Научно-исследовательская работа по теме «Задачи на смеси и сплавы»
Задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам. Ведь эти задачи, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс). Так же эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.
Просмотр содержимого документа «Научно-исследовательская работа по теме «Задачи на смеси и сплавы»»Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»
Научно-исследовательская работа по теме:
«Задачи на смеси и сплавы»
Автор: Некрасов Игорь Владимирович, 9 «Б» класс
Руководитель: Алабина Галина Юрьевна
Цель исследовательской работы: выявить способы решения задач на смеси и сплавы, узнать можно ли решить любую задачу данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.
Задачи исследовательской работы
1. Рассмотреть различные способы решения задач на смеси и сплавы, включая традиционный и нетрадиционные методы
2. Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов
3. Создать рекомендацию по решению задач на смеси, растворы и сплавы.
Чтобы решить любую задачу, надо создать математическую модель. В
каждом типе задач я использую удобные для меня схемы. В начале своей работы я покажу способы, которыми обычно решаю данного вида задачи, а затем перейду к способам, которые нашёл в дополнительной литературе и интернете.
Гипотеза: существуют другие способы решения задач на смеси и сплавы кроме тех, которые мы изучили в школе.
Этапы выполнения исследовательской работы……………………………. 4
Способы решения задач на смеси и сплавы………………………………. 5
Задачи на процентное содержание влаги………………………………. 6
Решение задачи с помощью таблицы…………………………………….9
Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели…….12
Арифметический способ………………………………………………. 16
Применение линейного уравнения……………………………. 17
Применение систем линейных уравнений……………………. 18
Решение задач на смеси методом прямоугольников…………………..19
Старинный алгебраический метод или правило квадрата………. 20
Старинный способ решения……………………………………….21
Способ креста(квадрат Пирсона)…. ……………………………..22
Человеку часто приходится смешивать разные жидкости, порошки, газообразные или твёрдые вещества или разбавлять что-то водой. Поэтому в современном мире множество отраслей, например таких, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность, связаны с химией. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой т.к. приходится решать задачи на процентное содержание тех или иных веществ в продуктах питания, в металле, в лекарствах и т.д.
Этапы выполнения исследовательской работы:
Этап «Сбор статистических данных».
Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.
Этап «Обработка данных».
Включает в себя: практическое применение способов решения задач на смеси и сплавы.
Этап «Анализ данных»
Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов
Объект исследования: задачи на смеси и сплавы.
Предмет исследования: способы решения задач на смеси и сплавы.
Гипотеза: существуют другие способы решения задач на смеси и сплавы помимо тех, которые мы изучаем в школе.
Практическая значимость: задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам ведь эти задачи, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс). Так же эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.
Способы решения задач на смеси и сплавы
Задачи на процентное содержание влаги.
С помощью таблицы.
Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели.
Применение линейного уравнения.
Применение систем линейных уравнений.
Решение задач на смеси методом прямоугольников.
Старинный алгебраический метод или правило квадрата.
Способ креста(квадрат Пирсона)
Задачи на процентное содержание влаги.
Начать работу хочу с задач на процентное содержание влаги. В открытом банке задач я нашёл три основных вида таких задач.
При решении подобных задач следует определить ту величину, которая
не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. В рассматриваемых задачах эту величину будем обозначать х.
Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?
Модели в данных задачах оформляем в виде кружочков, поделённых пополам. В нижней его части записываем содержание воды в %, в верхней – массу вещества.
cвежие фрукты сухие фрукты
Если свежие фрукты содержали 72% воды, то «не воды» в них было 28%. Всего 100%. Массу сухого вещества назвали х, а по условию задачи свежих фруктов было 20 кг. Все эти сведения отмечены в первом кружочке. Аналогично заполняем второй кружочек.
Из рисунка видим две пропорции. Решим их.
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов
винограда потребуется для получения 82 килограмм изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм 5 %.
В отличие от предыдущей задачи первая пропорция получилась во втором кружочке.
Собрали 42 кг свежих грибов, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 3 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих грибах?
Решение задачи с помощью таблицы.
Рассмотрим решения задач с применением таблицы. Таблица для решения
задач имеет вид:
Наименование веществ, растворов,
Масса раствора (смеси,
% содержание вещества (доля содержания вещества)
Данный способ является самым распространённым и лёгким.
Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Наименование веществ, растворов,
Масса раствора
Масса вещ-ва
200×0.7=140г
0.08×(200+х)=140г
Исходя из сведений найденных с помощью таблицы, решим уравнение:
Ответ:1.55 кг воды
Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит
15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы
получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Наименование веществ, растворов,
Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве:
0,15x +0,65(200-х) = 60.
