Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.
Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
Определение линейного интеграла
Пусть в пространственной области $\mathbf < \textit < V >> $ определено непрерывное векторное поле $\bar < a >(\mathbf < \textit < M >> ), \mathbf < \textit < L >> $ - гладкая кривая, расположенная в $\mathbf < \textit < V >> $. Линейным интегралом поля $\bar < a >$ вдоль линии $\mathbf < \textit < L >> $ называется криволинейный интеграл по длине дуги от скалярного произведения $\bar < a >(\mathbf < \textit < M >> )$ на единичный касательный вектор $\bar < \tau >(\mathbf < \textit < M >> ): W=\int\limits_L < \bar < a >(M)\cdot \bar < \tau >(M)\,ds > $.
Как и поток, этот интеграл может представляться различным образом. Так, если учесть, что произведение $\bar < \tau >(M)$ на $ds$ даёт изменение радиуса-вектора точки $\mathbf < \textit < M >> $, т.е. $\bar < \tau >\cdot ds=d\bar < r >=dx\bar < i >+dy\bar < j >+dz\bar < k >$,то $W=\int\limits_L < \bar < a >(M)d\bar < r >> $ и $W=\int\limits_L < Pdx+Qdy+Rdz >$. Следовательно, линейный интеграл может быть выражен и через линейный интеграл по координатам.
Физический смысл линейного интеграла:
если $\bar < a >(\mathbf < \textit < M >> )$ - силовое поле, то $W$ равен работе этого поля при перемещении материальной точки вдоль линии $\mathbf < \textit < L >> $ см. раздел Тройные интегралы.
Основные свойства линейного интеграла.
1). Линейность
$\int\limits_L < \left( < С_1 \bar < a >_1 +С_2 \bar < a >_2 >\right)\bar < \tau >\,ds > =С_1 \int\limits_L < \bar < a >_1 \bar < \tau >\,ds > +С_2 \int\limits_L < \bar < a >_2 \bar < \tau >\,ds > $,
2). Аддитивность
$\int\limits_ < L_1 \cup L_2 > < \bar < a >\cdot \bar < \tau >\,ds > =\int\limits_ < L_1 > < \bar < a >\cdot \bar < \tau >\,ds > +\int\limits_ < L_2 > < \bar < a >\cdot \bar < \tau >\,ds > $. Направление на каждой из частей $\mathbf < \textit < L >> _ < 1 >$ и $\mathbf < \textit < L >> _ < 2 >$ должно быть таким же, как и на всей кривой $L_1 \cup L_2 $,
3). При изменении направления вдоль $\mathbf < \textit < L >> $ линейный интеграл меняет знак.
Это следует из того, что вектор $\bar < \tau >(\mathbf < \textit < M >> )$ меняется на - $\bar < \tau >(\mathbf < \textit < M >> )$.
4). Если $\mathbf < \textit < L >> $ - векторная линия поля и движение происходит в направлении поля, то $\mathbf < \textit < W >> >0$. В этом случае вектор $\bar < \tau >(\mathbf < \textit < M >> )$ коллинеарен $\bar < a >(\mathbf < \textit < M >> )$, поэтому $\bar < a >\cdot \bar < \tau >=\mathop < \mbox < пр >\bar < a >> \limits_ < \bar < \tau >> =\vert \bar < a >\vert >0$.
Вычисление линейного интеграла
Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисляется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой, обычно вычисляют криволинейный интеграл $W=\int\limits_L < Pdx+Qdy+Rdz >$. Если кривая при параметрическом задании имеет вид $L:\left\ < < \begin < l >x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t), \\ \end >\right. t_0 \leqslant t\leqslant t_k $, где $x(t),\,y(t),\,z(t)$- непрерывно дифференцируемые функции, то $W=\int\limits_L < P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz >= \\ =\int\limits_ < t_0 >^ < t_k > < \left[ < P(x(t),y(t),z(t))\cdot < x >'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot < y >'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot < z >'(t) >\right]dt > .$
Направление интегрирования определяется направлением движения по кривой.
Циркуляция векторного поля
Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой $\mathbf < \textit < C >> $: Ц$=\oint\limits_C < \bar < a >\cdot d\bar < r >> $.
Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны, вообразим в объёме $\mathbf < \textit < V >> $ замкнутый контур $\mathbf < \textit < C >> $. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью, абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения < чем больше $\vert$ Ц $\vert $, тем выше скорость > , знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.
Далее:Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности
СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице
Свойства двойного интеграла
Упрощение логических функций
Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
Теорема о заведомо полныx системаx
Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$
Теорема об алгоритме распознавания полноты
Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
Введение
Векторное поле
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования