В. Е. Белонучкин СИЛА ТЯЖЕСТИ ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ
3 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Кафедра общей физики В. Е. Белонучкин Сила тяжести. Вес. Невесомость Учебно-методическое пособие по курсу «Общая физика» МОСКВА МФТИ 2017
4 УДК (075) ББК 22.62я73 Б43 Р е ц е н з е н т ы: Кафедра общей физики Московского института электронной техники (кандидат физико-математических наук, доцент В. И. Плис) Доктор физико-математических наук, профессор Э. В. Прут Б43 Белонучкин, В. Е. Сила тяжести. Вес. Невесомость : учебно-методическое пособие по курсу «Общая физика». М. : МФТИ, с. ISBN Объясняются физические явления, обусловленные законами гравитационного взаимодействия и законами Ньютона. Предназначено студентам для углубленного освоения физического подхода к анализу явлений. Ключевые слова: гравитационное зваимодействие, законы Ньютона. УДК (075) ББК 22.62я73 c Белонучкин В. Е., 2017 c Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017
5 ПОЧЕМУ Всякое определение есть отрицание. Б. Спиноза Довелось мне как-то рецензировать не слишком удачную книгу, предлагавшуюся в качестве школьного учебника. И одно определение произвело на меня неизгладимое впечатление: «Силу притяжения к Земле, зависящую от выбора системы отсчёта и массы тела и сообщающую ему ускорение свободного падения, называют силой тяжести». Определение, если выбирать парламентские выражения, не выдерживает критики. Вряд ли сила взаимодействия двух тел зависит от выбора системы отсчёта; вряд ли сила тяжести есть только на Земле: на Луне проверили тоже есть; вряд ли зависит от нашего выбора масса тела впрочем, это замечание уже не «по физике», а «по русскому»; наконец, что же, если тело лежит на столе, и ускорения нет, то и силы тяжести нет? Но больше меня смутило другое. Мне, естественно, захотелось дать своё, корректное определение силы тяжести. Вот сейчас минутку подумаю. И тут я понял, как это непросто. И подумал, что не так уж нелепо, как показалось на первый взгляд, определение из этого учебника, хотя одобрить его я все же не могу. Показал книгу коллегам. Все, деликатно говоря, покритиковали. Каждый попытался дать своё определение. Но звучали эти «определения» примерно так: «Ну, это сила тяготения, только. »; «Сила тяжести вес, но. »; наконец, «Есть сила тяготения, есть вес, зачем ещё силу тяжести вводить?» Но как же все-таки назвать силу, которая сообщает телу ускорение свободного падения, как назвать пресловутую mg? Неужели так и говорить: произведение массы тела на ускорение свободного падения? Да возьмём первую попавшуюся книжку по механике: «составляющая силы тяжести», «момент силы тяжести», в лучшем случае «силой тяжести пренебречь». А мне предлагают делать вид, что такой силы не существует. И решил я написать эту книжку. Авось, пока пишу, и сам пойму, что такое сила тяжести. 3
6 А для начала захотелось мне припомнить, ЧТО ГОВОРИЛИ РАНЬШЕ Наука! Ты дитя Седых Времен! Эдгар По Все тела стремятся вниз. Это люди поняли раньше, чем стали людьми. И вода стекает в низины. И камень, если его уронишь, стукнет по ноге, а не полетит вверх. И чтобы поймать мамонта, надо яму рыть, а не гору насыпать. Впрочем, наша первая фраза достаточно бессодержательна. Что такое «низ»? Это то место, куда стремятся все тела. А в чем же тогда смысл нашего «постулата»? Все тела стремятся туда, куда они стремятся? Почему? Со всей ясностью поставили этот вопрос античные философы. Трудно установить, кто первый сказал «а», хорошо известно лишь, что итог первому туру обсуждения подвел Аристотель О Истина, твоё сиянье Лишь первым светит им лучом! П. Верлен Главный тезис Аристотеля все тела стремятся к своему естественному месту. Тяжёлые к Центру Мироздания, совпадающему с центром Земли, лёгкие к границе подлунного мира, проще говоря вверх. Вверх, например, поднимается дым костра. Он не падает вниз, потому что его естественное место у границ мировой сферы. А небесные тела, более совершенные, чем земные, уже достигли своих естественных мест и движутся по небесным сферам, подгоняемые Перводвигателем, который располагается в Центре. Ну как? Не возникает ли ощущение, что объяснение Аристотеля сводится к тому, что вниз это к Центру, а вверх от Центра? Между тем схема Аристотеля оказалась весьма плодотворной. Конечно, её надо было уточнять, развивать. И более других преуспел в этом Архимед. Опираясь на Аристотеля, он разработал теорию простейших механизмов, главное в которой правило рычага. Архимед же ввёл понятие центра тяжести. А знаменитый закон Архимеда? 4
7 Ведь фактически Архимед показал относительность противопоставления лёгкий тяжёлый. Более того, именно он «изобрёл» понятие плотности (вернее, удельного веса, веса единичного объёма вещества). Более плотный, или, как говорил Архимед, «относительно более тяжёлый» камень, падая в воде по направлению к своему «естественному месту», заставляет воду потесниться на более удаленное место. Правда, были еретики, смещавшие Центр Мироздания, переносившие его с Земли на Солнце, заставлявшие её саму вертеться вокруг оси. В этом больше других преуспел Аристарх. Доказав, что Солнце по размерам превосходит Землю, он резонно предположил, что Центр Мироздания на Солнце. Аристарха не поняли. Обычная история опередил своё время на два тысячелетия. Но вот советский историк астрономии С.В. Житомирский высказал парадоксальную мысль Аристарх опоздал на два десятилетия. В 271 г. до н.э. умер Эпикур, в 268 Стратон, в 264 Зенон. И только в этот момент появляется гелиоцентрическая система Аристарха. Титаны, люди, лишенные догматизма, способные воздать должное революционной теории Аристарха, ушли. На их место стали эпигоны, высшую мудрость видевшие в слепом повторении слов Великих. Именно в это время само слово «эпигон», первоначально имевшее нейтральный «вкус» последователь, продолжатель приобрело пренебрежительный оттенок: человек, не умеющий мыслить самостоятельно. А такие люди понять Аристарха не могли. Правда, в расцвете сил был Архимед. Но он был слишком земным учёным и в прямом, и в переносном смысле слова. Его больше интересовали не философские проблемы, а инженерные. Для инженерных надобностей усовершенствованная система Аристотеля казалась как нельзя более подходящей. Слабым местом физики Аристотеля была динамика. Уж, как говорится, бог с ними, с небесными телами, с перводвигателем, который не то и есть Бог, не то запущен Богами. Как движутся тела в подлунном мире, простые, земные тела вблизи поверхности Земли? Движения бывают естественные, когда тело просто движется «к своему естественному месту», и принудительные, когда есть внешняя причина. Например, мы бросаем тело вверх, действуя на него с какой-то силой. Потом оно будет падать вниз, это просто. А вот почему оно летит вверх, когда уже от руки оторвалось? Тут действует довольно хитрый механизм. С одной стороны, воздух, конечно, препятствует движению, есть сила сопротивления. Но с другой стороны, за телом освобождается место, а природа «боится», «не терпит» пустоты. В освобождающееся место врывается воздух и подталкивает 5
8 тело. В общем, должно получиться так, что «подталкивающая сила» больше силы сопротивления на всем пути тела вверх. Ведь согласно Аристотелю скорость определяется действующей силой. А потом все силы пропадают и начинается естественное движение тела вниз, которое уже не требует сил. Причём это движение ускоренное, так как чем ближе тело к месту назначения Центру, тем сильнее оно туда стремится. «Боязнь пустоты» имела весьма веские основания. В пустоте тело просто не знает, куда двигаться. Ведь зрение есть не у всех тел, у камня его, по-видимому, нет. Камень должен «пощупать», где верх, где низ. А так как пустоту не пощупаешь, он даже не сможет узнать направление к своему естественному месту, чтобы двигаться по естественным причинам. Ещё хуже с принудительным движением. С одной стороны, откуда в пустоте может возникнуть движущая сила? А с другой стороны, если ей как-то удастся все же подействовать на тело, то силы сопротивления-то нет, и тело должно двигаться с бесконечной скоростью. Вот такая логика и приводит к выводу, что «природа не терпит пустоты». Хлопот с ней, с этой пустотой, не оберёшься. Надо сказать, что болезнь эта, боязнь пустоты, оказалась неизлечимой. Вроде бы Торричелли уверил всех в терпимости природы. Ньютон уже спокойно помещал все сущее в пустое пространство. Но пришла пора Фарадея и Максвелла. Потребовалась материальная среда для передачи электромагнитных колебаний, и пространство заполнилось эфиром. Усилиями Эйнштейна и многих других учёных удалось изгнать «электромагнитный» эфир. А сейчас? В молодости я слышал такое определение вакуума, то есть в обыденном представлении, пустоты: «конгломерат нерождённых полей, флуктуирующий в абсолюте». Если немного модернизировать язык, ну, например, сказать «совокупность виртуальных полей», получится нечто весьма похожее на современные представления о физическом вакууме. Так что опять природа не очень-то милостиво относится к пустоте как чистому вместилищу. Возвращаясь снова к динамике Аристотеля, нельзя не признать, что была она противоречивой и невнятной. Следующий этап, так сказать, второй тур развития механики, можно назвать 6
9 История величия и падения импетуса Дух знанья жил, скрыт в тайном эликсире, Поя целебно мутный мрак веков. В. Брюсов Наступало Средневековье время сна человеческого разума. Вся наука должна была состоять в изучении и комментировании Аристотеля. И вот на пороге этого периода посмертного культа личности Аристотеля нашелся человек, осмелившийся на суровую и, надо подчеркнуть, аргументированную критику аристотелевой динамики. Не понравилось Филопону (он же Иоанн Грамматик), что движение поддерживается толчками воздуха. Если прямолинейное движение и даже движение по окружности а никаких других Аристотель не допускал ещё можно как-то объяснить этими толчками, то с чистым вращением дело обстояло совсем кисло. Раскрутим колесо, а ещё лучше шар вокруг оси. Где возникает пустота? Куда врывается воздух, чтобы подтолкнуть тело? А между тем вращение некоторое время продолжается без видимых причин. Наверное, говорит Филопон, действовавшая на тело сила сообщила ему самому некоторый запас силы, «приобретённую силу», которую потом тело расходует на преодоление сопротивления. Позже эту «силу» назвали импетусом. Первый шаг на пути к закону инерции сделан! Но только первый шаг. Для движения по-прежнему нужна сила, пусть приобретённая про запас, но именно сила. Без силы нет движения этот постулат оставался незыблемым все следующее тысячелетие (Филопон жил в VI веке). Строго говоря, Филопон не был первым критиком динамики Аристотеля. Подобные соображения выдвигал ещё за семь веков до него, так сказать, по свежим следам, Гиппарх. Но Гиппарх это сделал как бы между делом, основным его занятием была астрономия, астрономические труды Гиппарха изучали, ими восхищались, а его идею «запасённой силы» не приметили. Филопон же был профессиональным комментатором Аристотеля, комментатором достаточно авторитетным, его критику не заметить не могли. Новых идей в эти застойные времена не появлялось, а вот идею приобретенной силы развивали, уточняли даже Галилей и Ньютон. Да что там Галилей, Ньютон! Они, конечно, гении, но жили-то когда! А ведь и сейчас доводится слышать, что на летящий камень действует сила тяжести, сила сопротивления воздуха и. «сила, с которой камень бросили». И это говорят люди, изучавшие (вернее, наверное, «проходившие») механику Ньютона, механику, в которой не осталось 7
10 места импетусу. Сам не раз слышал на приемных экзаменах в МФТИ. Чего же ждать от тёмного Средневековья! Хорошо, что с импетусом как следует поработали, выжали из него все, что можно, и подготовили почву для изгнания его Галилеем. Какова же была судьба импетуса от Филопона до Галилея? В IX веке Авиценна, он же Абу Али ибн Сина, более знаменитый как великий медик, «уточнил» Аристотеля с позиций Филопоновой теории импетуса. Основным в динамике в это время было исследование полёта «тела, брошенного под углом к горизонту», камня, позднее пушечного ядра. По Аристотелю такое движение распадалось на три фазы: по прямой в том направлении, куда тело бросили, затем по кусочку окружности и, наконец, вертикально вниз. Почему возникала окружность, оставалось неясным. И вот более последовательный, но менее наблюдательный (впрочем, только в этом вопросе) Авиценна, изгнав окружность, построил более стройную схему: сначала тело под влиянием сообщённого ему импетуса движется по прямой в первоначальном направлении, затем на неуловимое мгновение зависает на месте, тут же возникает новый импетус, уже естественный, связанный с весом тела, и оно падает вниз. Заметим, что различить достаточно чётко вес, силу стремления к естественному месту, естественный импетус пока невозможно. Все это перепутано. Но импетус, между тем, достигает расцвета. Немало поработал с ним Жан Буридан, которого мы поминаем непременно вместе с его нерешительным ослом. Чуть позже Альберт Саксонский вернул пушечному ядру утраченную было криволинейную часть траектории, обосновав её наличие уже теорией импетуса. По Альберту, сначала главную роль играет импетус, полученный при выстреле, так что никакой другой не проявляется, и тело летит по прямой. Затем этот импетус слабеет, становится заметной роль тяжести, два импетуса действуют одновременно, тело, т.е. «ядро» движется по некоторой кривой. Наконец, первоначальный импетус полностью иссякает, остаётся только тяжесть, только её импетус, тело падает вертикально вниз. Прошло всего семнадцать веков, и схема Аристотеля вновь восторжествовала, правда, теперь она логически гораздо более обоснованна и несколько, хочется сказать, уточнена, хотя в действительности она стала менее определённой неясна форма траектории второй фазы полёта. Впрочем, XIV век это уже начало Возрождения, новой эпохи титанов. Один из них Леонардо да Винчи внёс последнее существенное усовершенствование в теорию импетуса. Правда, в отличие от многочисленных изобретений, не говоря уже о бессмертных живописных произведениях, теоретический вклад Леонардо был довольно 8
11 сомнительного свойства. А именно, он ввёл понятие «кругового импетуса» не путать с вращательным. То есть Леонардо считал, что если тело разогнать по окружности, оно и дальше некоторое время будет двигаться по первоначальной кривой. Сам я, правда, такого рода заявления слышал только от девятиклассников, но вот доктор Мак-Клоски из университета Джонса Гопкинса проверил своих первокурсников, и оказалось, что треть (!) из них разделяет взгляды Леонардо («В мире науки», 6 за 1983 г.). Не хотелось бы, чтобы сложилось впечатление, что Леонардо был слабым теоретиком. Свой вклад в развитие представлений, ведущих к принципу инерции, он внёс. И вообще трудно не согласиться с Энгельсом, считавшим, что Леонардо «был не только великим живописцем, но и великим математиком, механиком и инженером, которому обязаны важнейшими открытиями самые разнообразные отрасли физики». Однако решающий шаг требовал, так сказать, нового мышления, отказа от рецидивов догматизма. И тут трудно переоценить роль небольшой книжечки «Новый органон», задуманной как введение к «Великому восстановлению» независимости науки от религии и от канонизированных церковью взглядов Аристотеля. Автором этой книжки был Френсис Бэкон Настоящий родоначальник всей современной экспериментирующей науки это Бэкон. Карл Маркс Конечно, понимание того факта, что в основе науки должен лежать опыт, само пришло в результате длительного опыта развития науки. У Ф. Бэкона, как у любого революционера, а он произвёл настоящую революцию в научном мышлении, были предтечи, были учителя. Уже в XIII веке его однофамилец Роджер Бэкон призывал в основу науки положить опыт и математику, что было прямо противоположно требованиям Аристотеля. Веком позже Уильям Оккам доказывал, что божественное откровение, как сказал классик, «особ статья», а научное знание «особ статья». Леонардо придерживался мнения, что «пусты и полны заблуждения те науки, которые не порождены опытом». В чем же основной пафос труда Ф. Бэкона? Те отрасли знания, которые традиционно относились к науке, в его время прозябали. Техника же, промышленность переживали расцвет. «Механические искусства», как их называл Бэкон, «как будто 9
12 восприняв некое удивительное дуновение, с каждым днем возрастают и совершенствуются». Мы бы сказали, что теория катастрофически отстала от практики. Причины? «Условия для разговора о природе стали жёсткими и опасными», в первую очередь потому, что «философия Аристотеля срослась более, чем следовало, с религией». Да ещё мешает несовершенство человеческих органов чувств, да и самого мышления: ведь человек «скорее верит в истинность того, что предпочитает». Как же помочь науке? Как сделать, чтобы «в науках и искусствах, как в рудниках, все шумело новыми работами и движением вперёд»? Надо применять метод, основа которого «состоит в следующем: мы извлекаем не практику из практики и опыт из опыта, а причины и аксиомы из практики и опытов и из причин и аксиом снова практику и опыты, как верные истолкователи природы». И конечно, «лучше всего продвигается вперёд естественное исследование, когда физическое завершается в математическом». В механике «причины и аксиомы» извлекли из практики и опыта Галилей и Ньютон В науке о природе надо прежде всего определить то, что относится к началам. Аристотель Что в первую очередь вспоминается при имени «Галилей»? Что он бросал разнокалиберные камни с Пизанской башни, и камни эти падали одновременно? Но это предсказал и убедительно доказал почти на полстолетия раньше Бенедетти. А Ньютон? Сформулировал три закона, потом на него упало яблоко, и он открыл ещё и закон всемирного тяготения? Конечно, и это немало. Галилей окончательно утвердил практику и опыт как критерий истинности теоретических построений; Ньютон «завершил физическое в математическом». Возникла та наука, к которой звал Бэкон. Но ведь не они были совсем первыми. Почему же все-таки не механика Архимеда Бенедетти, а механика Галилея Ньютона? Почему, с величайшим уважением называя в числе основателей классической механики имена Декарта, Гюйгенса, Гука, мы все же именуем её чаще всего просто «ньютоновой»? Три важнейших шага сделали Галилей и Ньютон. 10
13 Первое, самое-самое главное они завершили индуктивную часть процесса: вывели, назовите это как хотите, аксиомы, причины, начала, принципы классической механики. Это принцип относительности существует бесконечное количество равноправных систем отсчёта, в которых законы механики выглядят одинаково; принцип инерции в этих равноправных, инерциальных системах тело, не подверженное действию сил, движется с нулевым ускорением; принцип равенства действия и противодействия третий закон Ньютона. Второе. Они оформили эти принципы математически вспомним преобразования Галилея и второй закон Ньютона. И, наконец, третье, из-за чего мы в названии классической механики и Галилея-то зачастую забываем упомянуть. Ньютон все эти достижения привёл в систему, из разрозненных фактов, аксиом, теорем построил стройную теорию. Не стоит забывать ещё, что, кроме всего прочего, Ньютон создал и математический аппарат, с помощью которого можно было идти по дедуктивной части процесса из принципов получать следствия, которые поддаются прямой практической, опытной проверке. Чем механика и занималась благополучно два столетия, пока не появился Эйнштейн. Как все легко получается! Никто не мог сообразить, как просто устроен мир три принципа, четыре формулы, вот и вся механика. Пришли мудрые Галилей и Ньютон и сразу все поставили на место. Стоит ли напоминать слова Ньютона о том, что он «видел дальше других лишь потому, что стоял на плечах гигантов»? Конечно, и мы это уже не раз вспоминали, длинный путь вёл от Аристотеля через импетус к классической механике. И Галилею с Ньютоном посчастливилось сделать последние шаги. Но какими же нелегкими были они! Вспомним лишь два примера. Галилей сперва был убеждён, что скорость падающего тела изменяется на одну и ту же величину при прохождении равных расстояний. Это так гармонировало с представлениями Аристотеля: насколько ближе к Центру тело, настолько больше его скорость. И лишь подробный логический и математический анализ, проверенный экспериментом, привёл Галилея к правильному выводу скорость изменяется на определённую величину не на фиксированном участке пути, а за фиксированное время. Или Ньютон. Каким мучительным процессом был выбор меры, так сказать, запасённой в движущемся теле способности к движению во времена Ньютона этот запас называли «живой силой» (импетус?!). То ему казалось, что это mv, то mv 2. Мы-то знаем, что обе эти величи- 11
14 ны важны импульс (количество движения) и кинетическая энергия (надо, правда, взять половинку второй ньютоновой меры). Но научил нас этому Ньютон! А его учить было некому. Даламбер, который окончательно во всем этом разобрался, ещё не родился. Однако не пора ли вспомнить, что цель нашей книжки выяснить, что же такое сила тяжести? Ньютон разобрался и в этом. Так что нам только и надо внимательно посмотреть, ЧТО СКАЗАЛ НЬЮТОН Тяжесть есть взаимное стремление всех тел. И. Кеплер Постойте, так кто же открыл закон всемирного тяготения? Ньютон или Кеплер? Спокойствие, как говорит Карлсон, только спокойствие. Ньютон, конечно же, Ньютон. Но не яблоко ему помогло это сделать или, по крайней мере, не только яблоко. Помогли, как всегда, труд, гениальная способность к обобщению и результаты великих предшественников. А среди них не в последнюю очередь, если не в первую, именно Кеплер Чего он хочет, хочет непреклонно, Круша своим хотением гранит, Сгибая им во тьме бездонной Кривые мировых орбит? Э. Верхарн Так что же сделал Кеплер? Конечно, Верхарн писал свои стихи совсем не о Кеплере. Но все совпадает: Кеплер непреклонно хотел найти истину, и он нашёл её, для чего ему понадобилось сокрушить гранит догм, имевших двухтысячелетнюю историю, и «согнуть» орбиты планет. Переведём, однако, его свершения с языка поэзии на язык протокола. Прошло два тысячелетия после неудачной попытки Аристарха, и Копернику удалось-таки перенести центр мира с Земли на Солнце. Но, как и во времена Евдокса, Аристотеля, Птолемея, планеты двигались равномерно по окружностям. Правда, вокруг Солнца они так же не хотели двигаться «совершенно», как и вокруг Земли. Но работала старая схема: планета движется по окружности, движется равномерно, 12
15 но вокруг некоей точки, которая равномерно движется по окружности вокруг другой точки, которая. и так далее, пока какая-то точка не начинала равномерно двигаться по окружности вокруг Солнца, как раньше вокруг Земли. И вот эту-то схему и сломал, сокрушил Кеплер: планеты движутся по эллипсам, движение их неравномерное. Что касается причины такого движения, то Кеплер лишь смутно догадывался, что это «тяжесть», сила тяготения. А вот три закона Кеплера, полностью определяющие кинематику движения планет вокруг Солнца, это не смутные догадки, это строгие математические факты. Из них можно получить закон всемирного тяготения. Правда, легко сказать можно получить. Но тут, как раз во-время, как сказал поэт, «явился Ньютон». Ему эта задача оказалась по плечу. Он-то и провозгласил Закон всемирного тяготения Все прочее литература! П. Верлен Что надо, чтобы из законов Кеплера получить закон всемирного тяготения, мы знаем надо быть Ньютоном. А что надо знать из Ньютона, чтобы получить закон Кеплера? Оказывается, не так много. В конце концов, достаточно знать, что такое сила. Правда, это надо знать как следует. Так что же такое сила? С одной стороны, говорит Ньютон, сила результат взаимодействия двух тел. Но какая сила возникает при этом самом взаимодействии? От каких свойств «двух тел» она зависит? Ответ как раз закон всемирного тяготения: сила взаимного притяжения тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними F = GmM R 2. (1) Это, конечно, не универсальный ответ. Но, поскольку нас интересует именно тяжесть, тяготение, с нас пока хватит. Есть, однако, вторая сторона дела. Сила причина изменения движения тела, на которое она действует. И тут тоже, кроме слов, Ньютон пишет формулу свой второй закон: сила равна произведению массы тела на ускорение F = ma. (2) Вот и все, что надо было знать Ньютону, чтобы вывести (напомним, уже известные ему) законы Кеплера. Или почти все. Ещё ему 13
16 пришлось придумать подходящий инструмент высшую математику, точнее, математический анализ. Вот если мы это «немногое» будем знать, нам удастся получить законы Кеплера. Может быть, удастся. Но мы этим заниматься не собираемся. Движение небесных светил не предмет этой книжки. Нам бы с силой тяжести на Земле разобраться. А это тоже не такая уж простая задача. Все сразу и не охватишь. Земля не совсем шар, она вращается вокруг своей оси, движется вокруг Солнца, при ней состоит Луна в качестве спутника. Оказывается, все это в той или иной мере влияет на силу тяжести. Где же выход? Надо идти от простого к сложному, то есть строить постепенно усложняющиеся Модели О тайне мира пусть хотя бы лепет. И. В. Гёте Если разобраться, все естественные науки по своей сути состоят в построении моделей. Жизнь, природа слишком сложны, чтобы можно было абсолютно точно описать даже самое простое на первый взгляд явление. Приходится упрощать, выделять самое главное, то, от чего именно в этой задаче нельзя отвлечься. Всем остальным пренебречь. Есть расхожая мудрость: если бы измерения были абсолютно точными, наука не могла бы возникнуть. Мы бы просто утонули в мелочах. Вспомним задачу-шутку: что будет с телом, если мы его положим на край абсолютно гладкого, абсолютно плоского, абсолютно горизонтального стола? «Нормальный» ответ тело будет покоиться. 14
17 Но попробуем «уточнить» задачу. Как мы проверили горизонтальность? К примеру, в центре стола поместили (абсолютно точный) уровень. Это значит, что в центре поверхность стола перпендикулярна направлению силы тяжести. То есть центр Земли точно под центром стола. Но тогда он не точно под краем; сила тяжести, действующая на тело, находящееся на краю, имеет составляющую, направленную к центру стола, и тело (поскольку стол абсолютно гладкий) должно скользить именно туда. Но. «Мы положим» сказано в условиях. То есть «мы» скорее всего находимся у того края стола, на который кладем тело. А это самое «мы» тоже притягивает тело. Тогда, может быть, оно, наоборот, соскользнёт к нам? Предположим, так оно и получилось. Естественно, с учётом нашего притяжения тело соскользнёт к нам, если его положить и в центр стола. А теперь мы пригласили коллегу и хотим ему продемонстрировать эффект. Наш друг становится по другую сторону стола, и тело скользит к нему оказалось, что он потяжелее «первооткрывателя эффекта», и притягивает тело сильнее. Ну, ещё немало можно придумать вариантов поведения тела на таком «абсолютном» столе. Имей Ньютон такой набор экспериментальных фактов и не имей закона всемирного тяготения смог бы он этот закон открыть? Ньютону было легко: он знал, что яблоко в 60 раз ближе к центру Земли, чем Луна, а ускорение у него в (60) 2 = 3600 раз больше. Вот и всё. Читатель, конечно, понимает несерьезность последнего утверждения. Открытия такого ранга не могут быть получены из одного, пусть самого впечатляющего, факта даже Ньютоном. Так, мы уже вспоминали роль законов, открытых Кеплером. Но обратим внимание на такую мелочь. У нас промелькнули слова «от центра Земли». А почему от центра? И вообще, в формуле (1) Что такое R? Самый отдаленный пункт земного шара к чему-нибудь да близок, а самый близкий от чего-нибудь да отдалён. К. Прутков В общем очевидно, что такое R, только в одном случае когда оба взаимодействующих тела можно считать материальными точками, когда они настолько малы, что их размеры «не видны». Ну, например, расстояние между телами мы можем узнать с ошибкой, которая больше размеров этих тел. 15
18 Поэтому проще всего проверять закон всемирного тяготения на астрономических данных планеты достаточно «малы». Но Солнце. Диаметр его больше миллиона километров; до Земли, к примеру, 150 миллионов километров. Не очень-то похоже на хвалёную «астрономическую» точность: измерение с ошибкой около процента. Но, конечно, гораздо хуже обстоят дела, когда падает яблоко Земля совсем рядом, а до «самого отдаленного пункта» её чуть не 13 тысяч километров. Стандартный путь хорошо известен, его подсказал все тот же Ньютон: надо разбить земной шар на множество мельчайших частичек и просуммировать их действие на яблоко. Лучше всего, если удастся «распотрошить» Землю на бесконечно большое число бесконечно малых частей и все это проинтегрировать. Но сначала надо выяснить, какую форму имеет Земля, как распределена масса. И вот тут мы начнём с самого простого, с элементарнейшей модели: Земля однородный шар. Впрочем, и для однородной Земли интегрирование не так уж легко провести. Поэтому нам придётся познакомиться с весьма мощным, так сказать, промежуточным результатом применения закона тяготения, который называется Теорема Гаусса Не в совокупности ищи единства, но более в единообразии разделения. К. Прутков Итак, Земля однородный шар. Добавим ещё уединённый, то есть ни Солнца, ни Луны, вообще ничего нет ни на каких интересующих нас расстояниях от Земли. Ещё добавим невращающийся шар. Пока просто не придётся задумываться, как влияет вращение, влияет ли оно на тяготение. Позже выяснится, когда это обстоятельство существенно, когда нет. Теперь отойдем от этой Земли 1 так далеко, что она представится нам точкой; вопрос, что есть расстояние до Земли, потеряет актуальность до любой точки Земли расстояние R. Обратим внимание на величину g = GM/R 2, где M масса Земли. Можно сказать, что эта сила притяжения со стороны Земли, действующая на единичную массу на расстоянии R; можно эту величину назвать ускорением свободного падения. Но можно ещё сказать, что это напряжённость поля силы тяжести. Полная аналогия с электрическим полем: там напряжённостью называется сила, действующая на единичный заряд, здесь сила на 16
19 единицу массы. Сила, безусловно, вектор; ну, что же, напряжённость тоже вектор. Пока мы далеко от Земли, вопрос о направлении этого вектора решается просто к Земле. Так вот, проделаем простенькую операцию: перемножим g, соответствующее расстоянию R от Земли, и площадь сферической поверхности радиуса R. Произведение это Φ = 4πGM называется потоком вектора g через поверхность сферы радиуса R, в центре которой находится масса M. Самое замечательное, что этот поток не зависит от радиуса сферы. Оказывается, поток вообще не зависит от размеров и формы поверхности, лишь бы она была замкнутой и окружала массу M. Более того, поток не зависит от того, одна точечная масса находится внутри поверхности или несколько; там могут быть и тела, совсем не похожие на материальные точки. Короче, важна лишь суммарная масса, заключённая внутри поверхности. Правда, мы забыли уточнить понятие потока вектора. Только в простейшем случае, когда вектор напряжённости перпендикулярен поверхности, через которую мы подсчитываем поток, дело сводится к перемножению напряжённости и площади. В общем случае надо ещё домножить на косинус угла между направлением вектора напряжённости и перпендикуляром к площадке. Конечно, надо выбрать столь малую площадку, чтобы этот косинус имел одно и то же значение во всех её частях, а затем просуммировать (проинтегрировать) по всем площадкам. Может быть, вся эта математика станет понятнее, если перейти на язык силовых линий (линий напряжённости поля). Силовые линии направлены в каждой точке так, как направлен вектор напряжённости, а величина напряжённости характеризуется густотой этих линий все точно так же, как в кулоновском поле происходит с силовыми линиями электростатического поля. В кулоновском поле силовые линии могут начинаться (кончаться) только на зарядах или уходить на бесконечность (приходить из бесконечности). То же самое в поле сил тяготения, в гравитационном поле. Правда, заряды бывают разных знаков, поэтому силовая линия кулоновского поля может выйти из положительного заряда и закончиться на отрицательном. Массы же все имеют один знак, так что линии гравитационного поля все приходят из бесконечности и «входят» в какие-нибудь массы. Уже из первого примера сферическая поверхность с точечной массой в центре ясно, что справедливость теоремы Гаусса непосредственнейшим образом связана с квадратичной зависимостью g от (1/r). Опять-таки прямая аналогия с кулоновским полем. 17
20 В общем, на языке силовых линий ситуация выглядит так. Выберем «масштаб»: например, при напряжённости поля g 1 через единицу поверхности (перпендикулярной направлению вектора g) мы будем рисовать N 1 силовых линий. Тогда просто в каждое тело из бесконечности должно приходить количество силовых линий, пропорциональное массе этого тела: 4πGMN 1 /g 1 линий. Ясен и смысл косинуса. Если площадку наклонить так, что она не будет перпендикулярной к напряжённости поля, через неё пройдёт меньше силовых линий. Линия, входящая в область, ограниченную выбранной замкнутой поверхностью, и линия, выходящая из этой области, дают в поток вклады разного знака, так как меняется знак косинуса. К примеру, линия AO на рис. 1 будет дважды сосчитана с правильным знаком да один раз «с неправильным», в результате она даст такой же вклад в поток, как и «правильная» линия BO. И в конце концов даже через такую замысловатую поверхность, как поверхность S, поток будет вычислен верно. Рис. 1 Сразу отметим слабое место теоремы Гаусса: её применение полезно, удобно тогда, когда в задаче, в распределении масс имеется достаточная симметрия. Ну, к примеру, g на поверхности Земли 1 в силу полной сферической симметрии задачи везде должно иметь одно и то же значение. А тогда из теоремы Гаусса мгновенно следует, что это g не отличается от того, какое было бы, если бы вся масса Земли была сосредоточена в её центре. Итак, действительно, расстояние до Земли до сферически симметричной, уединённой, невращающейся Земли это расстояние до её центра. Подчеркнём особо сферически симметричной этого достаточно. Требование однородности распределения масс по всему объёму Земли оказалось излишне жёстким. Лишь бы на одной глубине везде была одна и та же плотность. То есть g на поверхности мы нашли уже, так сказать, для Земли 2; напомним ещё раз, это сферически симметричная, хотя и не обязательно однородная модель, то есть нечто, заметно более схожее с реальной Землёй, чем модель 1. В этом случае нам помогла симметрия «единство в совокупности». Попробуем разобрать пример, когда придётся заняться поисками «единообразия разделения». Пусть у нас имеется очень длинная однородная «палка», каждый метр которой имеет массу k. Величина k 18
21 в таких случаях носит название погонной плотности. Мы хотим узнать g, создаваемое этой «палкой» где-нибудь неподалёку от её середины. Наденем на палку соосно консервную банку (рис. 2). Постараемся разобраться с потоком вектора g через поверхность банки. Явно в неравных условиях находятся, с одной стороны днища, с другой боковая поверхность, обеч айка, как сказали бы котельщики. Рассмотрим напряжённость поля Рис. 2 g в некоторой произвольной точке O. Суммарное действие участков A и B, одинаково удалённых от O (рис. 2), сведётся к силе, направленной точно к оси палки, так как составляющие сил f 1 и f 2, направленные вдоль палки, взаимно уничтожаются. То же самое можно сказать о любой паре элементов, равноудаленных от O. Теперь обратим внимание на такое обстоятельство. С ростом расстояний AO и соответственно OB силы f 1 и f 2 убывают обратно пропорционально квадрату расстояния; кроме того, в результат дают вклад только нормальные составляющие этих сил, а они становятся всё меньшей частью самих сил. То есть вклад удалённых частей палки весьма мал, с ростом расстояния он падает весьма быстро. Повторим ту же мысль «другим манером»: основной вклад в значение g дают не слишком далёкие части палки. Но тогда не играет особой роли, в сто раз, в тысячу или миллион раз длина палки превышает расстояние от её оси до точки О. При одинаковой погонной плотности все три палки будут притягивать тело, помещённое в точку О, примерно одинаково. Главное та часть палки, до которой (в зависимости от потребной точности) в пять, десять, может быть, в сто раз дальше, чем до ближайшей её точки. Теперь уже нетрудно сделать следующий шаг. Если не так важно, какой конкретно длины палка, лишь бы она была достаточно длинной, давайте будем её считать БЕСКОНЕЧНО длинной. Тогда сразу упрощается геометрия задачи все сводится к осевой симметрии. Просто в силу симметрии вектор g НЕ МОЖЕТ иметь иного направления, кроме как к оси палки. В силу симметрии величина g не может зависеть ни от чего, кроме r. Что это означает с точки зрения теоремы Гаусса? Поток вектора через днища становится равным нулю. Поток через обечайку равен величине g, одинаковой по всей боковой поверхности, умноженной на 19