Решив это уравнение, получаем х=140.
При этом значении х выражение 200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г
Ответ: 140 г, 60г.
Способ «стаканчиков»
Способ стаканчиков схож с способами, где используется таблица, но здесь она используется в своеобразном «стаканчатом» виде.
Масса 1-ого сплава
Масса 2-ого сплава
Масса 3-его сплава
Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение задач на растворы, смеси и сплавы с помощью модели.
В открытом банке заданий рассматриваются 5 основных видов таких задач. Их модель я оформляю в виде прямоугольников, разделённых пополам.
В верхней части прямоугольника записывается масса, в нижней – проценты.
Чтобы составить уравнение, необходимо данные величины перемножать. Если проценты перевести в десятичные дроби, то во второй строке решения
уравнения, чтобы числа были целыми, всю строку надо умножить на 100.
Поэтому при составлении уравнения сразу учитываю это.
В сосуд, содержащий 6 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
6 ∙ 20 + 6 ∙ 0 = 12х
Смешали 3 литра 10-процентного водного раствора некоторого вещества с
12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько
процентов составляет концентрация получившегося раствора?
3 ∙ 10 + 12 ∙ 15 = 15х
Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго
сплава больше массы первого сплава на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.
5х + 14х + 140 = 22х + 110;
10 кг – масса 1-ого сплава. Найдём массу 3-его сплава.
Смешав 14-процентный и 98-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 70-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 74-процентный раствор кислоты. Сколько кг 14-процентного раствора использовали для получения смеси?
98у + 10∙0 = 70 ∙ (х + у + 10)
14х + 98у + 10∙50 = 74 ∙ (х + у + 10)
Имеются два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 43% кислоты. Сколько кг кислоты
содержится в первом сосуде?
40х + 20у = 60 ∙ 32
Составим систему уравнений.
х = 10 (%) – кислоты в первом растворе.
Если вся масса 1-ого раствора 40 кг, а кислоты в нём содержится 10%, тогда масса кислоты составляет 4 кг.
Арифметический способ
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
1. Подсчитать абсолютные содержания компонентов каждой смеси;
2. Сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонентов полученной смеси;
3. Найти массу полученной смеси;
4. Подсчитать относительное содержание компонентов полученной смеси;
5. Записать ответ.
Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
300 •20 : 100 = 60 (г) - олова в первом сплаве,
200 • 40 : 100 = 80 (г) - олова во втором сплаве;
60 + 80 = 140 (г) - олова в двух сплавах вместе;
200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;
140 : 500 • 100 = 28% -содержится олова после сплавления.
Применение линейного уравнения
При составлении уравнения прослеживается содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются) и т.д.
Обозначить неизвестную величину через х.
Составить уравнение по условию задачи.
Решить получившееся уравнение.
Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам 5% раствора соли, чтобы получить 4% раствор?
Решение.Пусть количество добавленной воды – х(л), тогда масса нового раствора – 20+х(л),
20×0,05=1(л)- содержится соли в 20 литрах 5% раствора.
Имеем : соли 1 (л) это 4% раствора, 20+х (л) это 100%.
Составим и решим уравнение:
Ответ: 5 литров воды надо добавить.
Применение систем линейных уравнений
Обозначить одну неизвестную величину через х, другую неизвестную величину через у.
Составить систему двух линейных уравнений по условию задачи.
Решить получившуюся систему уравнений.
Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-й раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200г второго, то получится 42%-й раствор. Найти концентрацию второго раствора.
Пусть процентное содержание соли в первом растворе – х %, а во втором растворе – у %.
Составим и решим систему уравнений:
Ответ: 60% концентрация второго раствора.
Решение задач на смеси методом прямоугольников.
Одним из универсальных методов является метод прямоугольников. Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных
в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи. Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав). Рассмотрим типовые задачи.
Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x)
Ответ: 150 г и 450 г
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Ответ: 100т и 40т
Старинный алгебраический метод или правило квадрата.
Решим данным методом предыдущую задачу.
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема:
Или можно составить пропорцию:
Ответ: 40 т - 5% -ного металла и 100 т - 40% - ного металла.
В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим:
Ответ: 4,8 % - жирность молока.
Старинный способ
Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого ( автор первой в России учебной энциклопедии по математике).
Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями.
Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?
(800:(5+3)=100г приходится на одну часть
для получения 800 г сплава нужно взять:
72%-ного сплава 100×5=500г,
а 80%-ого 100×3=300г
Способ креста(квадрат Пирсона)
Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – ω 1, во втором – ω2, а в их смеси – ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:
Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
ω1, ω2 – массовые части первого и второго растворов соответственно.
Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?