса «Высшая математика», рекомендованы кафедрой высшей математики, утверждены к изданию редакционноиздательской комиссией геодезического факультета. В методических указаниях содержаться 30 вариантов индивидуальных расчётных заданий различной сложности, что позволяет преподавателю выбирать задачи, соответствующие уровню подготовки студентов. Приводятся необходимые теоретические сведения, проводится разбор решения типовых заданий, что позволяет студентам самостоятельно работать над практическим материалом курса. Рецензенты: доцент кафедры высшей математики А.О.Тимохина, ГСУВПО МГУПП доцент кафедры высшей математики О.А.Баюк, МосГУГиК Московский Государственный Университет геодезии и картографии, 01
3 3 1. РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» Задание 1. Найти производную у' функций: 1. 1 (. 1 ( x 4 y ctg ( x ln 1 x 4 3 y tg x ln(1 x 5 y ln( tg x arcsin 1 x y sin (ln x 1 arccos x 3. 1 ( 4. 1 ( ( y tg (1 sin x 3 x 3 e 4 y sin ( e ln(1 x 3 3 x 5 y arccos ln( x 3 x ln x 5 y 5 arctg 1 x 5. 1 ( 6. 1 ( x 3 4 y ln (sin x 3 4 y arctg ( 3ln (1 x x 5 3 x x y arctg 1 ln x y e 3cos ( 1 x ln x x 7. 1 ( ( 8. 1 ( ( 3 3
4 4 5 3 x ln x 1 x 4 y ln ( cos x 4 y tg (ln( x 1 e sin x 1 5 y ctg ( 1 ln ( x 1 sin3x 5 y e 1 1 tg 3 3 x ( sin ( ( ( ( y arcsin (ln x 1 x 5 xln x 5 y ln ( cos x 5 sin x 4 y e 3cos y arcsin 3 ( 1 x ln x x x ln(1 3x ( ( 1. 1 ( ( x 1 x e 4 y sin (cos ln 4 y cos ( x ln x 3 x x x 5 x x ln x cos 3 3x ln x y 5 y arctg 3 tgx 1 ( ( ( ( ( ( ( (
5 ( ( ( ( ( ( ( 0. 1 ( ( 5 ( 1. 1 (. 1 ( ( ( ( 5 ( ( 5 ( 3. 1 ( 4. 1 ( ( 3 3
6 6 4 ( ( 6. 1 ( ( ( ( 8. 1 ( ( ( ( 5 ( 5 ( 9. 1 ( ( ( ( ( ( 4 5 ( 5 ( Задание. Найти производные высших порядков: 1. 3. 4.
7 7 5.? 6.? 7.? 8. х? 9. у 10. у 11.? 1. rcsinx? х х? 18. у ? 1. 3. у? 4. у? ? 8. у? 9. ln(x+ 30. ln(x+ Задание 3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка: y=xlnx 4. у = (x+1ln(x
8 Задание 4. Найти первую и вторую производные неявной функции: 1. 1 xy ln(x y cosy cosx arcctg х 7. 1 х 8. 1 ху (x y
9 9 ctg xy (y x х ctg(x+y 4. 1 (x+ye x ( х х у Задание 5. Найти производную у' показательно-степенной функции: (
11 11 Задание 6. Найти производную обратной функции: y lnx
12 ( arcctg y = Задание 7. Найти и параметрически заданной функции: x = sint ; ; ; 6. 1 cost ; sint ; x = cost ; ; ; ; ; ; ;
13 ; 0. 1 ; ; ; ; 6. 1 ; ; cost ; sint 7. 1 ; 8. 1 ; Задание 8. Найти дифференциалы 1-го и -го порядка сложной функции: 1. (. 3., 4. х х 7. х х = 8. ( ,
14 х , Задание 9. Найти приближенное значение: 1. 1 arcsin 0,48. 1 arccos 0,05 10, arccos 0, arctg 1, arcsin 0,49 16, arcctg 1, ,0 ctg arccos 0, ctg
15 arctg 0, arctg 0, е arcctg 0,98 arccos 0, arcctg 1, lg 9, arctg 0,93 arcsin 0, arccos 0, tg arcctg 1, arcctg 0, arcsin 0,96 Задание 10. Составить уравнения касательной и нормали к графику заданной функции в точке : ;
16 ; M 0 (1; ; x у 3 3
17 ; M 0 (1; х 3 3
18 18 Задание 11. Вычислить пределы по правилу Лопиталя. 1.. х ( х ( (
21 ( ( 1.. ( х х ( 5. 6.