22 величину самой поверхности. Вожделенное единообразие разделения достигнуто! Для банки длины l и радиуса r теорема Гаусса будет выглядеть следующим образом: Φ = 4πGM = 4πGkl = 2rlg. То есть g = 2Gk/r. Конечно, тот же результат мы получили бы, применяя в лоб закон всемирного тяготения к бесконечно малым элементам палки и интегрируя от одной бесконечности до другой. Но насколько проще все это у Гаусса! Ньютон, не знавший теоремы Гаусса, именно так и поступал: все на свете интегрировал. Так ему удалось доказать, что поле тяготения сферически симметричного распределения масс совпадает с полем точечной массы, находящейся в центре шара. Появилась возможность, как обычно говорят, «взвесить земной шар», то есть узнать массу Земли. Надо только сначала измерить гравитационную постоянную. Это удалось Кэвендишу, одному из величайших экспериментаторов в истории науки, увы, через 70 лет после смерти Ньютона. Надо сказать, что метод Кэвендиша единственный действительно прямой, непосредственный способ измерения гравитационной постоянной. Не могу не похвастать: мне в студенческие годы довелось повторять опыт Кэвендиша. Приличных размеров свинцовый шар надо было перекатить по желобу с одной стороны крутильных весов (их изобрёл тот же Кэвендиш) на другую. Весы послушно поворачивались, и если за расстояние между массами принять расстояние от центра свинцового шара до притягиваемого им шарика (его размеры были настолько малы, что можно было ими пренебречь), значение гравитационной постоянной получалось такое же, какое написано в справочниках. Основная трудность, так сказать, изюминка работы, состояла в том, что перекатывание требовало физической подготовки, не той, которую получают на уроках физики, а той, которой занимаются на уроках физкульту- 20
23 ры: шар весил добрую сотню килограмм. При меньшей массе точность была бы никудышной. Мы уже много раз повторяли, что поле тяготения шара ВНЕ его самого совпадает с полем точки, имеющей ту же массу, расположенной в центре шара. А каково поле внутри шара? Что делается с силой тяжести, если мы продвигаемся Внутрь Земли Высь, ширь, глубь. Лишь три координаты. Мимо них где путь? Засов закрыт. В. Брюсов Оставим на совести поэта некоторую вольность в обращении с декартовыми координатами. «Ввысь» понятно, что будет. «Вширь» вообще ничего не изменится, если мы не на реальной Земле, а на модели 1 или 2. Пойдем вглубь. В моделях это совсем несложно. Ведь у нас есть могучее оружие теорема Гаусса, у нас есть симметрия. Внутри Земли 1 вообще совсем просто. Если мы углубимся так, что до центра останется расстояние r 1 (радиус Земли r 0 ), то масса, находящаяся внутри сферы соответствующего радиуса, меньше полной в (r 1 /r 0 ) 3 раз, а поверхность, через которую надо считать поток вектора g, в (r 1 /r 0 ) 2. Нетрудно понять, что g 1 /g 0 = r 1 /r 0. Сила притяжения к Земле, в нашей модели сила тяжести, меняется внутри однородной Земли прямо пропорционально расстоянию от центра. В центре она, конечно, равна нулю. Ведь это центр симметрии, вектор g не может сообразить, куда ему надо быть направленным, поэтому нет иного выхода, как занулиться. Это последнее утверждение остаётся справедливым и в Земле 2. Но вот с прямой пропорциональностью ничего не получается. Давайте немного конкретизируем эту модель, причём постараемся ориентироваться, насколько возможно, на реальную нашу Землю. Средняя плотность Земли ρ 0 = 5,5 г/см 3, а плотность пород, составляющих земную кору, чаще всего имеет значение примерно ρ 2 = 2,75 г/см 3, то есть около 0,5ρ 0. Если мы берём гауссову сферу недалеко от поверхности Земли (внутри), масса, окруженная этой сферой, убывает медленнее, чем в однородной модели 1. Ускорение силы тяжести, напряжённость гравитационного поля в модели 2 21
24 g 2 при погружении внутрь Земли некоторое время не только не убывает, но даже немного растёт. Попробуем этот эффект рассчитать. Пусть у нас имеется планета радиуса r 0 со средней плотностью ρ 0. На её поверхность нанесём тонкий толщины r слой плотности ρ 2. 1 Напряжённость поля g на «голой» планете g 0 = 4πGr 0 ρ 0 /3. Так как «покрытие» тонкое, его объём можно считать равным 4πr0 r. 2 Теперь запишем теорему Гаусса для поверхности покрытия планеты, то есть для радиуса r 0 + r: ( ) 4π 4πG 3 r3 0ρ 0 + 4πr0 rρ 2 2 = 4π(r 0 + r) 2 (g 0 + g). Пренебрегая членами, в которых сумма показателей степени r и g превышает единицу, и используя выражение для g 0, после несложных преобразований получаем g g 0 = ( 3 ρ ) 2 r 2. ρ 0 r 0 Проверим случай ρ 2 = ρ 0 : получаем, как и следовало ожидать, g/g 0 = + r/r 0. Нас интересует случай ρ 2 = 0,5ρ 0. В этом варианте изменения g и r имеют разные знаки: g/g 0 = 0,5 r/ 0, то есть действительно, при продвижении внутрь Земли g растет ( g > 0 при r < 0). Интересно отметить, что при ρ 2 = 2 3 ρ 0 напряжённость не меняется. В реальной Земле плотность меняется по довольно сложному закону, хотя и монотонно. График зависимости g от r выглядит примерно так, как показано на рис. 3. Обратим внимание на резкий излом графика на глубине около 2900 км это примерно 3500 км от центра Земли. Дело в том, что в этом месте находится Рис. 3 резкий скачок плотности: от величины 5,6 г/см 3 до 10,6 см 3. Заметим еще, что в глуби океана g растет быстрее, чем в шахте. Это и естественно. Для морской воды ρ в /ρ 0 = 0,18, так что g/g 0 1,46 r/r 0. 1 Можно не «наращивать» стандартную Землю, а срезать с неё кору. Это даже выглядит естественнее, более соответствует условиям задачи. Однако в таком варианте расчёта легко запутаться в знаках. 22
25 До сих пор мы рассматривали только сферически симметричную Землю. В «настоящей» Земле отступлений от симметрии, различных неоднородностей не счесть. Для начала, чтобы не пропала зря наша задача с палкой, посмотрим, как связаны Метро и тяготение Что такое тоннель метро? Дырка в форме палки, расположенная под поверхностью Земли примерно параллельно этой поверхности. Конечно, дырка сама не создаёт силы тяготения. Но это просто означает, что неподалёку от линии метро сила тяжести «на притяжение палки меньше», чем вдали. Часы с маятником настенные, напольные отрегулировали в мастерской в центре Москвы, прямо над линией метро. Их увезли на окраину столицы, куда метро ещё не добралось. Предположим невероятное: при перевозке регулировка не нарушена. Забудем о сложном рельефе Среднерусской возвышенности пусть Земля у нас некоторое время будет плоской, хотя бы в масштабах Москвы. Заметим ли мы, что сила тяжести в нашей квартире больше, чем в мастерской? Тоннель, а значит, палка, действие которой надо вычесть, имеет радиус, положим, R = 5 метров. Пусть от поверхности до оси палки расстояние h = 20 метров. Плотность грунта примем, как мы это делали чуть раньше, равной ρ = 2,75 г/см 3. Остается все эти данные подставить в ту формулу, которую мы получили для палки: g п = 2GπR 2 ρ/h = 1, м/с 2 1, g 0. При таком отличии только через полмесяца наши часы уйдут вперёд на секунду. Вряд ли мы это припишем аномалии силы тяжести. Да на таких часах обычно меньше минуты вовсе нельзя заметить, а тут уж придется ждать добрых два с половиной года! Но не все же часы столь грубы, да и неоднородности поля тяжести не все столь малы. И обнаружить это, и объяснить довелось тому, кто изобрел маятниковые часы. А был это Гюйгенс Истина одна и та же в Париже и в Тулузе. Б. Паскаль Вероятно, если бы Гюйгенс проверил в Тулузе часы, построенные в Париже, точность хода его удовлетворила бы. Но его часы занесло в Кайенну. И там они стали отставать. 23
26 Гюйгенс сразу понял, что причина отставания вращение Земли. Эпизод с перевозкой часов из Парижа в Кайенну и обратно произошёл в 1676 году, а Гюйгенс уже с 1659 года писал трактат «О центробежной силе». Вот эта-то сила и изменяла период колебаний маятника. В Кайенне она больше, чем в Париже; суммарная сила, ускоряющая маятник, меньше; частота колебаний меньше, часы отстают. Но давайте вспомним, что это такое Центробежная сила Наш мир подобен колесу. Иоанн Ерзынкайский (Ованес Илуз) Армянский учёный и поэт в данном случае имеет в виду переносный, поэтический смысл сопоставления. А вот Гюйгенс уподоблял наш мир Землю колесу в прямом, научном смысле. Начал он с исследования «конатуса» (стремления) тела, прикреплённого к вращающемуся колесу. И вот что он решил: «Конатус шара, прикреплённого к вращающемуся колесу, таков, что шар стремился бы двигаться равномерно ускоренно по радиусу. Этот конатус аналогичен тому, который имеется у тяжёлого тела, подвешенного на нити». Этот «конатус», подведём итог, и есть центробежная сила. Но давайте вспомним, что после Гюйгенса был Ньютон, давайте вернёмся к современному языку. Пусть для простоты колесо вращается в горизонтальной плоскости. Шар, прикреплённый к колесу, движется по окружности. Если колесо вращается с постоянной угловой скоростью ω, а шар находится на расстоянии R от оси, ускорение шара равно, как знал уже Гюйгенс, ω 2 R. Следовательно, сумма всех сил, действующих на шар, равна mω 2 R. Прикрепим шар к колесу динамометром. Кроме силы, действующей на шар со стороны пружины динамометра, других сил нет имеются в виду силы в горизонтальной плоскости. Других сил и не надо, все сходится: сумма сил равна произведению массы на ускорение. А вот теперь представим себе, что мы тоже сидим на колесе, но не обращаем внимания на то, что оно вращается. Пружина натянута, сила есть, и это единственная сила, действующая на шар. Это сумма сил, и она не равна нулю. А шар неподвижен: мы ничего, кроме колеса, не видим, а относительно колеса шар не перемещается. Как же быть со вторым законом Ньютона? Неужели он неверен? Ответ на второй вопрос ясен он верен, когда верен первый закон, то есть в инерциальных системах. А вот на первый вопрос существует два разумных ответа. 24
27 Ответ первый: давайте всегда работать в инерциальных системах, тогда все будет просто. Оказывается, так, да не совсем. С чем просто, так это со вторым законом перебрали все тела, которые взаимодействуют с нашим, определили все силы взаимодействия и пишем себе второй закон. Но вот, например, мы хотим выяснить, как «движется» наш шар относительно колеса. Измерим силу, рассчитаем движение шара относительно Земли! рассчитаем движение соответствующей точки колеса, увидим, что шар движется так же, как эта точка, то есть. не движется. Какой-то слишком кружной путь. Нельзя ли попроще? На то есть второй ответ: можно так «подправить» второй закон, что он будет справедлив и в неинерциальных системах. Надо каждый раз к силам взаимодействия с другими телами добавлять силы инерции. И вот центробежная сила как раз одна из этих сил инерции. Если уж мы взобрались на колесо, если нас интересует движение относительно колеса, надо добавить к «реальным» силам, к силам, действующим на шар со стороны других тел, центробежную силу. Вообще говоря, не только её, но не будем спешить. И так нам хватит работы, чтобы разобраться с новой моделью Земли, которая отличается от модели 2, да и от модели 1 только тем, что она вращается. Это будет уже Земля 3 Лети, лети, Земля, путём планетным, В пустыне сфер крути живой волчок. В. Брюсов Очень кстати тут замечание о пустыне сфер. Ведь мы по-прежнему считаем Землю уединённой: все другие тела так далеки, что не оказывают никакого влияния на события, происходящие на Земле. И движение Земли чистое вращение, никаких обращений вокруг Солнца. И форма её идеально шарообразная. Многовато пока отличий от реальности; но оказывается, самое-самое главное в этой модели уже появляется. Это главное отличие силы тяжести от силы притяжения к Земле. Хочется сказать проще отличие веса от силы тяготения. Но тут надо быть осторожным. Притяжение Земли, сила тяготения действует на наше тело; ну, давайте, назовем его гирей, как-то определённее будет. А вес, как гласят учебники, сила, действующая на подставку или на нить, которые препятствуют падению гири. Так что отличие есть всегда. Но на Земле 1, на Земле 2, да и вообще на уеди- 25
28 нённой, невращающейся, неподвижной (или движущейся равномерно и прямолинейно) Земле вес и сила тяготения равны друг другу. Ну, конечно, мы пришли к выводу, что отличие веса от силы гравитационного взаимодействия с Землёй связано с тем, что Земля неинерциальная система отсчёта. А так как она «не очень неинерциальна», так как во многих случаях этой неинерциальностью можно пренебречь, мы с не очень большой погрешностью можем считать, что вес равен силе тяготения. А собственно, почему. Казалось бы, всё так просто, что не стоит и обсуждать этот вопрос. Но опыт приёмных экзаменов показывает, что это, так сказать, слишком простой вопрос, чтобы на него можно было надеяться получить грамотный ответ. Как правило, начинается всё со слов «ну, очевидно. ». И дальше идёт такое объяснение, что сам отец логики Аристотель не понял бы ничего, даже поверив во второй и третий законы Ньютона. Так что давайте не поленимся и покопаемся в обосновании этого «очевидного факта». Мы осторожно опустили гирю до соприкосновения с опорой пусть этой опорой служит доска и отпустили. И тут же вес сила, действующая на подставку, стал равен силе тяготения? Если мы действительно решили разобраться подробно, то ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Доска начинает прогибаться, из-за этого возникает сила, действующая на гирю со стороны доски, сила эта постепенно возрастает. Наконец, она становится равной силе тяготения, действующей на гирю. Больше сил нет, и второй закон Ньютона позволяет гире, наконец, остановиться. Именно второй закон велит силе, действующей со стороны доски на гирю, силе реакции опоры, быть равной силе притяжения гири к Земле, если гиря неподвижна. А тре- 26
29 тий закон утверждает, что той же величины и сила, действующая со стороны гири на доску, вес тела. Пока прогиб доски изменяется, гиря движется вниз. Но ведь мы опускали гирю осторожно, когда мы её отпустили, у неё не было скорости. Так что она даже некоторое время должна двигаться вниз с ускорением. В общем, копаться можно ещё долго; более или менее ясно, что тут будут постепенно затухающие колебания. Когда продавец с размаху швыряет на весы кусок мяса, это видно достаточно наглядно. Когда мы кладем на стол карандаш, амплитуда колебаний с самого начала неуловимо мала, мы считаем, что уравновешивание сил происходит практически мгновенно. Но вся цепочка из второго и третьего законов приводит к выводу о равенстве трёх сил только тогда, когда гиря неподвижна. Неподвижна относительно чего? Для первой и второй моделей Земли вопрос непринципиальный они сами являются инерциальными системами отсчёта (грамотнее сказать телами отсчёта, но, право, стоит ли загромождать изложение словами «связанная с данным телом система отсчёта является инерциальной»?). Но Земля 3 вращается. И вот здесь возникает разница между численными значениями веса и силы тяготения, даже если подставка неподвижна относительно Земли. Возникает потребность в новом понятии сила тяжести. Как мы уже выяснили, возможны два подхода. Разберем оба варианта. Взгляд со стороны. Посмотрим на тело, лежащее на подставке, из инерциальной системы отсчёта. Взгляд, в общем, нам хорошо знакомый, это, так сказать, повторение пройденного, поэтому постараюсь быть кратким. Но главные пункты рассуждений хотелось бы вспомнить. Гиря, неподвижная относительно Земли, в «абсолютной» системе движется по окружности. На неё, следовательно, действует суммарная сила, равная mω 2 R, центростремительная сила. Подчеркнём немаловажное обстоятельство: в подавляющем большинстве случаев центростремительная сила НЕ есть результат взаимодействия двух тел, центростремительная сила. НЕ СИЛА. В формуле (2), во втором законе Ньютона это не левая, а правая часть. Мы знаем, как движется тело, мы знаем его ускорение; умножим ускорение на массу вот это произведение называется для краткости центростремительной силой, если тело движется по окружности. А что мы должны написать в левой части формулы? На гирю действуют две силы гравитационная и реакция опоры. Так как они должны дать отличную от нуля суммарную силу, очевидно, что они 27
30 не могут быть равны и противоположно направлены. А третий закон мы не отменили, вес по-прежнему должен быть равен по величине реакции опоры и направлен как раз противоположно ей; он НЕ МОЖЕТ быть равным силе тяготения. На этом пока и остановимся. У нас в запасе взгляд изнутри. Раз мы уже назвали mω 2 R силой, перенесем это выражение в левую часть формулы (2); при этом, конечно, поменяем знак, заодно поменяем название: теперь это будет центробежная сила. А в правой части у нас ничего не остаётся, сумма сил в новой интерпретации равна нулю. Тело не должно двигаться (точнее, не должно менять скорость). Но относительно новой системы отсчёта, относительно поверхности Земли гиря действительно неподвижна. Всё сходится как нельзя лучше. С добавлением центробежной силы второй закон становится справедливым во вращающейся системе для тела, неподвижного относительно этой системы! Очень важное ограничение для движущегося тела всё заметно сложнее. Проще всего дела обстоят на полюсе R равно нулю, центробежной силы нет, вес равен силе тяготения, а сила тяжести просто другое название той же самой гравитационной силы, силы притяжения тела Землёй. Нет особых сложностей и на экваторе. Сила тяготения и центробежная сила противоположны по направлению, поэтому реакция опоры, уравновешивающая их сумму, численно равна m(g 0 ω 2 R). По определению той же величине равен вес. А силой тяжести естественно назвать силу, равную по величине весу, но приложенную к телу, то есть равнодействующую силы тяготения и центробежной силы. Направлена эта сила так же, как и вес, то есть в этом случае вес и сила тяжести равные векторы. В частности, если убрать подставку, тело начнёт падать на Землю с ускорением g З = g 0 ω 2 R. Относительное различие ускорений свободного падения или веса, или силы тяжести на полюсе и на экваторе составляет (g 0 g э )/g 0 = ω 2 R/g 0. Для Земли (R = 6, м, ω = 2π/86400 с 1, g 0 = 9,8 м/с 2 ) получаем примерно 3,4 10 3, то есть 0,34%. На произвольной широте, вообще говоря, вычислить равнодействующую не так просто. Но одно обстоятельство нам поможет. 28
