Теория функций действительного переменного/Интеграл Лебега

Понятие интеграла Римана не пременимо для измеримых функций, которые могут быть разрывны во всей области определения или заданы на таком абстрактном множестве, что понятие интегральных сумм не имеет смысла. В отличие от интеграла Римана, основная идея интеграла Лебега состоит в том, что точки группируются по признаку близости значений функции в этих точках. Такое определение позволяет применить интеграл Лебега к функциям, заданным на любом пространстве с мерой. Если специально не указано иное, будем считать, что дана некоторая полная σ -аддитивная мера μ , заданная на σ -алгебре множеств с единицей X . Все рассматриваемые множества A ⊂ X предполагаются измеримыми, а функции — определёнными и измеримыми на всём X . Интеграл Лебега строится следующим образом: сначала понятие интеграла вводится для так называемых простых функций, а затем распространяется на весь класс измеримых функций с помощью предельного перехода.

Содержание

Простые функции [ править ]

измерима тогда и только тогда, когда все множества

Доказательство.

а следовательно — измерим.

Использование простых функций в конструкции интеграла Лебега основано на следующей теореме.

Доказательство.

Достаточность условия следует из того, что предел всюду сходящейся последовательности измеримых функций измерим.

обозначим множества, на которых функция принимает одно и то же значение, следующим образом

i\neq j\Rightarrow B_\cap B_=\varnothing > ,

Доказательство. Каждое множество

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

Таким образом, ряды

абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Докажем некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

Свойство 1. Интеграл Лебега от суммы простых функций равен сумме интегралов от слагаемых:

причём существование интегралов в правой части данного равенства влечёт за собой существование интеграла в левой части.

причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой части.

если последний ряд абсолютно сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

является покрытием множества A , поэтому

Это значит, что ряд

сходится абсолютно, то есть простая функция, по определению, f ( x ) является суммируемой.

По правилу треугольника для модуля:

Из уже доказанного следует, что

Интеграл Лебега для произвольных функций на множестве конечной меры [ править ]

называют интегралом функции f(x) по множеству A и обозначают

Для того, чтобы данное определение было корректным, необходимо выполнение следующих условий:

Указанный в определении предел существует для любой равномерно сходящейся последовательности простых суммируемых на множестве A функций.

Указанный предел не зависит от выбора последовательности < f n ( x ) > .

Для простых функций данное определение переходит в определение интеграла Лебега от простой функции, данное в предыдущем разделе.

Докажем, что данные условия действительно выполняются. Рассмотрим равномерно сходяющуюся последовательность суммируемых на множестве A простых функций

По определению верхней грани, имеет место следующее неравенство:

следовательно, по Свойству 3 интеграла Лебега для простых функций:
Свойства интеграла Лебега [ править ]
Свойство 1. Интеграл от функции, тождественно равной единице, равен мере множества, по которому производится интегрирование:

Доказательство. Функция, тождественно равная единице, является простой, так как принимает только одно значение, а равенство получается непосредственно из определения интеграла Лебега для простых функций.

Свойство 2. Для любого постоянного числа k имеет место равенство

причём существование интеграла в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

По определению интеграла Лебега

Свойство 3. Аддитивность:

причём существование интегралов в правой части равенства влечёт существование интеграла в левой.

По Свойству 1 интеграла Лебега от простых функций:

По определению интеграла Лебега для произвольной функции:

Объединяя два этих равенства, получим:

Доказательство. Для простых функций — это свойство уже доказано. Для произвольной ограниченной суммируемой функции построим последовательность простых функций как в доказательстве теоремы 2:

(при условии, что интеграл сущетсвует).

Доказательство.

Доказательство.

По свойствам 2 и 3:

C другой стороны, так как

следовательно, по свойству 5:

откуда и получается, что

Доказательство.

Свойство 6. Интеграл по множеству меры нуль равен нулю:

Доказательство.