22 ( ( х ( Задание 1. Пользуясь формулой Тейлора линеаризовать данную функцию: 1..
23 Задание 13. Написать первые четыре члена разложения данной функции по формуле Тейлора:
24 Задание 14. Найти пределы, используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
25 Задание 15. Исследовать функцию и построить её график:
28 8. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Пример 1. Найти производную у функции у =. Решение. Согласно теореме о дифференцировании сложной функции у = f [u(x] производная dy dy находится следующим образом: f u u (x. dx Если у = f [g(u(x], то у ' = f g g u u x и т. д. Поэтому производная заданной функции равна: у (x x (x x (x x (x x (x ( x dx Пример. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием исходной функции. а Найти у'" от функции у = е. Решение. Вычисляем последовательно: ( б Найти у (n от функции у = lnx. Решение. Применяем метод математической индукции. Очевидно. Действительно, ( Таким образом, n-я производная от функции у = lnx вычисляется по рекуррентной формуле:
29 9. Пример 3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции. Решение. Если x независимая переменная, то дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции определяется по формулам: Вычислим производные:, ( ( ( Тогда. Пример 4. Найти первую и вторую производные функции, заданной неявно:. Решение. Для того, чтобы найти производную функции у(х, заданной неявно, достаточно продифференцировать правую и левую части уравнения по х, учитывая, что у есть функция от х. Таким образом, получим: Выразим из полученного соотношения у': Окончательно получаем: у ху х у ху х Для упрощения полученного выражения воспользуемся тем, что, тогда
30 ху х ху у Первая производная у также является неявной функцией х. Для нахождения второй производной продифференцируем по х выражение для у с учетом того, что у и у являются функциями от х. ( Подставим в это выражение уже найденную у, тогда получим: 30. Пример 5. а Найти производную у' показательно-степенной функции. Решение. Логарифмируем обе части равенства: lny lny lny Дифференцируем обе части неравенства. Тогда Или окончательно Часто приём логарифмического дифференцирования применяется при вычислении производных функций, являющихся произведением большого числа различных элементарных функций. б Найти производную функции Решение. Найдём логарифм данной функции lny ( lny lny sinx дифференцируем обе части равенства:
31 31 Тогда (. Пример 6. Найти производную обратной функции. Решение. Производные прямой у = f(x и обратной х = g(y функций связаны соотношением: (при условии Поэтому сначала находим производную заданной функции Тогда производная обратной функции равна. Пример 7. Найти производные первого и второго порядка функции заданной параметрически:. Решение. Производные параметрически заданной функции x=x(t; y=y(t, вычисляются по формулам: Так как то. Пример 8. Найти дифференциалы 1-го и -го порядка сложной функции:. Решение. Если x независимая переменная, то дифференциалы первого и второго порядков функции определяется по формулам:
32 , Вычислим производные: и Тогда и Дифференциал первого порядка сложной функции обладает свойством инвариантности, то есть вычисляется по формуле: Следовательно, dx, где и dx ( Дифференциал второго порядка сложной функции свойством инвариантности не обладает, его надо вычислять по определению, то есть. Если подставить найденные ранее и, то получим Учитывая, что, dx и ( ( ( ( ( (, имеем. ( ( 3 Пример 9. 1 Вычислить приближенное значение tg 60 10'. Решение. Перейдём к записи угла в радианной мере: Следовательно, Далее рассмотрим функцию y = tgx. Условия задачи означают, что надо подсчитать значение функции в точке с приращением. Так как, то имеем:. Вычислить приближенное значение (,01 3