31 Вещи бывают великими и малыми не токмо по воле судьбы и обстоятельств, но также по понятиям каждого. К. Прутков Так вот, в данном случае и обстоятельства, и наши понятия склоняются к тому, чтобы считать центробежную силу малой по сравнению с g 0. Конечно, часы, настроенные на полюсе, отстанут возле экватора за сутки на пять минут прямо скажем, неважно будут идти. Но вспомним, что это треть процента погрешности не так уж много. И вот какая процедура оказывается при таком соотношении разумной. Рис. 4 Центробежная сила направлена от оси вращения, от центра окружности, которую описывает наше тело, если мы смотрим из инерциальной системы. Прямые, по которым направлены сила тяготения AB (рис. 4) и центробежная сила BC, составляют на широте φ угол, равный как раз этой величине φ. Разложим центробежную силу на две составляющие. Составляющая вдоль гравитационной силы mω 2 cos φ уменьшает результирующую ровно на свою величину. А вот перпендикулярная составляющая почти не меняет величины результирующей. Окончательное значение силы тяжести определяется соотношением AC = AD 2 + DC 2. На широте 45, к примеру, DC/AD = k 1, Поправка по порядку величины составляет k 2 /2 1, Это гораздо меньше, чем «основная» поправка к силе тяжести, связанная с продольной составляющей центробежной силы. Если мы учтём основную поправку, а про эту добавочную забудем, то часы наврут (на этот раз уже уйдут вперёд) за сутки всего на десятую долю секунды с небольшим. Меньше минуты в год для маятниковых часов просто прекрасная точность. Именно центробежной силой, отличием силы тяжести от силы тяготения, от притяжения к Земле и объяснил Гюйгенс различный ход часов в Париже и в Кайенне. Но давайте вспомним: мы оценили различие в силе тяжести на полюсе и на экваторе и получили 0,34%. Посмотрим в справочник. На полюсе g п = 9,832, на экваторе g э = 9,780 м/с 2. Различие 0,53%. Порядок правильный, но отличие в полтора раза всё-таки разочаровывает. И самое обидное, что это не припишешь 29
32 каким-то местным аномалиям. Ведь в справочнике не написано «в Кайенне», «в Найроби» или «в Сингапуре». Написано «на экваторе». То есть эта цифра дана тоже для какой-то достаточно симметричной модели Земли. И все же причина отличия именно Форма Земли (модель четвёртая и последняя) Доказано, что земля, своим разнообразием и великостью нас поражающая, показалась бы в солнце находящемуся смотрителю только как гладкий и ничтожный шарик. К. Прутков Всесторонне учесть влияние на силу тяжести всего «поражающего нас разнообразия» в строении Земли мы не в силах. Но и считать её шариком, тем более ничтожным, не согласимся. Хотелось бы, тем не менее, чтобы она была гладкой. Как нельзя лучше этому желанию соответствует форма поверхности мирового океана. Конечно, трудно представить океан без волн. Вряд ли можно найти момент, когда на всей Земле господствует мертвый штиль вспомним пассаты, приливы, «ревущие сороковые». Но ведь мы опять только строим модель. Какой же должна быть в этой модели 4 вращающаяся вокруг оси, достаточно гладкая, пусть для простоты однородная Земля? Какую форму должен иметь «уровень моря» в полный штиль? Первым понял это Гюйгенс. И не просто, так сказать, угадал, но и подтвердил свою догадку экспериментально. Взял он шар из мягкой глины и насадил его на быстро вращающуюся ось. Шар сплющился «полярный» радиус модели Гюйгенса оказался меньше «экваториального». Прошло больше двухсот лет, прежде чем удалось надёжно отличить полярный и экваториальный радиусы Земли. Гюйгенс оказался прав. Почему же сплюснулась модель Гюйгенса, почему сплюснута Земля? Посмотрим ещё раз на рис. 4. Сила тяжести AC направлена не совсем точно к центру земного шара. А ведь именно эту силу должна уравновесить реакция опоры. Иначе сумма всех сил не занулится. Капельки воды, например, оказавшиеся на поверхности идеально шарообразного вращающегося океана, скатились бы к экватору. Впрочем, почему скатились бы? Они и скатились это просто та же мысль о сплюснутости Земли, только выраженная другими словами. Они, можно сказать, скатывались, скатывались, пока не докатились до такого 30
33 состояния, что поверхность океана в каждой точке стала перпендикулярной силе тяжести. И вот тут уже заложена идея количественного расчёта формы Земли 4. Что такое «поверхность, в каждой точке перпендикулярная силе»? Да, конечно, как и в электростатике, это эквипотенциальная поверхность, поверхность, в каждой точке которой одно и то же значение имеет потенциальная энергия. Понятно, что поверхность океана и должна быть эквипотенциалью. Иначе есть частицы воды, имеющие энергию б ольшую, чем среднее значение для поверхности, и в то же время есть свободные места, где эта энергия была бы меньше средней. А ведь любая система, предоставленная самой себе, стремится к состоянию с наименьшим из возможных значений потенциальной энергии. Значит, определение формы Земли сводится к нахождению эквипотенциальной поверхности в поле силы тяжести в поле гравитационной и центробежной сил. Легко сказать. Беда в том, что искажение формы Земли, отступления от сферической симметрии неимоверно усложняют расчёт потенциала гравитационных сил. Конечно, эти искажения невелики, Земля «чуть-чуть» не шар, потенциал «чуть-чуть» не совпадает с потенциалом сферически симметричного поля. Поэтому в качестве первого приближения можно взять гравитационный потенциал однородного шара и добавить потенциал силы центробежной. Ошибка будет невелика. Но ведь мы и ищем малую величину, небольшое отклонение от сферической формы. Не остаётся ничего иного, кроме как смириться с тем, что сплюснутость мы в состоянии лишь оценить по порядку величины. Но всё же и такая оценка, на мой взгляд, не лишена интереса. На полюсе, где центробежную силу учитывать не надо, потенциал силы тяжести просто потенциал гравитационной силы: GM/R. На экваторе радиус, как мы знаем, немного больше на некоторую величину h. Сила тяжести отличается тоже немного, поэтому в первом приближении разность потенциалов можно принять равной g 0 h. Потенциал центробежной силы на экваторе работа этой силы при перемещении единичной массы от оси вращения к экватору. Так как сила меняется по линейному закону, это просто произведение средней силы на перемещение: ω 2 R 2 /2. Потенциалы в суммарном поле обеих сил должны быть одинаковыми на полюсе и на экваторе, значит, добавки должны компенсировать друг друга, то есть g 0 h = ω 2 R 2 /2 или h = ω 2 R 2 /2g 0 11 км. Заглянем в справочники различие полярного и экваториального радиусов Земли 22 км. Мы ошиблись в два раза, что, впрочем, и неудивительно, мы примерно этого и ожидали. Ясно, что не очень 31
34 хорошие результаты получаются и при вычислении поправки к силе тяжести, связанной с отличием формы Земли от сферической. У нас после учёта центробежной силы, если помните, осталась недостача в 0,19%. А даже 11-километровое увеличение радиуса меняет силу тяжести на 0,35%, а реальное, 22-километровое, на 0,7%; конечно, мы имеем в виду опять просто расчёт в сферически симметричном потенциале. Так что большего, чем оценка по порядку величины, нам получить не удаётся. Напрашивается аналогия с измерением длины, допустим, двух десятиметровых стержней. Если измерения проведены с точностью 3 мм, а разница в длинах оказалась равной 1 или 2 мм, мы не можем даже быть уверены, что тот стержень, у которого длина по нашим измерениям больше, действительно длиннее второго. Но, пожалуй, эта аналогия не отражает нашей ситуации. Ведь достаточно приложить стержни друг к другу, выровнять концы с одной стороны, измерить не длину стержней, а непосредственно разницу длин, и уж какой из них длиннее, мы поймём. Скорее мы с помощью жёсткой линейки стараемся определить, насколько более изогнутый стержень окажется длиннее менее изогнутого, если их оба аккуратно разогнуть. Ведь даже поле тяготения чисто гравитационное поле «изогнуто», изуродовано отступлениями от сферичности, которые мы не учитывали. 32
35 В связи с этим вспоминается, как некий автор не принятой к публикации статьи с возмущением писал, что учебники физики вводят в заблуждение читателей, уверяя, что сплюснутость Земли приводит к уменьшению силы тяжести на экваторе. Ход его рассуждений иллюстрировался схемой, приблизительно воспроизведенной на рис. 5. Отвлечемся от обидного обстоятельства, что с помощью рычажных весов Рис. 5 заметить изменение силы тяжести вообще нельзя гиря «потеряет в весе» ровно столько, сколько и взвешиваемое тело. Пусть у нас весы пружинные. Тогда, написано в статье, на полюсе тело притягивается только сферической частью Земли, а влиянием избытка можно пренебречь, так как все эти заштрихованные на рис. 5 части фигуры Земли по преимуществу далеки от полюса. С другой стороны, на экваторе притягивает не только основная часть, но и ближайший избыток, который вообще притиснут вплотную к телу, а значит, увеличивает силу тяжести. Что тут возразишь? Ведь этот эффект, действительно, есть; только надо учесть, что «главная» часть Земли теперь немного отодвинулась, и разница в действии «довесков» на полюсе и на экваторе лишь отчасти компенсирует то ослабление силы тяготения на экваторе сплюснутой Земли, которое мы только что пытались рассчитать. В общем, теоретически разрешить этот спор можно только с помощью интегрирования по реальной фигуре Земли. А высший критерий истины практика показывает, что мы все-таки были более аккуратны: сила тяжести на экваторе меньше на 0,5%, а центробежная сила может объяснить только 0,34%, значит, и сплюснутость работает на уменьшение тяготения на экваторе. * * * Как-то незаметно, не подчёркивая это обстоятельство, мы стали употреблять слова «сила тяжести» в качестве синонима выражения «сумма гравитационной и центробежной сил». А ведь само существование центробежной силы связано с тем, что Земля неинерциальная система отсчёта. Так за что же я критиковал упомянутый в самом начале учебник? Ну, во-первых, сила тяжести это сила, которую надо уравновесить, чтобы тело не падало. Это сила, равная реакции опоры, если 33
36 тело неподвижно относительно Земли. Конечно, отличие этой силы от силы гравитационного притяжения к Земле связано с тем, что Земля неинерциальная система отсчёта. Но скорее можно сказать, что в отличии виновато то обстоятельство, что тело находится на Земле, а не то, что мы выбрали произвольно такую систему отсчёта. Если мы будем глядеть со стороны, из неинерциальной системы, сила, которая может удержать тело от падения на Землю, будет той же самой. Естественно, тогда придётся изменить формулировку: сумма тяжести будет не суммой гравитационной и центробежной сил, а разностью гравитационной и центростремительной. Есть и второе, менее очевидное возражение. Не вполне точным следует признать определение силы тяжести как силы, сообщающей телу ускорение свободного падения. Правда, обычно мы ведём расчёты именно в таком приближении. Более того, перелистнём три страницы назад и прочитаем, что, если убрать подставку, тело начнёт падать с ускорением, которое определяется силой тяжести. Так вот, в интересующем нас сейчас аспекте ключевое слово предыдущей фразы «начнёт». А как же потом? Неужели не только сила тяжести будет определять движение тела, если, конечно, пренебречь сопротивлением воздуха? Увы, оказывается не только. Но чтобы в этом разобраться как следует, сначала посмотрим немного подробнее, какие бывают Силы инерции Земной шар, обращающийся в беспредельном пространстве, служит пьедесталом для всего, на нем обретающегося. К. Прутков Земля лишь слегка неинерциальная система. Мерой отступления от инерциальности могут служить, к примеру, те 0,34%, которые центробежная сила на экваторе составляет от силы гравитационного взаимодействия с Землёй. Во многих задачах можно этой мелочью пренебречь. Тем более это разумно, когда возникают какие-нибудь другие инерционные силы, сравнимые с самой силой тяжести. Несколько таких примеров мы и разберем. Итак, ненадолго Земля инерциальная система отсчёта. Читатель, надеюсь, помнит, что силы инерции введены для спасения второго закона Ньютона в неинерциальных системах отсчёта. Но в явном виде мы разобрали только один случай неподвижное тело во вращающейся системе: «конатус» гири, насаженной на вращающе- 34
37 еся колесо, центробежную силу. А как будут обстоять дела, если тело движется относительно неинерциальной системы? Вспомним логику введения сил инерции. В инерциальных системах сила результат взаимодействия тел. Посчитали все силы, поделили их сумму на массу тела, и мы знаем ускорение тела в данной системе, а значит, и в любой инерциальной системе отсчёта. Все эти системы относительно друг друга движутся с постоянными скоростями, поэтому ускорения во всех этих системах одинаковы. Теперь пересядем в неинерциальную систему. Силы взаимодействия с другими телами не изменились, сумма сил не изменилась, а ускорение иное. Чтобы понять, как спасать второй закон, какие для этого нужны силы инерции, надо разобраться, как меняется ускорение при переходе из системы в систему. Все довольно просто в поступательно движущейся системе. Если тело неподвижно относительно системы, которая сама движется с ускорением A относительно инерциальной системы (последние три слова мы будем далее опускать), то его «абсолютное» ускорение равно как раз A. Сумма сил взаимодействия, очевидно, равна ma. В движущейся системе сумма сил должна обратиться в ноль, значит, надо добавить силу инерции ma. А если тело движется с ускорением a в неинерциальной системе? Тогда его ускорение в инерциальной системе абсолютное ускорение равно m(a + A): это сумма относительного ускорения a и ускорения системы переносного ускорения A. Опять при переходе в неинерциальную систему достаточно добавить силу ma, и второй закон восторжествует. Сила инерции зависит только от движения системы, от ускорения системы, а от движения тела не зависит. А как во вращающейся системе? Мы уже знаем, что для неподвижного в этой системе тела придётся ввести центробежную силу; она направлена от оси вращения, иначе от центра окружности, которую описывает тело в абсолютной системе, и равна mω 2 R. Это опять ускорение той точки вращающейся системы, в которой находится тело (теперь ускорения разных точек различны), помноженное на массу и взятое с обратным знаком. А если тело во вращающейся системе не стоит на месте? Следующая наша неинерциальная система карусель. Но прежде, чем сесть на карусель, надо купить билет. Посмотрим на кассу. Если она не стоит на косогоре, то в горизонтальной плоскости на неё не действует или, по крайней мере, могут не действовать никакие силы. Пусть не действуют. Все хорошо: сил нет, ускорения нет, касса спокойно стоит на месте. Мы взяли билет, сели на карусель, карусель 35
38 раскрутилась, наконец-то она вращается с постоянной угловой скоростью ω. Мы уже обжились на карусели, она для нас служит системой отсчёта; но мы помним, что она раскручивалась, знаем, что система эта неинерциальна. Нас не удивляет, например, что приходится держаться за оседланного нами коня есть центробежная сила; чтобы удержаться на месте, надо приложить равную ей и противоположно направленную силу. А теперь глянем снова на кассу. Что с ней творится? Она движется по окружности с той же угловой скоростью ω. Сил взаимодействия нет. Какая же сила удерживает кассу на окружности? Ведь сумма всех сил должна быть равна mω 2 R. Как раз этой величине равна центробежная сила инерции. Так, может быть, она и виновата в том, что касса сдвинулась с места и закружилась вокруг оси карусели? Ведь вроде все сходится. Стоп. Куда направлена центробежная сила? От оси. А куда должна быть направлена сумма сил «центростремительная сила»? Как раз наоборот к оси. Неувязочка получается. Нужна ещё какая-то сила, видимо, тоже сила инерции, вдвое превышающая центробежную и направленная к центру. Тогда концы с концами сойдутся. «Касса» очень специфический случай. Она покоится в инерциальной, абсолютной системе, её абсолютное ускорение равно нулю. Посмотрим, что будет в несколько более общем случае. Допустим, мы встали в центре диска карусели и раскрутили над головой динамометр с прикреплённой к нему гирей. Пусть он крутится с угловой скоростью ω 1. Для определённости положим, что направления вращения карусели и гири совпадают, то есть гиря обгоняет карусель, если смотреть с Земли. Угловую скорость ω 1 мы измерили на карусели. Смотреть в такой позе на динамометр неудобно. Но мы уверенно предскажем его показания, если «поглядим» с Земли. Абсолютная угловая скорость гири ω + ω 1. Значит, показание динамометра F = mr(ω + ω 1 ) 2. А теперь вернёмся на карусель. Итак, динамометр тянет гирю к оси силой F, гиря вращается с угловой скоростью ω 1, сумма сил должна составить центростремительную mω 2 1R, на силы инерции приходится mω 2 1R F = mω 2 R 2mωω 1 R. Первый член центробежная сила, но есть ещё один, напоминающий «новую» силу инерции, действующую на кассу. Вместо ω появилась ω 1, это понятно там касса имела относительно вращающейся системы угловую скорость ω, тут гиря имеет скорость ω 1. Изменился знак, тоже понятно касса отставала от карусели, гиря её обгоняет. Можно сказать иначе изменился знак угловой скорости тела во вращающейся системе отсчёта, знак относительной угловой скорости. Вектор угловой 36