По определению меры:

Интеграл Лебега произвольной измеримой функции есть предел последовательности интегралов простых измеримых функций, все интегралы этой последовательности, в данном случае, равны нулю как интегралы простых функций по множеству меры нуль. Следовательно, интеграл Лебега по множеству меры нуль произвольной измеримой функции равен нулю.

причём интегралы существуют или не существуют одновременно.

Доказательство.

Рассмотрим два ряда:

F=\sum _y_\mu (A_)+\sum _f_\mu (B_)> , G = ∑ i y i μ ( A i ) + ∑ n g n μ ( B n ) .

F=\sum _y_\mu (A_)> , G = ∑ i y i μ ( A i ) .

Отсюда следует, что свойство действительно справедливо для простых функций.

Доказательство.

Обозначим множество, на котором выполняется равенство f ( x ) = g ( x ) как B , тогда:

причём, по условию теоремы, выполняется неравенство

Свойство 8. Интегралы

существуют или не существуют одновременно.

Доказательство.

В случае простой функции, обратное вытекает из определения интеграла Лебега для простой функции.

Рассмотрим последовательность модулей этих функций:

Интеграл Лебега как функция множества [ править ]

В предыдущих разделах рассматривался интеграл Лебега по фиксированному множеству. В данном разделе будут установлены некоторые свойства интеграла Лебега как функции множества

заданной на совокупности измеримых функций.
σ-аддитивность интеграла Лебега [ править ]
i\neq j\rightarrow A_\cap A_=\varnothing > ,

то имеет место равенство

причём из существования интеграла в левой части вытекает существование и абсолютная сходимость ряда в правой части.

Доказательство.

Докажем сначала утверждение теоремы для простых функций, то есть функций, принимающих счётное множество значений

Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

Из этого неравенства, по свойствам интеграла Лебега, следует

Так как утверждение теоремы доказано для простых функций, то имеет место равенство

Из последнего неравенства с помощью неравенством треугольника можно получить оценку:

Рассмотрим теперь разность

Воспользовавшись в первом слагаемом равенством

Применяя неравенство треугольника, получим:

i\neq j\Rightarrow A_\cap A_=\varnothing >

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, сначала докажем утверждение для случая простой функции.

Произведём суммирование по n :

Так как первый из рядов сходится по условию теоремы, то сходятся и остальные ряды. Последний ряд является, по определению, интегралом Лебега для простой функции | f | . А так как функции f и | f | являются или не являются суммируемыми одновременно, то существует интеграл

Таким образом, утверждение теоремы доказано для простых функций.

сходится по свойствам меры, а ряд

сходится по условию теоремы. Из этого следует сходимость ряда
Неравенство Чебышева [ править ]
По свойствам интеграла Лебега:

откуда следует, что

Следствие. Если имеет место равенство
Абсолютная непрерывность интеграла Лебега [ править ]
Доказательство

В силу Теоремы 3:

причём ряд в правой части сходится. Это означает, что можно выбрать натуральное число N так, чтобы

Пусть задано некоторое множество e , тогда

Рассмотрим интегралы, стоящие в правой части по-отдельности. Начнём со второго из этих интегралов:

Рассмотрим теперь первый интеграл, по определению множества B N :

Очевидно, что для этого достаточно взять
Выводы [ править ]
Предельный переход под знаком интеграла [ править ]

В математическом анализе устанавливается, что достаточным условием возможности предельного перехода под знаком интеграла является равномерная сходимость последовательности. В данном разделе рассматриваются обобщения соответствующих классических теорем на случай интеграла Лебега.

Доказательство.

В силу аддитивности интеграла Лебега:

Используя неравенство многоугольника и неравенства, полученные выше, получим:

Замечание. Так как значения функции на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла Лебега, то в данной теореме достаточно предположить, что последовательность < f n ( x ) > сходится к функции f почти всюду и что неравенства | f n ( x ) | ≤ ϕ ( x ) выполняются почти всюду.

Причём интегралы этих функций ограничены в совокупности:

Сравнение интегралов Римана и Лебега [ править ]

Замечание. Обратное утверждение наверно [контрпример: функция Дирихле D i ( x ) ].
📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