33 Решение. Рассмотрим функцию у = х 3. Необходимо вычислить значение функции в точке х 0 = с приращением. Тогда. Подтавив заданные значения получим Пример 10. (,01. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции заданной функции в точке М 0 : Решение. Уравнения касательной и нормали к кривой у = у(х в точке М 0 (х 0 ;у 0 имеют, соответственно, вид: и Абсцисса точки касания. Для ординаты точки касания нужно подставить в уравнение функции: Итак, точка каcания (1;. Производная. Уравнение касательной: Уравнение нормали: 33 или или Решение. При определении углового коэффициента касательной у'(х 0 учтём, что функция у = у(х здесь задана неявно, и, следовательно (см. пример 4, х х х (х у Найдём значение ординаты у 0 точки касания из исходного уравнения, подставив в него х 0 =1. Получаем два значения и. Угловые коэффициенты соответственно будут и. Тогда в точке M 1 (1; 1:
34 34 уравнение касательной уравнение нормали или или. И в точке M (1; : уравнение касательной уравнение нормали или или 3 в точке М 0, которой соответствует параметр t 0 =. Решение. В данном примере функция у = у(х задана параметрически, поэтому (см. пример 7, : и, следовательно,. Так как при =, х 0 = = 4, у 0 = = 8, то уравнение касательной уравнение нормали или или Пример 11. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя раскрытия неопределённостей: Найти Решение. Так как при х sinx = 0 и х 3 = 0, имеем так называемую неопределённость вида < >к которой применимо правило Лопиталя: если последний предел существует и при. Итак, Здесь снова неопределенность вида, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз:.
35 35 Найти Решение. В точке x = 0 выражение, стоящее под символом предела есть неопределённость вида. По правилу Лопиталя находим:. Найти Решение. Выражения f(x g(x, представляющие при x 0 неопределенность вида приводится к неопределенности вида или переводом одной из функций в знаменатель. То есть. Дальше применяют правило Лопиталя:. Найти Решение. Это неопределённость вида. Для того чтобы найти предел функции, обычно приводят дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида, применяют правило Лопиталя: (. Найти Решение. Здесь имеется неопределённость вида. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела, используя основное логарифмическое тождество, то есть
36 36 Теперь вычислим предел функции, стоящей в показателе, преобразовав её к неопределённости вида < >то есть к частному двух функций, и затем применим правило Лопиталя: Таким образом, Пример 1. Пользуясь формулой Тейлора линеаризовать данную функцию. Решение. Для линеаризации функции f(x в точке х 0 используются два первых члена в формуле Тейлорa: Тогда ; в окрестности точки х. Пример 13. Написать формулу Тейлора для функции. ( которая раз непрерывно дифференцируема в точке х 0 и её окрестности можно двумя способами. 1 способ: Непосредственно вычислить производные в заданной точке и подставить в вышестоящую формулу Тейлора. способ: Преобразовать заданную функцию f(x так, чтобы можно было использовать готовую формулу для одной из основных элементарных функций:
37 37 Написать первые четыре члена разложения данной функции по формуле Тейлора. 1. Решение. Применим -ой способ. Используем готовую формулу для функций в ней x на (-x. Получаем заменив (.. Решение. Применим -ой способ. Преобразуем Далее используем готовую формулу Тейлора для функции sinx, заменив в ней х на. Получим ( 3 arcctgx ;. Решение. Применим 1-ый способ. Подставляя коэффициенты в формулу Тейлора:
38 38. Пример 14. Найти пределы, используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Маклорена для основных элементарных функций с остаточным членом в форме Пеано: о о о Найти Решение. Так как то Учитывая, что сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой низшего порядка, то есть 5 + 7х
5х, в формуле Маклорена для функции cosx возьмем члены до порядка включительно, то есть. Тогда получаем Поскольку npи. Найти Решение.