39 скорости направляют параллельно оси вращения, причём так, чтобы при взгляде со стороны конца вектора мы видели вращение против часовой стрелки, иначе говоря, направление выбирается по правилу правого винта (оно же правило буравчика или правило штопора). Собственно говоря, у кассы и у гири разные направления линейной скорости в тот момент, когда они пересекают один и тот же радиус карусели. И нетрудно увидеть, что направление силы инерции Кориолиса, как называется дополнительная сила, связанная с движением тела во вращающейся системе, определяется следующим правилом: завращаем головку правого винта от вектора линейной скорости тела к вектору угловой скорости системы направление движения винта покажет направление кориолисовой силы инерции. А если мы начнём двигаться по радиусу, к примеру, от центра карусели? Наша линейная скорость обращения вокруг оси должна возрастать, в абсолютном ускорении должна возникнуть составляющая, направленная по касательной к окружности, на которой мы в данный момент находимся. Опять сила перпендикулярна угловой скорости системы и нашей линейной скорости относительно этой вращающейся системы. Подробный анализ показывает, что величина силы Кориолиса и в этом случае равна 2mvω. Наконец, побежим с той же скоростью v по стоящей на карусели лестнице. Если угол наклона лестницы φ, то за изменение скорости движения по окружности несёт ответственность только составляющая скорости v cos φ. Если использовать угол α между нашей скоростью и угловой скоростью карусели, дополняющий φ до 90, получится выражение для силы Кориолиса 2mvω sin α. Оказывается, это и есть наиболее общее выражение для силы инерции Кориолиса. Заметим, что вектор, равный vω sin α и направленный по правилу штопора, называется векторным произведением v и ω: F кор = 2m[v, ω]. 37
40 Конечно, это та самая сила, которая объясняет «правило Бэра»: в северном полушарии у рек в среднем более крутым оказывается правый берег, в южном левый. Эта сила велит пассатам, которые различие атмосферных давлений тянет к экватору, дружно отклоняться на запад. Если глядеть «снаружи», не с Земли, а из более инерциальной системы, разность давлений разгоняет воздух по направлению к экватору, окружная скорость экватора больше, экватор «ускользает» из-под пассатных потоков на восток. Если сидеть на Земле, надо признать, что на потоки воздуха действует сила инерции Кориолиса, которая и отворачивает эти потоки в северном полушарии направо, в южном налево, и то, и другое оказывается направлением на запад. Закон Бэра законом Бэра, пассаты пассатами, но весь этот разговор о силах инерции мы затеяли, чтобы разобраться со свободным падением. Как мы подчёркивали, свободное падение только в самом начале происходит под действием силы тяжести. Как только у падающего тела появляется скорость, возникает сила Кориолиса. И вновь становится актуальным вопрос Куда падает камень? Он вечно здесь, над той же бездной: Упасть в соседнюю нельзя! В. Брюсов И всё же камень падает в «соседнюю бездну»! Это понял Борелли ещё в 1667 году. Действительно, камень, поднятый над поверхностью Земли, находится дальше от оси вращения, чем точки поверхности, а значит, его скорость обращения вокруг оси больше (линейная скорость). При падении он обгонит поверхностные точки и упадёт восточнее той бездны, над которой висел. Через 12 лет Ньютон уже знал, насколько камень отклонится к востоку. Но только в 1791 году Гульельмини проверил эти расчёты, бросая камни с одной из наклонных башен башни Азинелли в Болонье. Как проверил? Разве то место, куда упадёт камень, не есть место, расположенное точно под камнем? Как вообще это проверить? Наверное, примерно так: повесим камень на верёвке длинноватую придётся взять верёвку, ведь башня около 100 метров высотой. Потихоньку его опустим до Земли. Если верёвка раскачалась, подождем, чтобы она успокоилась. На камень действует только сила тяжести тяготение и центробежная сила. Заметим место и назовем его местом под камнем. А теперь из той точки, где на башне мы держали свободный конец верёвки, отпустим камень. И он упадёт не точно вниз, а на 38
41 полтора сантиметра восточнее. 1,5 сантиметра на ста метрах! Впору вместо «только в 1791» писать «уже в 1791 году». Но почему к востоку? Вроде при взгляде из инерциальной системы получается именно так. А как там с кориолисовой силой? Пассаты у нас отклонялись к западу, потому что стремились к экватору. Но ведь камень падает к центру Земли, а это уж скорее тоже к экватору, чем к полюсу. Не напутали ли мы с Кориолисом? Посмотрим на рис. 6. Пассат движется к экватору вдоль поверхности, а камень падает перпендикулярно поверхности Земли. Минимальный поворот от скорости v к угловой скорости Земли ω для пассата надо делать против часовой стрелки, вектор силы Кориолиса будет торчать к нам, на запад. А для камня надо крутить по часовой стрелке; на восток, за плоскость рисунка будет его сносить сила Кориолиса. Все правильно, ничего Кориолис не напутал. Но вот что ещё говорит Кориолис. Кроме вертикальной скорости у камня появилась «восточная» составляющая скорости. Значит, появится ещё одна сила Кориолиса на рис. 6 она нарисована пунктиром. У неё, в свою очередь, есть составляющие, направленные вверх и на юг. Значит, кроме восточного, будет ещё и южное отклонение, да и ускорение, с которым тело будет двигаться по вертикали, мы неверно считали? Строго говоря, да. Но поправки так малы. Ну действительно, сила Кориолиса пропорциональна скорости. Вертикальная скорость к концу падения с башни Азинелли приближается 39
42 Рис. 6 к 4,5 м/с, а скорость восточного сноса едва-едва достигает сантиметра в секунду. Получается, что вертикальное ускорение из-за «вторичной» силы Кориолиса меняется на пару стотысячных долей процента. Южное отклонение оказывается меньше микрометра (микрона) немудрено, что Гульельмини его не заметил. Но вот если выстрелить точно вверх из приличного орудия, то снаряд при начальной скорости, к примеру 500 м/с, взлетит выше 10 километров. Отклонится снаряд от вертикали, конечно, заметно больше. Он упадёт на добрых 15 метров. к западу! Как же так? Да очень просто. Пока снаряд летит вверх, его сносит к западу. Это понятно. А при падении? Разве не вернётся снаряд на прежнюю вертикаль? Ведь теперь сила Кориолиса направлена на восток. Оказывается, нет. Сила, конечно, меняет знак, но это только значит, что меняется направление ускорения. Ту западную скорость, которую снаряд наберёт к верхней точке полёта, сила только-только успеет «съесть» к моменту падения на Землю. Скорость сноса в этот момент обратится в ноль, а значит, все время полёта она направлена на запад. Ну и соответственно, вторичный снос будет к северу по правилу Бэра и составит больше сантиметра. Вот тут бы его и заметить, но мы немного увлеклись, при таких скоростях, при таких траекториях не учитывать сопротивление воздуха уже нельзя. И до десятикилометровой высоты снаряд не долетит, и западный снос не получится расчётным, а уж северный вряд ли можно будет зафиксировать достаточно надёжно. Малейший ветерок где-нибудь в нескольких километрах над Землёй, и северное смещение превратится в южное. Поэтому давайте сменим оружие. Но не на суперсовременные раке- 40
43 ты, а на что-нибудь более старомодное лук или хотя бы пистолет. В общем, следующее наше занятие Стрельба на карусели Стрельба в цель упражняет руку и причиняет верность глазу. К. Прутков Итак, воздух нам не мешает, Земля снова стала инерциальной системой координат, а мы забрались на карусель и занимаемся стрельбой в цель, которая тоже «сидит» на карусели. Занятие вроде бы не очень по теме нашей книжки. Но привлекает по крайней мере тремя приятными чертами. Во-первых, это просто интересно. Во-вторых, помогает освоиться с силой Кориолиса. И наконец, в-третьих: скорость пули достаточно велика по сравнению со скоростью любой точки карусели. Это можно использовать, чтобы опять чем-нибудь пренебречь, решать задачу в каком-то не слишком сложном приближении. Вот, например, играть в баскетбол на карусели удивительно трудно. Есть такой аттракцион сидя на карусели, надо бросать мяч в «баскетбольную» корзину. Смотришь со стороны и удивляешься. Что же они, те, кто на карусели, не понимают, куда надо бросать, не могут учесть вращение? А сам сядешь и расстояние вроде не очень велико, никакая центробежная сила не помешает добросить до кольца, и диаметр кольца не 45 сантиметров, а чуть не два метра, но вот эта самая сила Кориолиса. В общем, за сеанс можно при некотором проворстве кинуть по кольцу раз десять, а за три попадания полагается премия. Так и не довелось увидеть, чтобы ктонибудь эту премию заработал. Да и сам не был даже близок к этому, хотя и из инерциальной системы присмотрелся, и про силу Кориолиса не забыл, когда сел на неинерциальную карусель. Может быть, Читателю повезет больше. А пока мы чуть-чуть постреляем и одновременно посмотрим на это занятие из двух систем отсчёта. Проще всего стрелять из центра карусели. Конечно, пуля в полёте немного приблизится к поверхности Земли, так сказать, слегка упадёт, но тут ничего специфического, с этой точки зрения всё обстоит примерно так же, как на Земле. Длина ствола винтовки или вытянутой руки, в которой мы держим пистолет, наверное, заметно меньше радиуса карусели, линейная скорость конца ствола невелика, и можно считать, что пуля полетит туда, куда мы прицелились. Но мишень 41
44 расположена на краю карусели, она вращается с угловой скоростью ω на расстоянии R от оси. Ясно, что за время, пока пуля летит со скоростью v, цель уедет на расстояние ωr/(r/v) = ω 2 /v, а значит, нам надо целиться под углом α = ωr/v к направлению на цель, давать упреждение на скорость цели (мы здесь использовали тот факт, что угол мал, а тогда и хорда примерно равна стягиваемой ею дуге окружности, и синус, тангенс и сам угол равны между собой). А как это выглядит в «системе карусели»? Сила Кориолиса искривляет траекторию пули. Кориолисово ускорение 2ωv будет сносить пулю вбок от траектории, и за время R/v в соответствии с хорошо нам знакомой формулой снесёт всего на расстояние S = at 2 /2 = ωr 2 /v, как мы уже выяснили, когда глядели на эту пальбу с Земли. Угол, на который надо поправить прицел, тоже, конечно, получится равным ωr/v. Ну, а если мы и цель находимся на противоположных концах одного и того же диаметра карусели? Может быть, удвоить угол, и все дела? Если глядеть из инерциальной системы, вроде так оно и получается. Ведь мы сами имеем скорость ωr, да ещё мишень с такой же скоростью движется на встречном курсе с нами. Но ведь время увеличилось вдвое, снос за счёт силы Кориолиса должен учетвериться, а не удвоиться. Как же в неинерциальной системе нам свести концы с концами? Вспомним, что мы повернули оружие, стреляем не по радиусу карусели. Конечно, угол 2α маленький, поэтому, в частности, мы можем считать, что радиальная составляющая скорости равна v, ведь косинус малого угла практически равен единице. Но снос-то ведь тоже небольшой, и наличием поперечной скорости мы пренебрегать не имеем права. А она равна 2αv = 2ωR и направление её противоположно направлению силы Кориолиса. Поэтому правильным становится такое выражение для полного сноса: S 1 = v 0 t + α 1 t 2 /2 = 2ωR(R/v) + 2vω(2R/v) 2 = 2ωR 2 /v. Обратим внимание на то, что мы все время себе немного противоречим: вроде знаем, что пуля во вращающейся системе движется по кривой, а кое-что считаем так, как будто она движется по прямой; знаем, что цель за время полёта пули немного приблизится к точке, откуда произведён выстрел, а когда считаем время, это не учитываем. Обычная ситуация для метода последовательных приближений. Где можно, малой величиной пренебрегаем, а где нужно, оставляем её, поэтому нам и удаётся её рассчитать. А вот на баскетбольной карусели из-за того, что скорость мяча недостаточно велика, все эти синусы и 42
45 косинусы, все искривления траектории так сбивают с толку, что поправку по ходу дела внести очень трудно. В большинстве же случаев сила Кориолиса создаёт какие-то малые эффекты, в первом приближении её можно не учитывать. Поэтому давайте на время о ней забудем и вернёмся к основной теме нашего разговора. О силе тяжести мы уже немного(?) побеседовали. Но мы собирались ещё обсудить такие понятия, как Вес и невесомость Как же в плотный круг мирской Входит призрак невесомый? В. Брюсов Мы выбили из-под тела подставку. Нет «силы, с которой тело давит на подставку», нет веса вот и наступила невесомость. Можно и так. Но не разумнее ли считать, что раз нет подставки, то нечего и говорить о силе, на неё действующей, что понятие веса в этом случае просто теряет смысл? Вот мы прыгнули: подставки нет, веса нет, мы в невесомости. И что же? Что мы такое особое заметим. Ну, когда «весомость» есть, наша голова, например, держится усилием мышц шеи давит на подставку, каковой для неё является эта самая шея. Стоит расслабить мышцы шеи (допустим, мы задремали над этой книжкой), и «голова падает», мы «клюем носом». А вот в прыжке голова не упала бы; правда, трудно представить, что мы заснули во время прыжка. А если, заснув над книжкой, мы свалимся со стула, то вряд ли успеем разобраться, весит что-то наша голова во время падения или она в полёте невесома. Так что давайте займёмся какой-нибудь более прозаической ситуацией. Например, излюбленным в этом случае транспортом лифтом. И не сразу оборвем подвес, что, конечно, равносильно выбиванию подставки, а потихоньку начнём спускаться с ускорением a. Впрочем, с тем же успехом мы можем кончать подниматься. Ведь не важно, куда мы движемся, важно только, куда направлено ускорение, а оно в этих случаях направлено одинаково вниз. Итак, лифт движется с ускорением a, направленным вниз. Что происходит с весом? Мы сказали «потихоньку», значит, ускорение невелико, по крайней мере, оно меньше g. Чемодан мы поставили на пол, он спокойно стоит в лифте! то есть падает с тем же самым ускорением a относительно Земли. Какие же силы создают ускорение чемодана? По-видимому, сила тяжести и реакция опоры. Правда, тут может возникнуть сомнение: сила тяжести или сила притяжения к Земле? И все же именно сила тяжести. 43
46 Ведь лифт вместе с домом участвует во вращении Земли; пропади вдруг лифт, чемодан начал бы падать не с ускорением, сообщённым ему притяжением Земли, а с ускорением g, в котором учтена центробежная сила. Это по сравнению с лифтом Земля довольно инерциальная система, вообще-то она «всё-таки вертится». Если мы глядим на наш чемодан с Земли, то его ускорение определяется разностью силы тяжести и реакции опоры. Нетрудно сообразить, что реакция, а по третьему закону и вес тела равны m(g a). Но нам нравится рассуждать в той системе, в которой мы сами сидим. Мы в лифте, чемодан неподвижен. Что там с силами? Мы, конечно, помним, что наша система неинерциальна, действует сила инерции, равная ma, она-то и помогает ослабевшей реакции подставки удерживать тело на месте. А как же назвать ту силу m(g a), которую компенсирует реакция опоры? Можно, конечно, просто говорить о сумме силы тяжести и силы инерции. А вот если встать на позиции обсуждаемого учебника, то именно эту силу следовало бы назвать силой тяжести. Ведь мы выбрали новую систему отсчёта, существенно отличную от Земли, сила тяжести зависит от системы отсчёта, должна же она измениться! Правда, тогда возникает вопрос, как назвать mg. Как-то привычно называть эту силу силой тяжести. Поэтому в большинстве случаев вопрос решается компромиссом. Силой тяжести по-прежнему называют mg, а если хочется как-то красиво назвать m(g a), то эту комбинацию называют эффективной силой тяжести в лифте. Всё-таки «настоящая» сила тяжести это mg, а m(g a) некий заменитель, суррогат силы тяжести. То есть в каком-то смысле мы считаем «правильной» системой отсчёта Землю, а лифт с нашей точки зрения система не вполне полноценная. Если вспомнить, что Земля тоже не вполне инерциальная система, то есть не совсем «полноценная», такое предпочтение покажется несколько сомнительным. У нас одно оправдание: так удобнее говорить, рассуждать, решать задачи. А это, между прочим, тоже немаловажное обстоятельство. В общем, мы привыкли, что сила тяжести mg, только и всего. Конечно, бывает, что задача сложна, в её решении комбинация m(g a) встречается не раз. Тогда сначала её называют эффективной силой тяжести, потом отмечают кавычками «сила тяжести», потом и кавычки теряют. Но это уже тогда, когда привыкли, что в этой, именно в этой задаче сила тяжести равна m(g a). А в подавляющем большинстве случаев всё-таки даже в лифте силой тяжести называется mg. Напрашивается аналогия с пресловутой системой единиц СИ. Уж как её пропагандировали, как расписывали её преимущества. Госкомстандарт вообще хотел все другие системы буквально запретить. А по- 44
47 слушайте радио: атмосферное давление снова называют в миллиметрах ртутного столба. Возьмите самые уважаемые физические журналы «Успехи физических наук», «Журнал экспериментальной и теоретической физики»: хорошо, если 10% формул написаны в СИ. Неудобно же. Конечно, отсутствие стандартов беда, но и полная унификация не лучше. Какой-то «плюрализм» и здесь необходим, как в таких случаях принято подчёркивать «в разумных рамках». После этого лирического отступления заберемся опять в наш лифт и начнём падать с ускорением, как раз равным g. Чемодан перестаёт давить на пол. Реакция опоры и вес обращаются в ноль. Внутри лифта наступила невесомость. Именно внутри лифта. Невесом ли сам лифт вопрос по-прежнему спорный. Вот с чемоданом несколько яснее. К примеру, если на него не давить, не тянуть его, то есть, если нет взаимодействующих с ним тел, он не сдвинется с места, даже если завис в воздухе. Эффективная сила тяжести обратилась в нуль. Но чемодан не сдвинется относительно лифта именно с лифтом связана наша система отсчёта. А относительно чего не сдвинется лифт в системе, связанной с лифтом? Да подействуйте на тело какой угодно силой, оно ни за что никуда не сдвинется, если система отсчёта связана с самим этим телом! Поэтому давайте говорить не о невесомости падающего тела, а скорее о невесомости внутри этого тела. Тут таких тавтологических оборотов можно избежать. Но мы немного поспешили, согласившись, что эффективная сила тяжести, сила тяжести в лифте реабилитирует определение из учебника. Ведь там есть каверзные слова «сила притяжения к Земле». Так что же, Земля перестала притягивать чемодан? Нет, закон всемирного тяготения не отменен. Опять какие-то неудобства, двусмысленности, связанные с терминологическими трудностями. А представим себе, что под действием какой-нибудь дополнительной силы ускорение лифта превысило g. Чемодан падает на потолок. Если случайно ускорение лифта относительно Земли окажется равным 2g, мы вообще будем чувствовать себя достаточно уютно, расхаживая по потолку. Даже и не сообразим, что лифт бешено ускоряется. Немного странным, пожалуй, покажется, что новый пол чище потолка; что светильник прикреплён к полу впрочем, это сейчас модно; посетуем, что какойто шутник все таблички, призывающие вести себя в лифте прилично, перевесил вверх ногами. Но неужели и в этом случае эффективную силу тяжести, направленную вверх, мы будем продолжать называть «силой притяжения к Земле»? Хотя бы и с оговоркой относительно выбора системы координат. Ведь теперь сила притяжения к Земле не то чтобы и ни при чем, более того, она ослабляет силу тяжести в лиф- 45
