«Определение логарифма. Логарифм числа.»
Образовательная:ввести определение логарифма, научить решать логарифмы.
Развивающая:развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.
Воспитательная:воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения.
Тип урока:комбинированный.
План урока:
- Организационный момент
- Актуализация знаний
- Изучение нового материала
- Закрепление. Работа у доски.
- Самостоятельная работа
- Итоги урока
- Самостоятельная подготовка.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
Ход урока:
1.Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока. Проверка домашнего задания.
2. Актуализация знаний
-Ребята, какую тему мы изучали перед нашим сегодняшним уроком?
-Дайте определение степени числа.
- Какие свойства степеней вы знаете?
Таким образом, зная основание и показатель степени, мы можем рассчитать число. А как вы думаете, существует в математике обратный процесс? Можно ли зная результат и основание определить показатель степени?
- Да, можно. Это называется логарифмированием.
3.Изучение нового материала.
Логарифмы и логарифмирование всегда считались сложной темой в курсе математики. Существует много разных определений логарифма,мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. А теперь — собственно, определение логарифма:
Определение.Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 23 = 8 ⇒log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64.
Просмотр содержимого документа ««Определение логарифма. Логарифм числа.»»Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края»
«Лабинский социально-технический техникум»
Методическая разработка
урока математики
«Определение логарифма.
Логарифм числа.»
Подготовила:
преподаватель математики
Пятакова З.В.
Лабинск, 2016
Определение логарифма. Логарифм числа.
Образовательная:ввести определение логарифма, научить решать логарифмы.
Развивающая:развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.
Воспитательная:воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения.
Тип урока:комбинированный.
Изучение нового материала
Закрепление. Работа у доски.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
1.Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока. Проверка домашнего задания.
2. Актуализация знаний
-Ребята, какую тему мы изучали перед нашим сегодняшним уроком?
-Дайте определение степени числа.
- Какие свойства степеней вы знаете?
Таким образом, зная основание и показатель степени, мы можем рассчитать число. А как вы думаете, существует в математике обратный процесс? Можно ли зная результат и основание определить показатель степени?
- Да, можно. Это называется логарифмированием.
3.Изучение нового материала.
Логарифмы и логарифмирование всегда считались сложной темой в курсе математики. Существует много разных определений логарифма,мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. А теперь — собственно, определение логарифма:
Определение.Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log5 100 = 2,86135311.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу!
Как считать логарифмы?
С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ).
Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: loga x = b ⇒ x 0, a 0, a ≠ 1.
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным:
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
1 шаг: Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2 шаг: Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;
3 шаг: Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Решение примеров у доски, с подробным пояснением.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Вычислите логарифм: log5 25
Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
log5 25 = b ⇒ (5 1 ) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Получили ответ: 2.
Представим основание и аргумент как степень тройки:
3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4 ) −1 = 3 −4 ;
Получили ответ: −4.
Вычислите логарифм: log4 64
Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2 ) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2 b = 6 ⇒ b = 3;
Получили ответ: 3.
Вычислите логарифм: log16 1
Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Составим и решим уравнение:
log16 1 = b ⇒ (2 4 ) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Получили ответ: 0.
Вычислите логарифм: log7 14
Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 2 ;
Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
Ответ — без изменений: log7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;
8, 81 — точная степень; 48, 35, 14 — нет.
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
4. Закрепление. Работа у доски.
5. Самостоятельная работа.
Работа по карточке №1 «Логарифм числа», карточки раздаются
Карточка №1«Логарифм числа»
Осуществляем взаимопроверку, какие возникли трудности? Ошибки проработали у доски.Выполняем второй вид работы по карточке № 2 «Логарифм числа»