39 39 ( ( ( о В числителе и знаменателе оставляем бесконечные малые низшего порядка получаем, что заданный предел равен следующему пределу и. Пример 15. Исследование и построение графика функции у = f(x целесообразно проводить по следующей схеме: 1. Найти область существования функции.. Исследовать чётность функции, периодичность. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Найти точки разрыва функции, установить их вид. 5. Установить области знакопостоянства. 6. Найти асимптоты функции. 7. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума. 8. Указать интервалы сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика. 9. Построить по полученным результатам график функции. 1 Исследовать функцию и построить её график х. Решение. 1. Область определения функций. Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как х ; функция не является периодической. 3. Точек пересечения с осью ОУ нет, так как х 0. Для нахождения точки пересечения с осью ОХ надо решить уравнение х. Решая уравнение х графически, найдём приближённый корень 1,8. Значит, точка (1,8;0 - точка пересечения графика с осью ОХ. 4. х = 0 - точка разрыва. Рассмотрим односторонние пределы
40 40 ( х х ( х х Следовательно, x = 0 точка разрыва -го рода, а прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика. 5. Установим области постоянного знака. Точки разрыва (x = 0 и пересечения с осью OX (x разбивают всю область определения функции на интервалы (- и и. Ясно, что на первых двух интервалах y > а на последнем y. 6. Асимптоты: а вертикальные: прямая x = 0. б горизонтальные: Горизонтальных асимптот нет. в наклонные: ( х х ( х х х ( х Значит ( х х правая наклонная асимптота. х Значит, ( х левая наклонная асимптота. 7. Найдем интервал монотонности функции и точки экстремума. Первая производная х для любого х из области определения функции. Следовательно, функция монотонно убывает и экстремумов не имеет. 8. Для установления интервалов постоянной выпуклости графика функции найдем х. Так как х то знак определяется знаком скобки в числителе. То есть при x < < 0, а при x >.
41 41 При x = 0 не существует. При x =. Таким образом, на интервале график выпуклый вверх, на интервалах и график выпуклый вниз. Координаты точки перегиба M 0 ( ;. 9. По полученным результатам строим график функции. Исследовать функцию и построить её график х х. Решение. 1. Функция определена при любом действительном значении х. Следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой.. Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как и ; функция не является периодической. 3. Точка пересечения с осью ОУ: Точка пересечения с осью ОХ:. 4. Установим области постоянного знака. Очевидно, что y > 0 при x > и y < 0 при x <. 5. Асимптоты: а вертикальные: нет. б горизонтальные: х х Горизонтальные асимптоты. х х в наклонные:
42 4 Значит, у = 1 правая горизонтальная асимптота. Значит, левая горизонтальная асимптота. 6. Интервалы монотонности и точки экстремума. Первая производная Очевидно что: при и при. Следовательно, при фунция монотонно убывает, а при x возрастает. В точке x досигается минимум, равный. 7. Направление выпуклости и точки перегиба графика. Найдем вторую производную и исследуем её знаки: при. Корни этого уравнения х 1, = Исследуем знаки y'', составив для удобства таблицу:, x1 и x < < < sgny'' + > y Таким образом x 1 и x точки перегиба. Значение функции в точках перегиба. M 1 (-1,18; -,06, M (0,4; -1,46 8. По полученным результатам строим график функции.
43 43 3. ЛИТЕРАТУРА. 1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрис пресс, Данко П.Е., Попов Ф.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В -х ч.ч. 1. М.: Высшая школа, Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов. М.: Наука, Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Специальная литература, Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.т.1. - М.: Интегралпресс, 001. Содержание. Расчётные задания Решение типовых задач.. 8 Литература Составители О.В.Исакова, Л.А.Сайкова Редактор Г.А.Суворченкова РЕКОМЕНДОВАТЬ С ГРИФОМ УМО