48 те. Если бы он двигался с ускорением 2g где-нибудь в отдалении от всех небесных тел, то внутри него сила тяжести была бы вдвое больше, чем на Земле! Там, говоря красиво, «в бескрайних просторах вселенной», невесомость возникает, если «лифт» будет двигаться прямолинейно и равномерно. Но давайте вернёмся «на грешную Землю». И в ситуациях, не столь фантастических, как лифт, который тянут вниз, мы встречаемся с измененной силой тяжести. Например, когда мы подпрыгивали, нам довелось познакомиться с невесомостью. Правда, свидание было недолгим, не удалось толком в этой невесомости разобраться. А с возросшей силой тяжести мы вообще на Земле ещё не встречались. Но человек придумал немало приспособлений, устройств, при пользовании которыми ему приходится испытывать Перегрузки Много в мире сил великих, Но сильнее человека Нет в природе ничего. Софокл Вот в лифте, который, конечно, создан человеком, людьми, мы «испытывали» ослабление эффективной силы тяжести, невесомость и даже пытались ходить вверх ногами, то есть сила тяжести у нас «переворачивалась». Но если ускорение лифта направлено вверх, сила тяжести возрастает. И это возрастание, в отличие от невесомости и переворота вертикали, мы испытываем реально каждый раз, когда лифт начинает подниматься или заканчивает спуск. Чтобы при отправлении с первого этажа чемодан не провалился сквозь пол, надо не только компенсировать силу тяжести, но и разогнать его вверх. Значит, реакция опоры должна быть больше силы тяжести, чемодан наш потяжелел: сила, действующая на подставку, вес чемодана больше, чем mg. Или, иначе, если мы «надёжно» сидим в лифте и рассуждаем с точки зрения соответствующей системы отсчёта, кроме mg на чемодан в том же направлении действует сила инерции ma. Эффективная сила тяжести, сила тяжести в лифте равна теперь m(g + a). 46
49 Я никогда не знал, что столько тысяч тонн в моей позорно легкомысленной головёнке. В.В. Маяковский Конечно, с перегрузками приходится встречаться не только в искусственных условиях. Вот мы уже несколько раз порывались подпрыгнуть. Надо набрать вертикальную скорость, надо иметь ускорение, направленное вверх. Мы тут же «утяжеляемся». Ещё хуже нам придётся при приземлении. Но мы заранее знаем, когда упадем, мы сгибаем ноги, растягиваем процесс приземления другими уловками, и перегрузки обычно не очень велики. А вот пятилетняя Маша споткнулась и разбила в кровь подбородок. Ну, понятно, ушиблась; бывает, до свадьбы заживет. А все-таки, почему кожа на Машином подбородке не выдержала удара? Что её раздавило? Ведь сверху была только Машина «легкомыслая головёнка»? Неужели она, эта детская головка? Увы, да. Вот если бы Маша просто положила голову на камень, два-три килограмма её головы создали бы усилие в два-три десятка ньютонов, и кожа осталась бы целехонькой. А при ударе, чтобы голова не провалилась сквозь Землю (какой ужас!), надо за какую-то сотую долю секунды погасить, пусть не очень большую, скорость что-нибудь около 3 м/с. Ускорение 30g! И Машина головка, которая перед самой катастрофой весила килограммы, а во время падения и вовсе ничего не весила, «нагружается» стокилограммовой гирей! Конечно, какая кожа такое выдержит. Кузнец кует булат. Если он положит свой тяжкий молот на железо, даже раскалённое, размягченное, ничего с этим железом не сделается. Но он опускает молот с размаху, разогнав его как следует. Железо быстренько тормозит молот в момент удара, ускорение молота громадное. Вес его несравненно больше, чем в покое. Железо сминается, куётся. Орел не может расклевать панцирь черепахи. Он поднимает бедную черепаху в поднебесье и роняет её на камень. При ударе панцирь «движется» с громадным ускорением, он оказывается раздавленным собственным весом. А почему на камень? Да орел «знает», что почва мягче камня, она промнётся под черепахой, тормозной путь возрастёт, 47
50 ускорение уменьшится, перегрузка, конечно, будет, но не настолько большая, чтобы раздавить панцирь. Как говорится, ну, и так далее, примеры можно приводить до бесконечности. Но вернёмся в какой-нибудь построенный человеком искусственный экипаж. Это тем более разумно, что, как мы договорились, удобнее следить не за самим ускоряющимся предметом, а за тем, что творится с силой тяжести, эффективной силой тяжести, внутри этого предмета. Сядем, к примеру, в трамвай. Пока он стоит на месте (или движется равномерно), сила тяжести в нём такая же, как и на остановке. А что делается с силой тяжести, когда трамвай разгоняется? Ускорение направлено вперёд трамваи задним ходом обычно не ходят. Значит, внутри трамвая возникают силы инерции, направленные назад. Сила тяжести внутри трамвая сумма mg и ma. Но не m(g +a) и не m(g a). Пора снова вспомнить, что сила вектор. Можно, конечно, написать mg эфф = m(g a) и на том покончить с трамваем. Но всё же повозимся с этой простенькой формулой. Силы mg и ma взаимно перпендикулярны, значит, модуль суммарной силы будет равен по теореме Пифагора g 2 + a 2. Но интереснее другое эффективная сила тяжести теперь направлена «немного назад». Пол трамвая, только что казавшийся горизонтальным, становится наклонным. Мы-то это знаем заранее и предусмотрительно хватаемся за поручни, за спинки кресел, а если не успели за соседа. Обычно это помогает, потому что водитель не очень резко трогается с места. А вот когда неосторожный пешеход перебегает улицу перед самым трамваем, и водитель вовсю жмет на тормоза, тут мы тоже рискуем разбить подбородок. Но если пронесло, можно перевести дух не каждую же секунду под трамвайные колёса стараются попасть пешеходы. Совсем другое дело, когда идёт на взлёт космический корабль. Чем быстрее будет сожжено топливо, тем оно используется эффективнее. Но не устраивать же мгновенный взрыв. Приходится космонавту несколько минут терпеть перегрузки его тело обычно весит с полтонны, если не больше; не всякий такое выдержит десять минут да ещё сохранит трудоспособность. Конечно, это не единственный критерий при отборе в отряд космонавтов, но через такое испытание кандидаты пройти должны. А как? Ну, известно, на центрифуге. Там роль добавки к традиционной силе тяжести играет центробежная сила: фактически она, наоборот, играет главную роль, а нормальная сила тяжести только добавка. Но вот успешно пройдены все испытания, космонавты вышли на орбиту и самочувствие у них хорошее. Спутник летит над Землёй, и 48
51 что же внутри него происходит с силой тяжести? Да мы видели по телевизору там невесомость. А почему? По-разному можно ответить на этот невинный вопрос. Но самый простой ответ, по крайней мере, на мой взгляд, выглядит примерно так: на спутник действует только сила тяжести, поэтому он падает с ускорением g. Этим ускорением определяется сила инерции, но направлена она, конечно, против силы тяжести. Суммарная сила, действующая внутри спутника, равна нулю, занчит, там невесомость. При этом надо ясно себе представлять, что в первой половине фразы до слов «с ускорением» я рассуждал в инерциальной системе отсчёта, а после этих слов перепрыгнул в систему, связанную со спутником. Не совсем корректное построение ответа. Надо бы после этих слов поставить точку, произнести заклинание: а теперь пересядем в другую систему отсчёта. А потом уже продолжить рассуждения. Вот тогда всё было бы гладко. Или почти всё. Потому что довольно неожиданно вновь становится не совсем ясным, Что такое g? Лучшим каждому кажется то, к чему он имеет охоту. К. Прутков Пусть даже Земля шар. Пусть даже однородный шар. Но она вращается! Если мы сидим на Земле, надо ввести центробежную силу, это ещё не страшно, но этого мало, надо не забыть про силу Кориолиса. Ничего ещё, если спутник всё время движется над экватором: центробежная сила немного «облегчит» его; сила Кориолиса тоже внесет свой вклад в силу тяжести, но тут уже надо знать, на запад спутник летит или на восток, от этого зависит, вверх или вниз будет направлена сила, уменьшит она ещё силу тяжести или увеличит. Но даже у спутника на экваториальной орбите ускорение не определяется суммой силы тяготения и центробежной силы оно не равно g! А если спутник движется по полярной, или, ещё хуже, по произвольной наклонной орбите? Обе силы инерции меняются по величине, их направления относительно скорости спутника тоже меняются, какой будет траектория? Нет, нет и нет. Я решительно не имею охоты работать в такой изуверской системе координат. Куда лучше мне кажется использование инерциальной, абсолютной системы. Я же на Земле 3, а она, вспомним, уединённая, сферически симметричная. Если на бегающий 49
52 вокруг неё спутник смотреть из более инерциальной системы, на неё не действует никаких сил, кроме GmM/R 2. А это значит, что наш спутник падает с ускорением GM/R 2, то есть с ускорением, определяемым только силой тяготения без вмешательства всяких там центробежных сил, не говоря уже о силе Кориолиса. То есть, конечно, с тем ускорением, которое мы называли g 0, а не ускорением g. Впрочем, это верно, если он летит над самой поверхностью Земли. Обычно так не бывает мешают горы, мешает сопротивление воздуха, но этим-то в нашей модели ещё можно пренебречь. Или можно исправить силу тяготения. Если высота полёта спутника h, то ускорение его падения равно g 1 = g 0 R 2 /(R + h) 2. В любом из этих случаев спутник падает с ускорением, повторим, определяемым силой притяжения к Земле, других сил нет, значит, инерционные силы внутри спутника как раз компенсируют эту самую силу тяготения, внутри спутника невесомость! Ой, нехорошо. Опять я на ходу перепрыгнул из одной системы отсчёта в другую. Попробуем остаться в инерциальной системе. Спутник, а равным образом и любое «тело, находящееся внутри спутника», ну, например, космонавт, падают с ускорением g 1. Если в какой-то момент они имели одинаковые скорости, то и дальше они будут двигаться по одинаковым траекториям. Их относительное положение не будет меняться, а это и означает, что внутри спутника нет никакого направления «вниз», куда должны падать все тела, в том числе и тело космонавта. Внутри спутника нет силы тяжести эффективной силы тяжести, как мы договорились называть эту штуку. А если тело имеет скорость относительно спутника? Тогда, конечно, его траектория будет отличаться от траектории спутника, можно их сравнить и понять, как тело будет двигаться относительно спутника. Итак, спутник движется по круговой орбите со скоростью больше 7 км/с, а космонавт имеет к этой скорости добавку в какие-нибудь 10 см/с. Как будут отличаться их траектории? Что-то утомительно напоминающее наши расчёты формы Земли, не правда ли? Чуть промахнемся в какой-нибудь траектории, а разница между поведением спутника и поведением космонавта может измениться до неузнаваемости. Всё же тысячу раз был прав бессмертный Козьма Прутков, когда говорил, что «всякий необходимо причиняет пользу, употребленный на своём месте». И как могут быть «упражнения лучшего танцмейстера в химии неуместны, советы опытного астронома в танцах глупы», так и метод решения задачи, систему отсчёта, желательно каждый раз выбирать такой, чтобы по возможности «причинить пользу». Вот движение спутника полезнее рассматривать в абсолютной системе. А движение 50
53 внутри спутника в ускоренной системе, связанной с самим спутником. Пусть уж лучше будут у нас свирепствовать силы инерции, зато мы сразу поглядим на относительное движение, которое нас и интересует, а не будем вычитать из миллиона миллион, чтобы уловить, какой из них на ничтожную долю единицы больше другого. Впрочем, известно, что нет правил без исключений. Советы великого композитора Бородина в химии были совершенно уместны, поскольку по своей основной должности он был профессором именно химии. Так что и мы будем продолжать прыгать из системы в систему, как только углядим, что другая система в новой задаче причиняет больше пользы. Как всё же будет двигаться космонавт относительно спутника, если в какой-то момент он имеет скорость 10 см/с относительно спутника же? Да так и будет двигаться по прямой с начальной скоростью, поскольку внутри спутника невесомость, поскольку в системе координат, связанной со спутником, на космонавта не действуют никакие силы. Но. это верно только в каком-то приближении. Невольно приходит на ум пословица, гласящая, что один человек, не помню точно, как он там характеризуется, может задать столько вопросов, что сто мудрецов не ответят; и все же не могу удержаться от следующего вопроса. Есть ли невесомость на спутнике? Все мозги разбил на части, Все извилины заплел. В.C. Высоцкий Действительно, до чего договорился этот автор? Только что доказывал так и этак, что в спутнике невесомость, к телевизору посылал, чтобы сами наглядно убедились в этой самой невесомости, и опять. Но давайте не будем спешить. Я же согласился, что в каком-то приближении невесомость есть. Теперь хочется понять, в каком именно приближении. И пусть это выглядит уже совсем нелепо, но анализировать придётся вопрос, который не может, по-видимому, вызвать ничего, кроме раздражения: что такое g 1? Это же ускорение спутника! Да, конечно. И вопрос, собственно, состоит вот в чем. Это ускорение определяется силой притяжения Земли. Земля у нас хорошая идеальный шар. Значит, в закон всемирного тяготения надо подставить расстояние от центра Земли до спутника, и все дела. А до какой точки спутника? Ну, это уже совершенная мелочь! Какие там размеры у спутника? Десять метров? А до центра Земли не меньше шести тысяч километров с гаком. Стоит ли говорить о такой мелочи? Но ведь мы смотрим, что творится внутри спутника, уже 51
54 часть этой мелочи «полмелочи» это полспутника. В общем, покопаемся немного в мелочах. А я обещаю, что это чуть позже поможет нам разобраться в явлениях весьма внушительного масштаба. Итак, расстояние до спутника от центра Земли R (что-нибудь тысяч семь километров), размер спутника l (десяток метров). Что надо подставить в закон всемирного тяготения? Ах, да, я забыл, что «расстояние до спутника» уже не совсем корректное выражение. Что представляет собой спутник? Знаете, с реальным спутником, по крайней мере, при решении именно этого вопроса, мне боязно связываться. Возьмём спутник весьма непривычной формы, но пусть это будет такая форма, для которой полегче найти ответ на наш вопрос. Рис. 7 И вот какой спутник мне нравится. Пусть он состоит из невесомой трубы длины l, соединяющей две точечные массы по m/2. И в тот момент, когда мы решили вычислить его g 1, труба ориентирована так, как это показано на рис. 7. Первое, что мне хочется сделать, это взять в качестве расстояния до спутника R, потому, в первую очередь, что это расстояние от центра Земли до центра масс спутника. Ведь если заменять спутник точечной массой, то куда эту массу поместить, как не в центр масс реального спутника? Более того, если бы спутник был идеальным шаром, точнее говоря, если бы он имел сферически симметричную форму, то, как доказал Ньютон, такой выбор привёл бы нас к абсолютно точному результату. Но у нас спутник имеет такую хитрую форму, что придётся повозиться ещё немного. Конечно, R очень удачный выбор, но не идеальный. Впрочем, давайте от слов перейдём к делу, к формулам. На дальнюю от Земли массу m/2 назовем её верхней действует GmM GmM сила 2(R+l/2), на нижнюю сила 2 2(R l/2). Сумма сил оказывается 2 равной F = GmM R2 + l 2 /4 (R 2 l 2 /4) 2 = GmM R l 2 /4R 2 (1 l 2 /4R 2 ) 2. Видно, как говорится, невооружённым глазом, что это немного больше, чем GmM/R 2. Ускорение g 1 = F/m имела бы материальная 52
55 точка, расположенная ближе к Земле, чем центр масс нашего спутника. на 5 микрон. Да, кажется, я действительно перестарался. Гораздо более интересным оказывается другое занятие: давайте найдём не суммарное ускорение спутника, а разность ускорений, которые имели бы его части, если бы они не были соединены трубой. Если после вычитания вспомнить, что l R, то мы придём к формуле g 2GMl/R 3 = 2g 1 (l/r). Что это за ускорение? Да это то ускорение, с которым убегали бы друг от друга части нашего спутника, если бы какой-нибудь злодей распилил трубу. Величина тоже небольшая несколько миллионных долей g 1. Но мы и собирались искать, так сказать, мельчайшие следы «весомости» там, где практически хозяйничает невесомость. А разве мы нашли эти следы? Да, именно их мы и вычисляли. Подумаем, что будет с гирей, если её повесить в воздухе внутри спутника. Если мы проделаем это в центре масс спутника в середине трубы (а ещё лучше на 5 микрон ближе к Земле), ускорение гири будет таким же, как и ускорение спутника. Гиря может висеть неподвижно, её не надо удерживать, она никуда не собирается падать невесомость. А если гиря повисла на полпути от центра к краю спутника? У неё есть, пусть очень небольшое, ускорение относительно спутника. Последим за ней минутку-другую и заметим, что она на сантиметр сдвинется. А если час? Вот тут не берусь судить. За минуту спутник лишь немного сдвинется по своей орбите, взаимное расположение частей спутника, гири, Земли почти не изменится, и тут я рассуждаю смело. А за час спутник сделает больше полоборота, где там будет Земля, где гиря, так сразу и не скажешь. Ну, а если я хочу, чтобы гиря не двигалась? Надо её удерживать какой-то силой, надо организовать подставку, на которой гиря будет лежать, на которую она будет давить своим «весом». Если гиря килограммовая, то весы покажут меньше микрограмма. Правда, где взять пружинные весы такой чувствительности? А рычажные, те, конечно, покажут килограмм любая килограммовая гиря в нашей трубе «весит» микрограмм, а не только та, над которой мы экспериментируем. Так как же насчёт «внушительных масштабов»? А вот сейчас мы к ним и подбираемся. И появляются они в связи с тем, что наша родная Земля переживает Конец одиночества Что за ускорение мы только что рассчитали? Это ускорение, связанное с неоднородностью поля тяготения Земли. В однородном поле такого ускорения не было бы. Ведь ускорение это определяется разли- 53
56 чием в напряжённости поля тяжести в двух рассматриваемых точках спутника. Вспомним третий закон Ньютона. Спутник, конечно, тоже создаёт поле тяжести, которое действует на Землю. Но каково же это поле? Оно ничтожно. Зато у Земли есть спутник потяжелее её естественный спутник, Луна. Луна тоже создаёт, конечно, поле тяжести в том числе и на Земле, и поле неоднородное. Правда, это поле меняется с изменением расстояния до Луны ещё медленнее, чем поле Земли над её поверхностью меняется с высотой. Но зато размеры Земли побольше размеров любого спутника. Различие в «ускорениях силы притяжения к Луне» в противоположных точках Земли примерно такое же, как различие в ускорениях гири и спутника. Но «лунное» ускорение в течение четверти суток испытывают гигантские массы воды мирового океана. И результат соответственный: гиря в спутнике вряд ли раздавит муху, а приливы. Какова же величина этого приливообразующего ускорения? Возьмём ту же самую формулу, по которой мы определяли ускорение гири в спутнике = 2GMl/R 3, только теперь M масса Луны (1/81 массы Земли), R расстояние от Земли до Луны (59 земных радиусов), а l радиус Земли. Получается примерно 10 7 g десятимиллионная доля земного ускорения силы тяжести. Всего-то? Да, и всё же именно это ускорение вызывает приливы. Ну, давайте прикинем четверть суток вода движется с ускорением около 10 7 g, то есть 10 6 м/с 2. На какое расстояние она поднимется над уровнем моря? Получается больше 200 метров! Что-то многовато. О таких приливах не приходилось слышать. И дело не в том, что приливная сила из-за вращения Земли в каждой точке её поверхности меняется примерно по синусоидальному закону. Это нетрудно учесть амплитуда отклонения A при синусоидальном движении связана с максимальным значением ускорения простым соотношением Aω 2 = g max. Несложный расчёт даёт тоже нереальную оценку высоты прилива. Но у нас получается так, что, если бы Земля была всё время одинаково ориентирована по отношению к Луне, приливные силы перекачали бы Тихий океан на Луну, а Атлантический выбросили бы в противоположную сторону. А как в действительности изменилась бы поверхность океана, если бы мы закрепили на местах Землю и Луну, да ещё не дали бы им вращаться? Собственно, вращение Луны ни при чем, оно повлияло бы на «уровень моря» Луны. Но на Луне моря нет, а кроме того, Луна и так всё время смотрит на Землю одной стороной. Кстати, её фигура и вытянута вдоль прямой Земля Луна, и даже больше, чем надо 54
57 свидетельство того, что во время затвердения Луна была ближе к Земле, чем сейчас. Но вернёмся к приливам. В той модели, которую мы сейчас обсуждаем, поверхность океана должна быть эквипотенциальной в поле тяготения Земли и Луны. Приравнивая потенциалы в точках A и B (см. рис. 8, из которого ясны обозначения) и пренебрегая малыми величинами, для высоты прилива h получим соотношение M/r + m/r = M/(r + h) + m/(r r). Получается h = 22 м. Больше похоже на правду, но всё же многовато. Таких приливов не бывает даже в узких заливах, когда туда врываются большие массы воды, разогнавшиеся в морском просторе. В нашей модели вроде такие эффекты не предусмотрены, мы считаем высоту прилива в открытом океане, а там она в действительности составляет примерно метр. Расхождение великовато в два десятка раз. Но хуже другое. В точке B, как и полагается, прилив. А в точке D? Там как раз отлив: расстояние до Луны для этой точки R + r, h должно быть отрицательным. Что не так? Да мы же не дали Земле падать на Луну! А она падает, и океан только опережает её немного там, где он ближе к Луне, ну, и отстаёт там, где дальше от Луны. И то, и другое прилив. А в точке A отлив. И к потенциалу тяготения Земли надо добавить только потенциал разностных сил, то есть потенциал в поле сил приливных, в поле уже рассчитанного нами приливообразующего ускорения. Сделать это нетрудно примерно так же, как мы считали потенциал центробежных сил, и получится высота прилива около 60 сантиметров. Теперь уже, наоборот, маловато. Но есть ещё Солнце, а оно тоже вызывает приливы. Правда, оно в 390 раз дальше Луны, зато в 26 миллионов раз массивнее. В результате солнечные приливы составляют почти половину лунных. Если мы это учтём, то можем получить очень приличный результат. Рис. 8 55
58 Так что амплитуду приливов эта статическая, или Ньютонова, модель предсказывает довольно хорошо. А что же нехорошо? А нехорошо она предсказывает время, когда наступает прилив. Если верить этой модели, то форма океана должна быть такой, как на рис. 9а, а она скорее такая, как на рис. 9б. Под Луной вместо прилива отлив, на обратной стороне Земли тоже отлив, а приливы по бокам. Все наоборот! Рис. 9 Вообще говоря, понятно, что прилив должен отставать от Луны. Действительно, когда некоторая точка Земли находится в положении B (рис. 8), приливные силы максимальны, ускорение воды вверх максимально. Впрочем, такие упрощённые рассуждения тоже могут привести к ошибке. Так может получиться, что до самого положения A вода будет ускоряться, и только потом скорость подъёма начнёт спадать. А это уже слишком. В действительности ведь приливная сила загоняет воду не на Луну, а только до «исправленного» на приливные силы уровня океана. Потом, если вода проскочила равновесие, пересиливает земное тяготение. Верную картину даёт динамическая модель приливов, суть которой такова. Вода океана под действием приливных сил совершает вынужденные колебания. Фаза таких колебаний зависит от соотношения между собственной частотой колебаний системы и частотой изменения вынуждающей силы. Некоторое представление о влиянии частоты силы на соотношение фаз можно получить на обычных детских качелях. Раскачаем качели и посмотрим, как они ведут себя, когда мы их не трогаем. Это мы наблюдаем собственные колебания качелей. Период этих колебаний, как правило, одна-две секунды. Теперь будем очень медленно их отклонять от положения равновесия, к примеру, 5 секунд ведём в одну сторону, те же 5 секунд возвращаем их к положению равновесия, 5 секунд отводим в другую сторону и так далее. Ясно, и мы это почувствуем, что сила тем больше, чем больше отклонение, а направить мы ее должны туда же, куда отклонены качели. В конце концов, если всё это происходит очень медленно, квазистатически, мы фактически просто в каждый момент удерживаем качели в том положении, в кото- 56
59 ром они в данный момент находятся. Полная аналогия со статической моделью приливов отклонение в фазе с внешней силой. А вот если мы попробуем «трясти» качели так, чтобы направление силы менялось пять раз в секунду, всё будет по-другому. Качели только собрались двигаться влево, куда мы их потянули в предыдущий момент, а мы их уже толкаем вправо. Сразу сдвинуть их вправо не удаётся, надо сначала притормозить их «левый уклон», потом они будут набирать «правую скорость»; а мы уже снова тянем их влево. Тут проследить за соотношением фаз силы и отклонения труднее, но очень похоже, что теперь эти две величины изменяются в противофазе. Рассмотрим другую модель. Её, может быть, не так удобно трактовать на языке приливных сил, хотя внешне она гораздо более напоминает океан на Земле. Зато наверняка в этой модели наглядно видна смена фазовых соотношений при переходе через резонансную частоту. Нальем в прозрачную банку воды и пометим её уровень. Подвесим банку. Теперь будем медленно её отклонять от положения равновесия частота внешней силы меньше собственной частоты колебаний маятника. Поверхность воды будет оставаться практически горизонтальной. На стороне банки, ближней к положению равновесия, прилив, на противоположной дальней стороне отлив. Отпустим банку, пусть она сама качается. Приливообразующих сил нет, поверхность воды после некоторых колебаний установится параллельно дну, приливов не будет. А теперь заставим банку колебаться быстрее, чем ей «хочется». Например, привяжем достаточно мягкими пружинами к опорам, стоящим на земле. Банка не успевает как следует разогнать воду, вода пытается качаться с прежней частотой, а банка с повышенной. Мож- 57
60 но заметить, что прилив теперь на дальнем берегу, а на ближнем к положению равновесия отлив. Осталось узнать собственный период, собственную частоту колебаний мирового океана, и мы сообразим, в фазе или в противофазе должны быть приливы с приливными силами. И тут нам помогут. цунами. Где-то под водой произошло землетрясение («моретрясение»), вода в океане вздыбилась возник прилив. Совершенно не важно, что его вызвала не Луна, а другая причина. Что будет дальше? По океану бежит волна, и бежит она со скоростью около 200 м/с. Значит, если бы не мешала суша, вокруг Земли она обежала бы за 56 часов. А если бы на противоположных сторонах Земли возникли две такие волны и побежали друг за другом, через каждую точку волна пробегала бы раз в 28 часов. Зачем нам две волны? Да ведь Луна именно это и делает: поднимает две приливные волны под собой и напротив и гонит их по океану. Только Земля вращается слишком быстро, и период внешней силы приливообразующей силы Луны всего 12 ч 25 мин. Что это скорее полсуток, чем сутки, мы уже разобрались. А лишние 25 минут? Так ведь Луна обращается вокруг Земли, причём в том же направлении, в каком вращается сама Земля. Луна старается догнать точку B, когда та от неё убегает в положение A. Не очень-то это удаётся, но 50 минут лишку набегает. Время между прохождениями Луны через определённый меридиан как раз на эти 50 минут больше суток. Итак, частота приливообразующей силы больше частоты собственных колебаний океана, приливы в противофазе с силой. Там, где сила сильнее всего тянет воду вверх, отлив, там, где гонит к центру Земли, прилив. Надо признать, что приличное согласие результатов расчёта по Ньютону (статическая модель) с наблюдаемой высотой приливов, которому мы так радовались, не более, чем случайное совпадение. Если не учитывать трение, а мы его не учитывали, то при таком различии частот внешней силы и собственных колебаний в два с лишним раза амплитуда вынужденных колебаний должна быть раза в четыре меньше, чем отклонение, рассчитанное для статической модели. Вот если бы соотношение было обратным частота внешней силы была заметно меньше собственной, тогда амплитуда просто обязана была бы быть близкой к ньютоновой. Ну, а в резонансе без учёта трения амплитуда просто возросла бы до бесконечности. Насколько важны резонансные явления в организации сверхвысоких приливов, можно увидеть из экологической экспертизы проектов приливных электростанций («В мире науки», 1988, 1). 58
61 На четырехсоткилометровом фронте от воспетой Мелвиллом столицы китобоев Нантакета до не менее знаменитого Ярмута океанский прилив стандартной метровой высоты плавно втекает в залив Мэн. Разогнавшись в более узком заливе Фанди, набрав четырехметровую амплитуду, приливная волна врывается в тесные заливчики Шигнекто и Майнас бейсин. В этом последнем амплитуда прилива достигает рекордной для всей Земли величины 6 метров. Разность уровней в приливе и отливе 12 метров. Где же и строить приливные электростанции, как не тут? В одном из вариантов проекта предполагается отделить плотиной (см. схему на рис. 10) от Шигнекто бухту Шеподи меньше 0,2% площади залива Мэн. Второй вариант перегородить Майнас бейсин, отрезать чуть больше полпроцента залива. Рис. 10 Электростанции отбирают энергию, приливная волна возле плотины уменьшается в первом случае на см, во втором на см. А как это скажется в масштабах залива Фанди, всего залива Мэн? Разольем недостачу по просторам заливов и получим оценки для залива Фанди 0,2 мм в первом варианте, около сантиметра во втором. А в заливе Мэн изменение надо искать с микроскопом. Не так ли? 59
62 Ничего подобного. Можно даже сказать все наоборот. Дело в том, что меняется резонансная частота колебаний водной массы залива Мэн. Вместо 13 ч 20 мин период колебаний становится равным 13 ч 10 мин. А период изменения приливообразующей силы, как мы помним 12 ч 25 мин. Ситуация становится «более резонансной». А во втором варианте сказывается ещё и изменение режима течения на выходе из Майнас бейсин. И вот результаты. Плотина Шеподи, почти не изменяя высоту прилива в заливе Фанди, увеличивает приливную волну в гигантском заливе Мэн на 3 4 см, а это больше 2% от нынешней амплитуды. Во втором же варианте прилив на всем пространстве от Бостона до входа в Майнас бейсин возрастает на см больше, чем на 10%! Пришлось бы строить новые причалы, надо подумать о рыбах условия их миграции существенно меняются; в общем, последствия весьма существенные. Ну что же, даже такие проекты, экологически несравненно более чистые, чем тепловые или атомные электростанции, надо тщательнейшим образом просчитывать с точки зрения воздействия на природу. Но довольно о приливах. Первое упоминание о силах инерции мы связывали с часами, которые построил Гюйгенс. А потом как-то не вспоминали о часах. Хорошо бы чуть подробнее разобраться, как «взаимодействуют» Часы и силы инерции Есть часы, что вовеки не бьют. А. Рембо Мы уже перебрали столько обстоятельств, влияющих на вес тела, а значит, и на эффектную силу тяжести, силы инерции, приливные силы. Как все эти силы влияют на ход часов? Начнём с лифта, это проще всего. Построим наш лифт на полюсе. Если он неподвижен, кроме силы гравитации (силы притяжения к Земле, подчиняющейся закону всемирного тяготения), других сил нет. Скорость хода часов определяется той величиной, которую мы обозначали g 0. Теперь лифт приходит в движение. Возникают силы инерции. Ускорение направлено вверх эффективная сила тяжести растёт, часы спешат. Ускорение вниз сила инерции вверх, часы отстают. Дадим падать лифту с ускорением g 0 и часы встанут. Если маятник в этот момент был неподвижен, даже в отклонённом положении, он так и будет висеть наклонно. Если он 60
63 двигался, дальнейшая его судьба зависит от устройства подвеса. Есть возможность совершать полный оборот вокруг оси маятник будет крутиться с постоянной угловой скоростью. А как всё это выглядит с Земли? Сил инерции нет, сила тяжести, уточним, сила, с которой маятник притягивается Землёй, не изменилась. Почему изменился ход часов? Точка подвеса движется с ускорением, «неподвижно» висящий в положении равновесия маятник тоже движется с тем же ускорением. Оси подвеса надо только частично компенсировать силу тяжести, если лифт неспеша ускоряется вниз: совсем нечего компенсировать при свободном падении; а если ускорение направлено вверх, придётся тянуть за собой маятник, усилие будет больше mg 0. При отклонении от положения равновесия именно составляющая натяжения стержня, на котором висит груз (вместе они и составляют маятник), возвращает груз к положению равновесия. Ясно, что эта возвращающая сила при том же отклонении теперь будет иной. Увеличилась она часы зачастили, уменьшилась стали медлительнее, исчезла вовсе и вот часы, «что вовеки не бьют». На космическом корабле (кроме участков разгона и торможения) маятниковые часы абсолютно непригодны. И это не единственное неудобство, которое возникает из-за невесомости. Поэтому очень серьёзно обсуждаются проекты создания на «долгообитаемых» кораблях искусственной силы тяжести. Достаточно завращать его вокруг оси, и в отсутствие других сил центробежные силы вполне сыграют такую роль. Даже удобно: захотелось отдохнуть в невесомости иди поближе к оси; захотелось побыть в привычных земных условиях выбирай подходящее расстояние от оси, и сила тяжести имеет нормальную величину. Соревнования по поднятию тяжестей можно проводить с одним единственным грузом кто его поднимет на б ольшем удалении от оси корабля. Мы помним, что и на Земле центробежная сила, связанная с суточным вращением планеты, изменяет ход часов. Она, конечно, не заменяет в этом случае силу тяжести, а лишь слегка изменяет её, впрочем, изменяет настолько, что ещё Гюйгенс это заметил. А вот про вторую центробежную силу мы забыли. Земля ведь ещё движется по окружности (точнее, по мало отличающемуся от окружности эллипсу) вокруг Солнца. Так что, если бы она и не вращалась вокруг оси, инерциальной системой ей всё равно не быть. Правда, это вторая центробежная сила на порядок меньше первой, но ведь это не так мало, чтобы совсем её не заметить. Но тут выручает то обстоятельство, что направление этой силы относительно силы притяжения к Земле переменно. Днем она увеличивает силу тяжести, ночью уменьшает. В среднем за сутки набежит совсем немного. 61
64 Но мы знакомились ещё с одной разновидностью сил инерции с силами Кориолиса. Маятник качается, движется. Даже если часы неподвижно стоят на земле, на маятник действуют силы Кориолиса. Почему мы о них не вспомнили, когда рассуждали о маятнике на полюсе? А не на полюсе? Вообще, что они делают с маятником? Во-первых, сила Кориолиса очень маленькая маятник движется медленно, а сила эта пропорциональна скорости. Но важнее другое обстоятельство сила перпендикулярна скорости, а значит, она не влияет на ход часов на полюсе вовсе. А на экваторе, к примеру? Полпериода она эффективно увеличивает силу тяжести, полпериода уменьшает. Поправка становится совсем ничтожной. Боковая же составляющая силы Кориолиса лишь стремится изогнуть подвес, изменяет немного силы трения. Ну, а если подвесить груз не на стержне, а на нити, то мы получим маятник Фуко и убедимся, что Земля вращается, что она неинерциальная система отсчёта. Что ещё может повлиять на ход часов? Приливные силы? Но это тоже совершенная мелочь, да и знак они меняют четыре раза в сутки. Так что можно сказать, что практически полностью ход часов определяется ускорением силы тяжести, напряжённостью поля силы тяжести, суммой силы притяжения к Земле и центробежной силы, конечно, не забудем, что и длина подвеса важна, просто мы говорим о ходе одних и тех же часов в разных местах Земли. Конечно, не забудем, что Землю мы считаем «достаточно круглой» местные особенности рельефа не принимаем во внимание. Соседняя гора немного ускорит часы, а пещера под городом замедлит. Кстати, такие методы геологической разведки по местным вариациям поля тяжести реально применяются на практике. С часами мы вроде бы разобрались. Теперь давайте поговорим Немного о весах И мысль качала мировые гири. В. Брюсов С пружинными весами всё ясно они измеряют силу, с которой тело действует на подставку или подвес, то есть по определению вес тела. И этот вес не равен силе тяготения независимо от того, с чем связано движение тела. Стоят весы на Земле вес равен силе тяжести, то есть массе, умноженной на ускорение силы тяжести в данной точке. Поставили весы в лифте умножаем массу на ускорение «эффективной силы тяжести». 62
65 А вот что измеряют рычажные весы? Вроде бы и на Земле, и в лифте равновесие наступит, если на чашки поместить одинаковые массы. Вроде бы измеряется масса. Ведь в лифте, к примеру, движущемся вниз с ускорением g/2, сила, с которой будет действовать на чашку весов гиря, уменьшится вдвое, но уравновесит гиря груз прежней массы. И всё же равновесие наступает, конечно, тогда, когда силы, действующие на чашки, равны, то есть когда вес предметов, помещённых на чашки, одинаков. А могут ли быть при этом массы разными? Увы, могут. Ну, например, «кэвендишев» свинцовый шар поместили под одной из чашек равновесие нарушается. Или вспомним дотошный анализ Я.И. Перельманом в его «Занимательной физике» известной задачи-шутки: что тяжелее пуд сена или пуд железа? Тут имеются в виду вполне приличные условия взвешивания равноплечные хорошо отрегулированные весы, отсутствие аномалий силы тяжести. Весы в равновесии масса сена. больше! Почему? На неё действует большая выталкивающая, архимедова сила со стороны окружающего воздуха. Причём эту разницу уже можно заметить. Плотность сена (не «насыпная», а плотность травинок) немного меньше 1 г/см 3 ; пуд 16 кг вытесняет литров двадцать пять воздуха, выталкивающая сила грамм тридцать. Пуд железа чуть больше двух литров, меньше трёх граммов выталкивающей силы. Разницу можно заметить. Но как? А взвесить то же самое в вакууме. Есть и более серьёзное приложение этих соображений. Взвешивая одно и то же тело в воздухе и в воде, мы определим его плотность по известной плотности воды. Вот и ещё один способ достижения «невесомости» «Вода в воде не имеет никакого веса», это сказал Галилей. А чуть раньше Тарталья высказался ещё более категорично: «Никакое тело не имеет тяжести, находясь само в себе», но мы уже отмечали, что в то время не могли отчётливо отличить силу притяжения к Земле, силу тяжести, вес. И если с Галилеем при нынешнем словоупотреблении можно согласиться, то уж с Тартальей ни в коем случае. Тогда ведь получится, как это у него и получалось, что не должно быть атмосферного давления. Раз ни у какой порции воздуха «нет тяжести» (на неё не действует сила тяжести сказали бы мы), то нечего её поддерживать другим порциям, другим слоям воздуха. А что такое атмосферное давление, в конце концов, как не вес столба воздуха, приходящийся на единицу площади «подставки» поверхности Земли? 63
66 Факт очевидный, но нередко забываемый. Просишь на приёмных экзаменах найти массу атмосферы начинаются вопросы: а не подскажете, по какому закону меняется плотность с высотой? Другие, впрочем, сами это могут рассчитать, и только спрашивают, можно ли атмосферу считать изотермической. Как сказала чеховская героиня, «хочут свою образованность показать». А вопрос несложный, никаких выходов за пределы школьной программы не требует. Ну, радиус Земли я, конечно, напомню, хотя желательно его всё же знать, может быть, и не очень точно. А дальше: помножили атмосферное давление на площадь поверхности земного шара есть вес атмосферы, поделили на g вот и масса. Но вернёмся к весу тела в воде. Можно сказать, что подводная лодка невесома, но внутри лодки никакой невесомости нет! Воздушный шар вовсе поднимается вверх. В каком-то смысле его вес отрицателен. Но если он поднимается равномерно, самые что ни на есть пружинные весы в гондоле этого шара покажут ровно 1 кг, когда на них положат килограммовую гирю. Так что лучше говорить, что сила тяжести при погружении не изменяется; кроме неё действует архимедова сила, поэтому вес сила, действующая на подставку, уменьшается. Конечно, ведь появилась ещё одна «подставка» вода, на которую действует, конечно, такая же сила со стороны погружённого в неё тела, какая на тело действует со стороны воды. Рис. 11 А с «отрицательной тяжестью» надо быть очень осторожным. Вот проект вечного двигателя. В кольцевой канал, заполненный водой (рис. 11), помещаем железный шарик и воздушный пузырёк. Слева от линии AA масса побольше, и железный шарик побежит влево. Но и слева от BB масса больше, чем справа. Куда побежит пузырёк? Сила гравитационного притяжения его будет тянуть влево. Вот было бы хорошо, если бы и он побежал вдогонку за железным шариком! Вечный двигатель готов. Но мы-то знаем, что воздушные пузырьки в воде не тонут, а всплывают вверх у нашего пузырька «верх» справа. Шарики просто будут отталкиваться, разойдутся, как иногда говорят спортивные комментаторы, «по разным углам круга», и ничего вечного не получится. 64
67 «Всплывают», между прочим, и «летательные аппараты тяжелее воздуха», как это называли раньше. Взлетает самолёт. Внутри самолёта, как мы знаем, перегрузки весы покажут больше, чем надо, чем на Земле. А сам самолёт? Что он весит во время взлёта? Сам самолёт взвесить трудновато. Но можно обдуть модель в аэродинамической трубе. Смоделируем условия взлёта, и давление модели на подставку исчезнет. Более того, подвесим модель на пружине, и пружина «при взлёте» сожмётся вес модели стал отрицательным. Опять появилась дополнительная «подставка» поток воздуха с избытком компенсирует силу тяжести. И только, если, упаси Бог, самолёт падает в безвоздушном пространстве, тогда и он ничего не весит, и внутри него ничто ничего не весит. Оказывается, вопрос что такое вес тоже весьма непростой. Надо ещё разобраться сначала, что такое подставка. Поэтому я и старался избегать вопроса о том, какова сила тяжести, действующая на лифт, на спутник, не сила тяготения, с ней всё ясно, а сила тяжести. А вот какова сила тяжести внутри лифта, внутри спутника (эффективная сила тяжести) это обсуждать легче. Правда, сопротивление воздуха я старательно не замечал. А ведь оно немного и на спутник действует. Так что даже возле центра масс спутника невесомость не совсем полная. Но я же предупреждал, что в состоянии только построить более или менее подходящие модели. * * * Пора бы и кончать, а где итоги? Прояснилось ли, наконец, Что такое сила тяжести? Век живи век учись! и ты, наконец, достигнешь того, что, подобно мудрецу, будешь иметь право сказать, что ничего не знаешь. К. Прутков Право же, немного обидно все же считать эту книжку лишь комментарием к одной не слишком удачной фразе из другой книжки. Хочется хотя бы найти замену этой фразе. Да не тут-то было. Не очень получается. Все же это понятие сила тяжести оказалось, ох, каким непростым. А таким понятиям трудно дать краткие определения, удобные для заучивания. Но какие-то итоги все же можно подвести. Что мы поняли о силе тяжести? Ведь это важнее, чем просто запомнить формулировку: силой тяжести называется. 65
68 Итак, в самом грубом приближении сила тяжести на Земле определяется законом всемирного тяготения это сила гравитационного притяжения к Земле. В следующем приближении, при анализе широтной зависимости силы тяжести, надо учесть вращение Земли. К примеру, мы знаем, что сила тяжести равна весу тела, если это тело неподвижно относительно Земли. А это значит, что к силе гравитационной надо прибавить центробежную силу, связанную с вращением Земли. Примерно так, как и было сказано в огульно раскритикованной мною фразе, сила эта отличается от гравитационной из-за того, что Земля неинерциальная система отсчёта. Впрочем, можно избежать перехода в эту неудобную систему. А если мы не слишком хорошо усвоили понятие сил инерции, то остаться в инерциальной системе просто необходимо. Тогда из гравитационной силы надо вычесть центростремительную силу, обеспечивающую (связанное, конечно, с тем же вращением Земли) движение тела по окружности с центром на оси вращения Земли. И вот здесь, наверное, стоит остановиться и отчасти (но НЕ полностью) согласиться с охаянным мною определением силы тяжести, ну, например, в таком варианте: Силой тяжести на Земле называется сила, сообщающая телу ускорение свободного падения и отличающаяся от силы гравитационного притяжения к Земле в основном из-за вращения Земли. Эта сила равна для неподвижного относительно Земли тела его весу, то есть силе, с которой это тело действует на подставку или растягивает подвес. Впрочем, уже здесь есть, правда, очень небольшая, неточность. Строго говоря, надо было бы отметить, что соответствующие измерения следует проводить в вакууме. И дело не только в сопротивлении воздуха при движении тела, но и в выталкивающей силе вспомните «задачу» о пуде сена и пуде железа. Такими мелочами, однако, как правило, пренебрегают. Но если идти дальше, надо вспомнить, что Земля движется вокруг Солнца. Кстати, Земля вокруг Солнца движется не только не по окружности, но даже и не по эллипсу. Ведь она, в частности, вместе с Луной обращается вокруг центра масс тандема Земля Луна. Наконец, поля тяготения Солнца и особенно Луны в масштабах земного шара неоднородны. Поэтому есть еще и приливные силы. О неоднородности самой Земли лучше умолчим. И последнее. Тело движется относительно Земли. И движение ускорение, скорость, перемещение нас интересует именно относительно Земли. Вот тут ситуация самая сложная. Если смотреть «сна- 66
69 ружи» из инерциальной системы нетрудно разобраться с силами. Например, тело падает в пустоте ничего, кроме тяготения, на него не действует. Но потом нелегко пересчитать это все на относительные ускорения, скорости, перемещения. Проще смотреть «изнутри» с Земли. Система, правда, неинерциальная. Ничего, просто вместо силы тяготения возьмём силу тяжести. В большинстве случаев мы именно так и поступаем, и это очень хорошее приближение. Но в действительности надо ещё учесть силу Кориолиса. Мы познакомились с несколькими ситуациями, когда это просто необходимо: стрельба на большие расстояния, подмывание берегов рек, маятник Фуко. При использовании инерциальной системы отсчёта такие эффекты нетрудно предсказать качественно, а количественный расчёт, зачастую вполне доступный в неинерциальной системе, в абсолютной очень и очень труден. И все это только о силе тяжести на Земле. А есть ещё лифты, стартующие и тормозящие трамваи и самолеты, спутники, наконец. Вот тут я бы предпочёл говорить подлиннее. Даже не о весе тела, а о «результате взвешивания тела на пружинных весах в лифте, трамвае» и так далее. И с силой тяжести тоже выражался бы поосторожнее: различал бы силу тяжести, так сказать, исходную и «эффективную силу тяжести внутри лифта, трамвая, самолёта, спутника». Вот, пожалуй и все, что я хотел рассказать о силе тяжести с точки зрения Ньютона. Но на Ньютоне наука не остановилась. И самое важное из всего последующего, это то, ЧТО ДОБАВИЛ ЭЙНШТЕЙН Причину этих свойств силы тяготения я не мог до сих пор вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. И. Ньютон Наука просто не могла остановиться на Ньютоне. И больше всех мешал этому сам Ньютон. Немало, конечно, было учёных, которые, подобно поэту А. Попу, считали, что после Ньютона «всюду стал свет». Но сам Ньютон так не считал. Тёмных пятен оставалось достаточно. И не только в физической оптике, которая делала с помощью Гюйгенса и того же Ньютона первые шаги; не только в теории электрических явлений, которая и вовсе ещё ползала на четвереньках до Фарадея. Немало вопросов осталось и в механике. Глобальный вопрос о природе сил тяготения, о «причине его свойств» только сейчас приобрёл 67
70 конкретный смысл. Это вопрос, что же говорить об ответе! Но были и другие вопросы, менее абстрактные. Были вопросы, которые поставил Ньютон, которые возникли вскоре после Ньютона. Вопрос первый откуда тело знает, где сейчас находится притягивающая его масса? Если два тела движутся, то по смыслу закона всемирного тяготения сила взаимодействия в каждый рассматриваемый момент времени определяется положениями тел в этот же самый момент. Ответил Эйнштейн, и, как обычно, ответ его прозвучал неожиданно: а они не знают о положении друг друга сейчас. На тело A действует сила, соответствующая тому положению тела B, о котором до A успел дойти сигнал. А все сигналы распространяются не мгновенно, а с конечной скоростью, не б ольшей скорости света. Вопрос второй действительно ли закон тяготения всемирный? Тут Эйнштейн дал два ответа. С одной стороны, закон этот даже «ещё более всемирный», чем считал Ньютон. Притягиваются друг к другу, создают поле тяготения, реагируют на чужое поле не только тела, частицы, вещество, но поля, в том числе и само поле тяготения. С другой стороны, необходимо сузить область действия конкретного ньютонова закона тяготения он справедлив, когда поле тяготения не очень сильное, а создающие его тела движутся не слишком быстро. В общем, Эйнштейну пришлось создать новую теорию тяготения, новый закон тяготения общую теорию относительности. Закон всемирного тяготения Ньютона приближённый вариант в самом простом предельном случае. Но на Земле, планете не слишком тяжёлой, к Солнцу не очень близкой, по Ньютону все можно рассчитать правильно. Пока почти невозможно заметить, что закон Ньютона неточен, если не покидать Землю. Вот если посмотреть на Солнце, там кое-что заметить можно. И свет оно не так притягивает, и Меркурий движется не по Ньютону. Впрочем, при современной точности кое-что можно заметить и на Земле. Вот Эйнштейн говорит, что часы, поднятые над Землёй, должны спешить. Не часы с маятником тем Ньютон велит отставать; да и как их, подняв над Землёй, заставить «нормально» идти? Взяли молекулярные часы молекулы «наверху» должны колебаться быстрее. Подняли их в воздух и покатали на самолёте. Они ушли вперёд, ушли немного меньше, чем надо бы. И это тоже Эйнштейн объяснил. Их же катали они двигались, а такие часы должны отставать от «стоячих». Если учесть и то, и другое, все сходится. Но это все, так сказать, к слову пришлось. Гораздо ближе к теме нашего разговора Вопрос третий откуда система знает, что она неинерциальна? Мы-то это знаем: «просто» пересчитаем все тела, все поля, действую- 68
71 щие на наше пробное тело, и если сумма сил, делённая на массу, не равна ускорению, значит, есть ещё сила инерции. А откуда лифт знает, что внутри него должны возникнуть силы инерции? Может быть, это не он движется с ускорением, может быть, он стоит на месте, а шахта вместе с прикреплённой к ней Землёй движется мимо с ускорением? Ведь вроде бы движение относительно? Откуда Земля знает, что именно она вращается, а не небосвод вокруг неё, как думали тысячелетия умнейшие люди? Чем неинерциальные системы отсчёта хуже инерциальных? Первым попытался дать внятный ответ на этот вопрос Эрнст Мах. Землю можно считать неподвижной, сказал он, а Вселенная пусть вращается вокруг неё все относительно. Но эта вращающаяся вокруг нас громада вещества и создаёт дополнительные силы силы инерции. Правда, неясно, как тут быть с количественными расчётами. Вселенную Мах считал бесконечной по Ньютону, и по Ньютону же должен был считать силы тяготения. А если Вселенная достаточно симметрична, по Ньютону поля внутри не получается. А вот по Эйнштейну даже внутри абсолютно симметричного вращающегося шара поле не такое, как внутри неподвижного. Вселенная в последнее время кажется скорее конечной, чем бесконечной. Возможно, путь, намеченный Махом, если учесть то, что сказал Эйнштейн, может привести к успеху. Возможно, силы инерции создаются всей массой звёзд, галактик. Правда, до количественных расчётов на этом пути ещё неблизко. Есть ещё и такой вопрос: почему мы думаем, что m в формуле (1) и в формуле (2) одно и то же? Просто потому, что Ньютон их одинаково назвал и обозначил одинаковыми буквами? Для Ньютона, строго говоря, это допущение, та самая гипотеза, которых он «не измышляет». Надо бы проверить. Проверяли тысячи раз со всей доступной точностью массы эти равны. Эйнштейн решил: раз так, значит, это совпадение не счастливая случайность, а закон природы. И на этом построил всю свою теорию. Теория его блестяще подтверждается наблюдениями и экспериментами. Но. на Эйнштейне наука не остановилась точно так же, как она не остановилась на Ньютоне. И некоторое время назад возникла новая гипотеза это разные вещи: одно m гравитационная масса, другое m инертная масса, и они могут быть разными. Могут существовать частицы, например, с равными инертными массами, но разными гравитационными. Только из таких пар одна частица встречается более или менее часто, а другая почти не встречается. Будем искать. Будем ещё выше поднимать точность экспериментов по сравнению гравитационных и инертных свойств частиц. 69
72 В общем, и тем, кто продолжает дело Ньютона и Эйнштейна, и тем, кто только начинает знакомиться с этим делом, как нельзя лучше подойдут слова Валерия Яковлевича Брюсова: «Так что ж! Ещё работы много, И всё не кончен трудный путь. Веди ж вперёд, моя дорога. Нет, всё не время отдохнуть!» * * * В заключение хочу поблагодарить всех, кто помогал мне в подготовке рукописи. Надеюсь, что пособие окажется полезным студентам 1-го курса. Кроме того, оно представляется в основном доступным абитуриентам. Книга иллюствированна авторскими рисунками. Литература 1. Храмов Ю.А. Физики: биографический справочник. М.: Наука, Собесяк Р. Шеренга великих физиков. Краков: Наша ксегарня, Гадомский Я. Шеренга великих астрономов. Краков: Наша ксегарня,
73 Содержание ПОЧЕМУ ЧТО ГОВОРИЛИ РАНЬШЕ Аристотель История величия и падения импетуса Френсис Бэкон Галилей и Ньютон ЧТО СКАЗАЛ НЬЮТОН Кеплер Закон всемирного тяготения Модели Что такое R? Теорема Гаусса Внутрь Земли Метро и тяготение Гюйгенс Центробежная сила Земля Форма Земли (модель четвёртая и последняя) Силы инерции Куда падает камень? Стрельба на карусели Вес и невесомость Перегрузки Что такое g? Есть ли невесомость на спутнике? Конец одиночества Часы и силы инерции Немного о весах Что такое сила тяжести? ЧТО ДОБАВИЛ ЭЙНШТЕЙН Литература
74 Учебное издание Белонучкин Владимир Евгеньевич СИЛА ТЯЖЕСТИ. ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ Учебно-методическое пособие по курсу «Общая физика» Редактор Л. В. Себова. Корректор Н. Е. Кобзева Компьютерная верстка Н. Е. Кобзева Подписано в печать Формат / 16. Усл. печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 100 экз. Заказ 265. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» , Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 Тел. +7(495) , +7(499) Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» , Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 Тел. +7(495)